5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 导学案(1)-人教A版高中数学必修第一册

第五章 三角函数

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．

2.掌握y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的周期性、奇偶性、单调性和最值．

3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期，单调区间及最值．

重点： y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的周期性、奇偶性、单调性和最值． 难点：会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期，单调区间及最值．

1．函数的周期性

(1)对于函数f (x )，如果存在一个____________，使得当x 取定义域内的________值时，都有____________，那么函数f (x )就叫做周期函数，_________叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

2．两种特殊的周期函数

(1)正弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是___. (2)余弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是___. 2.正、余弦函数的奇偶性

1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是____函数，正弦曲线关于______对称．

2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是____函数，余弦曲线关于________对称．

3.正、余弦函数的单调性与最值

不

同 处

图象

奇偶性 ____函数

____函数

单调性

在⎣

⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π

2(k ∈Z )上是在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是________；在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上________

提出问题

类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？

问题探究

根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式sin(x+2kπ)=sinx（k∈Z）中得到反映，即自变量x的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．

1.周期性

一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）．

周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上∀k∈Z，且k≠０，常数2kπ都是它的周期．

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期（minimalpositiveperiod）．

根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．

典例解析

例2．求下列三角函数的周期：

(1) y ＝3sin x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；（3）y =2sin (1

2x −π

6),x ∈R;

2.奇偶性

观察正弦曲线和余弦曲线 ， 可以看到正弦曲线关于原点 犗 对称 ， 余弦曲线关于 x 轴对称 ． 这个事实 ， 也可由诱导公式sin (−x )=−sin x ；cos (−x )=cos x 得到 ． 所以正弦函数是奇函数 ， 余弦函数是偶函数 ．

知道一个函数具有周期性和奇偶性 ， 对研究它的图象与性质有什么帮助 ? 做一做

1．(1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为 ( ) A ．奇函数 B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数 (2)判断函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫

34x ＋3π2的奇偶性． 3. 单调性

由于正弦函数是周期函数 ， 我们可以先在它的一个周期的区间 （ 如 [-π

2 , 3π2

]） 上讨论它的

单调性 ， 再利用它的周期性 ， 将单调性扩展到整个定义域 ．

观察图 5.4-8， 可以看到 ：当 x 由-π

2 增大到 π

2时 ， 曲线逐渐上升 ， sinx 的值由-1增大到 1； 当x 由 π

2

增大到3π

2

时 ， 曲线逐渐下降 ， sinx 的值由 1减小到 -1．

sinx 的值的变化情况如表 5.4.2所示 ：

就是说，正弦函数 y =sinx 在区间[-π

2 , π

2] 上单调递增，在区间[π

2 , 3π2

] 上单调递减，有正弦函

数的周期性可得；

正弦函数在每一个闭区间[-π2

+2kπ, π

2

+2kπ] （ k ∈Z ） 上都单调递增 ,其值从-1 增大到1 ;

在每一个闭区间[π2

+2kπ,

3π2

+2kπ] （ k ∈Z ） 上都单调递减 ,其值从 1减小到-1．

类似地 ， 观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 [-π ,π] ） 上函数值的变化规律 ， 将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3

由此可得，余弦函数 y =cosx,x ∈[−π,π] ,在区间 上单调递增 ， 其值从-1 增大到1 ；上单调递增，在区间 上单调递减 ， 其值从 1减小到 -1．由余弦函数的周期性可得 ，

余弦函数在每一个闭区间 ,上都单调递增 ， 其值从-1 增大到 1； 在每一个闭区间 , 上都单调递减 ， 其值从 1减小到 -1．

４.最大值与最小值

从上述对正弦函数 、 余弦函数的单调性的讨论中容易得到 ，正弦函数当且仅当 x ＝ 时,取得最大值 １ ， 当且仅当

x ＝ 时,取得最小值 －１ ； 余弦函数当且仅当 x ＝ 时,取得最大值 １ ， 当且仅当 x ＝ 时,取得最小值 －１．

例3. 下列函数有最大值 、 最小值吗？ 如果有 ， 请写出取最大值 、 最小值时自变量x 的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 ． （ １ ） y =cosx +1， x ∈R ； （ ２ ） y =−3sin2x ， x ∈R ． 例4. 不通过求值，指出下列各式的大小：