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人教版2017高中数学(必修五)1.1.1 正弦定理 精讲优练课型PPT课件

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人教版高中数学必修5(A版) 1.1.1正弦定理 PPT课件

人教版高中数学必修5(A版) 1.1.1正弦定理 PPT课件

此时有
sin B
AD c
, sin C
AD b
B
所以AD=csinB=bsinC, 即
b c, sin B sinC
c
b
图1a D C
注：要求学生独立证明
a c sin A sin C
同理可得
a c, sin A sinC
即： a b c sin A sin B sinC
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
析：知两角一边，利用定理解三角形.
解：根据三角形内角和定理，
C 180 0 (A B) 180 0 (32.00 81.80 ) 66.2 0
B
根据正弦定理，
c a
b
a sin B sin A
42.9 sin 81.80 sin 32.00
80.1(cm)
A
b
C
c
a sin C sin A
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
拓展 1. a b c 2R sin A sin B sin C
（R为△ABC外接圆半径）
B
c A
a
C b
证明：作外接圆O,
过B作直径BC′,连AC ′
c
BAC 90,C C '
A
sinC sinC' c 2R
c 2R sin C
B
a
O
C
剖析定理、加深理解
正弦定理：a b c 2R sin A sin B sinC
5、正弦定理的变形形式
6、正弦定理，可以用来判断三角形的 形状，其主要功能是实现三角形边角关 系的转化
定理的应用
例 1：在△ABC 中，已知A = 32.0。, C = 81.8。，a=42.9cm,解三角形 (精确到0.01）

人教版2017高中数学(必修五)第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2(一)PPT课件

人教版2017高中数学(必修五)第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2(一)PPT课件

a2＋b2－c2 cos C ＝ 2ab .
知识点三
适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题
思考1
观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个 量？你认为可用来解哪类三角形？ 答案
每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角 . 故如果已知三
角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.
思考2
观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个
跟踪训练1
例1涉及线段长度，，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，
则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos A.
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2， C＝15°，求A. 解答
由余弦定理，得 c ＝a ＋b －2abcos C＝8－4 3，
2 2 2
所以 c＝ 6－ 2.
asin C 1 由正弦定理，得 sin A＝ c ＝2，
因为b>a，所以B>A，所以A为锐角，所以A＝30°.
命题角度2 已知三边 例3 在△ABC中，已知a＝134.6 cm，b＝87.8 cm，c＝161.7 cm，解 三角形.(角度精确到1′) 解答
第一章 §1.1
正弦定理和余弦定理
1．1.2 余弦定理(一)
学习目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
余弦定理的推导
思考1
根据勾股定理，若△ABC 中， ∠C ＝ 90°，则 c2 ＝ a2 ＋ b2 ＝ a2 ＋b2－2abcos C．① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 答案 当a＝b＝c时，∠C＝60°，

人教版2017高中数学(必修五)第1章《解三角形》1.1.1正弦定理(1) PPT课件

人教版2017高中数学(必修五)第1章《解三角形》1.1.1正弦定理(1) PPT课件

自主 探究
（二）深层探究
等高法 方法证明了直角三角 1. 对定理的证明，教材用___________
形和锐角三角形的情况，为证明任意三角形中的正弦定理， 钝角三角形 三角形的情况. 还需要证明_____________
2. 请给出上述情况下的定理的证明.
自主 探究
（二）深层探究
C b a B D
同学们，再见！
第一章
解三角形
§1.1.1 正弦定理
目标 定位
【学习目标】
学习目标和重难点
1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
【重、难点】
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
问题1. 在一个三角形中，有几个角？有几条边？ 【答案】 三个角，三条边
最后要根据条件检验解的合理性.
典例突破
解题反思
2. 你能否解释为什么“角角边”和角边角”可以判定两个三
角形全等，而“边边角”不能？
【答】“角角边”与“角边角”就是“两角任一边”的题 型，从例2可以看出这两个条件都可唯一确定三角形，因而可 以作为三角形全等的判定条件； “边边角”即“两边一对角”的题型，从例2及其变式可知， 这种题型的可能有两组解，即它不能唯一确定三角形，因而不 是三角形全等的判定条件.
A
c
自主 探究
（二）深层探究
3. 正弦定理可以解决哪几种三角形问题？ 答：（1）两角任一边；（2）两边一对角 4. 正弦定理有哪些变形？
答：变式1：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
变式3：a:b:c＝sinA:sinB:sinC.

人教A版数学必修五1.1.1 正弦定理 课件.ppt

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A 60°
第二十二页，编辑于星期日：四点 十三分。
总结
条件
图形
解的 个数
a<bsinA
C
AD
无解
a=bsinA bsinA<a<b ab C
C
D A B2 B1
C
AB
AD B
一解 两解 一解
ab C
A
无解
a>b
C AB
一解
第二十三页，编辑于星期日：四点 十三分。
第二十四页，编辑于星期日：四点 十三分。
abc sin A sin B sin C
k
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
作业： P10
2
第二十页，编辑于星期日：四点 十三分。
在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判
断有几组解？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
C
（2°） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
C=124.30, c a sin C 49.57
sin A
sin 25.7 13 30
小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出
三角形的其他的边和角。
第十六页，编辑于星期日：四点 十三分。
1.1.1 正弦定理
4.基础练习题
(1)在ABC中，已知 A 450, a 2,b 2,求B
B=300
j AC CB j AB
j AC j CB j AB
（根据向量的数量积的 定义）
j AC cos 90 j CB cos(90 C )
j AB cos(90 A) 即a sin C c sin A a c sin A sin C

高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列一)

高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列一)

题型三 判断三角形的形状 【例3】 在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状． 思路点拨：利用正弦定理把边换成角，再适当变形判断三角形的形状．
程叫做_解__三__角__形____．
自主探究
1．锐角△ABC的外接圆O的半径为R，能否用R和角A表示a？在钝角△ABC中呢？ 【答案】能；均有a＝2Rsin A. 2．在△ABC中，为什么说A>B等价于sin A>sin B? 【答案】A>B⇔a>b⇔2Rsin A>2Rsin B⇔sin A>sin B．
来解决两类解斜三角形的问题：
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． 已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类三角形问题将 出现无解、一解或两解三种情况，应分情况给予讨论．
下面为已知a，b和A，用正弦定理求解三角形时的各种情况：①
A 为锐角
A 为直角或 钝角
图形
关系式 a＝bsin A a<bsin A bsin A<a<b a≥b
a>b
解的个数 一解
无解
两解
一解
一解
②也可利用正弦定理 sin B＝bsian A进行讨论： 如果 sin B>1，则问题无解； 如果 sin B＝1，则问题有一解； 如果求出 sin B<1，则可得 B 的两个值，但要通过“三角形 内角和定理”或“大边对大角”等三角形的有关性质进行判 断．
2．正弦定理在解三角形中的运用
公式sina A＝sinb B＝sinc C反映了三角形的边角关系．由正弦
定理的推导过程知，该公式实际表示：sina A＝sinb B，sinb B＝

人教A版必修五 1.1.1 正弦定理ppt课件

人教A版必修五 1.1.1 正弦定理ppt课件

栏 目 链 接
题型1
已知两角及一边解三角形
例1 在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，a＝2，解 三角形．
a b 解析：由正弦定理可知： ＝ ，即 sin A sin B 2 b ＝ ，∴b＝2 2. sin 30° sin 45° 又C＝180° －30° －45° ＝105° ，由正弦定理有： 2 c ＝ ， sin 30° sin 105° 即c＝4sin (60° ＋45° )＝ 6＋ 2.
解析：由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180° 知，B＝60° ，由 栏 目 链 1 3 1 正弦定理知， ＝ ，即sin A＝ ，由a＜b知，A＜ 接 sin A sin 60° 2 B＝60° ，则A＝30° ，C＝180° －A－B＝180° －30° －60° ＝ 90° ，sin C＝sin 90° ＝1. 答案：1
a b c 解析：设正弦定理 ＝ ＝ ＝k，又因 sin A sin B sin C a c sin A＝sin C，故 ＝ ，∴a＝c. k k 答案：B
)
栏 目 链 接
自测 自评
2．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝ 2，b＝ 6，B＝120° ，则 a 等于( ) A. 6 B．2 C. 3 D. 2
解析：设a＝2k，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以a＝ 2k，b＝3k，c＝4k，所以(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝ 5k∶7k∶6k＝5∶7∶6. 答案：5∶7∶6
6．(1)三角形中任意两边和______第三边． (2)三角形ABC中，三边长度分别为3、4、x，则x的范围是 __________． 答案：(1)大于 (2)解析：由3＋4＞x,4＋x＞3，x＋3＞4，可知1＜x＜7. 答案：1<x<7

高中数学第1章1.1.1正弦定理课件新人教A必修5.ppt


思考感悟 正弦定理对任意三角形都适用吗？ 提示：正弦定理对任意的三角形都适用．
课堂互动讲练
考点突破
考点一 已知两角及一边解三角形
已知三角形的两角和任一边解三角形的基本解法 是：若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理 求另一边，由三角形内角和定理求出第三个角， 再由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的 对边时，可先由三角形内角和定理求出第三个角， 再由正弦定理求另外两边．
方法感悟
1．在△ABC 中，a、b 分别为 A、B 的对边．由 正弦定理：sina A＝sinb B，再由大角对大边知 A＞ B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，即三角形中大角的正弦 值大．
2．判断三角形的形状，实质是判断三角形的三 边或三角具备怎样的关系．由于正弦定理非常好 地描述了三边与三角的数量关系，所以可利用正 弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具 备的关系式．利用正弦定理判定三角形的形状， 常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时 结合三角函数的有关公式(如诱导公式、和差公 式)，得出角的大小或等量关系．
3．由于正弦定理及其变形形式都是等式，在求 解三角形中的某个元素时，可运用方程观点结合 恒等变形方法巧解三角形．只要涉及三角形的两 角及对边的4个元素知3即可解三角形，即求出另 3个元素．正弦定理的运用非常广泛，包括一些 抽象性很强的平面几何结论，都可用正弦定理进 行分析与证明．
由sina A＝sinc C，得
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
【名师点评】 已知三角形的两个角求第三个角
时注意三角形内角和定理的运用，求边时可用正
弦定理的变式，把要求的边用已知条件表示出来

高一数学必修5课件：1.1.1 正弦定理1

1.三角形的三个内角及其对边叫做三角 形的元素，已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形.
第十一页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
课堂小结
2.正弦定理的外在形式是公式，它
由三个等式组成即
a
b
b
c
sin A ，sin B s，in B sinC
a
c
sin A sinC
每个等式都表示三角形的两个角和它
高一数学必修五第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理（1）
第一页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
知识探究
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC ＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC分别 等于什么？
a sin A
b sin B
c sinC
2R
b
C
a
A
c
B
第二页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
知识探究 在锐角三角形中是否成立？
a
b
c
2R
sin A sin B sinC
C
b
a
D
Ac
B
第三页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
知识探究 在钝角三角形中是否成立？
a
b
c
2R
sin A sin B sinC
D
C
a
E
b
cB
A
第四页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
形成结论
在任意三角形中均有：
a sin A
① 已知任意两角及一边；
② 已知任意两边与其中一边的对角.
第七页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
典例分析

人教版高中数学必修五《1.1.1正弦定理(一)》课件


自主解答：A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
b＝as·isninAB＝10× sins7i5n6°0°＝1406×＋
3 22＝5(3 4
2－
6)，
c＝as·isninAC＝106×＋
2 22＝习1．已知△ABC中，A＝30°，B＝45°,
b＝ 2 ，则 a＝（ B ） 1
的取值范围是

0,
3

若A 是最大角，则A
的取值范围是
3
,


2.在△ABC中，A,B,C的对边分别为 a, b, c 则
(1)
a bc sin A sin B sin C
(2) a : b : c＝ sinA∶sinB∶sinC
3.解三角形：一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的__边__和__角____
如
a＝
bsinA； sinB
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角
的正弦值，如 sinA＝absinB.
三.利用正弦定理求三角形的边和角
题型一:已知两角及一边解三角形 例1 ：在△ ABC 中，已知 a＝10，B＝60°，C＝45°，求 A，b，c.
思维突破：已知两角及一边，可直接用正弦定理及三角形内角和定理得到.
思考：你还会用 其它方法证明吗？
正弦定理内容： a b c 2R sin A sin B sin C
合作探究1：
1．正弦定理对任意三角形都适合吗？
都适用。
2．用正弦定理解三角形需要多少个已知条件？哪几个？ 三个，任意两角及一边或任意两边与其中一边的对角。
3．正弦定理的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边与角，

2017-2018学年人教A版必修五 1.1.1正弦定理(2) 课件(30张)

' 2. 在ABC中，求证：
a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0.
3.在ABC中，若A 120 ，AB 5，BC 7, 求ABC的面积S. ' 3.一条直线上有三点A，B，C，点C在A，B
之间,点P是直线AB之外一点，设APC ， sin( ) sin sin BPC ，求证： . P PC PB PA
• 3 ．在△ ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、c，若b＝acos C，试判断△ABC的形状． • 解析： ∵b＝acos C， • 由正弦定理得：sin B＝sin A·sin C. • ∵B＝π－(A＋C)， • ∴sin(A＋C)＝sin A·cos C. • 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， • ∴cos Asin C＝0，
A
E
D
E
D
B
C
B
C
解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象
出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，
从而得到实际问题的解。 在这个过程中，贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际
问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，
然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。
答：烟囱的高为 29.9m.
例2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 35 ，沿倾斜角为20 的斜坡前进1000米 后到达D处，又测得D处的仰角为65 , 求山的高度BC (精确到1m).
B
D 65
35 20 65
B
E
35 20
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第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理
【知识提炼】 1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等. 正弦 即： = = =2R.(R为△ABC外接圆的半径) b c a sin A sin B sin C
2.三角形中的元素与解三角形 (1)三角形的元素：指的是三角形的_______________. 三个角及其对边 (2)解三角形：已知三角形的_________求_________的 几个元素 其他元素 过程.
5.在△ABC中，若
3 【解析】由正弦定理得
sinA≠0，所以sinB=
a=2bsinA，则B=________.
sinA=2sinB·sinA，因为
3 又0°<B<180°，所以B=60 2 °或120°.
答案：60°或120°
3 .
【知识探究】
知识点 正弦定理 观察图形，回答下列问题：
问题1：观察图形，求出△ABC的其他边和角分别为多
，知B=30°或150°，再由三角形内
【解析】1.因为A=75°，B=45°，所以C=180°-75°45°=60°.因为AB= ，由正弦定理得，AC AB ， 6 sin B sin C AC= =2. ABsin B 6 sin 45 答案： 2C sin sin 60
2.因为sinB= 1 ，所以B=30°或150°， 2 当B=30°时，由A=60°得，C=90°；
当B=150°时，不合题意，舍去.
所以由正弦定理可得：
故b=
sin B sin 30 c= a 3 3， sin A sin 60 sin C sin 90 a 3 2 3. sin A sin 60
b c a . sin B sin C sin A
【方法技巧】解决已知两角及一边类型的解题方法
)
3 6 2 A. B. C. 3 3由正弦定理 2 【解析】选 A.
3 10 bsin A 3 2 ＝ ＝ . a 15 3
a b ＝ sin A sin B
3 D. 2
，知sinB=
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若
A=105°，B=45°，b=2 ，则c=( )
2
【即时小测】
1.思考下列问题
(1)在△ABC中，若已知三个角A，B，C，可以解其他元
素吗？ 提示：不可以，在△ABC中，必须有“边”的元素加入， 否则无法确定三角形的大小.
(2)用正弦定理解三角形时需要哪些已知条件？
提示：需要三个，任意两角及其一边或任意两边与其
中一边的对角.
2.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则sinB=(
少？
问题2：计算
a b c ， ， sin A sin B sin C 对于任意的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形是
否也有类似的结论？ 问题3：正弦定理常见的变形公式有哪些？
的值，三者有何关系？
【总结提升】
1.对正弦定理的四点说明
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所 对角的正弦的连等式.
【补偿训练】1.已知△ABC中，a=20，A=30°，C=45°， 则角B的对边长等于__________. 【解析】因为A=30°，C=45°，所以B=180°-(A+C) =105°， 由正弦定理得
asin B 20sin 105 =10( ). b 40sin (45＋60) sin A sin 30 答案：10( ) 6＋ 2
cos45°sin30°=
2 3 2 1 2( 3 1) ＋ . 2 2 2 2 4
根据正弦定理，得
3 2 csin A 2sin 60 2 6( 3 1)， a sin C sin 75 2( 3 1) 4 2 2 csin B 2sin 45 2 2( 3 1). b sin C sin 75 2( 3 1) 4
b 2R
，C
【题型探究】
类型一
已知两角及一边解三角形
，
【典例】1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB=
A=75°，B=45°，则AC=__________.
2.在△ABC中，A=60°，sinB= 他边与角的大小.
6
，a=3，求三角形中其
1 2
【解题探究】1.典例1中由A=75°，B=45°怎样求C， 已知AB= ，如何求AC.
6 提示：利用C=180°-B-A求C，由正弦定理
求AC的值.
AC AB ＝ sin B sin C
2.典例2中由sinB= 1 能解出B的大小吗？能用正弦定理 2 求出边b吗？怎样求其他边与角的大小？
提示：由sinB=
1 2 °不合适，舍去，得B=30°.可利用 角和定理知B=150
正弦定理求其他边与角的大小.
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一
边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正
弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和 定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
【变式训练】在△ABC中，已知A=60°，B=45°，c=2，
求C，a，b. 【解析】在△ABC中，C=180°-(A+B)=180°(60°+45°)=75°. sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+
2 A. B.1 C. 2 D.2 【解析】选 D.因为A+B+C=180°，所以C=30°，由正 2
弦定理 ，故
b c ＝ sin B sin C
1 2 2 bsin C 2 ＝2. c＝ ＝ sin B 2 2
4.在△ABC中，若B=30°，b=2，则 a =_________. sin A 【解析】 a b 2 ＝ ＝ ＝4. sin A sin B sin 30 答案：4
(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对 应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边
与角的一种数量关系.
(4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化.
2.正弦定理的变形公式
(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. (2)sinA=
a 2R ). 外接圆的半径
，sinB=