圆心角与圆周角

圆周角圆心角关系
圆周角和圆心角的关系
（一）定义
1. 圆周角：指圆的弧形轨迹沿着单位圆上某点旋转的路径轨迹水平方
向的转角，量度单位是弧度，它与普通角相比拥有更高的精度。

2. 圆心角：指两个线段（线段A和线段B）与其中一个（以下简称A）所共享的端点，A的直角顶点定义的角。

它的量度单位也是弧度。

（二）关系
1. 两种角的关系被称为帕斯卡定理：圆周角和圆心角之和为两线段所
围成的平行四边形的角的三倍。

2. 圆周角的具体值可以通过求线段A、B与圆上的一个点之间的距离，和线段A、B的距离来确定，最终得出：圆周角=(线段A、B的距离－
圆上点到线段A、B的距离)／2。

3. 若圆心角有定值，则可以通过圆周角得知圆上点到线段A、B的距离：圆上点到线段A、B的距离=线段A、B的距离－2*圆周角。

（三）应用
1. 圆周角和圆心角的关系最常见的应用就是用圆周角计算圆周上物体运动的路程。

2. 天文学中圆周角和圆心角的关系也有很多，例如行星运行轨迹和太阳系其他星系的位置等都是以圆周角和圆心角之间的关系来建立的。

3. 圆周角和圆心角在数学中也有很多应用，例如：确定三角形内某点的坐标，以及求山形线、圆锥线和圆柱曲线等的方法等。

圆心角与圆周角的定义
嘿，朋友们！今天咱来唠唠圆心角和圆周角呀！
咱先说说圆心角哈，你就想象一下，那圆心就像是一个班级的老大，圆心角呢，就是从这个老大这儿发出的一种特殊的“眼光”。

这“眼光”可厉害啦，它能把圆分成不同的部分呢！比如说，一个圆就像一个大蛋糕，圆心角就是切蛋糕的那一刀，把蛋糕切成了不同大小的块儿。

那圆周角又是啥呢？嘿，这圆周角啊，就像是围着圆心这个老大转的一群小伙伴。

它们虽然没有圆心角那么牛气哄哄，但也有自己的特点呢！圆周角总是和圆上的一段弧有关系，就好像小伙伴总是和特定的事情联系在一起。

你说这圆心角和圆周角之间有没有啥特别的关系呢？那当然有啦！就好像一个班级里，老大和小伙伴们之间总会有一些互动和关联嘛。

有时候，圆周角的度数会和圆心角的度数有一定的比例关系呢。

咱举个例子哈，你看那个圆，想象一下圆心角是个直角，那和它对应的圆周角会是多少度呢？嘿嘿，是不是很有意思呀！这就像是玩一个解谜游戏一样。

再想想，如果有很多个圆周角都围着同一个圆心角，那它们之间是不是也很有趣呢？就好像一群小伙伴围着老大，各自有着不同的表现。

而且啊，这圆心角和圆周角在我们生活中也有很多应用呢！比如说，在设计圆形的东西的时候，我们就得考虑到它们的角度问题，这样才能
让东西更完美呀！难道不是吗？
总之啊，圆心角和圆周角就像是圆这个奇妙世界里的两个重要角色，它们相互关联，又各有特点。

我们要好好了解它们，才能更好地理解圆的奥秘呀！所以啊，可别小瞧了它们哟！。

第二节：圆心角与圆周角、切线判定知识点1：圆心角【笔记】1 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、多对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.简记为：圆心角相等→弧相等→弦相等→弦心距相等2 圆周角、圆心角定理：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半径或直径所对的圆周角是直角；90︒的圆周角所对的弦是直径. 几何语言：① ∵AB 是直径 ∴ ② ∵90ACB ∠=︒ ∴ 如下三个图，分别证明圆周角定理：推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 所对的 是直径。

【例题】【例1】如图，AD 是⊙O 的直径，且6AD =，点,B C 在⊙O 上，弧AmB 和弧AnC 相等，120AOB ∠=︒，点E 是线段CD 的中点，则OE =（ ）A ．1B ．C ．3D ．【例2】如图，已知,,A B C 三点在⊙O 上，AC BD ⊥于点D ，55B ∠=︒，则BOC ∠的度数是【例3】已知ABC ∆的外接圆O 的半径为3，4AC =，则sin B =（ ）A.13 B.34 C.45 D.23【例4】如图，AB 是⊙O 的弦，OH AB ⊥于点H ，点P 是优弧上一点，若AB =1OH =，则APB ∠的度数是【练习】1.<1分钟>如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC =弧CD =弧DE ,34COD ∠=︒，则AEO ∠的度数是（ ）A ．51︒B ．56︒C ．68︒D ．78︒2.<1分钟>如图，BD 是⊙O 的直径，30CBD ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒3.<2分钟>如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，B 是y 轴右侧⊙A 优弧4.<2分钟>如图，已知⊙O 的半径为1，锐角ABC ∆内接于⊙O ，BD AC ⊥于点D ，OM AB ⊥于点M ，则sin CBD ∠的值等于（ ）A ．OM 的长B ．2OM 的长C ．CD 的长 D ．2CD 的长【补救练习】1.如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，若4BC CD D A c m ===，则⊙O的周长为（ ）A ．5πcmB ．6πcmC ．9πcmD ．8πcm2.如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若35ACD ∠=︒，则BAD ∠=（ ）A ．55︒B ．40︒C ．35︒D ．30︒3.如图，ABC ∆内接于⊙O ，45C ∠=︒，2AB =，则⊙O 的半径为（ ）A.1B. 22C.2 24.如图，ABC ∆内接于⊙O ，OD BC ⊥于D ，50A ∠=︒，则OCD ∠的度数是 .知识点2：圆内接四边形 【笔记】定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角.【例题】【例1】如图，两圆相交于,A B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点,C D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）A. 35︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．80︒【例2】如图，点,,,A B C D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，则OAD OCD ∠+∠=_______________°.【例3】如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的圆分别交边,AC AB 于,D E 两点，连．若BD 平分ABC ∠，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．BD AC ⊥B ．22AC AB AE =∙ C ．ADE ∆是等腰三角形D ．2BC AD =【练习】1.<2分钟>如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=︒，则ÐBOD =( )A ．35︒ B.70︒ C ．110︒ D.140︒2.<2分钟>如图，⊙O 中，ABCD 是圆内接四边形，110BOC ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）A. 110︒B.70︒C.55︒D ．125︒3.<2分钟>如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，并且AD 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，AB 和DC 的延长线交⊙O 外一点E ．求证：BC EC =．【补救练习】1.如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为(0,3)，M 是第三象限内弧上一点，120BMO ∠=︒，则⊙C 的半径为（ ）A ．6B ．5C ．3D ．22.如图，点,,,A B C D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，求OAD OCD ∠+∠的度数．3.如图，已知,,,A B C D 是⊙O 上的四点，延长,DC AB 相交于点E ，若DA DE =，求证：BCE ∆是等腰三角形．知识点3：切线的判定和性质【笔记】1.切线判定：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.3.切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.=为圆的两条切线，根据切线长定理，写出两个结如图所示，P为⊙O外一点，PA PB论：，4.切线的判定方法：（1），这条直线是圆的切线；（利用切线的定义）（2），这条直线是圆的切线；（利用r与d的关系）（3），这条直线是圆的切线；（利用切线定理）5.拓展：圆外切四边形两组对边的和相等.E F G H分别为切点，则有如图所示,⊙O是四边形A B C D的内切圆，点,,,+=+.AB CD AC BD【例1】如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，30A ∠=︒，给出下面3个结论：①AD CD =；②BD BC =；③2AB BC =，其中正确结论的个数是（ ）【例2】已知：如图，ABC ∆中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，且D 为AC 的中点，过D 作DE CB ⊥，垂足为E ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）已知4CD =，3CE =，求⊙O 的半径．1.如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙上一点，连接PD ．已知PC PD BC ==．下列结论：（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO AB =；（4）120PDB ∠=︒． 其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ．3个 C ． 2个 D ． 1个2.如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到D ，连接CD ．请你结合图形，编写一道题．要求：再补充两个已知条件，并写出在所有已知条件下得出的一个结论．例如：“补充已知：OB BD =，CD 切⊙O 于点C ，求证：A D ∠=∠“补充已知： ．求证： ．”【补救练习】1.如图3，,PA PB 切⊙O 于点,A B ，点C 是⊙O 上的一点，且65ACB ∠=︒，则P ∠=____________2.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点O 在AB 上，⊙O 经过点A ，且与BC 相切于点D（1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）若5BD =，3CD =，求AD 的长．。

❖ 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
❖ 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
老师提示:能否也转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O B
∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
∴ ∠ABC = ∠1 AOC. 一条弧所对的圆周角等于它所
有另一个交点,像这样 的角,叫做圆周角.
想一想
圆周角
驶向胜利 的彼岸
❖ 当球员在B,D,E处射门时,
他所处的位置对球门AC
分别形成三个张角∠ABC,
∠ADC,∠AEC.这三个角
A
C
的大小有什么关系?.
A
E
E ●O
B
D
B
D
C
圆周角 顶点在圆上, 它的两边分别 与圆还
有另一个交点,像这样
的角,叫做圆周角.
制 乙烯
如何验证乙烯中混有SO2、CO2？
品红 溶液
酸性 品红 澄清 高锰 溶液 石灰水 酸钾
小结：在确定气体发生装置和收集装置是时应
常 考虑的因素 见
反应物的状态 固体+固体
气 体
气体发生装置
的
固体+液体 反应条件 ：是否需要加热等
制
取
与
气体密度比空气
净 化
排空气法 大——向上排气法
气体收集装置
鉴定所用试剂
C2H2 C2H4
通过装有酸性 KMnO4溶液 (或Br2水)的洗 气瓶洗气
通入装有酸性 KMnO4溶液(或 Br2水、或Br2的 四氯化碳溶液)， 是否褪色