向量易错题集锦

新初中数学向量的线性运算易错题汇编含答案解析一、选择题1．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB CD =u u u r u u u rB ．AC BD =uuu r uu u rC ．AO OD =u u u r u u u rD ．BO OD =-u u u r u u u r【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ． A. AB CD =-u u u r u u u r，故该选项错误；B. AC BD =u u u r u u u r，但方向不同，故该选项错误；C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =u u u r u u u r，故该选项正确； D. BO OD =u u u r u u u r，故该选项错误；故选：C ． 【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④方向相同 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误； 对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.3．计算45a a -+r r的结果是（ ）A ．aB ．a rC ．a -D ．a -r【答案】B 【解析】 【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】-4a+5a=a v v v ,所以答案为B 选项 【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键4．下列命题：①若a b r r=，b c =rr，则c a =r r； ②若a r ∥b r ，b r∥c r ，则a r ∥c r；③若|a r|=2|b r|，则2a b =rr或a r=﹣2b r； ④若a r与b r是互为相反向量，则a r +b r=0． 其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】①若a b =r r，b c =rr，则c a =r r，正确； ②若a r∥b r ，b r∥c r ，则a r ∥c r，正确；③若|a r|=2|b r|，则2a b =rr或a r=﹣2b r，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相反；④若a r 与b r 是互为相反向量，则a r +b r=0，正确．综上所述，真命题的个数是3个． 故选C ．5．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A ．3a b =r rB ．3a b =-r rC ．3b a =r rD ．3b a =-r r.【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】∵1,3a b ==v v，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．6．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）． ①0m <，0a ≠rr时，ma r 与a r的方向一定相反；②0m ≠，0a ≠r r 时，ma r 与a r 是平行向量；③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】 【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】解：①因为0m <，1＞0，0a ≠rr，所以ma r 与a r的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠rr，所以ma r 与a r是平行向量，故②正确；③因为0mn >，0a ≠rr，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠rr，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.7．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB u u u r是单位向量，则BA u u u r 不是单位向量C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB u u u r是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r都等于这个单位长度，这时OA u u u r 、OB uuu r都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.8．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r的是（ ） A ．a r//c r ，b r //c rB ．2a c =r r ，3b c =r rC ．5a b =-r rD ．||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．∵a r∥c b rr，∥c r，∴a b P u u r r，故本选项，不符合题意； B ．∵a r =2c b r r ，=3c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；C ．∵a r=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；D ．∵|a r|=2|b r |，不能判断a b P u u r r ，故本选项，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．9．已知向量，且则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ． A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【答案】A【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 【详解】解：由向量的加法原理知所以A 、B 、D 三点共线. 【点睛】本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.10．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r表示向量b r正确的是（ ）A ．b r＝32a r B ．b r＝23a r C ．b r＝﹣32a r D ．b r＝-23a r 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到非零向量a r、b r的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】∵2|a r|=3|b r |，∴|b r|23=|a r |． 又∵非零向量a r 与b r的方向相同，∴23b a =r r ．故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v 故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．已知e r 是单位向量，且2,4a e b e =-=v v v v，那么下列说法错误的是（ ）A ．a r∥b rB ．|a r |=2C ．|b r |=﹣2|a r |D ．a r =﹣12b r【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵e v 是单位向量，且2a e =-v v ，4b e =v v ，∴//a b v v ，2a =v ，4b =v ， 12a b =-v v ， 故C 选项错误， 故选C.13．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r ，则||n v=（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得: n v()222OA OB +=u u u v u u u v 故选B.14．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||a b =r r； B ．a r ∥b r；C ．a r 与b r方向相反； D ．20a b +=r r．【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =r r，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与br 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r ，该选项不符合题意错误； C. ∵2a b =-r r，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.15．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u rB ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u rC ．OG =u u u r ；(OH =u u u rD ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.16．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：OP uuu r ＝（m ，n ）．已知OA u u u r ＝（x 1，y 1），OB uuu r＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A ．OC u u u r ＝（3，20190），OD uuu r＝（﹣3﹣1，1）B ．OE uuu r ﹣1，1），OF uuu r，1）C ．OG u u u r 12），OH u u u r ）2，8）D ．OM u u u u r ），ON u u u r2，2） 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量互相垂直的定义作答． 【详解】A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC u u u r 与OD uuu r互相垂直，故本选项符合题意．B ﹣1+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE uuu r 与OF uuu r不垂直，故本选项不符合题意．C ）2+12×8＝4+4＝8≠0，则OG u u u r 与OH u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．D 2）×2＝5﹣4+1＝2≠0，则OM u u u u r 与ON u u u r 不垂直，故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.17．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．=a b r rB ．a r ∥c r ，b r ∥c rC ．a r +b r ＝0D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r【答案】A 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A 、该等式只能表示两a r 、b r的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意； B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意； D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r＝52c r ，b r ＝﹣12c r，则a r 、b r 的方向相反，可以判定a r∥b r，故本选项不符合题意； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r（）＝（）B ． m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r（+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误． 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.19．已知向量a r和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =rr【答案】D 【解析】 【分析】根据向量a r和b r都是单位向量，，可知|a r|＝|b r|＝1，由此即可判断． 【详解】解：A 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =rr不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=rr不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=rr不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r和b r都是单位向量，则|a r|＝|b r|＝1，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．下列关于向量的运算中，正确的是A ．a b b a -=-r r r r ；B ．2()22a b a b --=-+r r r r ；C ．()0a a +-=r r；D ．0a a +=r r．【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则进行计算. 【详解】A.(),a b b a A ---vv v v ＝所以错误； B. ()222a b a b B ---v vv v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -rv v ＋＝，C 所以错误;D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.。

1、设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则BC AD EF ,,满足（ ）A 共线 B 共面C 不共面D 可作为空间基向量2、下列命题中：① 若向量a 、b 与空间任意向量不能构成基底，则a ∥b 。

② 若a ∥b ， b ∥c ，则∥a .③ 若 OA 、OB 、OC 是空间一个基底，且 =31＋31 ＋31OC ,则A 、B 、C 、D 四点共面。

④ 若向量 + b ， + c ， c + 是空间一个基底，则 a 、 b 、 c 也是空间的一个基底。

其中正确的命题有（ ）个。

3、给出下列命题：①分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b 在面α内的射影为c，直线a⊥c，则a⊥b④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是( )4、a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面( ) A、有且只有一个B、一个面或无数个C、可能不存在D、可能有无数个5、在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（）A、2个B、4个C、6个D、8个6、设a ，b ，c 表示三条直线，βα,表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）。

A. α⊥c ，若β⊥c ，则βα//B. α⊂b ，α⊄c ，若α//c ，则c b //C. α⊂b ，若β⊥b ，则αβ⊥D. β⊂b ，c 是α在β内的射影，若c b ⊥，则α⊥b7、α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是（ ）。

A.α和β都垂直于平面R B. α内不共线的三点到β的距离相等C. m l ,是α平面内的直线且ββ//,//m lD. m l ,是两条异面直线且ββαα//,//,//,//l m m l8、若平面α外的直线a 与平面α所成的角为θ，则θ的取值范围是 （ ） （A ）)2,0(π （B ）)2,0[π（C ）]2,0(π（D ）]2,0[π9、如果a,b 是异面直线，P 是不在a,b 上的任意一点，下列四个结论：（1）过P 一定可作直线L 与a , b 都相交；（2）过P 一定可作直线L 与a , b 都垂直；（3）过P 一定可作平面α与a , b 都平行；（4）过P 一定可作直线L 与a , b 都异面，其中正确的结论有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个10、在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为 _____.11、关于非零向量aρ和bρ，有下列四个命题： （1）“b a b a ρρρρ+=+”的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相同”；（2）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和bρ的方向相反”； （3）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和b ρ有相等的模”； （4）“b a b a ρρρρ-=-” 的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相同”；其中真命题的个数是 （ ）A 1 B 2 C 3 D 412、O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +-2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形B ．以BC 为底边的等腰三角形C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形13、若向量 a =(cos α,sin α) ，b =()ββsin ,cos ， 与b 不共线，则a 与b 一定满足（ ）A ． a 与b 的夹角等于α-βB ．a ∥bC ．(a +b )⊥(a -b )D ． ⊥b 14、知k Z∈，(,1),(2,4)==u u u r u u u r AB k AC ，若AB ≤u u u u r ，则△ABC 是直角三角形的概率是（ ）A ．17 B ．27C ．37 D ．4715、a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|·a 0;(2)若a 与a 0平行，则a =|a |·a 0；（3）若a 与a 0平行且|a |=1，则a =a 0。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算易错题汇编及解析一、选择题1．下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0B ．如果e r 是单位向量，那么e r＝1C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a rD ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r，那么a r ∥b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r．B 、如果e r 是单位向量，那么e r＝1，错误．应该是e r ＝1．C 、如果|b r|＝|a r|，那么b r＝a r或b r＝﹣a r，错误．模相等的向量，不一定平行． D 、已知非零向量a r，如果向量b r＝﹣5a r，那么a r∥b r，正确． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.2．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a br r 、表示为（ ）A ．12a b +r rB ．12a b -r rC ．12a b -+rrD ．12a b --r r【答案】A 【解析】 【分析】根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r即可解决问题. 【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ， BE CE Q ＝，1BE b 2∴=u u u r r ，AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ， 1AE a b 2∴=+u u u r r r ，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.3．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r用向量a b⋅r r 表示为（ ）A ．12a b +rrB ．2133a b +r rC ．2233a b +r rD ．1124a b +r r【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r，∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r．∴1b 2AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r又∵点O 是△ABC 的重心， ∴23AO AD =， ∴221AO AD a b 333==+u u u r u u u r r r ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD =是解题的关键．4．已知3a →=，2b =r ，而且b r 和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A ．32a b →→= B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=-【答案】D 【解析】 【分析】根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v的方向相反，可得两者的关系，即可求解.【详解】∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32a b =-v v故选D. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.5．下列说法正确的是（ ）． A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．6．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB u u u r是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r都等于这个单位长度，这时OA u u u r 、OB uuu r都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.7．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r，那么下列选项中，与向量()12m n +ur r 相等的向量是（ ）.A ．OA u u u rB ．OB uuu rC ．OC u u u rD ．OD uuu r【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r，然后由三角形法则，求得AC u u u r 与BD u u u r，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD n ==u u u r u u u r r，∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u u r u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r，∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r ur r ，()11=22OC AC m n =+u u u r u u u r u r r ()11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r ur ，()11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r故选：C ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．8．下列关于向量的运算中，正确的是A ．a b b a -=-r r r r ；B ．2()22a b a b --=-+r r r r ；C ．()0a a +-=r r；D ．0a a +=r r．【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则进行计算. 【详解】A. (),a b b a A ---vv v v ＝所以错误；B. ()222a b a b B ---v vv v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -rv v ＋＝，C 所以错误;D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.9．已知向量，且则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ． A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【答案】A 【解析】 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 【详解】解：由向量的加法原理知所以A 、B 、D 三点共线.【点睛】本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.10．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）．A ． //a c r r ,//b c r rB ．||3||a b =r rC ． 5a b =-r rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r 的方向相同，则//a b r r，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =r r只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相反，则//a b r r，故本选项不符合题意． D 、由2a b =r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r，故本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r叫做平行向量．11．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：OP uuu r ＝（m ，n ）．已知OA u u u r ＝（x 1，y 1），OB uuu r＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．OC u u u r ＝（3，20190），OD uuu r ＝（﹣3﹣1，1）B ．OE uuu r ﹣1，1），OF uuu r，1）C ．OG u u u r 12），OH u u u r ）2，8）D ．OM u u u u r ），ON u u u r2） 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量互相垂直的定义作答． 【详解】A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC u u u r 与OD uuu r互相垂直，故本选项符合题意． B 、由于（2﹣1）（2+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE uuu r 与OF uuu r不垂直，故本选项不符合题意．C 、由于38×（﹣2）2+12×8＝4+4＝8≠0，则OG u u u r 与OH u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．D 、由于（5+2）（5﹣2）+2×22＝5﹣4+1＝2≠0，则OM u u u u r 与ON u u u r 不垂直，故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.12．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．AC u u u r 与BD u u u r是相等向量B ．AD u u u r 与BD u u u r是平行向量C ．AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuur 是相等向量【答案】B 【解析】 【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r 是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，，继而证得结论． 【详解】 A 、∵AC=BD ，∴AC BD =-u u u r u u u r，该选项错误；B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ，∴AD=BC ，∴AD BC =-u u u r u u u r ，，该选项错误；故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．13．下列判断错误的是（ ）A ．0•=0a vv B ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b rC ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A 、0•=0a vv ，故本选项不符合题意． B 、由a v +b v=2c v，a v -b v=3c v 得到：a v＝52c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，故本选项不符合题意．C 、e v 为单位向量，那么|e v|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a v|=2|b v|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．14．已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ，那么向量a r 与b r的方向关系是（ ）A ．a r ∥b r ，并且a r 和b r 方向一致B ．a r ∥b r ，并且a r 和b r 方向相反C ．a r 和b r 方向互相垂直D ．a r 和b r 之间夹角的正切值为5【答案】B 【解析】 【分析】根据平行向量的性质解决问题即可． 【详解】∵已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ， ∴a r ∥b r ，a r 与b r的方向相反，故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．15．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．1,22a cbc ==r r r rC ．2a b =r rD ．a b =r r【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r，故本选项错误.C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；D.∵a b =r r ，∴a r 与b r的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．16．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||a b =r r ；B ．a r ∥b r ；C ．a r 与b r 方向相反；D ．20a b +=r r ．【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =r r，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与br 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r ，该选项不符合题意错误； C. ∵2a b =-r r，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.17．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r，且0c ≠r r ，下列结论正确的是A ．=a b r rB ．20a b +=r rC ．a r与b r方向相同D ．a r与b r方向相反【解析】 【分析】根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】解：将a b c +=r r r 代入3a b c -=r r r ， 计算得：-2a b =r r（方向相反）.故选：D 【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.18．已知非零向量a r 、b r 和c r ，下列条件中，不能判定a b r rP 的是（ ）A ．2a b =-r rB ．a c =r r ，3b c =r rC ．2a b c +=r r r ，a b c -=-r rrD ．2a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-r r，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；B 、a c =r r ，3b c =r r ，则a r ∥b r ∥c r，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-r r，3a c -=r r ，则a r ∥b r ∥c r ，故本选项错误；D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a r 与b r不一定平行，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．19．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法即可解答.【详解】 解：根据题意得＝, ＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.20．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(),m n ，向量OP u r 可以用点P 的坐标表示为：(),OP m n =u r ．已知()11,OA x y =u r ，()22,OB x y =u r ，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA u r 与OB u r 互相垂直．在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．()()013,2019,3,1OC OD -==-u r u rB ．))21,1,21,1OE OF =u r u rC ．(()2138,,2,82OG OH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u r u rD ．252,5OM +⎭u r 【答案】A【解析】【分析】根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可．【详解】A.()1033201910-⨯-+⨯=，正确； B.))2121112⨯+⨯=，错误； C.(21382812242-+⨯=，错误； D.))2525222⨯+=，错误； 故答案为：A ．【点睛】本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．。

向量的线性运算易错题汇编含答案解析一、选择题1．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）．①0m <，0a ≠r r 时，ma r 与a r 的方向一定相反；②0m ≠，0a ≠r r 时，ma r 与a r 是平行向量； ③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】 【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】解：①因为0m <，1＞0，0a ≠rr，所以ma r 与a r的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠rr，所以ma r 与a r是平行向量，故②正确；③因为0mn >，0a ≠rr，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠rr，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.2．在中，已知是边上一点，，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据A ，B ，D 三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】解：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，，则，∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.3．在矩形ABCD 中，如果AB u u u rBC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（ ） A ．2 B ．4C1D1【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】|||1||22|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴===+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u rQ u u u ru u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.4．如果向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12，那么向量a r 用单位向量e r表示为（ ）A ．12a e =rr B ．2a e =r rC ．12a e =-rr D ．2a e =-r r【答案】C 【解析】由向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12，∴12a e =-rr ．故选C ．5．若AB u u u r是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =u u u r u u u r； B ．AB BA u u u v u u u v =； C ．0AB BA +=u u u r u u u r ； D ．0AB BA +=u u u r u u u r .【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大6．下列判断正确的是( )A ．0a a -=r rB ．如果a b =r r ，那么a b =r rC ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r rD ．对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】A. -r ra a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r，故D 正确.故答案为D. 【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.7．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a br r 、表示为（ ）A ．12a b +r rB ．12a b -r rC ．12a b -+r rD ．12a b --r r【答案】A 【解析】 【分析】根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r即可解决问题. 【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ， BE CE Q ＝， 1BE b 2∴=u u u r r ，AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ，1AE a b 2∴=+u u u r r r ，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.8．若0a r 、0b r 都是单位向量，则有（ ）．A ．00a b =r rB ．00a b =-r rC ．00a b =r rD ．00a b =±r r【答案】C 【解析】 【分析】由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵0a r、0b r都是单位向量∴00a b =r r故选C. 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+=【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而 ；∴B 正确. 故选B. 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．A ．()12a b -r rB ．()12b a -r rC ．()12a b +r rD ．()12a b -+r r 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r rr ，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .【详解】解：∵AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.11．已知e →为单位向量，a r=-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a r ∥e →B ．3a =rC ．a r与e →方向相同D ．a r与e →方向相反【答案】C 【解析】 【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =rr（m 是实数）时，则有a b =rr④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；故选C.本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．13．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a vvB ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b rC ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A 、0•=0a vv ，故本选项不符合题意． B 、由a v +b v=2c v，a v -b v=3c v 得到：a v＝52c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，故本选项不符合题意．C 、e v 为单位向量，那么|e v|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a v|=2|b v|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．14．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．1,22a cbc ==r r r rC ．2a b =r rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r，故本选项错误.C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；D.∵a b =r r ，∴a r 与b r的模相等，但不一定平行，故本选项正确；【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．15．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r r ；C ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r ．【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r，代入计算即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =u u u r u u u r ， ∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r ， ∴DC a b =-+u u u r r r ；故选择：C. 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．16．已知非零向量a r 、b r 和c r ，下列条件中，不能判定a b r rP 的是（ ）A ．2a b =-r rB ．a c =r r ，3b c =r rC ．2a b c +=r r r ，a b c -=-r rrD ．2a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-r r，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；B 、a c =r r ，3b c =r r ，则a r ∥b r ∥c r，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-r r，3a c -=r r ，则a r ∥b r ∥c r ，故本选项错误；D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a r 与b r不一定平行，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．17．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r（）＝（）B ． m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r（+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误．故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.18．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论． 【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．19．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，2b c =-r r，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．//a b r rB ．a b =r rC ．72BD =D ．a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】 【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答. 【详解】解：已知2a c v v＝，2b c -vv＝，故a b vv ，是长度相同，方向相反的相反向量， 故A ,B ,D 正确，向量之和是向量，C 错误， 故选C. 【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.20．下列说法正确的是（ ）．A．一个向量与零相乘，乘积为零B．向量不能与无理数相乘C．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断．【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误；B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确.故答案是：D.【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．。

专题07平面向量易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律a b b a +=+ ②结合律()a b c ++ =()a b c ++减法求a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a与b的差三角形法则()a b a b -=+-数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）||||||a a λλ=（2）当0λ>时，a λ 与a的方向相同；当0λ<时，a λ 与a的方向相同；当0λ=时，0a λ=()()a a λμλμ= ()a a aλμλμ+=+()a b a bλλλ+=+共线向量定理向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b a λ=.共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a b λ=，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.解决向量的概念问题应关注以下七点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(6)非零向量a 与||a a 的关系：||a a是a方向上的单位向量．(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小易错提醒：（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -= ，AM AN NM -= ，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+=.A ．AB AD AC+= C ．AB AD CD AD++=uu u r uuu r uu u r uuu r 变式1：给出下列命题，其中正确的命题为（A ．若AB CD = ，则必有B ．若1233AD AC AB =+ C ．若Q 为ABC 的重心，则D ．非零向量a ，b ，c 变式2：如图所示，在平行四边形(1)试用向量,a b来表示DN (2)AM 交DN 于O 点，求AO 变式3：如图所示，在矩形1．已知a 、b为不共线的向量，5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()3CD a b =-uu u r r r ，则（）A ．ABC ，，三点共线C ．A BD ，，三点共线2．如图，在平行四边形ABCD A ．1233AB AD-+C ．1536AB AD - 3．在四边形ABCD 中，若AC AB = A ．四边形ABCD 是平行四边形C ．四边形ABCD 是菱形4．已知,AD BE 分别为ABC 的边A ．43a ＋23bC ．23a 43-b 5．如果21,e e是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（①(12,R a e e λμλμ=+∈②对于平面α内任一向量③若向量1112e e λμ+ 与λ④若实数λ、μ使得1e λ+ A ．①②B 6．给出下列各式：①AB 对这些式子进行化简，则其化简结果为A ．4B 7．已知平面向量a ，bA ．若a b ∥，则a = C ．若a b ∥，b c ∥，则8．设1e 与2e 是两个不共线的向量，k 的值为（）41．平面向量基本定理和性质（1）共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈ ，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠ ，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+ 叫做向量a关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+ 叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==．（3）线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB AC AD λλ+=+ ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．DACB（4）三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=；⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+；⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．（5）中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+ )AC，反之亦正确．DACB2．平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+ ，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a的坐标，记作(,)a x y = ．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA 一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y = ，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．3．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||AB ②已知11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ= ，∥12211212向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a λ （λ∈R ），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入a λ 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(),a x y =，22(),b x y = ，则a b∥的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB与AC 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．易错提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相。

平面向量易错题一、选择题：1．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为 ( )A 20B 20-C 320D 320- 2．关于非零向量a和b ，有下列四个命题：（1）“b a b a+=+”的充要条件是“a 和b 的方向相同”； （2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”； （3）“b a b a-=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a-=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”；其中真命题的个数是 （ ）A 1B 2C 3D 43．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA ·OP 的最大值为 （ ）A ．3B ．6C ．9D ．124．若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足（ ）A ． a 与b 的夹角等于α-βB ．a ∥bC ．(a +b )⊥(a -b )D ． a ⊥b5．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC -2OA )=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形6．设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|·a 0;(2)若a 与a 0平行，则a =|a |·a 0；（3）若a 与a 0平行且|a |=1，则a =a 0。

上述命题中，假命题个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37．已知k Z ∈，(,1),(2,4)==AB k AC ，若10AB ≤，则△ABC 是直角三角形的概率是（ ） A ．17 B ．27 C ．37 D ．478．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[),||||(+∞∈++=λλAC AC AB AB OA OP ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心9．如果,0a b a c a ⋅=⋅≠且，那么 （ ）A ．b c =B ．b c λ=C ． b c ⊥D ．,b c在a 方向上的投影相等10．向量→AB ＝（3，4）按向量a =(1,2)平移后为（ ） A 、（4，6） B 、（2，2） C 、（3，4） D 、（3，8）11．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A 、),2()2,21(+∞⋃-B 、),2(+∞C 、),21(+∞-D 、)21,(--∞12．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ）① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ② |a ·b |=|a | |b |； ③2121y y x x =； ④ (a +b )//(a －b )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个13．已知ABC BC AB ABC ∆>⋅∆→→则中,0为（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定 14．以原点O 及点A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使90=∠A ，则AB 的坐标为（ ） A 、（2，-5） B 、（-2，5）或（2，-5） C 、（-2，5） D 、（7，-3）或（3，7） 15．设向量),(),,(2211y x b y x a ==，则2121y y x x =是b a //的（ ）条件。

考点11空间向量 ►求异面直线所成的角 ►求直线与平面所成的角 ►求二面角的大小 ►求距离 ►利用空间向量解立体几何中的探索问题 ►利用空间向量求角和距离 经典易错题会诊 命题角度 1求异面直线所成的角 1．（典型例题Ⅰ）如图11-1，四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点。

（1）证明：面PAD ⊥面PCD ； （2）求AC 与PB 所成的角；（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角A-CM-B 的大小。

[考场错解] 第（2）问。

∵PA ⊥底面ABCD ，且∠DAB=90°∴AD 、AB 、AP 两两互相垂直，建立如图所示的坐标系，则A （0，0，0），C （1，1，0），B （0，2，0），P （0，0，1），∴AC =（1，1，0），PB =（0，-2，1），∴cos θ=510||||-=∙PB AC PB AC ∴AC 与PB 所成的角为arccos(-510).[专家把脉] 上述错解中有两个错误：（1）PB 的坐标应用B 的坐标减P 的坐标，∴PB =（0，2，-1）；（2）异面直线所成角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围为（0°，90°），而arccos(-510)为钝角，cos θ=.||||||PB AC PB AC ∙∙[对症下药] （1）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面图PAD ⊥平面PCD 。

（2）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ，PA ⊥AB ，又AD ⊥AB ，∴可以建立如图所示空间坐标系，则由已知A （0，0，0）、C （1，1，0）、B （0，2，0）、P （0，0，1）∴AC =（1，1，0），PB =（0，2，-1），设AC 与PB 成角为θ，则cos θ=510||||||=∙PB AC PB AC ,∴AC 与PB 所成的角为arccos510. (3) ∵M 为PB 的中点，∴M （0，1，21），∴AM =（0，1，21），AC =（1，1，0）设n 1=(x,y,z)为平面AMC 的法向量，则n 1⊥AM ,n 1⊥AC ,∴y=21z=0,x+y=0,令x=1,得y=-1,z=2, ∴n 1=(1,-1,2)为平面AMC 的一个法向量，同理可求得n 2=(1,1,2)为平面BMC 的一个法向量，∴n 1、n 2的夹角为arccos 32,而从图中可看出A-MC-B 为钝角，∴二面角A-CM-B 的大小为32arccos -π。

数学平面向量易错题一、选择题：1．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为 ( )A 20B 20-C 320D 320-错误认为,60BC CA C=︒∴uuur uu r选,从而出错.略解: ︒=120,故BC 1,58202BC CA ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u r uu r .2．关于非零向量ra 和b ，有下列四个命题：（1）“a b a b +=+r r r r”的充要条件是“r a 和r b 的方向相同”；（2）“a b a b +=-r rr r ” 的充要条件是“r a 和r b 的方向相反”；（3）“+=-r r r r a b a b ” 的充要条件是“ra 和rb 有相等的模”；（4）“-=-r r r r a b a b ” 的充要条件是“ra 和rb 的方向相同”；其中真命题的个数是 （ ）A 1B 2C 3D 4错误分析:对不等式a b a b a b -≤±≤+r r r r r r取等号的条件认识不清.答案: B.3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，点P 在线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA ²OP 的最大值为 （ ）A ．3B ．6C ．9D ．12正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当 OP cos 最大时，OA ²OP 即为最大。

4．若向量 a r =(cos ,sin ) ， b r=()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足（ ）A ． a 与b 的夹角等于 -B ．a ∥bC ．(a +b ) (a -b )D ． a ⊥b正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。

5．已知向量 a =(2cos ，2sin )， (ππ,2)， b =（0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( )A ．π32- B ．2π+ C ． -2πD ．正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0， ]。