数学天桥模拟月底的月考卷

2021-2022学年山东省济南市天桥区泺口实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷一、单选题。

（每小题4分，共48分）1．9的相反数是（）A．B．﹣C．9D．﹣92．如图所示三棱柱的主视图是（）A．B．C．D．3．一个数是55750000，这个数用科学记数法表示为（）A．5.575×107B．55.75×105C．5575×104D．0.5575×108 4．将一副三角板如图所示的位置放在直尺上，则∠1的度数是（）A．115°B．105°C．110°D．95°5．下面数字符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列式子正确的是（）A．a＞b B．ab＞0C．|a|＞|b|D．a+b＞07．化简﹣的结果是（）A．a﹣b B．a+b C．D．8．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是（）A．B．C．D．9．已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y＝﹣kx+k的图象经过第（）象限．A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四10．如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米，（点A、B、C、D、E在同一面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约（）参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19A．69.2米B．73.1米C．85.7米D．80.0米11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列说法中：①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH，其中正确是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④12．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（a、b是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是（）A．0＜ab＜B．0＜ab＜C．0＜ab＜D．0＜ab＜二、填空题。

2023-2024学年第一学期九年级期末考试数学试题注意事项：本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm 黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．第I 卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．的相反数是（ ）A ．1B ．CD ．2．下列几何体中，主视图是三角形的是（）A．B ．C ．D ．3．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ）A ．1：2B ．C ．1：6D ．1：95．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．对角线互相垂直平分且相等6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（）tan 45︒1-2(3)5y x =-+(3,5)-(5,3)-(3,5)(5,3)1:91:354⨯ABC △sin BAC ∠第6题图A．B ．C ．D ．7．如图，为上三点，若，则的度数为（）第7题图A ．B ．C ．D ．8．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，则点的对应点的坐标为（ ）第8题图A ．B ．C ．D ．9．如图，在Rt 中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由出发沿方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当为何值时，与相似（）第9题图A ．3B ．C ．或D ．3或10．对于任意的实数、，定义符号的含义为之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，的取值范围为（ ）A ．或B ．或C ．D ．或43343545,,A B C O 43ABC ∠=︒OAC ∠44︒46︒47︒50︒AOB △COD △O (3,0),(6,0),(4,2)A C D -D B (1,2)-(1,2)-(2,1)-(2,1)-ABC △90,4cm,3cm ACB AC BC ∠=︒==P B BA A 1cm /s Q A AC C 1cm /s PQ ()t s 04t <<t APQ △ABC △259209259259m n max(,)m n ,m n max(3,2)3=max(1,2)2=219max ,||44y x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭3y ≥x 3x ≤-1x ≥1x ≤-13x ≤≤13x ≤≤3x ≤-3x ≥第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．若，则______．12．如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是______．第12题图13．关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）．14．如图，在等腰Rt 中，，以为圆心，以长为半径作弧，交于点，则阴影部分的面积______（结果保留）．第14题图15．如图，在Rt 中，，顶点分别在反比例函数和反比例函数的图象上，则的值为______．第15题图16．如图，矩形中，，动点从点出发向终点运动，连接，并过点作，垂足为．以下结论：①；②；③在运动过程中，扫过的面积等于④在运动过程中，点，其中正确的有______（填写序号）32a b =a bb-=x 220x x a -+=a ABC △90,4C AC BC ∠=︒==A AC AB D πAOB △90,tan 2AOB BAO ∠=︒∠=,A B 3(0)y x x=>(0)ky x x=<k ABCD 2,AB AD ==P A D BP C CH BP ⊥H ABP HCB △△∽AH BP H第16题图三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分6分）计算：18．（本小题满分6分）解方程：19．（本小题满分6分）如图，在菱形中，、分别是和的中点，连接、．求证：．第19题图20．（本小题满分8分）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（微信，支付宝，现金，其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图．第20题图根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）______，______，在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为______度；（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式随机选2名居民参加线上支付方式培训，请用列表法或树状图求这2名居民恰好都是女性的概率．21．（本小题满分8分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点处测得塔楼顶端点的仰角．，台阶长26米，台阶坡面的坡度，然后在点处1001||(1)tan 602π-⎛⎫+++- ⎪⎝⎭220x x --=ABCD E F AD AB BE DF BE DF =A B C D a =b =C A E 50.2GAE ∠=︒AB AB 5:12i =B测得塔楼顶端点的仰角，则第21题图（1）点到的距离为多少米？（2）塔顶到地面的高度约为多少米？（参考数据：）22．（本小题满分8分）如图，点是直径延长线上一点，与相切于点延长线于点，连接．第22题图（1）求证：平分；（2）若，求的半径长23．（本小题满分10分）在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一。

2021年济南市天桥区第二次模拟考试数学试题一、选择题〔本大题共12个小题，每题4分，共48分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1.－5的绝对值是〔 〕A ．－5B ．5C ．－15D ．152.以下计算正确的选项是〔 〕A .x 2＋x 2＝x 4B .x 8÷x 2＝x 4C .x 2·x 3＝x 6D .(x 2)3＝x 63.数据3329用科学记数法表示正确的选项是〔 〕A .3.329×102B .33.29×103C .3.329×103D .0.3329×1054.如图，a //b ，小华把三角板的直角顶点放在直线b 上．假设∠1＝40°，那么∠2的度数为〔 〕A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°5.如图，∠α的顶点为O ，一边在x 轴的正半轴上，另一边上有一点P 〔3，4〕，那么sin α＝〔 〕A ．43B ．34C ．45D ．356.假设关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的值可以是〔 〕A.－3B.－1C.0D.27.某药品经过两次连续降价，销售单价由原来的50元降到32元，设该药品每次降价的百分率均为x ，根据题意可列方程是〔 〕A .50(1－x 2)＝32B .50(1－2x )＝32C .50(1－x )2＝32D .50(1－x %)2＝328.一个不明透明的盒子里有n 个除面色外其他完全一样的小球，其中有9个黄球，任意模出一个球记下颜色后再放回盒子并摇匀，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为〔 〕A ．20B ．24C ．28D ．309.以下命题是真命题的是〔 〕A.对角线相等的平行四边形是矩形B.菱形的对角线相等C.四边都相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直的平行四边形是正方形10.如图，在△ABC 中，按以下步骤作图；①分别以B 、C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M 、N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接C D.假设CD ＝AC ，∠A ＝50°，那么∠ACB 的度数为〔 〕A.95°B.100°C.105°D.110°11.如图是由7个形状、大小完全一样的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，AB 边如下图，那么使△ABC 是直角三角形的点C 有〔 〕A.12个B.10个C.8个D.6个12.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (ax 0)的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x ＝2，且OA ＝O C.那么以下结论：①abc ＞0；②9a ＋3b ＋c ＞0；③c ＞－1；④关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个根为－1a；⑤抛物线上有两点P (x 1，y 1〕和Q 〔x 2，y 2〕，假设x 1＜2＜x 2，且x 1＋x ₂＞4，那么y 1＞＞y 2．其中正确的结论有〔 〕A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题〔本大题共6个小题，每题4分，共24分.〕13.不等式4＋2x ≤6的解集是_____________；14.计算：tan 45°＋16＝_____________；15.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间〔单位：小时〕进展了统计，绘制了如下图的折线统计图，那么该班这些学生一周锻炼时间的中位数是_____________小时；16.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，以点A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交AB 边于点D ，那么弧CD 的长等于_____________；〔结果保存π〕17.一次函数y 1＝k 1x ＋b 1和反比例函数y 2＝k 2x〔k 1·k 2≠0〕的图象如下图，假设y 1＞y 2，那么x 的取值范围是_____________；18.如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan ∠BA 3C ＝17………按此规律，写出tan ∠BA n C ＝_____________〔用含n 的代数式表示〕. 三、解答题〔本大题共9个小题，共78分.〕19.〔本小题总分值6分〕化简：(x －2)2＋(x ＋2)(x ＋3)20.〔本小题总分值6分〕解方程组:⎩⎨⎧3x －2y ＝8x ＋y ＝121.〔本小题总分值6分〕在平行四边形ABCD 中，将△BCD 沿BD 翻折，使点C 落在点E 处，BE 和AD 相交于点O ，求证：OA ＝OE .22.〔本小题总分值8分〕某内陆城市为了落实国家“一带一路〞战略，促进经济开展，增强对外贸易的竞争力，把间隔 港口420km 的普通公路晋级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来进步了50%，行驶时间缩短了2h ，求汽车原来的平均速度.23.〔本小题总分值8分〕如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F .〔1〕试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；〔2〕假设BD ＝23，BF ＝2，求⊙O 的半径.24.〔本小题总分值10分〕为传承中华优秀传统文化，某校组织了一次全校3000名学生参加的“双字听写〞大赛．为理解本次大赛的成绩，该校随机抽取了局部学生的成绩进展统计，制成如下不完好的统计图表：根据所给信息，解答以下问题：〔1〕本次参与调查的学生共_______人，m ＝_______，n ＝________；〔2)补全频数分布直方图；〔3〕假设成绩在90分以上〔包括90分〕为“优〞等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优〞等的约有多少人？〔4〕成绩前五名的学生有3男2女，从中任选2人参加区竞赛，求恰好选到一男一女的概率．25.〔本小题总分值10分〕实验数据显示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y 〔毫克/百毫升〕与时间x 〔时〕的关系可近似地用正比例函数y ＝100x 刻面；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x 的关系可近似地用反比例函数y ＝k x〔x ＞0〕刻画〔如图〕. 〔1)求k 的值；〔2〕当y ≥75时肝功能会受到损伤，请问肝功能持续受损的时间多长？〔3〕按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞，不能驾车上路，假设某驾驶员晚上20：00喝完半斤白酒，第二天早上7：00能否驾 车?请说明理由.26.〔本小题总分值12分〕如图1，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC ＝135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE .〔1〕①依题意补全图形；②请判断∠ADC 和∠CDE 的数量关系，并直接写出答案；〔2〕在〔1〕的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 的数量关系，并说明理由；〔3〕如图2，在正方形ABCD 中，AB ＝2，假设点P 为平面内一点，且PD ＝1，∠BPD ＝90°，恳求出点A 到BP 的间隔 ．27.〔本小题总分值12分〕如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋52过点A 〔1，0〕，B (5，0〕，与y 轴相交于点C . 〔1)求抛物线的解析式；〔2〕定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标一样的点的间隔 ，称为点到二次函数图象的垂直间隔 ．如：点O 到二次函数图象的垂直间隔 是线段OC 的长．点E 为抛物线对称轴上的一点，且在x 轴上方，点F 为平面内一点，当以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是边长为4的菱形时，恳求出点F 到二次函数图象的垂直间隔 .〔3〕在〔2〕中，当点F 到二次函数图象的垂直间隔 最小时，在以A ，B ，E ，F 为顶点的菱形内部是否存在点Q ，使得AQ ，BQ ，FQ 之和最小，假设存在，恳求出最小值；假设不存在，请说明理由.。

2020年济南市天桥区九年级第一次模拟测试数学试题第1卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．3的相反数是A ．－3B ．3C ．13D ．－132．下列大小相同的5个正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是3．将12480用科学记数法表示应为A ．12.48×103B ．0.1248×105C ．1.248×104D ．1.248×1034．如图，a ∥b ，以直线b 上两点A 和B 为顶点的Rt △ABC （其中∠C ＝90°）与直线a 相交，若∠1＝30°，则∠ABC 的度数为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．下列各式中计算正确的是A. (x ＋y )2＝x 2＋y 2 B ．(3x )2＝6x 2 C ．(x 3)2＝x 6 D ．a 2＋a 2＝a 4 6．下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是7．方程2x 2－5x ＋3 ＝0的根的情况是A ．两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定8．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是13，则黄球的个数为A ．18B ．12C ．9D ．24 9下列命题正确的是A ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形10．已知函数y ＝1x的图象如图所示，当x ≥1时，y 的取值范围是A ．y ＜－1B ．y ≤－1C ．y ≤－1或y ＞0D ．y ＜－1或y ≥011．已知菱形OABC 在下面直角坐标系中的位置如图所示，点A (4，0)，∠COA ＝60°，则点B 的坐标为A ．(4＋23，2)B ．(6，2)C ． (4＋23，23)D ．(6，23)12．在平面直角坐标系中，已知点A (－1，4)，B (2，1)，直线AB 与x 轴和y 轴分别交M ，N ，若抛物线y ＝x 2－bx ＋2与直线AB 有两个不同的交点，其中一个交点在线段AN 上（包含A ，N 两个端点），另一个交点在线段BM 上（包含B ，M 两个端点），则b 的取值范围是A ．1≤b ≤52B ．b ≤1或b ≥52C ．52≤b ≤113D ．b ≤52或b ≥113第II 卷（非选择题共102分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．分解因式：a 2－2a ＋1＝____________；14．若一组数据2，3，x ，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为____________； 15．如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为l 的正方形，点O ，A ，B 均为格点，则⌒AB 的长等于____________； 16．若代数式6x ＋2与4x的值相等，则x ＝____________； 17．如图，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A ，B ，C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是____________；18．如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与点B ，C 重合），过点C 作CN ⊥DM 交AB 于点N ，连结OM 、ON ，MN ．下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ;②ON ＝OM ；③ON ⊥OM ；④若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是1；⑤AN 2＋CM 2＝MN 2．其中正确结论是____________；（只填序号）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本小题满分6分）计算：│－3│＋(π－ 2019)0－2sin30°＋（13）－120．（本小题满分6分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3(x －2)－x ≥－812x －5＜－2x21（本小题满分6分）如图，已知E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点， BE ⊥AC ，DF ⊥A C ． 求证：BE ＝DF ．某校为表彰在美术展览活动中获奖的同学，老师决定购买一些水笔和颜料盒作为奖品，请你根据图中所给的信息，解答下列问题：(1)求出每个颜料盒、每支水笔各多少元？(2)若学校购买10个颜料盒，6支水笔，共需多少元？23．（本小题满分8分）如图，点A是⊙O直径BD延长线上的点，AC与⊙O相切于点C，AC＝BC，BE⊥AC，交AC延长线于点E．(1)求∠A的度数；(2)若⊙O的半径为2，求BE的长．我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调刺传统文化经典著作的阅读．某校对A《三国演义水浒》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了如下两幅统计图．(l)本次一共调查________名学生；(2)请将条形统计图补充完整；(3)某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．25．（本小题满分10分）如图，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象与正比例函数y＝32x的图象交于点A，且A点的横坐标为2．(1)求反比例函数的表达式；(2)若射线OA上有点P，且PA＝2OA，过点P作PM与x轴垂直，垂足为M，交反比例函数图象于点B，连接AB，OB，请求出△OAB的面积；(3)定义：横纵坐标均为整数的点称为“整点”．在(2)的条件下，请探究边PA、PB 与反比例函数围成的区域内（不包括边界）“整点”的个数．如图1，△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠A CB＝∠DCE＝90°，连接BE，AD，两条线段所在的直线交于点P．(1)线段BE与AD有何数量关系和位置关系，请说明理由．(2)若已知BC＝12，DC＝5，△DEC绕点C顺时针旋转，①如图2，当点D恰好落在BC的延长线时，求AP的长；②在旋转一周的过程中，设△PAB的面积为S，求S的最值．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋ 2(a≠0)过点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴正半轴上存在点E，使得△BCE是等腰三角形，请求出点E的坐标；(3)如图2，点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．2020年九年级模拟考试 数学试题参考答案一、选择题：1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B 9．D 10．C 11．D 12．C 二、填空题：13．2(1)a 14．5 15．5216．4 17．(0，3) 18．①①①① 三、解答题19．解：原式 =3＋1－2×12＋3 ………………………4分=3＋1－1＋3=6 ………………………6分20．解：∵解不等式①得：x ≥-1，………………………2分解不等式②得：x ＜2，………………………4分 ∴不等式组的解集为-1≤x ＜2，………………………5分 在数轴上表示不等式组的解集为：………………………6分21．证明①四边形ABCD 是平行四边形①AB=CD AB①CD ……………………2分 ①①BAE=①FCD………………………3分 又①BE①AC DF①AC①①AEB=①CFD=90°………………………4分 ①①ABE①①CDF （AAS ）………………………5分 ①BE=DF………………………6分0 1 -3 -2 -1 2 322．解：（1）设每个颜料盒x 元，每支水笔y 元，………………………1分根据题意得238152102x y xy，………………………3分解得1815x y．………………………5分答：每个颜料盒18元，每支水笔15元. ………………………6分 （2）1810156270答：共需270元………………………8分 23．（1）如图1，连接OC ,①AC 与①O 相切于点C ①OC AC ………………………1分①90A AOC∠∠①ACBC①A ABC ∠∠………………………2分 ①2AOC ABC ∠∠①2AOC ∠∠A ………………………3分 ①390A ∠即30A∠ ………………………4分（2）①BD 是直径 ①90BCD∠①30A ABC∠∠①cos 4cos3023BC BD ABC∠………………6分①BEAC ，OCAC第23题图ABCD OE①BE OC ①CBE OCB ∠∠①OBOC①30CBE OCB ABC∠∠∠①cos 23cos303BEBC CBE ∠……………8分24．解：（1）本次一共调查：15÷30%=50（人）；故答案为：50；（2）B 对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7=12，（3）列表：共有12种等可能的结果，恰好选中A 、B①的有2种，A B C DA AB AC ADBBA BC BDC CA CB CDD DA DB DC16人数著作157ACBD510 15 20 12①P （选中A 、B ）=2112625．解：（1）把2x 代入32yx 得3y ，①A （2，3）………………1分把A （2，3）代入k y x得6k ，所以6yx………………3分 （2）如图，①P A =2OA①OP =3OA ①P （6，9）…………4分 把x =6代入6yx得y =1，①B （6，1）…………5分 过点B 作BC//x 轴，交OA 于点C 把y =1代入32yx 得x =32， ① C （32，1）①BC =216633①S △PEF =111638223A BC y …………7分（3）A （2，3），P （6，9） ①所求区域内，2<x <6，x 可取整数值为3，4，5 ……8分 把x =3分别代入32yx 和6y x ，得y =29，y =2 所以所求区域内，2<y <29，y 可取整数值为3，4； 同理可知x =4时，23<y <6，y 可取整数值为2，3，4，5； x =5时，56<y <215，y 可取整数值为2，3，4，5，6，7； 综上所述，整点个数总共12个. ……………………10分26．解：（1）BE =AD ，BE 与AD 互相垂直； ………………1分证明：①等腰△ABC ，等腰Rt①DEC ，xyOPAB MC①AC =BC ，DC =EC ，①ACB =①DCE =90°①①ACD =①BCE ①①ACD ①①BCE ………………3分 ①BE =AD ，①CAD =①CBE ，①①CAD +①APB =①CBE +①ACB =①AOB①①APB =①ACB =90°，即BE 与AD 互相垂直 ………………4分 （2）①①AB =BC =12，DC =EC =5 ①AE =AC -EC =12-5=7，Rt①BCE 中，BE 2212513， ………………5分由（1）同理可知①APB =①ACB =90°，①CAD =①CBE①①APE ①①BCE ……………7分 ①AE AP BE BC ，即71312AP，解得AP =1384 ………………8分 ①由①APB =90°可知点P 在以AB 为直径的圆的一段弧上，且当BP 与以CE 为半径①C 相切时，点P 在其运动路径所在弧的两个端点处，P 到AB 的距离最小，此时①P AB 的面积S 最小。