2019年福建省高考理科数学试卷及答案

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x) = (1 2x)^2，则f(x)的单调减区间为（）。

A. (∞, 1/2)B. (1/2, +∞)C. (∞, +∞)D. (0, 1/2)2. 在等差数列{an}中，若a1=3，a3=9，则公差d等于（）。

A. 2B. 3C. 4D. 63. 若函数y=2x的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的函数解析式为（）。

A. y=2x+2B. y=2x2C. y=2^(x+1)+2D. y=2^(x1)24. 已知点P(2, 1)在直线y=3x+b上，则b的值为（）。

A. 7B. 5C. 3D. 15. 若向量a=(1, 2)，向量b=(2, 3)，则2a3b=（）。

A. (8, 4)B. (4, 8)C. (8, 4)D. (4, 8)二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。

（）2. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。

（）3. 一次函数的图像是一条直线。

（）4. 二次函数的图像一定过原点。

（）5. 向量a和向量b的模相等，则向量a和向量b相等。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x) = x^2 2x + 1，则f(3) = _______。

2. 在等差数列{an}中，若a1=1，d=2，则a5 = _______。

3. 若直线y=2x+1与x轴的交点为（a，0），则a = _______。

4. 向量a=(3, 4)，则向量a的模|a| = _______。

5. 二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a > _______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述函数的单调性定义。

2. 请写出等差数列的通项公式。

3. 简述一次函数图像的特点。

4. 请解释二次函数的图像为什么是抛物线。

5. 如何求两个向量的和？五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(x)的单调区间。

2019 年福建省福州市高考数学一模试卷（理科）副标题题号 一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 若复数 z 满足 zi=1- i ，则 z 的共轭复数是（）A. -1- iB. 1-iC. -1+iD. 1+i2. 已知集合 A={ x|2x+1 ＞3} 2）， B={ x|x -x-2＜ 0} ，则 A ∪B=（A. { x|1＜ x ＜ 2}＞B. { x|-1＜ x ＜ 1}C.＜ ＜，或x 1}D.{ x|x ＞-1}{ x|-2 x 13.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现．为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一 1000 名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取 50 名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数12 34 56 7 参加人数占调查人数的百分20%26%18%m%4%2%比8% 10%以下四个结论中正确的是（ ）A. 表中 m 的数值为 10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于 2 场的学生约为 180 人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于 4 场的学生约为 360 人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一 1000 名学生中抽取容量为 50 的样本，则分段间隔为 254. 等比数列 { a n } 的各项均为正实数， 其前 n 项和为 S na 3=4 a 2a 6=64 ，则 S 5=）．若，（A. 32B. 31C. 64D. 635. 已知，且，则 =（）A.0B. C.1D.6.设抛物线 y 2=4 x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 为该抛物线上一点， PA ⊥l ，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为，则 △PAF 的面积为（）A.B. C.8D.7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 32B. 16C.D.f x）=2sin（ωx+φ图象的相邻两条对称轴之间的距离8. 已知函数（）为，将函数 f（ x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（ x）的图象．若函数 g（x）为偶函数，则函数f（ x）在区间上的值域是（）A. B. （-1，1） C. （0，2] D. （-1，2]9.已知 g（ x）为偶函数， h（ x）为奇函数，且满足 g（ x）-h（ x） =2x．若存在 x∈[-1，1]，使得不等式m?g（x） +h（ x）≤0有解，则实数 m 的最大值为（）A.-1B.C.1D.10.如图，双曲线 C： - =1（ a＞ 0， b＞ 0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2作线段 F2P 与 C 交于点 Q，且 Q 为 PF2的中点．若等腰△PF 1F2的底边 PF2的长等于 C 的半焦距，则 C的离心率为（）A. B. C. D.11.如图，以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心，以为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为（）A.B.C.D.12.已知数列{ a n}满足a1=1，，则a8=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.已知两个单位向量，满足，则与的夹角为 ______．14.已知点 A（ 0，2），动点 P（ x，y）的坐标满足条件，则 |PA|的最小值是 ______．15.（ 1+ax）2（ 1-x）5的展开式中，所有 x 的奇数次幂项的系数和为 -64，则正实数 a的值为 ______．16.已知函数有且只有一个零点，则实数 a 的取值范围是 ______．三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）ABC的内角A B C a b c A B C17. △，，的对边分别为，，．若角，，成等差数列，且．（1）求△ABC 的外接圆直径；（2）求 a+c 的取值范围．18.如图，四棱锥 P-ABCD ， AB∥CD ，∠BCD=90°，AB=2BC=2CD =4，△PAB 为等边三角形，平面 PAB ⊥平面 ABCD ， Q 为 PB 中点．（1）求证： AQ⊥平面 PBC；（2）求二面角 B-PC-D 的余弦值．19.最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018 年7 月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在 10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各 100 户进行调查．甲小区租户的月收入以[0，3），[3，6）， [6， 9）， [9，12）， [12，15] （单位：千元）分组的频率分布直方图如图所示．乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：月收入[0，3）[3，6）[6，9）[9， 12）[12， 15]户数38272492（ 1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M 表示事件“甲小区租户的月收入低于 6 千元，乙小区租户的月收入不低于 6 千元”．把频率视为概率，求M 的概率；（ 2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100 户租户的月收入的中位数；（ 3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的幸福指数低幸福指数高总计甲小区租户__________________乙小区租户__________________总计__________________附：临界值表P（K2≥k）0.100.0100.001k 2.706 6.63510.828参考公式：．20. 已知圆 O： x2+y2 =r 2，椭圆 C：的短半轴长等于圆O 的半径，且过 C 右焦点的直线与圆 O 相切于点．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若动直线 l 与圆 O 相切，且与 C 相交于 A，B 两点，求点 O 到弦 AB 的垂直平分线距离的最大值．21.已知函数 f（ x） =（1）求函数 f（ x）的单调区间；（2）若 a＜ 0，? x1， x2∈[0， e] ，不等式范围．2 mx+12，g（ x） =x e-e ．f（ x1）≥g（ x2）恒成立，求实数m 的取值22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为t a R（为参数，∈ ）．以坐标射线与曲线 C 交于 O，P 两点，直线l 与曲线 C 交于 A， B 两点．（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）当 |AB|=|OP |时，求 a 的值．23.已知不等式 |2x+1|+|2x-1|＜ 4 的解集为 M．（1）求集合 M；（2）设实数 a∈M， b? M，证明： |ab|+1 ≤|a|+|b|．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵复数 z 满足 zi=1-i ，z===-1-i∴，故 =-1+i ，故选：C．由复数 z 满足 zi=1-i ，可得 z，从而求出即可．本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位 i 的幂运算性质，考查共轭复数问题，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：A={x|x ＞ 1} ，B={x|-1 ＜x＜2} ；∴A ∪B={x|x ＞-1} ．故选：D．可解出集合 A ，B，然后进行并集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算．3.【答案】C【解析】解：8%+10%+20%+26%+18%+m%+4%+2%=1，得m=12，故A 错误，活动次数不高于 2 场的学生约（8%+10%+20%）×1000=380，即约为 380 人，故B错误，参加传统文化活动次数不低于 4 场的学生为（18%+12%+4%+2%）×1000=360人，故 C 是正确的；D中的分段间隔应为1000÷50=20，故D 错误，故选：C．根据系统抽样的定义分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合系统抽样的定义进行判断是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解法一：设首项为 a1，公比为 q，因为 a n＞ 0，所以 q＞0，由条件得，解得，所以 S5=31，故选：B．设项为为q，由，又a3=4，解法二：首a1，公比∴q=2，又因为，所以a1=1，所以 S5=31，故选：B．设项为为为a n＞ 0，所以 q＞0，由条件得解法一：首a1，公比q，因，解出即可得出．解法二：设首项为 a1，公比为 q，由，又a3=4，可得q=2，再利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由，且，可得，代入，可得=cos0=1，故选：C．解法二：由，且，可得，所以，题的值．解法一：由意先求出角θ，从而求得题），再根据=cos[（θ-）+] 吧，利用两解法二：由意求得 cos（θ-角差的三角公式求得结果．本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】设线与 x 轴为线AF 的斜率为，|FQ|=2，所解：解法一：准交于点 Q，因直以∠AFQ=60°，|FA|=4，又因为|PA|=|PF|，所以△PAF 是边长为 4 的等边三角形，所以△PAF 的面积为．解法二：设准线与 x 轴交于点 Q，P（m，n），因为直线 AF 的斜率为，|FQ|=2，AFQ=60°，所以，所以，又因为 n2=4m，所以 m=3，所以∠又因为|PA|=|PF|=4，所以△PAF 的面积为．故选：B．解法一：设准线与 x 轴交于点 Q，因为直线 AF 的斜率为，可得△PAF 是边长为 4 的等边三角形，即可求出面积，设线与 x 轴线义即可求 |PF|的值．解法二：准交于点 Q，P（m，n），利用抛物的定本题主要考查抛物线的几何性质义的应用，以及曲线交点的求法，利用，定抛物线的定义是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：由三视图知，该几何体是直三棱柱减去一个三棱锥，如图所示；所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三棱锥的体积，故选：D．由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个三棱锥，结合图中数据求出几何体的体积．本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，是基础题．8.【答案】D【解析】解：由图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以：T=π，又因为ω＞0，所以：，解得ω=2．将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．因为为函数 g（x）偶函数，所以（k∈Z），由，解得，所以：f（x）=2sin（2x-）．因为，所以：，所以函数的值域是（-1，2] ．故选：D．首先利用函数的图象和性质求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换求出 g（x）的函数的关系式，进一步求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换9.【答案】 B【解析】解：∵g （x ）为偶函数，h （x ）为奇函数，且满足 g （x ）-h （x ）=2x．∴g （-x ）-h （-x ）=g （x ）+h （x ）=2-x．得 g （x ）=，h （x ）= ．由 m?g （x ）+h （x ）≤0得 m? +≤0，即 m ≤= =1- ，∵y=1-为增函数，∴当 x=1 时，函数取得最大值，最大值为 1-= ，故 m ≤ ，即m 的最大值为 ，故选：B ．利用函数的奇偶性建立方程组求出函数 g （x ）和h （x ）解析式，利用参数分离法求出函数的最 值进行求解即可．本题主要考查函数存在性以及恒成立 问题，利用函数奇偶性求出函数的解析式以及利用参数分离法 进行转化是解决本 题的关键．10.【答案】 C【解析】解：连结 QF 1，由条件知 QF 1⊥PF 2，且|QF 2|= ．由双曲线定义知 |QF 1|=2a+ ，在 Rt △F 1QF 2 中，（2a+ 2 2 2）+（ ）=（2c ），即 8a 22 ，+4ac-7c =0即 8+4e-7e 2=0解得 C 的离心率 e= ，故选：C ．线 义质 ，即可得到，（2a+2 2 2根据双曲的定 和等腰三角形的性 ），+（ ）=（2c ）本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分，例如，与上底面截得的弧长，是球的大圆的周长的，故其弧长为=，所以弧长之和为 3×=．故选：C．找到球与正方体所形成的三段圆弧，发现它们都是个大圆的圆弧，故可求本题考查球与平面的截得的弧长问题，属于基础题．12.【答案】A【解析】为数列{an}满足 a1=1，，解：因则，所以，所以，令，则，两边取对数得 lgb n+1=2lgb n，又，所以数列 {lgb n} 是首项为 lg3，公比为 2 的等比数列．所以=，所以：，即，从而，将 n=8 代入，解得：，故选：A．直接利用已知条件建立等量关系，进一步对关系式进行转换，求出，在两边取对数，求出数列的通项公式，最后利用代入法求出结果．本题考查的知识项公式的求法及应用，主要考查学生的运算要点：数列的通能力和转化能力，属于中档题型．13.【答案】【解析】解：∵是单位向量；对两边平方可得：；∴∴；∴；又；∴ 与的夹角为．故答案为：．根据是单位向量，即可对两边平方即可求出，从而得出，根据向量夹角的范围即可求出，的夹角．考查单位向量的概念，向量数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．14.【答案】【解析】解：动点 P（x，y）所满足的可行域如图：则 |AP|的最小值转化成点 A 到直线 y=x 的距离 d=，故答案为：．由题意画出图形，再由点到直线的距离公式求解．本题考查点到直线距离公式的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】3【解析】设 1+ax 21-x5234567解：（）（）=a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x +a6x a7x，令 x=1，得0=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7，①，5 2令 x=-1，得2 （1-a）=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7，② ，5 2②-①得：2 （1-a）=-2（a1+a3+a5+a7），又因为 a：1+a3+a5+a7=-64，a＞ 0．52∴2 （1-a）=128，解得 a=3．故答案为：3．21-x5234567x=1，得设（1+ax）（）=a0+a1x+a2x +a3x +a4x+a5x +a6x a7x ，令0=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7，令x=-1，得252-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7，相（1-a）=a0减即可得出．本题考查了二项式定理的展开式的通项公式、求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】（-∞，0）∪{ e}【解析】解：当x=时，显然x=不是该函数的零点；当 x时，由=0，分离参数得 a=，令 p（x）=，函数有且只有一个零点，等价于直线 y=a 与函数 p（x）=有且只有一个零点．利用导数，可得 p′（x ）==．当 x∈（0，）∪（，）时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，当 x∈（，+∞）时，p′（x）＞0，p（x）单调递增，且当 x→0时，p（x）→0，当x=时，p（x）不存在，当 x= 时，p（x）有极小值为 e．得出 p（x）的图象如图所示，∵直线 y=a 与函数 p（x）的图象的交点个数为 1，由图可知，实数 a 的取值范围是（-∞，0）∪{e} ，故答案为：（-∞，0）∪{e} ．当 x= 时，显然 x=不是该函数的零点；当 x时，由=0，分离参数得 a=导的单调图象，数，利用数研究函数 p（x）=性，作出形结合得答案．本题考查函数零点的判定，考查利用导数研究函数的单调性，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.【答案】（本题满分为12 分）解：（ 1）由角 A、 B、C 成等差数列，所以 2B=A+C，（ 1 分）又因为 A+B+C=π，所以 B= ，（ 2 分）根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R==1 （ 4 分）（ 2）解法一：由（1）知， B= ，所以 A+C= ，所以 0＜ A＜，（5分）由（ 1）知△ABC 的外接圆直径为 1，根据正弦定理得，=1 ，（ 6 分）∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin（-A）（ 8 分）=（ sinA+ cosA）=sin（ A+ ）．（ 9分）∵0＜ A＜，∴＜ A+＜，∴＜ sin（A+ ）≤1，（ 11 分）从而sin（ A+ ）≤，所以 a+c 的取值范围是（，]（ 12 分）2=a2+c2-2accosB，（ 6 分）解法二：由（ 1）知， B= ，根据余弦定理得，b2=（ a+c） -3ac，（ 7 分）≥ a+c222，（当且仅当a=c 时，取等号）（9 分）） -3（） = （ a+c）（因为 b=，∴（ a+c）2≤3，即 a+c，（ 10 分）又三角形两边之和大于第三边，所以＜ a+c≤，（ 11 分）所以 a+c 的取值范围是（，]（ 12 分）【解析】（1）由角A、B、C 成等差数列，及三角形内角和定理可求B=，根据正弦定理得△ABC 的外接圆直径的值．（2）解法一：由1（）知，B=，A+C=，由正弦定理，三角函数恒等变换的应结围0＜A＜，利用正弦函数的性质可求用可求 a+c= sin（A+ ），合范a+c 的取值范围；解法二：由1（）及余弦定理，基本不等式可求 a+c，又三角形两边之和大于第三边，可求＜a+c≤，即可得解．本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）因为AB∥CD，∠BCD=90°，所以 AB⊥BC ，又平面 PAB⊥平面 ABCD ，且平面 PAB∩平面 ABCD =AB，所以 BC⊥平面 PAB，（ 1 分）又 AQ? 平面 PAB，所以 BC⊥AQ，（ 2 分）因为 Q 为 PB 中点，且△PAB 为等边三角形，所以PB⊥AQ，（ 3 分）又 PB∩BC=B，所以 AQ⊥平面 PBC ．（ 4 分）解：（ 2）取 AB 中点为 O，连接 PO，因为△PAB 为等边三角形，所以PO⊥AB，由平面 PAB⊥平面 ABCD ，因为 PO? 平面 PAB，所以 PO⊥平面 ABCD ，（ 5 分）所以 PO⊥OD ，由 AB =2BC =2CD=4 ，∠ABC =90°，可知 OD ∥BC，所以 OD ⊥AB．以 AB 中点 O 为坐标原点，分别以OD， OB，OP 所在直线为x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．（ 6 分）所以 A（ 0，-2，0），D（ 2，0，0），C（ 2，2，0），P（ 0，0， 2），B（0，2，0），则 =（2，2，0）， =（-2， 0，2 ）， =（0，-2， 0），因为 Q 为 PB 中点，所以 Q（0， 1，），由（ 1）知，平面 PBC 的一个法向量为=（ 0， 3，），（ 7 分）设平面 PCD 的法向量为=（ x，y， z），由，取 z=1，得=（），（9分）由 cos＜＞=== ．（ 11 分）因为二面角B-PC-D 为钝角，所以，二面角B- PC-D 的余弦值为．（12分）【解析】（1）推导出 AB ⊥BC，从而 BC⊥平面 PAB ，进而 BC⊥AQ ，再求出PB⊥AQ ，由此能证明 AQ ⊥平面 PBC．（2）取AB 中点为 O，连接 PO，推导出 PO⊥AB ，PO⊥平面 ABCD ，OD⊥AB ．以AB 中点 O 为坐标原点，分别以 OD，OB，OP所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz ，利用向量法能求出二面角 B-PC-D 的余弦值．该题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】66 34100 38 62100 104 96 200【解析】记户记解（1） A 表示事件“甲小区租的月收入低于 6 千元”，B 表示事件“乙小区租户的月收入不低于 6 千元”，甲小区租户的月收入低于 6 千元的频率为（0.060+0.160）×3=0.66，故 P（A ）的估计值为 0.66；（1分）乙小区租户的月收入不低于 6 千元频率为=0.35，故 P（B）的估计值为 0.35；（2分）因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，事件 M 的概率的估计值为 P（M ）=P（A ）P（B）=0.66 ×0.35=0.231．（4分）（2）设甲小区所抽取的100 户的月收入的中位数为 t，则 0.060 ×3+（t-3）×0.160=0.5，（6分）解得 t=5．（7分）（3）设 H0：幸福指数高低与租住的小区无关，幸福指数低幸福指数高总计甲小区租户6634100乙小区租 户38 62 100总计10496200（9 分）根据 2×2 列联表中的数据，得到 K 2 的观测值 K 2=≈ 15.705＞10.828，（11 分）所以能在犯 错误的概率不超 过 0.001 的前提下 认为 “幸福指数高低与租住的小区 ”有关．（12 分）（1）先求出P （A ）和P （B ），再用两个独立事件同时发生的概率公式 计算；（2）根据中位数两边概率之和 为 0.5 列式计算可得；（3）计算出 K 2的观测值，结合临界值可得．本题考查了独立性 检验，属中档题．20.【答案】 解：（ 1）由条件知 r 2=（ ）2+（） 2=1 ，（ 1 分）所以 b=1．（ 2 分）过点 D 且与圆 O 相切的直线方程为：y- =- （ x- ），即 x+ y-2=0 ．（ 3 分）令 y=0 得， x=2，由题意知， c=2，从而 a 2=b 2+c 2=5（ 4 分）所以椭圆 C 的方程为：．（5分）（ 2）解法一：设点 O 到弦 AB 的垂直平分线的距离为 d ，①若直线 l ⊥x 轴，弦 AB 的垂直平分线为 x 轴，所以 d=0；若直线 l ⊥y 轴，弦 AB 的垂直平分线为 y 轴，所以 d=0 ．（ 6 分）②设直线 l 的方程为 y=kx+m （ x ≠0），因为 l 与圆 O 相切， 所以=1，即 |m|=．（7分）由，消去 y 得（ 1+5k 2） x 2+10kmx+5 m 2-5=0．设 A （x 1 ， y 1）， B （ x 2， y 2）．，由韦达定理知：，．（8分）所以 AB 中点的坐标为（ -， ），所以弦 AB 的垂直平分线方程为y-=- ，即 x+ky+．（ 9 分）所以 d=．（ 10 分）将 |m|=代入 d= 得 d= = = ≤ ，（当且仅当 |k|= ， 时，取等号）．（ 11 分）综上所述，点 O 到弦 AB 的垂直平分线距离的最大值为．（ 12 分）【解析】（1）由条件知 b 2 22（2题 2 2 2（ ），即可=r =+）=1，由 意知，c=2，从而 a =b +c =5 得椭圆 C 的方程．设 线 的距离 为 d ， （2） 点 O 到弦 AB 的垂直平分① 若直 线 l ⊥x 轴 ，弦AB 的垂直平分 线为 x 轴 线 轴，弦，所以 d=0；若直 l ⊥y AB 的垂直平分 线为 y 轴，所以 d=0．② 设直线 l 的方程为 y=kx+m ，可得|m|=，由，消去 y 得（1+5k 2）x 2+10kmx+5m 2-5=0．求得 AB 中点的坐 标为（-， ），弦AB 的垂直平分 线方程为 y-=-，即可得 d= = = ，利用基本不等式即可求得最大 值．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，韦达定理及弦 长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】 解：（ 1）因为 f （ ）-aln （ 1+x ），（ x ＞ -1），x =所以 f ′（ x ）=，（ 1 分）当 a ≤0时， f ′（ x ）＞ 0，所以函数 f （ x ）的单调递增区间为（ -1， +∞）．（ 2 分）当 a ＞ 0 时，由，得： -1＜ x ＜ -1+ ；由，得 x ＞-1+ ；（ 3 分）所以函数 f （ x ）的单调递增区间是（ -1， -1+ ）；递减区间是（ -1+ ， +∞）．（ 4 分）综上所述，当 a ≤0时，函数 f （ x ）的单调递增区间为（ -1， +∞）．当 a＞ 0 时，函数 f（x）的单调递增区间是（-1，-1+ ）；递减区间是（-1+ ，+∞）．（ 5分）（2）若 a＜ 0， ? x1， x2∈[0， e]，不等式 f（ x1）≥g（ x2）恒成立，等价于“对任意 x∈[0，e]， f（x）min≥g（ x）max恒成立”．（ 6 分）当 a＜ 0 时，由（ 1）知，函数 f （ x）在 [0， e] 单调递增，所以 f（ x）min=f（ 0） =0．（ 7 分）mx+1，g′（ x）=x（ mx+2） e（i）当 m≥0时，由 0≤x≤e，得 g′（ x）≥0，知函数 g（ x）在 [0，e] 单调递增，所以 g（ x）max =g（ e）=e me+3-e2＞ 0，不符合题意．（ 8 分）当 m＜ 0 时，令 g′（ x） =0 得， x=0 或 x=- ．（ ii ）当 - ≤m＜ 0，即 - ≥e 时，在 [0， e] 上， g′（ x）≥0，所以 g（ x）在 [0， e]上单调递增，me+32所以 g（ x）max =g（ e）=e-e ，只需满足： e me+3 -e2≤0，即 m≤- ，所以 - ≤m≤- ．（ 9 分）（ iii ）当 m＜ - ，即 0＜ - ＜e 时，在 [0， - ] 上， g′（ x）≥0，所以 g（ x）在 [0， - ]单调递增，在 [- ， e]上， g′（ x）≤0，所以 g（ x）在 [- ， e] 单调递减，所以 g（ x）max=g（2 ≤0 - ） = -e，所以 m2≥，得 m≤-，又因为 -＞ - ，所以 m＜- ．（ 11 分）综上所述，实数m 的取值范围为（ -∞， - ]．（ 12 分）【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；问题对，e]，f（x）≥g（x）恒成立”，根据函数的单调min max性求出函数的最值，得到关于 m 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）将直线l的参数方程为t为参数，a R（∈ ），化为普通方程为．曲线 C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，22（2）由，得 P（）．所以 |OP|=2，将直线 l 的参数方程代入圆的方程x2+y2-4x=0 ，得由△＞0，得，设 A、B 两点对应的参数为t1和 t2，则： |AB|=|t 1-t2|=，9 分）解得， a=0 或 a=4．【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系，根据一元二次方程根和系数的关系建立等量关系求出 a 的值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解（1）当x＜-时，不等式化为：-2x-1+1-2 x＜ 4，即 x＞ -1，所以 -1＜ x＜ - ；（ 2 分）当 -时，不等式化为：2x+1-2 x+1＜ 4，即 2＜ 4，所以 -；（3分）当 x＞时，不等式化为：2x+1+2x-1＜ 4，即 x＜ 1，所以；（4分）综上可知， M={ x|-1＜ x＜1} ．（ 5 分）（2）因为 a∈M， b? M，所以 |a|＜ 1， |b| ≥1．（ 6 分）而 |ab|+1-（ |a|+|b|） =|ab|+1-|a|-|b|（ 7 分）=（ |a|-1）（ |b|-1）（ 9 分）所以 |ab|+1 ≤|a|+|b|．（ 10 分）【解析】（1）分段去绝对值解不等式再相并；（2）因为 a∈M ，b? M ，所以|a|＜1，|b| ≥1．再作差变形可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国III 卷）理科数学一．选择题1、已知集合A { 1,0,1,2}, B { x | x2 1} ，则 A B （）A. { 1,0,1}B. B.{0,1}C. C.1,1}{D. D.{ 0,1,2}答案：A解答：B { x | x2 1} { x | 1 x 1} ，所以 A B { 1,0,1} .2.若z(1 i) 2i ，则 z （）A. 1 iB. 1 iC. i1D.1 i答案：D解答：z(1 i ) 2i2i 2i (1 i )i ) 1 i . , z i (11 i (1 i)(1 i)3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8答案：C解答：90 800.7601004. (12x2 )(1 x)4的展开式中x3的系数为（）A.12B.16C.20D.24答案：A解答：由题意可知含x 3 的项为 1 C43 1 x3 2x2 C 41 13 x 12 x3 ，所以系数为 12 .5.已知各项均为正数的等比数列a n 的前 4 项和为15 ，且 a5 3a3 4a1，则 a3 （）A. 16B. 8C. 4D. 2答案：C解答：设该等比数列的首项 a1，公比 q ，由已知得， a1q4 3a1q2 4a1，因为 a1 0 且 q 0 ，则可解得 q 2，又因为 a1 (1 q q2 q3 ) 15 ，即可解得 a1 1，则 a3 a1q2 4 .6. 已知曲线y ae x x ln x 在点 (1， ae) 处的切线方程为y 2 x b ，则（）A. a e ,b 1B. a e ,b 1C.a e 1,b 1D. a e 1,b 1答案：D解析：令 f ( x) ae x x ln x ，则 f (x) ae x ln x 1 ， f (1) ae 1 2 ，得 a 1 e 1.ef (1) ae 2 b ，可得b 1 .故选D.2x 3 7.函数 y在 [ 6,6] 的图像大致为（2x 2 xA.B.C.D.答案： B解析：∵y f ( x)2x 32( x)32x，∴f ( x)2x2x2 x）2 x 32x 2 xf ( x) ，∴ f ( x) 为奇函数，排2 432 43 8 ，根据图像进行判断，可知选项B 符合题意 .除选项 C.又∵ f (4)2 424248. 如图，点 为正方形的中心，为正三角形，平面平面， 是线段的中点，则（）A. ，且直线 ， 是相交直线B. ，且直线 ， 是相交直线C.，且直线，是异面直线D. ，且直线，是异面直线答案：B解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选 B.9. 执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）A.B.C.D.答案：C解析：第一次循 ：；第二次循 ：；第三次循 ：；第四次循 ：；⋯第七次循 ：，此 循 束，可得. 故 C.10.双曲 C：x 2 y 2 1F ，点 P C 的一条 近 的点，O坐 原点 .若4 2的右焦点| PO || PF |PFO的面 （）A:3 2B: 3 2C:2 2D:3242答案 : A解析：由双曲 的方程x 2 y 2y2 x PFO 中 | PO | | PF |42可得一条 近 方程2 ；在P PHOF23点做 垂 直因 t a nP O F = PO2 ;2 得 到 所 以SP F 1O3 63 22 24;故 A;11. 若 f (x) 是定 域R 的偶函数，且在(0, )减， （）1322 )f (2 3 )A. f (log 3 ) f (2412 3B. f (log ) f (2 3 ) f (2 2 )3 432123C. f (2) f (2) f (log 3 4)231)D. f (2 3 )f (2 2 )f (log 34 答案：C 解析 :依据题意函数为偶函数且函数在(0,)单调递减，则函数在(,0)上单调递增；因为132f (log 3 ) f (log 3 4)f (log 3 4)022321 3 l o g 44； 又 因 为； 所 以321f ( 22)f3( 2f( l o g )) 34 ；故选 C.12. 设函数 f ( x) sinx0 ，已知 f ( x) 在 0，2 有且仅有 5 个零点，下述四个5结论：○1 f (x) 在 0,2○2 f (x) 在 0,2有且仅有 3 个极大值点有且仅有 2 个极小值点○3 f (x) 在0,单调递增10○4 的取值范围是12 ,295 10其中所有正确结论的编号是A. ○1 ○4B.○2 ○3C.○1 ○2○3D. ○1○3 ○4答案： D解析：根据题意，画出草图，由图可知2 x 1, x 2 ，x 15x 1 245由题意可得，5，解得，29x 26 x255所以24229 ，解得 12 29 ，故 ○4 对；5 5 5 10令x得 x 32 0 ，∴图像中 y 轴右侧第一个最值点为最大值点，故510∵ 2 x 1, x 2 ，∴ f ( x) 在 0,2 有 2 个或 3 个极小值点，故 ○2 错；∵ 1229 ，∴ 11 10 549，故 ○3 对.51025 1002二 . 填空题13. 已知 a ， b 为单位向量，且 a b0 ，若 c2a5b ，则 cos a, c答案：○1对；.2 3解析：22a5b2223 ，∵ c 4a 5b 4 5a b 9 ，∴ c∵ a ca 2a5b2a5a b 2 ，∴ cos a, ca c22 .2a c 1 3 314. 记 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 0 ， a 2S10.3a 1 ，则S 5答案：4解析：设该等差数列的公差为d ，∵ a 2 3a 1 ，∴ a 1 d 3a 1 ，故 d 2a 1 a 1 0, d 0 ，10 a1 a10∴S10 2 2 2a1 9d 2 10d 4 . S5 5 a1 a5 2a1 4d 5d215.设F1x 2 y21的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若MF1 F2 、 F2为椭圆C：2036为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案：(3, 15 )解析：已知椭圆x2 y 26 ， c 4 ，由 M 为 C 上一点且在第一象限，故等腰三角C ：1可知， a36 20形MF1 F2 中MF1 F1F2 8 ，MF2 2a MF1 4 ,sin F1 F2M 82 22 15 , y M MF 2 sin F1F2 M 15 ，代入8 4x2 y 23 .故 M 的坐标为(3, 15 ) .C ：1可得x M36 2016. 学生到工厂劳动实践，利用3 D 打印技术制作模型。

2019年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知复数z满足（z+1）i＝3+2i，则|z|＝（）A．B．C．5D．102．（5分）若抛物线x2＝ay的焦点到准线的距离为1，则a＝（）A．2B．4C．±2D．±43．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1] 4．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为（）A．﹣6B．0C．1D．25．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，若E为BC的中点，则＝（）A．B．3C．2D．126．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知a＞b＞0，x＝a+be b，y＝b+ae a，z＝b+ae b，则（）A．x＜z＜y B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，2S n＝a n+1a n，则S20＝（）A．410B．400C．210D．2009．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）11．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣），若方程f（x）＝在（0，π）的解为x1，x2（x1＜x2），则sin（x1﹣x2）＝（）A．﹣B．C．D．12．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝±2x D．y＝二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。