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数学竞赛中的几何问题

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智浪教育—普惠英才文库 数学竞赛中的几何问题

欧几里得几何虽然古老，但在提供几何直觉和理性思维方面仍有不可替代的教育价值（许多科技工作者由此而启蒙），因而，历来受到数学竞赛的青睐，平面几何证明已经属于IMO届届必考的内容，少则1题，多则2~3题．我国高中联赛加试（二试）和冬令营考试，也是年年必有平面几何题． IMO中的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主．立体几何题从第22届（1981年）开始已经20多年没有出现了，这一方面是组合几何的涌入，另一方面是新颖的立体几何题不好找，有的过浅，有的过旧，有的过难． 一、数学竞赛中的几何问题的三个层次 1．第一层次，中学几何问题． 这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材． 2．第二层次，中学几何的拓展 这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．有时还可用几何变换来巧妙求解． 智浪教育—普惠英才文库 3．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉 这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．这类问题离不开几何知识的运用、几何结构的分析，但关键是精巧的构思．不仅在组合设计中需要，在组合计数中也少不了构思．

二、IMO中几何问题的主要特征 IMO1-50届各类试题统计表

代数（82） 几何（93） 数论 （58） 组合（63） 其他 （6） 每届 合计

代 数 方 程 多 项 式 不 等 式 极 值 数 列 函 数 方 程 复 数、 三 角 平 几 证 明 平 几 轨 迹 平 几 作 图 立 体 几 何 离 散 数 学 组

合 几 何 合计 11 6 22 4 13 19 7 67 3 6 17 58 30 33 6 302 1 2，3 5 4 6 1 6 2 2 3 4,7 5,6 1 7 3 1 3 2,4 5 6 6 4 2 4 6 5 3,7 1 7 5 1，4 5 3 2 6 6 6 2,3 6 1 4 5 6 7 2，4 1 5 3 6 6 8 5 4 2,6 3 1 6 9 5,6 4 2 3 1 6 10 3 5 1 2,6 4 6 11 6 2 4 3 1 5 6 12 3 1 5 2,4 6 6 智浪教育—普惠英才文库 1．数量较多 由上表可知，在302道IMO试题中，第一、二层次的几何题有93道，第三层次的几何题有33道，共计126道，占

13 1 4 3 2,5 6 6 14 4 5 6 1,3 2 6 15 3 6 5 2,4 1 6 16 6 5 2 3 4 1 6 17 1 2 6 3 4 5 6 18 5 2 4 6 1 3 6 19 2 6 4 1 3,5 6 20 5 3 4 2 1 6 6 21 5 6 3 4 1 2 6 22 6 1,5 3,4 2 6 23 3 1 2,5 4 6 6 24 1 2,6 3,5 4 6 25 1 4 2,6 3,5 6 26 3 6 1,5 4 2 6 27 5 4 1 3,6 2 6 28 3 4 2 6 1 5 6 29 4 3 1,5 6 2 6 30 2,4 5 1,6 3 6 31 4 1 3 2,6 5 6 32 1,5 2,3 4,6 6 33 2 4 1,6 5 3 6 34 1 5 2,4 6 3 6 35 1 5 2 3,4 6 6 36 2 4 1,5 6 3 6 37 3 2,5 4 6 1 6 38 3 2 5,6 4 1 6 39 6 1,5 3,4 2 6 40 2 6 5 4 3 1 6 41 2 1,6 5 4 3 6 42 2 1,5 4,6 3 6 43 5 2,6 3,4 1 6 44 5 3,4 2,6 1 6 45 2 1,5 6 3 4 6 46 3 4 1,5 2 6 6 47 5 3 1,6 4 2 6 48 1 2,4 5 3 6 6 49 2 4 1,6 3 5 6 50 3 2,4 1 6 5 6 智浪教育—普惠英才文库 总题量的42%，平均到每一届至少有两道． 在几何内容中，平面几何占四分之三以上，立体几何从22届开始已连续29年没有出现，这一方面是组合几何的涌入，另一方面是新颖的立体几何题不好找，有的过浅，有的过旧，有的过难． 平面几何内容之所以受到命题者的重视，是因为中学教材中最适合做竞赛题的首推平面几何．另外，随着参赛队的增多，占压倒多数的弱队都希望有些常规题，来确定自己的队员不至于背着零分回国．正是在这样的背景下，每届IMO都有几何题，少则一道，多则三道． 22．难度适中 平面几何的一个特点就是能够提供各种层次、各种难度的题目，它离中学教材最近，并且很容易花样翻新，是数学竞赛中一个方便而丰富的题源．统计显示，常规几何题大多为第1、4题，至多为第2、5题，只有极个别的情况下才为第3、6题．这反映了主试委员会选题时有一种由易到难的顺序心理，如果选一道几何题，通常是选容易的，作1、4题；如果选两道几何题，那就再添一道稍难的． 之所以常规几何题的难度多为中低档，不是几何中找不到难题，而是作为竞赛数学的构成中，还有比常规几何更难的部分．已经有人分析指出，数学竞赛中，“与中学教材距离最近的首推几何，而最远的当然是组合数学．因此，在每智浪教育—普惠英才文库 届IMO的6道试题中，几何题经常是较易的、常规的题目；组合题往往是非常规的难题．前者反映了弱国的要求，而后者则适应强国的愿望．”事实上，IMO的命题是常规与非常规题之间，弱队与强队之间互相制约又协调统一的结果． 对于弱队，难度适中的几何题是得分的主要来源；而对于强队，几何题则是拉开对手距离、确保夺冠的重要战场．原因是，难题对每一个队都难，那个强队也不敢保证自己的选手全部不落马翻车，但是这个队有一、二名队员翻车，那个队也有一、二名队员翻车，总体上只影响选手个人的成绩，而不影响全队的总分．至于中下档的题目则就不一样了，有的强队是可以做到少丢分或不丢分的，因此，某个强队一旦在几何问题上有一、二名选手翻车，则夺魁也就随之成为泡影．中国队这几年在IMO中的成绩，几何上的优势功不可没．最近几届IMO中，中国选手的几何题绝大多数为满分，个别的只被扣掉1、2分． 3．方法多样 IMO中的几何题几乎涉及所有的平面几何方法，主要有三大类： ⑴ 综合几何法．（平面几何因主要用综合几何，我们把综合几何理常用的方法称为综合几何法）IMO中的几何题以常规题为主，因而大多可以用综合几何的方法来求解，如全等法、相似法、面积法等．其中出现频率较大的是与圆有关智浪教育—普惠英才文库 的命题． ⑵ 代数演算法．IMO中的几何题也考查用代数方法处理几何问题的能力，如代数计算法，复数法，坐标法，三角法和向量法等，但不占优势，另有些几何不等式经过变换之后，就成为正数的代数不等式了（如图），反之，也可以把代数问题转化为几何问题．





xzczybyxa,,

⑶ 几何变换法.有平移、旋转、对称、位似、反演等. 4．组合几何的异军突起 组合几何的问题在第六届（56IMO）就出现，但近30年来，随着组合数学对竞赛的大规模介入，组合几何在内容、形式和难度上都上了新的台阶．成为一类极有竞赛味也极具挑战性的新颖题目．组合几何诞生于20世纪五六十年代，是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质，所牵涉的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质，在历届IMO中，已出现33道此类问题．

三、数学竞赛中几何问题的基本内容

B A C x x

z z

y y

图 智浪教育—普惠英才文库 主要有4个定义，16条定理． 定理1 对任意三个点A，B，C，有 BCACAB． 等号成立当且仅当点C落在线段AB之间，或A，B，C三点重合． 定义1 点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）． 定义2 如果对点集 A中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A里，则集合A称为是凸的． 定理2 任意一个凸n边形（3n）的n个内角之和等于180)2(n

；外角和为1802（每一个顶点处只计算一个外角）．

定义3 设nMMM,,,21是多边形，如果nUMUUMMM21并且当ji时，iM与jM没有公共的内点，则称多边形M剖分为多边形nMMM,,,21

．

定义4 如果凸多边形N的所有顶点都在凸多边形M的边上，则称多边形N内接于多边性M． 定理3 凸四边形ABCD内接于圆的充分必要条件是： 180DCBBADCDAABC

．（四点共圆）

定理4 凸四边形ABCD外切于圆的充分必要条件是 ADBCCDAB． 定理5 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长

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数学竞赛中的解析几何问题(二)

数学竞赛中的解析几何问题(二)


（ １ ）证 明 ： △Ｐ ＡＢ 的 内切 圆 的 圆 心 在 一
条 定直 线上 ；
（ ２ ）若 ＡＰＢ一 ６ ０ 。 ， 求 △ ＰＡＢ 的 面 积 ．
号 （ 土 ） ．
５ △ Ｐ ＾ Ｂ一 — １（ ｚ 。一 ｚ２ ）一 １ （
ｚ ・
（ ２ ０ １ １年 全 国 赛 ）
，——一
—— — 、
尸
一
（ ２ ）解 ： 当 ＡＰＢ：６ ０ 。 时， 直线 Ｐ Ａ， Ｐ Ｂ
／
／ ＼ 、 ｊ
＼ ＼
、 、
０
圈 １
夕
方程分别为 ｙ 一± 屈 ． ④
④ 代 入 ① 得 ： ＋ （ 辽 ６ － ＋ ２ ／ １ ｚ 一 。
一
．
直线 Ｐ Ａ 方程 为 ： Ｙ 一 一 （ ｚ～３ ）
＝ ： ＞ 一
一３ ＋ ， 代人 椭 圆方程得 ，
（ １ — ３ ） ３ ［ ７ ＋１ ８（ １ ３ ～３ ） Βιβλιοθήκη 为 。．詈
ｍ 一十 ｌ
１ ４ ｘ 。 ＋ ９
一 ０， （＊ ）
于是， ｍ一 一ｍ ， 一—
（ 一
） －Ｘ （ √ ） ） 一一√ ｚ 一一√ ・
解
（ １ ）证 明 ： 平移 坐 标 系至 以 Ｐ 为 原
（ 号 ） ・ （ （ ） 。 一 （ ） 。 ） ＝ １ 可 １ ７ ￣ － ．
作 为对 照 ， 看在 原 坐标 系 中的解 ：
点， 则 椭 圆方 程为
， 即 曲线 为 圆
它 有 一 个 根 为
１ ８ （ １ ３ —３ ）
一
３√ ２ ，故 ｚ ＝
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题(含答案)

人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题(含答案)

2
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在 AB 上滚动，切点为 T，⊙O 交 AO，BO 于 M，N，则 弧 MTN（ ）
A.在 0°到 30°变化
B.在 30°到 60°变化
C.保持 30°不变
D.保持 60°不变
5.如图，AB 是⊙O 的直径，且 AB=10，弦 MN 的长为 8.若 MN 的两端在圆上滑动时，始终与 AB 相交， 记点 A，B 到 MN 的距离分别为 h1，h2，则∣h1-h2∣等于（ ）
A
C
(P) O
D
B
①
D
A
C P O
B D ①
D
C
PB O
D ①
O
C A
P
①
B
O
C
P
A (B)
①
O
(D)C
A(B)
P ①
（2）已知⊙O 的半径为一定值 r，若点 P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点 P 任作一直线交⊙O 于 不重合的两点 E，F. PE·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文 字叙述出来.
（第 7 题图）
（第 8 题图）
8.如图，设 H 是等腰三角形 ABC 两条高的交点，在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的 距离变小，这时乘积 S△ABC·S△HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.
9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 1 x 2 4 x 10 与 x 轴的交点为点 A，与 y 轴的交点 18 9
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）
【例 1】 如图，已知 P 为正方形 ABCD 的外接圆的劣弧A⌒D上任意一点.求证： PA PC 为定值. PB
数学竞赛的秘诀如何应对高中数学中的立体几何题

数学竞赛的秘诀如何应对高中数学中的立体几何题

数学竞赛的秘诀如何应对高中数学中的立体几何题数学竞赛中，立体几何题是考察学生几何思维和解题能力的重要一环。

对于高中学生来说，合理的应对立体几何题是提高竞赛成绩的关键。

本文将探讨数学竞赛中应对高中数学立体几何题的秘诀和解题方法。

一、了解基本概念和性质在应对立体几何题之前，首先要对基本概念和性质有所了解。

高中立体几何题主要涉及到立体图形的表面积、体积、几何关系等方面的知识点。

学生应熟悉各种常见几何体的特点和性质，例如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等的公式和计算方法，并掌握它们之间的转化关系。

二、掌握解题方法和技巧1. 画出清晰的图形：解决立体几何题的关键是明确图形的形状和结构，因此应该通过手绘或者几何软件画出准确、清晰的图形。

图形的细节对于解题过程及结果都有重要影响，因此务必细心且准确。

2. 利用平行关系：在解题过程中，多利用平行关系推导出所需的条件。

例如，当题目给出某平面与几个直线平行时，可以运用平行关系推导出更多的几何关系，从而简化解题过程。

3. 运用类比和类比思维：类比思维可以帮助发现问题间的相似性，找到解决问题的通用方法。

利用已经学过的解题思路和方法，将新题目与旧题目作类比，找出解题的线索和方向。

4. 运用三维图形展开：对于一些立体几何题，将其展开成二维图形有助于解题。

通过展开图形，可以更好地观察和分析几何关系，从而解决问题。

5. 利用空间想象力：立体几何题需要学生具备较强的空间想象力。

在解题过程中，可以通过空间构想或者辅助手段，如拼图、模型等来帮助理解和解决问题。

三、创造思维和分析能力高中立体几何题往往需要学生具备较高的创造思维和分析能力。

学生应注重培养思维的灵活性，善于抽象和推理。

在解题过程中，可以通过数学归纳法、反证法等方法，积极探索解题的多种可能性和方法。

四、重视实践和练习掌握立体几何题的秘诀，离不开实践和练习。

只有在大量的练习中，才能更好地掌握解题技巧和方法，并在竞赛中更加得心应手。

初中数学几何与面积法综合应用含答案竞赛题精选

初中数学几何与面积法综合应用含答案竞赛题精选

F G E 图 2ACBD面积法1、常见规那么图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。

A 卷1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、12、13，︒=∠90ABC ，那么四边形ABCD 的面积为 .2、如图2，ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 21==， DE EF 3=，假设1=∆ABC S ，那么图中所有三角形的面积之和为 .图 1ACBD3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，那么_______=∆DEF S .4、如图4，边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 .F E图 3ACBDECFA BDGFPE图 4AC BDO图 5AC BD5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S .6、〔第5届“希望杯〞邀请赛题〕在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41=，BC BE 41=，AC CF 41=，那么DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的〔 〕 A 、41 B 、83 C 、85 D 、167FEC ABDS 2图 6 ACBS 1S 4S 37、〔2004年第15届“希望杯〞初二年级竞赛题〕如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四局部，那么S 2和S 4的大小关系是〔 〕A 、42S SB 、42S S =C 、42S SD 、无法确定8、在矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，那么矩形的内接三角形的面积总比数的〔 〕小或相等。