8上数学拓展题2

果有2平的话，至多8分，不符合题意）；
胜
Байду номын сангаас
平
负
得分
对于B，已经输给了A，得分只能为9分，即3胜（CDE）1负
1
3
1
0
10
（A）（如果为8分就没有负场，不符合题意）； 因此，对于C，2胜（DE）1平（A）1负（B）
2
3
0
1
9
对于D、E，一定都是3负（ABC），且得分不同，所以DE之
3
2
1
1
7
间比赛D获胜，即：
抽屉原理， 2017个数中，有1008个偶数和1009个奇数，因此必有正反两面奇偶 性相同的情况，即一定有一个和为偶数，因此乘积也为偶数。
例题7:
将8×8 的方格表去掉角上的四个格后，能否用1×4 的 直条形覆盖？能否用如图的三个格子形成的“L”形覆盖？ （可以旋转和翻转）
例题2
在一条公路上每隔30 千米有一个仓库，共有5 个仓库，一号仓库存货10 吨，二号仓库 存货20 吨，五号仓库存货40 吨，其余两个仓库是空仓库。现在要把所有的货物集中存 放在一个仓库里，每吨货物运输1 千米需要0.5 元运输费，那么运费最少是多少元？
全运到一号仓库，运费：(20×30+40×120)×0.5=2700（元） 全运到二号仓库，运费：(10×30+40×90)×0.5=1950（元） 全运到三号仓库，运费：(10×60+20×30+40×60)×0.5=1800（元） 全运到四号仓库，运费：(10×90+20×60+40×30)×0.5=1650（元） 全运到五号仓库，运费：(10×120+20×90)×0.5=1500（元） 通过以上枚举结果可知，运到五号仓库运费最少，为1500元。

解答：999×11+333×67
=333×33+333×67
=333×（33+67）
=333×100
=33300
3、
【解析】
40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40；
其中5的倍数有：5、10、20、40；
所以一个数既是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是5、10、20、40。
五年级
1、
【解析】分析：通过寻找线段之间的联系，我们可以发现：27与19的和其实就是最大长方形一条长与一条宽的和。
【解析】
从图中我们可以清楚的看到，由于一班和三班都是和二班放在一起，所以他们相差的棵数就是一班和三班相差的棵数。所以一班比三班多植树84-70=14棵。
2、
【解析】
①根据第一次乘得的积末尾是2，可以知道第一个乘数的末尾可能是2，也可能是7，如果是7，那么37乘6得222，不符合题意，所以第一个乘数的末尾只能是2。
向西：66+13=79（米）
54＜79，所以小明在学校的西面
79-54=25（米）
答：小明在学校西面25米处。
3、a和b都是大于0的整数
若a=b+1，则a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）；
若a=5b，则a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
【解析】根据题意，若a=b+1，则说明a和b是相邻的两个自然数，所以a和b肯定是互质数，因此，a和b的最大公因数是（1），最小公倍数是（ab）；若a=5b，则说明a和b是存在倍数关系的，因为当两个自然数存在倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的那个数，最小公倍数就是其中较大的那个数，所以，a和b的最大公因数是（b），最小公倍数是（a）。

2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高数论（2）知识点复习一．位值原则【知识点归纳】1．位置原则：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同．也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”．例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等．这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则．2．通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”．就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等．写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等．3．用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数．例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6．根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数．【命题方向】例1：个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（）A、3B、4C、5D、6分析：设：原两位数的十位数为x，个位数为y，则原两位数值为（10x+y），交换后两位数的个位数为x，十位数为y，数值为（10y+x），x．y为小于10的正整数．因为交换后的两位数比原来小27，所以：（10x+y）-（10y+x）=27，进而得出x-y=3．然后对x、y进行取值，解决问题．解：设原两位数的十位数为x，个位数为y，由题意得：（10x+y）-（10y+x）=2710x+y-10y-x=279x-9y=27x-y=3，则x-3=y，y+3=x，【解题方法点拨】通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”，就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等．写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等．二．数的整除特征【知识点归纳】整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除．（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除．（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．【命题方向】例1：下列4个数都是六位数，A是大于0小于10的自然数，B是0，一定能同时被2、3、5整除的数是（）A、AAABAA B、ABABAB C、ABBABB D、ABBABA分析：这个六数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪个自然数，A+A+A的和一定是3的倍数，所以ABABAB一定能被3整除解：B=0，ABABAB能被2和5整除，A+A+A的和一定是3的倍数，ABABAB也一定能被3整除，故选：B．点评：此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．例2：有一个四位数3AA1能被9整除，A是7．分析：已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18．解：根据题意可得：四位数3AA1，它能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数；因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18；当3+A+A+1=9时，A=2.5，不合题意；当3+A+A+1=18时，A=7，符合题意；所以，A代表7，这个四位数是3771．答：A是7，故答案为：7．点评：本题主要考查能被9整除数的特征，即一个数能被9整除，那么这个数的数字和一定是9的倍数，然后在进一步解答即可．三．整除性质【知识点归纳】整除的性质性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a＞b）．例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）．性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除．例如：3丨6，6丨24，那么3丨24．性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除．例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36．如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的．例如：7与50是互质的，18与91是互质的．性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除．例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除．性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2．性质4可以说是性质3的特殊情形．因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c．事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除．能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题．【命题方向】例1：一个数除以9余8，除以6余5，这个数加上1就能被5整除，则符合条件的最小自然分析：由题意可得：该数加上1，可以被9，6，5整除，即求三个数的最小公倍数减1；三个数的最小公倍数是3×3×2×5=90，所以最小是90-1=89．解：3×3×2×5-1=89；故答案为：89．点评：解答此题的关键是要明确：该数加上1，可以被9，6，5整除，即求三个数的最小公倍数减1即可．例2：从1到2010这2010个正整数中，能被8整除，且不能被9整除的正整数有224个．分析：先求出能被8整除的数的整数个数，所有8的倍数，去掉72的倍数即是8的倍数又是9的倍数，即可求出是能被8整除，且不能被9整除的正整数个数：1至2010这些整数，是能被8整除数的共有251个．2010÷8=251…4，又是8的倍数又是9的倍数那么就是72的倍数．2010÷72=27…66，251-27=224个解：2010÷8=251…4，所以1至2010这些整数，是能被8整除数的共有251个，2010÷72=27…66，能被72整除数的共有27个，所以能被8整除，且不能被9整除的正整数个数有251-27=224（个），故答案为：224点评：解决此题关键是先求出能被8整除的数的个数，能被72整除的数的个数，进一步得解．四．带余除法【知识点归纳】如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法．一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r．当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．【命题方向】例1：所有被4除余1的两位数的和为（）A、1200B、1208C、1210D、1224E、1229分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．例2：一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是324页．分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．解：设页数为x，①320＜x＜400；②270＜x＜360；③由①②得：320＜x＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．【题方法点拨】对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d 是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法．五．唯一分解定理【知识点归纳】（1）整数的唯一分解定理：设a＞1，则必有a=p1p2…p n，其中p i（1≤i≤n）是素数，在不计素数乘积的次序的意义下，表达式是唯一的．（2）此定理又称作算术基本定理，它是初等数论中最基本的定理之一，是整除理论的中心内容，它反映了整数的本质．算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性；分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的．【命题方向】例1：三个连续的自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和等于81．分析：先把9828分解质因数，即9828=2×2×3×3×3×7×13，因为是三个连续的自然数，因此通过试算得出结论．解：9828=2×2×3×3×3×7×13=26×27×2826+27+28=81答：这三个自然数的和等于81．故答案为：81．点评：此题通过分解质因数，通过推算，解决问题．例2：分母是135的最简真分数共有72个．分析：解答此题首先把135分解质因数，用质因数分别除135算出不是最简真分数（质因数的倍数为分子的不是最简真分数）的个数，每两个质因数的乘积为分子的已重复计算，要从总个数中减去，再加上以135为分子的1个，从135中减去不是最简真分数的总个数即为分母是135的最简真分数的个数．解：就是求与135互质并且小于135的数有多少，然后加1．135=3×3×3×5小于135的数，减去3和5的倍数3的倍数有3，6，9，…135，共45个5的倍数有5，10，15…135，共27个15的倍数15，30…135，共9个45+27-9=63个135-63=72个．答：分母是135的最简真分数共有72个．故答案为：72．点评：本题主要考查倍数、最简真分数以及容斥原理等方面的知识．几个简单的判别法有助于求一个数的标准分解式：（1）整数a能被2整除的，末尾数字是偶数（2）整数a能被3整除的，各位数字之和能被3整除（3）整数a能被5整除的，末尾数字是0或5（4）整数a能被11整除的，a的奇位数字的和与偶位数字的和之差能被11整除．同步测试一．选择题（共10小题）1．一个三位数，百位数字是A，十位数字是B，个位数字是C，表示这个三位数字的式子是（）A．A+B+C B．ABC C．100A+10B+C2．一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（）A．3B．4C．5D．63．用4、2、0三个数能组成（）个能被2和3整除的三位数．A．3B．4C．64．米平均分成（）份，每份是米．A．18B．54C．65．一个合数至少有（）A．一个因数B．两个因数C．三个因数6．参加学校体操表演的男女生共120人，男女生人数比一定不可能是（）A．1：5B．7：5C．11：13D．9：27．从1到2000共2000个整数里面，是3的倍数但不是5的倍数的数有（）A．532B．533C．534D．5358．一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是（）A．3B．6C．2D．19．一筐苹果，2个2个地拿，3个3个地拿，4个4个地拿，5个5个地拿都正好拿完没有余数，这筐苹果最少应有（）个．A．120B．90C．60D．3010．某民兵连在操场上列队，只知道人数在90到110人之间，且这些人排成3列无余数，排成5列不足2人，排成7列不足4人，则共有民兵（）人．A．108B．102C．107D．109二．填空题（共10小题）11．一个长方形的面积是210平方厘米，它的长和宽的厘米数是两个连续的自然数，这个长方形的周长是厘米．12．如果两个自然数相除，商是16，余数是13，被除数、除数、商与余数的和是569，那么被除数是．13．有些自然数，它加1是2的倍数，它加2是3的倍数，它的3倍加1是5的倍数，那么所有这样的自然数中最小的一个是．14．24能写出三个连续自然数的乘积：24＝2×3×4，但是18却不可以，如果把18与某个合适的自然数n 相乘，那么乘得的积也可以写成三个连续自然数的乘积．符合要求的n最小是．15．从0、1、4、5、6五个数字中，选四个数字组成一个能同时被2、3、5整除的最小四位数是16．为了参加中考跳绳测试小强带元到超市购买跳绳．如果买一根跳绳，他还剩元，若再帮同学买一根就只剩元（跳绳单价不变），则一根跳绳单价为元．17．一个六位数□1997□能被33整除，这样的数是．18．六位数□1991□能被66整除，则这个六位数是．19．一个小数，如果把它的小数部分扩大了5倍，它就变成17.92；如果把它的小数都扩大了8倍，它就变成20.38．则这个小数是．20．已知A＝（6143﹣728）×22472，那么A÷9的余数是．三．判断题（共5小题）21．四位数3AA1能被9整除，则A一定为7．．（判断对错）22．三个连续自然数的和一定是3的倍数．．（判断对错）23．连续的四个自然数中，一定有一个数是4的倍数．．（判断对错）24．42只能被7整除．．（判断对错）25．连续三个自然数的和必定能被6整除．（判断对错）四．应用题（共5小题）26．有一个四位数，十位上的数字是0，个位上的数字比百位上的数字大1，千位上的数字比百位上的数字小7，这个四位数是多少？27．有一个两位数，各数位上的数字之和是7，十位上的数字比个位上的数字小3．这个两位数是多少？28．林老师出生的年份数目：加上5的和是9的倍数，加上6的和是10的倍数，加上7的和是11的倍数，加上8的和是12的倍数，你知道林老师是哪一年出生的．29．用一个自然数去除另一个自然数，商为10，余数是1．被除数、除数、商、余数的和是89，求这两个自然数各是多少？30．一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子多堆，其中有一个孩子发现从石子堆选出六堆，其中至少有两堆的石子数除以5的余数相同，你能说一说他的结论对吗？为什么？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据数位顺序知：这个三位数是由A个100，B个10和C个1组成的，即：100A+10B+C；据此选择即可．【解答】解：由分析得出：这个三位数是：100A+10B+C．故选：C．【点评】解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．2．【分析】设：原两位数的十位数为x，个位数为y，则原两位数值为（10x+y），交换后两位数的个位数为x，十位数为y，数值为（10y+x），x、y为小于10的正整数．因为交换后的两位数比原来小27，所以：（10x+y）﹣（10y+x）＝27，进而得出x﹣y＝3．然后对x、y进行取值，解决问题．【解答】解：设原两位数的十位数为x，个位数为y，由题意得：（10x+y）﹣（10y+x）＝2710x+y﹣10y﹣x＝279x﹣9y＝27x﹣y＝3，则x﹣3＝y，y+3＝x，因为x、y为小于10的正整数，所以x＝9，8，7，6，5，4；对应的y＝6，5，4，3，2，1所以10x+y＝96，85，74，63，52，41共有6个．答：满足条件的两位数共有6个．故选：D．【点评】对于位置原则问题，一般采取设未知数的方法，推出关系式，进行取值，解决问题．3．【分析】被2整除数的特征是个位数为0、2、4、6、8的数；能被3整除数的特征是数的各位数相加的和能被3整除．所以，用4、2、0三个数能组成能被2整除的数有：240、420、402，204；由于4+2+0＝6，6能被3整除，所以这四个数同时也能被3整除，即用4、2、0三个数能组成4个能被2和3整除的三位数．【解答】解：根据能被2和3整除数的特征可知，用4、2、0三个数组成的被2和3整除的三位数有240、420、402，204；即用4、2、0三个数能组成4个能被2和3整除的三位数．故选：B．【点评】完成本题要在了解被2、3整除数的特征的基础上进行．4．【分析】根据题意，就是求米里面有几个米，由此列式解答并作出选择．【解答】解：÷＝6（份）．故选：C．【点评】此题关键是理解题意，就是求一个数里面有几个另一个数，用除法计算．5．【分析】根据合数的意义，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．所以合数至少有三个因数．据此选择．【解答】解：一个合数至少有三个因数．故选：C．【点评】此题考查的目的是理解合数的意义．明确：合数至少有三个因数．6．【分析】由题意知道，男女人数的总份数必须是120的约数，由此即可得到答案．【解答】解：9+2＝11（份），11不是120的约数，所以男女生人数的比不可能是2：9；故选：D．【点评】由题意知道，男女人数的总份数必须是120的约数，由此即可得到答案．7．【分析】先求出能被3整除的数的整数个数，所有3的倍数，去掉15的倍数即是3的倍数又是5的倍数，即可求出是3的倍数但不是5的倍数的数个数：1至2000这些整数，是3的倍数的共有666个．2000÷3＝666…2，又是3的倍数又是5的倍数那么就是15的倍数．2000÷15＝133…5，666﹣133＝533个．【解答】解：2000÷3＝666…2，1至两千这些整数，是3的倍数的共有666个2000÷15＝133…5，15的倍数有133个，是3的倍数但不是5的倍数的数个数666﹣133＝533（个），故选：B．【点评】解决此题关键是先求出能被3整除的数的个数，能被15整除的数的个数，进一步得解．8．【分析】一个数被7除，余数是3，假设商是a，根据余数性质，被除数等于商乘除数加余数，这个数等于7a+3；要求这个数的3倍被7除时余数是多少，代入计算式3（7a+3）÷7，得到3a+9÷7，3a是整数，9÷7＝1…2，所以商是3a+1，余数是2，因此得解．【解答】解：假设一个数被7除，余数是3，商是a，则这个数是：7a+3，这个数的3倍被7除时余数是：3（7a+3）÷7＝3a+9÷7＝（3a+1）…2，所以余数是2，故选：C．【点评】根据余数的性质，假设出未知数，进一步计算即可得解．9．【分析】一筐苹果，2个2个地拿，3个3个地拿，4个4个地拿，5个5个地拿都正好拿完而没有余数，说明这框苹果是2、3、4、5的倍数，因为4是2的倍数，只要是3、4、5的倍数就一定也是2的倍数，所以只要求出3、4、5的最小公倍数，即可得解．【解答】解：3、4、5互质，所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5＝60（个），答：这筐苹果最少应有60个；故选：C．【点评】灵活运用求几个数的最小公倍数的方法来解决实际问题．10．【分析】解答此题，首先把问题转化成带余除法算式，排成3列无余数，可以得出该整数为3的倍数，故排除选项C、选项D．排成5列不足2人，可以得出该整数被5整除余3，排成7列不足4人，可以得出该整数被7整除余3；故排除选项B．故选A.108．【解答】解：102÷3═36，108÷3═36；102÷5═20…2；108÷5═21…3；102÷7═14…4，108÷7═15…3；108人排成3列无余数，排成5列不足2人，排成7列不足4人，答案为108．故选：A．【点评】解答带余除法问题，一定要分清除数、被除数、余数之间的关系，否则易混淆余数，导致错误答案．二．填空题（共10小题）11．【分析】由“长和宽的厘米数是两个连续的自然数”可以设这个长方形的宽为x厘米，则长为（x+1）厘米，再据“长方形的面积是210平方厘米”可得：x（x+1）＝210，解此方程即可．【解答】解：设这个长方形的宽为x厘米，则长为（x+1）厘米，x（x+1）＝210，利用因式分解可得：x＝14，x+1＝15；长方形的周长：（14+15）×2＝58（厘米）．答：这个长方形的周长是58厘米．故答案为：58．【点评】解答此题的关键是：设出未知数，求出长方形的长和宽，进而求其周长．12．【分析】据题意可设被除数是a，除数是b，根据被除数、除数、商与余数的关系可得a＝16b+13，又被除数、除数、商与余数的和是569，所以a+b+16+13＝569，即16b+13+b+16+13＝569，解出b的值就能求出被除数了．【解答】解：设被除数是a，除数是b，则：a＝16b+13；a+b+16+13＝569；即16b+13+b+16+13＝56917b＝527，b＝31；所以被除数是：a＝16×31+13＝509．故答案为：509．【点评】完成本题主要是通被除数、除数、商与余数的关系及被除数、除数、商与余数的和是569这两个条件从而求出除数是多少来解决问题的．13．【分析】加1是2的倍数，加2是3的倍数，则这样的数比2、3的公倍数多1，2、3的最小公倍数是6，6+1＝7，则所有这样的自然数中最小的一个是7，7×3+1＝22，22不是5的倍数；6×2+1＝13，13×3+1＝40，40是5的倍数；据此解答．【解答】解：2、3的最小公倍数是6，6+1＝7，则所有这样的自然数中最小的一个是7，7×3+1＝22，22不是5的倍数；6×2+1＝13，13×3+1＝40，40是5的倍数；答：所有这样的自然数中最小的一个是13．故答案为：13．【点评】此题主要把实际问题转化为求最小倍数的数学问题，解决数学问题，回到实际问题，这是数学中常用的一种方法．14．【分析】首先把18分解质因数为18＝2×3×3，连续的三个自然数中，含有两个因数3，从最小的考虑，有7、8、9，8、9、10，因为要求的n最小，所以是7、8、9三个连续自然数的乘积．【解答】解：18＝2×3×3，而7×8×9＝7×2×2×2×3×3＝18×28＝7×8×9，所以符合要求的n最小是28．故答案为：28．【点评】此题考查分解质因数的运用，注意连续三个自然数中不会出现有两个数是3的倍数．15．【分析】根据2、3、5的倍数的特征可知：能同时被2、3、5整除的数的特征是：个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数．据此解答．【解答】解：要先满足个位上是0，要使这个四位数最小，就要选取另外4个数中较小的3个数，因为1+4+5＝10，1+4+6＝11，10和11都不是3的倍数，所以只有1+5+6＝12符合要求；所以这个最小的四位数是1560．故答案为：1560．【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征．注意个位上是0的数同时是2和5的倍数．16．【分析】如果买一根跳绳，他还剩元，若再帮同学买一根就只剩元（跳绳单价不变）．（a、b 都是一位数）．假设一根跳绳的价格为：x元．有一下等量关系式：100a+b﹣x＝10b+a①（买一根余额．）10b+a﹣x＝10a+b②（再买一根余额．）根据这两个式子求跳绳的价格．【解答】解：设一根跳绳的价格为：x元．有一下等量关系式：100a+b﹣x＝10b+a①（买一根余额．）10b+a﹣x＝10a+b②（再买一根余额．）①式﹣②式得：a＝1 b＝6（100a+b﹣x）﹣（10b+a﹣x）＝（10b+a）﹣（10a+b）99a﹣9b＝9b﹣9a11a﹣b＝b﹣a12a＝2bb＝6aa＝1 b＝6a＝2时b＝12 （不满足a、b都是一位数的要求）．因此a＝1 b＝6 代入①式﹣②式得：106﹣61＝45．答：一根跳绳单价为45元．故答案为：45．【点评】把aob这个三位数写成100a+b的形式是解题的突破口．17．【分析】能被33整除的数，一定能被3整除，用列举法，分别列出首位是1﹣9的所有情况，再逐个检验后确定答案．【解答】解：119970，119973，119976，119979；219972，219975，219978；319971，319974，319977；419970，419973，419976，419979；519972，519975，519978；619971，619974，619977；719970，719973，719976，719979；819972，819975，819978；919971，919974，919977；检验后得出219978、619971和919974都能够被33整除．故答案为：219978、619971或919974．【点评】解决此题关键是理解能被33整除的数，一定能被3整除，再用列举法，分别列出首位是1﹣9的所有情况，再逐个筛查．18．【分析】19910÷66＝301余44，100000÷66＝1515余10（2000÷66余20，以此类推）．要使这个六位数能被66整除，那么个位数加上余数44，再加上□00000（整十万）除以66产生的余数，它们的和应该是66的倍数；据此解答．【解答】解：19910÷66＝301余44，100000÷66＝1515余10（2000÷66余20，以此类推）．要使这个六位数能被66整除，那么个位数加上余数44，再加上□00000（整十万）除以66产生的余数，它们的和应该是66的倍数．所以10×2+44+2＝66×1，10×8+44+8＝66×2，所以，这个六位数是219912或819918．故答案为：219912或819918．【点评】此题主要考查数的整除的特征，明确除以66产生的余数，它们的和应该是66的倍数．19．【分析】先根据20.38﹣17.92可得这个数的小数部分的3倍是多少，再除以3可得原数的小数部分即为0.82，用17.92减去这个小数部分的5倍即可得原数17.82﹣4.1＝13.82．【解答】解：20.38﹣17.92＝2.462.46÷3＝0.820.82×5＝4.1017.92﹣4.10＝13.82故答案为：13.82．【点评】本题首先要求出这个数的小数部分，再根据题意推理计算即可．20．【分析】根据“弃九法”直接简算即可．【解答】解：6143去掉数字6+3＝9，剩下的数字和是1+4＝5，728去掉数字7+2＝9，剩下的数字是8，5减8不够减，所以9+5﹣8＝6，所以（6143﹣728）÷9的余数就是6；同理，22472去掉数字7+2＝9，剩下的数字和是2+2+4＝8，所以22472÷9的余数就是8；6×8＝48所以，48÷9＝5 (3)所以，A÷9的余数是3．故答案为：3．【点评】本题考查了利用“弃九法”求余数的问题，一个数除以9的余数，等于数字和除以9的余数．三．判断题（共5小题）21．【分析】已知四位数3AA1正好是9的倍数，则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数，可能是9的1倍或2倍，可用试验法解答．【解答】解：假设3+A+A+1＝9，则A＝2.5，不合题意，舍去；再设3+A+A+1＝18，则A＝7，符合题意；那么A＝7．故答案为：√．【点评】此题应根据能被9整除数的特征，进行分析解答即可．22．【分析】设三个连续自然数中的第一个为a，由这三个连续的自然数可表示为a、a+1，a+2．其和为：a+（a+1）+（a+2）＝3×（a+1），所以三个连续自然数的和一定是3的倍数．【解答】解：设三个连续自然数中的第一个为a，则三个连续自然数的和为：a+（a+1）+（a+2）＝3×（a+1）．所以，所以三个连续自然数的和一定是3的倍数．故答案为：正确．【点评】本题是根据相邻的两个自然数相差1的特点从而求出个连续自然数的和是3的倍数的．23．【分析】根据4的倍数的特征，举出反例进行判断【解答】解：如：0、1、2、3是四个连续的自然数，但是没有一个是4的倍数．因此，四个连续自然数中，一定有一个是4的倍数．这种说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解掌握4的倍数的特征．24．【分析】整数a除以整数b（不≠0），得到的商是整数，而没有余数，就说整数a能被整数b整除，整数b能整除整数a，根据整除的含义，42不只是能被7整除，它还能被1、2、3、6、14、21、42整除．由此作出判断．【解答】解：因为42能被1、2、3、6、7、14、21、42整除，所以42只能被7整除错误．故答案为：错误．【点评】解决此题关键是理解整除的含义，找出能整除42的数，再做出判断．25．【分析】设三个连续自然数中的第一个为a，由这三个连续的自然数可表示为a、a+1，a+2．其和为：a+（a+1）+（a+2）＝3×（a+1），所以三个连续自然数的和一定是3的倍数，不一定是6的倍数．【解答】解：设三个连续自然数中的第一个为a，则三个连续自然数的和为：a+（a+1）+（a+2）＝3×（a+1），所以三个连续自然数的和一定是3的倍数，不一定是6的倍数，即连续三个自然数的和不一定能被6整除．故答案为：×．【点评】本题是根据相邻的两个自然数相差1的特点从而求出三个连续自然数的和是3的倍数的．四．应用题（共5小题）26．【分析】根据题意可知，“个位上的数字比百位上的数字大1”，说明百位上的数字不是9，而“千位上的数字比百位上的数字小7”，所以百位是8，个位是9，千位是1．这个数为：1809．【解答】解：因为“个位上的数字比百位上的数字大1”，说明百位上的数字不是9，。

冀教版初中数学八年级上册第十五章二次根式15.2《二次根式的乘除》教学设计说明在设计本课时教案时，引导学生通过计算发现规律，从而由特殊到一般地给出二次根式的乘法法则、除法法则．注意引导学生类比积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系．通过例题的讲解，及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力．重视课本例题，适当地对立体进行引申，引发学生自主探寻与思考，突出例题在巩固强化中的作用，有利于学生对知识的串联、积累、加工，从而起到举一反三的效果．在学习过程中，采用小组学习方式，组间竞争，按各组表现评出最优小组，激发学生学习积极性和兴趣．（1）教材分析《二次根式的乘除》是是初中数学的重要内容之一，是《课程标准》“数与代数”的重要内容，是对“实数”、“代数式”等内容的延伸和补充．（2）学情分析本节课的内容是在理解二次根式的定义及相关概念的基础上，进一步研究二次根式的运算，是对二次根式的简便运算．二次根式的乘除这一节的知识构造较为简单，并且是在学生学习了平方根，立方根等内容的基础上进行的．由于学生对算术平方根等概念已经有了初步认识，这为学生学习打下了基础，在和学生一起学习的过程中，我们要创造条件和机会，让学生发表自己的见解，发挥学生学习的主动性和积极性．一、教学目标（1a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简．（2）理解ab=ab（a≥0，b>0），ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．（3a b ab a≥0，b≥0）ababa≥0，b>0）并运用它们进行计算；•利用逆向思维，ab a b a≥0，b≥0），a baba≥0，b>0）并运用它们进行解题和化简．（4）培养学生对于事物规律的观察，发现能力，激发学生的学习激情．二、教学重点、难点a b ab a≥0，b≥0）ab a b a≥0，b≥0）abab（a≥0，b>0）ababa≥0，b>0）及运用，最简二次根式的概念．难点：二次根式的乘除法法则的逆用ab=a·b（a≥0，b≥0），a bab(0,0)a b≥>．课时设计两课时教学策略由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此，要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要注意逐步有序的展开，在讲解二次根式的乘除时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系．积的算术平方根的性质及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算具体的例子，引导他们做出一般的结论．由于归纳法是通过一些个别的，特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论．因此，本文采用从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习相结合的方法．这种思维过程，对于初中生认识，研究和发现事物的规律有着重要作用，对于培养思维品质也有重要意义．三、教学过程情境导入，这个长方形的面积是多少？2．【问题探究】这个结果能否化简？如何化简？【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，体会数学来源于生活，又应用于生活，让学生初步感受二次根式的乘除．探索新知探究一1．填空=______；（1（2（3．（4，2．利用计算器计算填空，（2（1（32．（1）=，（2）=，（3）=，（4）=．师：提出问题：观察上面的结果，你发现他们有什么特点吗？小组讨论、抢答．生：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式相乘等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．【归纳总结】反过来【设计意图】由特殊例子出发，由特殊到一般给出二次根式的乘法法则．例1．计算；（2（3（4．（1解析：（1（2=（3（4a≥0，b≥0）计算即可．点评：例2．化简（2（3；（1（4（5×4=12；解析：（1（2（3（4=3xy；（5．（a ≥0，b ≥0）直接化简即可．例3．计算解析：⨯⨯==点评：在（1）中要注意，在被开方数相乘的时候可以考虑因数分解或因式分解，在（2）中0,0)a b =≥≥，即根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；在（3）中要注意x ，y 的符号．【设计意图】通过例题的讲解，让学生体会二次根式的乘法法则．探究二（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（2=________．（13．利用计算器计算填空:（1答案：1．反过来2．3344(1),;(2),;==.规律：，44663．(1)=(2)=.；【归纳总结】【设计意图】由特殊例子出发，由特殊到一般给出二次根式的乘法法则．例4．计算：（1（2（3（4）．解析：（1=2 ；（2==（3==2；（4．点评：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案．例5．化简：（1（2（3（4解析：（1=；（283ba =；（38y =；（413y ．a ≥0，b >0）就可以达到化简之目的． 【设计意图】通过例题的讲解，让学生体会二次根式的除法法则．例6．计算：（1；（2；（3． 解析：（15；（2=3；（3=a ． 观察上面例6的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是12km,km h h ，那么它们的传播半径的比是_________．．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．（学生分组讨论，到黑板上板书）．2==．【设计意图】巩固二次根式的除法法则，通过观察总结归纳出最简二次根式的特点．例7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．AC解：因为222AB AC BC=+所以AB=132====6.5（cm），因此AB的长为6.5cm．点评：学生掌握最简二次根式概念之后，通过两个例题让学生先尝试的去应用所学的知识，初步体验成功，树立学习的自信心．【设计意图】学生掌握最简二次根式概念之后，通过实际问题的例题讲解，激发学生的兴趣，引导学生体会数学来源于生活，又应用于生活．巩固练习教材对应习题．【设计意图】为学生提供演练机会，加强对二次根式加减运算的理解及掌握．应用拓展1．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4解：（1）不正确．×3=6；（2）不正确．4．a、b的取值范围分别是a≥0，b>0．带分数作为被开放数化简时必须先把带分数化成假分数再化简．2=，且x为偶数，求(1+)x解析：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩．∴6<x≤9．∵x为偶数，∴x=8．∴原式=(1+)x(1+)x=(1+)x 4(1)x x -+=(1)(4)x x +-． ∴当x =8时，原式的值=49⨯=6．点评：式子a b =a b，只有a ≥0，b >0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x -6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x =8．3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121+=1(21)2121(21)(21)⨯--=-+-=2-1，132+=1(32)3232(32)(32)⨯--=-+-=3-2， 同理可得：143+=4-3，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121++132++143++……120122013+）（）的值．解析：原式=（2-1+3-2+4-3+…+2013-2012）×（20131+） =（20131+）（）=2013-1=2012．点评：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．四、课堂小结（学生小组总结展示，师补充）1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用．2．二次根式的除法法则a≥0，b>0（a≥0，b>0）及其运用．3．最简二次根式的概念及其运用．【设计意图】梳理本节课的主要知识点，让学生明确重难点．课后作业一、选择题1（y>0）是二次根式，那么它化为最简二次根式是（）A（y>0） By>0） C（y>0） D．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（）A．．3．在下列各式中，化简正确的是（）A=±12C 2D ．4的结果是（ ）A ．-3 B ．．-3 D ．5．阅读下列运算过程：3==5==数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”） A ．2 B ．6 C ．13 D二、填空题6．（x ≥0）7．_________． 三、综合提高题8，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？9．已知a为实数，-阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：-a·1a=（a-110．若x、y为实数，且y答案:一、1．C 2．D 3．C 4．C 5．C二、6．7．三、8．设：矩形房梁的宽为x（cm）cm，依题意，得：2222);)x x cm x cm+==⋅=．9．不正确，正确解答：因为301aa⎧->⎪⎨->⎪⎩，所以a<0，aa=(1-a10．∵224040xx⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=14∴4====．教学反思本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，要求学生能熟练运用乘法法则和除法法则进行化简和计算．在教学过程中，通过一些特殊的例子让学生归纳出乘法法则和除法法则，学生比较容易接受．但是在具体进行化简和计算的过程中，学生对二次根式乘法法则和除法法则理解上问题不大，但常常忘记计算结果需要化简，此外被开方数是多项式的乘除法运算上容易出现错误，对分母有理化还不够熟练．因此还要加强训练，否则，在下一节二次根式的加减和混合运算时出现的错误会更多．总之，二次根式的乘除运算法则的学习和应用的过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维．。