第17章 勾股定理 复习

《勾股定理》小结与复习资料一．知识点：1. 勾股定理及逆定理①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为 ，那么 __ 。

直角三角形2+b 2=c 2 (数)（形）公式的变形：（1）c 2= , c= ;（2）a 2= , a= ;（3）b 2= , b= ; ②勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ___ ，那么这个三角形是 __ ．a 2+b 2=c 2 (数直角三角形 注：（1依据；（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数法计算 a 2+b 2 和c 2 的值；③判断a 2+b 2和 c 2 是否相等。

若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

2、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数如下：3、互逆命题和互逆定理互逆命题:两个命题中，如果第一个命题的 恰为第二个命题的 ，而第一个命题的 恰为第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ．互逆定理:一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个 ，称这两个定理互为 ，其中一个叫做另一个的逆定理.4、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）5、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222=529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=《勾股定理题型分类》题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b 分别为直角边，c 为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2注意：直角三角形中，最长的边为斜边，较短的两边为直角边1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。

人教版八年级下册数学第17章 勾股定理 考点归纳及复习题主要知识点:1、勾股定理:2、勾股定理的逆定理 ：3、勾股数：能满足222c b a =+的三个正整数a,b,c 叫一组勾股数，如 “3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”．请再写出一组不同于这三例的勾股数：____ _____．与勾股定理的考点：考点一、已知两边求第三边1．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．2．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．考点二、利用列方程求线段的长3. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求这里的水深是多少米？考点三、判别一个三角形是否是直角三角形3、若三角形的三边的比是1：3：2，则这个三角形是________________4、分别以下列四组数为一个三角形的边长： （1）3、4、5 （2）5、12、13 （3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有__________5、若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为2cm,则这个三角形是__________．考点四、构造直角三角形解决实际问题6、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．7、如图：带阴影部分的半圆的面积是_________（π取3）8、在数轴上作出表示10的点知识点五、其他图形与直角三角形a b c 6 89． 菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm,则菱形的周长为，面积为10、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高为 ．11、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 厘米。

教学案（16）主备人：审核人：
小结提升(2’) 1.本节课你都有哪些收获？
2.你学到了哪些数学方法？对其他同学有哪些意见和建议？
达标检测(11’) 1.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A 站多少km处？
2. 如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
3.如图，小明想知道学校旗杆AB的高，他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗杆的高度吗?
布置作业(1’) 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为AB边上一点，求证：（1）ACE BCD
△≌△；（2）222
AD DB DE
+=．
板书设计
一、问题引入
引例例题习题训练二、探究新知
归纳法则达标检测三、应用新知四、布置作业
学校检查记实
听课意见
A
D
E B
C
A
B C。

初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习试题二（含答案）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”=尺）这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈10的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为__________．【答案】222x x+=+5(1)【解析】试题解析：设由题意可得：222+=+．5(1)x x故答案为222+=+．5(1)x x82．如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE 绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为_____．【答案】【解析】【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．【详解】过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∴EM DE，∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝EC，设EM＝EC＝x，∵CD＝2，∴DE＝2﹣x，（2﹣x），∴x＝2解得x＝﹣2，∴EM＝﹣2，由旋转的性质可知：CF＝CE＝﹣2，∴BF＝BC+CF＝2＝．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出线段CF的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合角平分线以及等腰直角三角形的性质求出线段的长度是关键．三、解答题83．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”译文为：一根竹子，原来高一丈，虫伤之后，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处与原竹子底部距离三尺，问原处还有多高的竹子？请解答上述问题．【答案】原处还有4.55尺高的竹子.【解析】【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为-尺．利用勾股定理解题即可．(10)x【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10)x-尺，根据勾股定理得：222+=-3(10)x xx=．解得： 4.55答：原处还有4.55尺高的竹子．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．84．如图，已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，求BE的长.【答案】BE=4-【解析】【分析】根据正方形的性质得到CD=2，BD=，∠EBD=45°，根据折叠的性质得到DC′=DC=2，∠DC′E=∠C=90°，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】∵在正方形ABCD中，AD=AB=2，∠A=90°，∴BD=∠EBD=45°，∵将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD 上，∴C′D=CD=2，∠DC′E=∠C=90°，∴CE=C′E=CB=2，∴2)4=-=-本题考查了正方形中的折叠问题，熟练掌握正方形，等腰直角三角形及折叠的性质是解题的关键．，宽b85．已知长方形长a①求长方形的周长；①求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．【答案】①②正方形的周长为，长方形的周长大于正方形的周长．【解析】【分析】①根据长方形的周长公式列出算式，然后根据二次根式混合运算的运算法则进行计算即可；②先求出正方形的边长，然后利用周长公式进行求解即可.【详解】①长方形的周长为2×＝2×＝②＝6，，∴此正方形的周长为，∴∴，则长方形的周长大于正方形的周长．本题考查了二次根式的混合运算，实数大小比较等，熟练掌握相关知识和运算法则以及求解方法是解题的关键.86．如图，一架梯子长2.5米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了多少米？【答案】梯子的底部在水平方向上滑动了0.8米．【解析】【分析】根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据BC求AC，根据AD、AC求CD，根据CD计算CE，根据CE，BC计算BE，即可解题．【详解】解：由题意知AB＝DE＝2.5米，BC＝0.7米，AD＝0.4米，∵在直角△ABC中，AC为直角边，∴AC＝2.4米，已知AD＝0.4米，则CD＝2.4﹣0.4＝2(米)，∵在直角△CDE中，CE为直角边∴CE＝ 1.5(米)，BE＝1.5米﹣0.7米＝0.8米．答：梯子的底部在水平方向上滑动了0.8米．【点睛】考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键．87．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连结CM.（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若△PMC的形状，并说明理由.【答案】（1）AP=CM；（2）∴PMC是直角三角形.【解析】【分析】（1）通过观察应该是相等关系，可通过证三角形APB和BMC全等来实现，这两个三角形中已知的条件有：AB=BC，BP=BM，只要再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠ABP和∠MBC都是60°-∠PBC，因此这两个角相等，也就凑成了三角形全等的所有条件．因此可得两三角形全等，也就证明了AP=CM；（2）根据AP=CM，BP=PM，我们可将题中给出的比例关系式写成CM：PM：PC=1PMC是直角三角形．【详解】解：（１）AP=CM.证明:因为△ABC 是等边三角形,所以AB=BC,∠ABC ＝60°,而△PBM 也是等边三角形,所以PB=MB,∠PBM ＝60°,则∠ABP ＝∠MBC.所以△ABP ≌△CBM ．所以AP ＝CM.(2) △PMC 是直角三角形.因为PA:PB:PC=1:设PA=k, PB=k, PC=k.因为△PBM 是等边三角形,所以k.又因为由(1)知AP=CM,所以CM=PA=k.则,PM 2=2k 2,CM 2=k 2,PC 2=3k 2,且2k 2+k 2=3k 2,即CM 2+PM 2=PC 2.所以△PMC 是直角三角形.且∠PMC ＝90°.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定以及直角三角形的判定．通过全等三角形得出线段相等是本题的解题关键．88．如图，某居民楼A 与公路MN 相距60m （AB=60m ），在公路MN 上行驶的汽车在距居民楼A100m 的点P 处就可使其受到噪音的影响，求在公路上以10m/s 的速度行驶的汽车给居民楼A 的居民带来多长时间的噪音影响．【答案】16秒【解析】试题分析：设汽车行驶到点P′处噪音影响结束，连接AP′，则AP′=AP．由勾股定理得到AP的长，然后求得PP′长，利用速度路程时间之间的关系求得时间即可．试题解析：如图，设汽车行驶到点P′处噪音影响结束，连接AP′，则AP′=AP．∵由勾股定理得到：==80，∴PP′=2PB=2×80=160米，∴影响时间为160÷10=16秒，答：影响时间为16秒．89．如图，两条公路1l、2l交予点O，在公路2l旁有一学校A，与O点的距离为170m，点A（学校）到公路1l的距离AM为80m．一大货车从O点出发，行驶在公路1l上，汽车周围100m范围内有噪音影响．（1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？km h，则学校受噪音影响多少秒钟？（2）若汽车速度为180/【答案】（1）货车开过时，学校会受噪音影响，证明见解析．（2）学校受噪音影响2.4s ．【解析】【分析】（1）根据80100AM m m =<，即可判断货车开过学校会受噪音影响．（2）以点A 为圆心，半径为100m 画圆，与直线1l 交于B 、C 两点，连接AB 、AC ，根据勾股定理求出CM 、BM 的长，即可得到BC 的长，即可求解学校受噪音影响的时间．【详解】（1）∵80100AM m m =<∴货车开过学校会受噪音影响．（2）以点A 为圆心，半径为100m 画圆，与直线1l 交于B 、C 两点，连接AB 、AC ．∵AM MO ⊥∴90AMO AMB ==︒∠∠∴60CM m ==，60BM m ===∴6060120BC CM BM m =+=+= ∵180000180//50/3600km h m s m s == ∴12050 2.4s ÷=故若汽车速度为180/km h ，则学校受噪音影响2.4s ．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的性质以及解法是解题的关键．90．如图1所示，已知直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于x 轴和y轴上同一点，交点分别是点B（6，0）和点C（0，6），且抛物线的对称轴为直线x＝4；（1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由；，点M是y轴上一（3）如图2，点Q是线段BC上一点，且CQ＝3个动点，求△AQM的最小周长．【答案】（1）y ＝21462x x -+；（2）存在，点P 的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，P （4，3）；（3）【解析】【分析】（1）求得点A 的坐标，根据抛物线过点A 、B 、C 三点，从而可以求得抛物线的解析式；（2））△ABP 为直角三角形时，分别以三个顶点为直角顶点讨论：根据直角三角形的性质和勾股定理列方程解决问题；（3）求出点Q 的坐标为（108,33），在x 轴上取点G （﹣2，0），连接QG 交y 轴于点M ，则此时△AQM 的周长最小，求出QG +AQ 的值即可得出答案．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A 、B 两点，对称轴为直线x ＝4，∴点A 的坐标为（2，0）．∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点A （2，0），B （6，0），C （0，6），4203660,6a b c a b c c ++=⎧⎪∴++=⎨⎪=⎩解得a ＝12，b ＝﹣4，c ＝6． ∴抛物线的解析式为：y ＝21462x x -+； （2）设P （4，y ），∵B （6，0），C （0，6），∴BC 2＝62+62＝72，PB 2＝22+y 2，PC 2＝42+（y ﹣6）2，当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，解得：y＝﹣2，∴P（4，﹣2）；当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，解得：y＝10，∴P（4，10）；当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，解得：y＝3±．∴P（4，3+P（4，3．综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，）或P（4，3）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，∵B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OC＝6，∴∠OCB＝45°，∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，∵CQ＝3，∴CH＝QH＝10, 323=∴OH＝108 6,33 -=∴点Q的坐标为（108,33），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，∴AQ3=QG＝=∴AQ+QG=∴△AQM的最小周长为【点睛】本题考查的是用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，利用轴对称求三角形周长的最小值，掌握以上知识点是解题的关键．。