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2018-2019学年高中数学第一章三角函数5.2 正弦函数的性质学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数5.2 正弦函数的性质学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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5.2 正弦函数的性质学习目标1。
理解、掌握正弦函数的性质。
2。
会求简单函数的定义域、值域.3.能利用单调性比较三角函数值的大小.知识点正弦函数的性质思考1 对于x∈R，sin(－x）＝－sin x，这说明正弦函数具有怎样的性质？答案奇偶性。
思考2 正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？答案对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：当且仅当x＝π2＋2kπ，k∈Z时,取得最大值1；当且仅当x＝－π2＋2kπ，k∈Z时,取得最小值－1.思考3 正弦函数的单调区间是什么？答案y＝sin x的递增区间为错误!，k∈Z，递减区间为错误!,k∈Z.梳理函数正弦函数y＝sin x，x∈R图像定义域R值域［－1,1]最值当x＝错误!＋2kπ(k∈Z)时,ymax＝1；当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，y min＝－1周期性是周期函数，周期为2kπ（k∈Z，k≠0），2π是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性在区间错误!（k∈Z）上是增加的；在区间错误!(k∈Z）上是减少的对称轴x＝错误!＋kπ，k∈Z对称中心(kπ，0）,k∈Z1.正弦函数在定义域上是单调函数.( ×）提示正弦函数不是定义域上的单调函数.2.已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1。
宁陕中学导学案（数学.北师大版必修四）高一级 班 小组 姓名正切函数的定义、图像及性质学习目标：1.能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义2.能画出y ＝tan x 的图像3.掌握正切函数的基本性质学习重点：正切函数的图像和性质；学习难点：画正切函数的图像，探索正切函数的诱导公式一．自主学习：（认真阅读课本第35----37页内容，完成下列自学要求）1.指出下列各角的正切线：2.类比正弦函数用几何法做出正切函数⎪⎭⎫⎝⎛∈=22-tan ππ，x x y 的图象：3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数Rx x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象,称为 __________________________4.观察正切曲线，回答正切函数的性质：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中:二.合作探究：例1.画出函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的图像并讨论其性质变式.求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期.例2． 2tan ,3αα=若借助三角函数定义求角的正弦函数值和余弦函数值例3. tan 135tan 138︒︒比较与的大小三、反思总结：1、数学知识：2、数学思想方法：四．训练检测1. 1317tan()tan()45ππ--比较与的大小2. 函数)4tan(x y -=π的定义域为 ( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增, (2)以2π为周期, (3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)xy 21tan = (D)x y tan -=4. 若tan 0x ≤,则（ ）.A ．22,2k x k k Zπππ-<<∈ B ．2(21),2k x k k Zπππ+≤<+∈C ．,2k x k k Zπππ-<≤∈ D ．,2k x k k Zπππ-≤≤∈5.tan 315tan 570tan(60)tan 675︒+︒-︒-︒求的值.（能力提升）6. 求出函数y =.7. 求函数y=lg(1-tanx)的定义域8.已知0cos 〉x ，且0tan 〈x ，求 （1）角x 的集合； （2）判断2x tan ，2cos x ，的符号.。
陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》5正弦函数的性质导学案北师大版必修4【学习目标】1.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.2.能够灵活的应用正弦函数的性质解决相关问题.3.经历用正弦函数的图像研究正弦函数性质的过程，体会数形结合的思想.【重点难点】重点：正弦函数的性质及其应用.难点：应用正弦函数的性质解决相关问题.【使用说明】通过观察正弦函数的图像，总结正弦函数的性质，然后对照课本加以完善，最后通过小组讨论、合作探究进一步加深对正弦函数性质的理解.【自主学习】【合作探究】1. 利用五点法画出函数x y sin 1+=的简图，并根据图像讨论它的性质.2. 求下列函数的定义域：（1）1sin 1-=x y ； （2）1sin 2+=x y .3. 正弦函数的图像有对称轴吗？有对称中心吗？如果有，请写出对称轴方程 及对称中心的坐标；如果没有，请说明理由.【课堂检测】1. 函数x y sin 3=，当],[ππ-∈x 时，在区间_______________上是增加的，在区 间 ____________上是减少的；当=x ________时，y 取最大值______；当=x ______时，y 取最小值______.2. 与右图中曲线对应的函数是（ ）A. |sin |x y =B. ||sin x y =C. ||sin x y -=D. |sin |x y -=3. 求函数x y sin 21-=的单调增区间，并判断其奇偶性.【课堂小结】【课后训练】2. 函数x y sin 2-=的定义域为_______________.3. 讨论函数x y sin 211-=的性质.（定义域、值域、周期性、单调性和奇偶性）。
高中数学第一章三角函数1.5 正弦函数的图像与性质学案北师大版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.5 正弦函数的图像与性质学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.5 正弦函数的图像与性质知识梳理1。
任意角的正弦函数（1）单位圆：圆心在原点O，半径等于1的圆称为单位圆.（2)定义如图1-4—1所示,单位圆与角α的终边交于P点.设P(a，b）,则P点纵坐标b是角α的函数,称为正弦函数，记为b=sinα（α∈R）。
通常用x、y表示自变量和因变量，将正弦函数表示为y=sinx（x∈R).图1—4-1（3)正弦线如图1—4-1所示,过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.单位圆中的有向线段MP叫做角α的正弦线。
当角α的终边在x轴上时,M与P重合，此时正弦线变成一个点.（4)正弦线所表示的正弦值可如下确定：正弦线的方向是表示正弦值的符号，同y轴一致，向上为正,向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.(5)正弦函数定义的推广如图1—4—2所示，设P（x，y）是α的终边上任意一点,图1-4—2P 到原点的距离|OP|＝r ，有r=22y x ，则sinα＝ry 。
对于每一个确定的角α，总有唯一确定的正弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做正弦函数。
正弦函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小。
2.周期函数一般地，对于函数y=f （x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f （x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如没特别指明,一般都是指它的最小正周期.3.任意角的正弦值的符号(1）图形表示：各象限正弦函数符号,如图1—4—3所示.图1-4-3（2）表格表示.α的终边sinα x 非负半轴0 第一象限+y非负半轴+第二象限+x非正半轴0第三象限—y非正半轴-第四象限—4.正弦函数的图像和性质(1)图像：如图1-4-4所示.图1—4—4（2)性质.函数性质y=sinx 定义域R值域［-1,1］当x=2kπ+2π（k∈Z）时，y取最大值1;当x=2kπ-2π（k∈Z)时,y取最小值-1周期2π奇偶性奇函数单调性增区间［—2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z）减区间［—2π+2kπ,23π+2kπ］（k∈Z)5。
1.5 正弦函数课堂导学三点剖析1.正弦函数的定义及诱导公式【例1】 sin （-2 010°）的值是（ ） A.-21 B.23 C.21D.23-解析:∵-2 010°=-6×360°+150°，∴-2 010°的终边与150°角的终边相同.∴sin（-2 010°）=sin150°=sin（180°-30°） =sin30°=21. 答案：C 友情提示求解任意角的三角函数值时，应先将该任意角化负为正，化大为小（在0°—360°内），再利用诱导公式求值. 各个击破 类题演练 1求下列各式的符号：（1）sin(4π-)；(2)sin 311π. 解：(1)∵4π-是第四象限角，∴sin(4π-)＜0.(2)∵sin(311π)=sin(2π+35π),而35π是第四象限角，∴sin 311π＜0变式提升 1已知x∈［0，6π］，且sinx=2m+1，则m 的取值范围是_____________. 解析:由于0≤x≤6π，且y=sinx 在［0，6π］上为增函数，∴sin0≤sinx≤sin 6π，即0≤sinx≤21.∴0≤2m+1≤21，从而-21≤m≤-41.答案：［-21，-41］2.正弦函数性质的综合应用【例2】 判断函数f(x)=lg(sinx+x 2sin 1+)的奇偶性.思路分析:判断函数的奇偶性，主要依据定义，要注意一下两个要点：（1）定义域是否关于原点对称；（2）是否满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x).解:显然f(x)的定义域为R .f(-x)=lg ［sin(-x)+)(sin 12x -+］ =lg(-sinx+x 2sin 1+) =lg(xx 2sin 1sin 1++)=-lg(sinx+x 2sin 1+)=-f(x)，∴f(x)为奇函数. 友情提示有些同学容易被函数解析式的复杂性所迷惑，当函数的式子较复杂时，我们可以用变形f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0，则f(x)为偶函数. 类题演练 2求函数y=1sin 2+x 的定义域.解析：由题意知，需2sinx+1≥0,也即需sinx≥21-,① 在一周期［-2π,23π］上符合①的角为［67,6ππ-］,由此可得函数定义域为 ［2k π-6π,2k π+67π］(k∈Z ). 变式提升 2(2005上海高考) 函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______.解析：f(x)=⎩⎨⎧∈-∈-]2,(,sin ],,0[,sin 3πππx x x x由图象知1＜k ＜3.答案：1＜k ＜3 3.正弦函数的图象【例3】 作出函数y=-sinx(0≤x≤2π)的图象.解析:利用“五点法”作图，关键是找出五个关键点，所以，最好利用列表整理数据，使问题既清晰又准确.（2）描点作图友情提示由于正弦曲线直观地表现了正弦函数的各种性态，因此要熟悉图象，理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y=sinx 的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x 轴的交点.一般地，观察y=sinx 的一个周期，常常是［0，2π］或［-2π，23π］.类题演练 3用“五点法”画函数y=-1+sinx,x∈［0,2π］的简图.变式提升 3对于函数y=|sinx|，作出它的图象，写出它的定义域、值域、单调递增区间，并判断其奇偶性、周期性.解析：y=|sinx|的图象为： y=|sinx|的定义域是R ，值域为［0，1］，单调递增区间：［k π,k π+2π］,k∈Z ,它是偶函数，其周期为π.。
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题.知识点 正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？答案 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是增加的？答案 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增加的. 梳理 正弦、余弦函数的性质1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × )提示 正弦函数不是定义域上的单调函数. 2.正弦函数在第一象限是增函数.( × )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3>sin π6.3.存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示 余弦函数最大值为1.4.余弦函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数.( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确.类型一 正弦、余弦函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22＋1－2cos x . 考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0， 即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z. 反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.跟踪训练1 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为 . 考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π，k ∈Z解析 要使2sin x ＋1有意义， 则必须满足2sin x ＋1≥0，即sin x ≥－12，结合单位圆，知x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π，k ∈Z . 类型二 正弦、余弦函数的值域与最值例2 (1)求函数y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤5π6的值域.题点 正、余弦函数的值域解 ∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上是增加的， 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6上是减少的，∴当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝5π6时，y min ＝cos 5π6＝－32，∴y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤5π6的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.(2)已知函数y ＝a sin x ＋1的最大值为3，求它的最小值. 考点 正、余弦函数的最值 题点 含参正、余弦函数的最值解 当a >0时，y max ＝a ×1＋1＝3，得a ＝2， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝2×(－1)＋1＝－1； 当a <0时，y max ＝a ×(－1)＋1＝3，得a ＝－2， ∴当sin x ＝1时，y min ＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1.反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析.(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论.跟踪训练2 函数y ＝2＋cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3的值域为 .考点 正、余弦函数的值域 题点 正、余弦函数的值域答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3解析 由单位圆，可知当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－π3，2π3时，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以2＋cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，所以函数y ＝2＋cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.类型三 正弦、余弦函数的单调性例3 函数y ＝cos x 的一个递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2B.(0，π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 D.(π，2π)题点 求正、余弦函数的单调区间 答案 D解析 ∵y ＝cos x 的递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，令k ＝1得[π，2π]，即为y ＝cos x 的一个递增区间，而(π，2π)⊆[π，2π]，故选D. 反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并.跟踪训练3 求下列函数的单调区间.(1)y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]. 考点 正、余弦函数的单调性 题点 求正、余弦函数的单调区间解 (1)y ＝sin x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.(2)y ＝cos x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π].1.函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A.0 B.1 C.－2 D.－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 余弦函数的最大值与最小值 答案 C解析 cos x ∈[－1，1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2.2.不等式2sin x －1≥0的解集为 . 考点 解三角不等式 题点 解三角不等式答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z解析 由2sin x －1≥0得，sin x ≥22. 由单位圆可得π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .3.函数f (x )＝－2sin x ＋1的最大值为 .答案 3解析 因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )取最大值2＋1＝3.4.求y ＝－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π的值域. 考点 正、余弦函数的值域 题点 正、余弦函数的值域解 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π，得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y ∈[－2，1]，∴y ＝－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π的值域为[－2，1].利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识.一、选择题1.函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A.[k π，(k ＋1)π](k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，(2k ＋1)π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，(k ＋1)π(k ∈Z )D.[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 答案 B解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z ).2.函数y ＝sin 2x 的递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[π＋2k π，3π＋2k π](k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 答案 B解析 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，∴y ＝sin 2x 的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).3.函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D.R考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 答案 C解析 ∵cos x －12>0，∴cos x >12，∴2k π－π3<x <2k π＋π3，k ∈Z .∴函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z .4.函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 考点 正、余弦函数的单调性 题点 求正、余弦函数的单调区间 答案 B解析 y ＝sin x 的递增区间就是y ＝4sin x ＋3的递增区间.5.y ＝3cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，4π3的最大值与最小值分别为( )A.3，－3B.3，－332C.3，32D.3，－32考点 正、余弦函数的最值 题点 求正、余弦函数的最值 答案 A6.在[0，2π]内，使sin x ≥12成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π考点 解三角不等式 题点 解三角不等式 答案 B7.已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3，x ∈Z ，则f (x )的值域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－32，32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－12，12，－32，32D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，32考点 余弦函数的值域 题点 余弦函数的值域 答案 A 二、填空题8.y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，5π3的递增区间为 .考点 正、余弦函数的单调性 题点 求正、余弦函数的单调区间 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3 9.满足sin α－cos α>0的α的取值范围是 . 考点 解三角不等式 题点 解三角不等式答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4＋2k π<α<5π4＋2k π，k ∈Z 解析 由图可解.10.y ＝3sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3的值域为 .考点 正、余弦函数的值域 题点 正、余弦函数的值域答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析 借助单位圆可知，函数f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3在x ＝π2处取最大值1，在x ＝－π3和x ＝4π3处同时取得最小值－32，即－32≤sin x ≤1，所以－332≤3sin x ≤3. 11.下列说法正确的是 .(只填序号) ①y ＝|sin x |的定义域为R ； ②y ＝3sin x ＋1的最小值为1； ③y ＝－sin x 为周期函数；④y ＝sin x －1的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈R ).考点 正、余弦函数的基本性质 题点 正、余弦函数的基本性质综合 答案 ①③解析 对于②，y ＝3sin x ＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于④，y ＝sin x －1的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，故②④错，填①③.三、解答题12.已知函数y ＝a cos x ＋b 的最大值是0，最小值是－4，求a ，b 的值. 考点 正、余弦函数的最值 题点 含参正、余弦函数的最值解 当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝b ＝－2. 13.已知函数f (x )＝12－sin x.(1)判定函数f (x )是否为周期函数； (2)求函数f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，5π6时，求f (x )的值域. 考点 正、余弦函数的基本性质 题点 正、余弦函数的基本性质综合 解 (1)函数f (x )的定义域是R .因为f (x ＋2π)＝12－sin (2π＋x )＝12－sin x＝f (x )，所以f (x )是周期函数.(2)由正弦函数的基本性质，可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上，函数y ＝sin x 是增加的，而此时函数h (x )＝2－sin x 是减函数，从而可知此时函数f (x )是增函数， 故可知函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ).(3)设t ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，5π6，则t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，所以1≤2－t <52，则25<12－t≤1.故f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤25，1. 四、探究与拓展14.函数y ＝－23cos x ，x ∈(0，2π)，其单调性是( )A.在(0，π)上是增加的，在[π，2π)上是减少的B.在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π上是增加的，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的C.在[π，2π)上是增加的，在(0，π)上是减少的D.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是增加的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π上是减少的考点 正、余弦函数的单调性题点 正、余弦函数的单调性答案 A15.已知f (x )＝－sin x .(1)试写出f (x )的单调区间；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，a 上是减少的，求实数a 的取值范围. 考点 正弦函数的单调性题点 正弦函数的单调性综合解 (1)∵f (x )＝－sin x ，根据正弦函数y ＝sin x 的单调性可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是减少的， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是增加的. (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，a ⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 即－π2<a ≤π2. ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，π2.。
第2课时 正弦函数的性质[核心必知]正弦函数y ＝sin x 的性质1．“正弦函数在第一象限是增加的”这一说法正确吗？为什么？提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x 值的增加而增加的．2．正弦曲线有对称轴和对称中心吗？分别有多少个？提示：正弦函数曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．函数y ＝sin x ，(x ∈R )的对称轴是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，有无数条；对称中心是点(k π，0)(k ∈Z )，有无穷多个．讲一讲1．求函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域． [尝试解答] 要使函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22有意义， 则sin x －22>0，即sin x >22. 作出正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像． 如图，由图像可以得到满足条件的x 的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2k π，3π4＋2k π，k ∈Z . ∴函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2k π，3π4＋2k π，k ∈Z .1．求由三角函数参与构成的函数定义域，对于自变量必须满足： (1)使三角函数有意义． (2)分式形式的分母不等于零． (3)偶次根式的被开方数不小于零． (4)对数的真数大于0.2．求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用三角函数的图像直观地求得解集．练一练1．求函数y ＝－3sin x 的定义域．解：要使函数有意义，必须使－3sin x ≥0.即sin x ≤0， ∴(2k －1)π≤x ≤2k π，k ∈Z .∴函数的定义域为[(2k －1)π，2k π]，k ∈Z .讲一讲2．求下列函数的值域． (1)y ＝2－sin x ； (2)y ＝lg sin x ；(3)y ＝sin 2x －4sin x ＋5，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.[尝试解答] (1)正弦函数y ＝sin x 的值域为[－1，1]．所以函数y ＝2－sin x 的值域为[1，3]．(2)∵0<sin x ≤1， ∴y ＝lg sin x ≤0.∴函数y ＝lgsin x 的值域为(－∞，0]．(3)令t ＝sin x ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得0≤t ≤1. y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1.当t ＝0，即sin x ＝0时，最大值为5， 当t ＝1，即sin x ＝1时，最小值为2. ∴该函数的值域是[2，5]．1．对于形如f (x )＝a sin x ＋b 的函数的值域可以利用正弦函数图像或有界性直接解决． 2．对于形如f (x )＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的函数，可用配方法求其值域，注意当x 有具体限制范围时，需要考虑sin x 的范围．练一练2. 求函数y ＝a －2sin x (a ∈R )取得最大值、最小值时x 的集合． 解：当sin x ＝1时，y 最小，此时x ＝π2＋2k π，k ∈Z ，当sin x ＝－1时，y 最大，此时x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，所以，函数y ＝a －2sin x 取得最大值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 取得最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π2＋2k π，k ∈Z .讲一讲3．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )．[尝试解答] (1)函数的定义域为R ，关于原点对称．f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ， f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >01＋sin x >0⇒－1<sin x <1，得函数定义域为{x |x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z }，关于原点对称．又f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数．练一练3．判断函数y ＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x的奇偶性．解：函数应满足1＋sin x ≠0，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠2k π＋32π，k ∈Z .∵函数的定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．讲一讲4．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝2sin(－x )；(2)y ＝a ＋b sin x (a ，b ∈R 且b ≠0)． [尝试解答] (1)y ＝2sin(－x )＝－2sin x ， ∴函数y ＝2sin(－x )的递增区间就是函数u ＝2sin x 的递减区间．∴函数y ＝2sin(－x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．(2)∵y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．∴当b >0时，y ＝a ＋b sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )；当b <0时，y ＝a ＋b sin x 的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．求形如y ＝a ＋b sin x 的函数的单调区间，只需考察y ＝sin x 的单调区间，当b >0时，y ＝a ＋b sin x 与y ＝sin x 的单调区间相同，当b <0时，则y ＝sin x 的单调递增(减)区间是y ＝a ＋b sin x 的递减(增)区间．练一练 4．求函数y ＝2－sin x的单调区间． 解：∵y ＝2－sin x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x，∴所求函数的单调性与y ＝sin x 的单调性正好相反．∴所求函数的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，(k ∈Z )．单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，(k ∈Z ).求函数y ＝sin 2x －4sin x －1的值域．[错解] ∵y ＝sin 2x －4sin x －1＝(sin x －2)2－5， ∴y ≥－5.∴此函数的值域为[－5，＋∞)．[错因] 在探讨y ＝(sin x －2)2－5的值域时，误认为sin x ∈R ，而忽略了正弦函数的有界性，即|sin x |≤1.这也是此类问题的常见错误．[正解] ∵y ＝sin 2x －4sin x －1 ＝(sin x －2)2－5， 且－1≤sin x ≤1∴当sin x ＝－1时，函数的最大值是4. 当sin x ＝1时，函数的最小值是－4. ∴此函数的值域为[－4，4]．1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一条对称轴是( ) A ．y 轴 B ．x 轴C ．直线x ＝π2 D ．直线x ＝π答案：C2．函数f (x )＝1＋sin x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案：D3．(天津高考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 解析：选B 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.4．函数f (x )＝sin 2x ＋1的奇偶性是________． 解析：f (－x )＝sin 2(－x )＋1＝sin 2x ＋1＝f (x ) ∴f (x )是偶函数． 答案：偶函数5．设函数y ＝sin(x －π6)取得最大值的x 的集合是________．解析：当且仅当x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝2π3＋2k π，k ∈Z 时，y ＝sin(x －π6)取最大值．故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2π3＋2k π，k ∈Z . 答案： {x |x ＝2π3＋2k π，k ∈Z }6．比较下列各组数的大小．(1)sin 2 012°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53；解：(1)sin 2 012°＝sin(360°×5＋212°)＝sin 212°＝sin(180°＋32°)＝－sin 32°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 32°<sin 70°，∴－sin 32°>－sin 70°， 即sin 2 012°>cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.一、选择题1．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的解析：选B 由正弦函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图像，可知它在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的． 2．函数y ＝|sin x |的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π4解析：选B 画出函数y ＝|sin x |的图像，易知函数y ＝|sin x |的最小正周期是π. 3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的， ∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析：选D ∵f (x )的最小正周期为π， ∴f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.二、填空题5．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝________，b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋|b |＝32，a －|b |＝－12，得a ＝12，b ＝±1.答案：12±16．函数y ＝11＋sin x 的定义域是________．解析：要使11＋sin x 有意义，则有1＋sin x ≠0.∴x ≠－π2＋2k π，k ∈Z答案：{x |x ≠－π2＋2k π，k ∈Z }．7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1，(x ∈R )．若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 解析：∵f (a )＝2，∴a 3＋sin a ＋1＝2.∴a 3＋sin a ＝1.∴f (－a )＝(－a )3＋sin (－a )＋1＝－(a 3＋sin a )＋1＝－1＋1＝0. 答案：08．函数f (x )＝3sin x －x 的零点个数为________．解析：由f (x )＝0得sin x ＝x 3画出y ＝sin x 和y ＝x3的图像如右图，可知有3个交点，则f (x )＝3sin x －x 有3个零点．答案：3三、解答题9．求函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.则当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，y 最大为2，当x ＋π3＝5π6即x ＝π2时，y 最小为1.∴函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是[1，2]．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出这个函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间． 解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ）0，x ∈[2k π－π，2k π）（k ∈Z ）. 其图像如图所示．(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π. (3)由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．。
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
