专题3.6 同底数幂的除法1、掌握同底数幂的除法运算法则；2、掌握同底数幂的除法运算的逆运算；知识点01 同底数幂的除法运算【知识点】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.【典型例题】1．（四川省南充市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）下列计算正确的是（ ）A ．326m m m ×=B ．()326m m -=-C ．()224mn mn -=D ．623m m m ¸=【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法运算可判断A ，根据幂的乘方运算可判断B ，根据积的乘方运算可判断C ，根据同底数幂的除法运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：325m m m ×=，故A 不符合题意；()326m m -=-，故B 符合题意；()2224mn m n -=，故C 不符合题意；624m m m ¸=，故D 不符合题意；故选B ．m n m n a a a -¸=a m n 、m n >【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知2625·55a b =，444b c ¸=，则代数式23a ab c ++值是（ ）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】根据262555,444,a b b c =¸=g 可以得到31,2,a b b c a c +=-=+=，然后再根据()23333,a ab c a a b c a c ++=++=+即可得到结果．【详解】解：262555,444,a b b c =¸=Q g 22655,44,a b b c +-\==31a b b c \+=-=，，两式相减，可得2a c +=，()2333332 6.a abc a a b c a c ++=++=+=´=故选：B ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则的运用、代数式求值，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．3．（2023·全国·九年级专题练习）()()()943a b b a a b -¸-¸-=______．【答案】()2a b -【分析】首先变形化为同底数幂，再利用同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．【详解】解：原式()()9423()()a b a b a b a b =-¸-¸--= ；故答案为：()2a b -．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．4．（2023春·七年级课时练习）已知3m a =，4n a =，则32m n a -=___________．5．（2023春·江苏·七年级专题练习）根据已知求值．(1)已知1639273m m ´´=，求m 的值．(2)已知2,5m n a a ==，求23m n a ﹣的值．(3)已知2530x y +-=，求432x y ×的值．【即学即练】1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）A ．3332b b b ×=B ．()257a a =C ．()()32xy xy xy ¸=D ．()2224a a -=-【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，逐一进行计算，判断即可．【详解】解：A 、336b b b ×=，选项错误，不符合题意；B 、()2510a a =，选项错误，不符合题意；C 、()()32xy xy xy ¸=，选项正确，符合题意；D 、()2224a a -=，选项错误，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、除法，幂的乘方和积的乘方．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．2．（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）下列计算结果正确的是（ ）A ．()326m m -=B ．448m m m +=C ．632m m m ¸=D ．268m m m ×=【答案】D【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘除法法则分别计算即可．【详解】解：A ．()326m m -=-，故错误，选项不符合题意；B ．4442m m m +=，故错误，选项不符合题意；C ．633¸=m m m ，故错误，选项不符合题意；D ．268m m m ×=，故正确，选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘除法，掌握相关的法则是解题的关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）计算：32a a +=______；32a a ×= ______；32a a ¸=_____；32a a ×=______；32a a ¸=______；22(3)ab -=______【答案】 5a 26a 1.5 5a a 249a b 【分析】分别根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方法则计算即可．【详解】解：325a a a +=；2326a a a ×=；32 1.5a a ¸=；325·a a a =；32a a a ¸=；2224(3)9ab a b -=．故答案为：25245,6,1.5,,,9a a a a a b ．【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方法则是解答本题的关键．4．（2023春·全国·七年级专题练习）下列运算：①()22236xy x y -=-； ②326p p p ×=； ③623a a a ¸=； ④1m m a a a +×=；⑤()()4222bc bc b c -¸-=-，其中错误的是___．（填写序号）【答案】①②③⑤【分析】根据积的乘方、同底数幂乘法和除法运算法则进行计算即可．【详解】解：①()22239xy x y =-，故①符合题意；②325p p p ×=，故②符合题意；③624a a a ¸=，故③符合题意；④1m m a a a +×=，故④不符合题意；⑤()()4222bc bc b c -¸-=，故⑤符合题意；综上分析可知，错误的有①②③⑤．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．5．（2023春·七年级课时练习）计算(1)105a a ¸；(2)()()3x y x y -¸-；(3)()()54a b b a ¸--；(4)()2m m y y ¸．【答案】(1)5a (2)22x y (3)a b-(4)my 【分析】（1）按照同底数幂除法的法则计算即可；（2）按照同底数幂除法的法则计算，再按照积的乘方法则计算；（3）先将()4b a -化为()4a b -，再按照同底数幂的除法法则计算；（4）先按照幂的乘方法则计算，再按照同底数幂的除法法则计算．【详解】（1）解：1055a a a ¸=；（2）解：()()3xy xy -¸-()2xy =-22x y =；（3）解：()()54a b b a ¸--()()54a b a b =¸--a b =-；（4）解：()2m m y y ¸2m my y =¸m y =．【点睛】本题考查同底数幂的除法的运算法则，正确计算是解题的关键．知识点02 同底数幂的除法的逆运算【典型例题】1．（2023春·七年级单元测试）若23x =，45y =，则22x y -的值为（ ）A ．3B ．2-C ．35D ．5【答案】C【分析】利用同底数幂除法和幂的乘方的逆运算法则计算即可．【详解】解：∵23x =，45y =，2．（2023春·七年级课时练习）若322m n -＝，则279m n 的值是（ ）A ．9-B ．9C ．19-D ．193．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）若2,3m n x x ==，则m n x -=_____________；当23m n +=时，则24m n ×=____________．4．（2023春·七年级课时练习）正整数2022k ³，那么212122022k -----…除以3的余数是 _____．5．（2023春·七年级课时练习）已知4m a =，8n b =，用含a ，b 的式子表示下列代数式：(1)求：232m n +的值；(2)求：①462m n -的值；②已知2628162x ´´=，求x 的值．②∵2628162x ´´=，∴()34262222x´´=，∴34262222x ´´=，∴1342622x ++=，∴13426x ++=，解得：7x =．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．【即学即练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知53x =，52y =，则235x y -=（ ）A ．14B ．1C ．23D ．982．（2022秋·八年级课时练习）若1020a =，10050b =，则241a b +-的值是（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】B【分析】先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算求出2210400102500a b ==，，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出24151010a b +-=即可得到答案．【详解】解：∵1020a =，10050b =，∴()221010400a a ==，()22100101050bb b ===，∴()24210102500b b ==，∴2412451010101010000010a b a b +-=´¸==，∴2415a b +-=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂乘除法的逆运算，代数式求值，熟知相关计算法则是解题的关键．3．（2023秋·山西朔州·八年级统考期末）已知310a =，98b =，则23a b -的值为______．【答案】54##1.25##1144．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）已知2,32m n a b ==，m ，n 为正整数，则252m n -＝______．（用含a ，b 的式子表示）5．（2023春·七年级课时练习）已知，若实数a 、b 、c 满足等式54a =，56b =，59c =．(1)求25a b +的值；(2)求25b c -的值；(3)求出a 、b 、c 之间的数量关系．题组A 基础过关练1．（2023秋·河南周口·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）A ．2323a a a +=B ．236()a a -=-C ．623a a a ¸=D ．236a a a ×=【答案】B【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法和单项式乘以单项式法则依次运算判断．【详解】A ．22a a +不能合并，故错误；B ．236()a a -=-，故正确；C ．624a a a ¸=，故错误；D ．235a a a ×=，故错误．故选B ．【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法和单项式乘以单项式，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）计算32m m ¸的结果是（ ）A ．mB ．m 2C ．m 3D ．m 5【答案】A【分析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可．【详解】解： 3232m m m m -¸==．故选：A ．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，底数不变，指数相减，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）若=2m x ，6m n x +=，则n x =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．12【答案】B【分析】根据同底数幂除法的计算法则进行求解即可．【详解】解：∵=2m x ，6m n x +=，∴623n m n m x x x +=¸=¸=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了同底数幂除法，熟知同底数幂除法的计算法则是解题的关键，注意同底数幂除法指数是相减．4．（2023秋·山西朔州·八年级校考期末）若0a >且2x a =，3y a =，则x y a -的值为（ ）A ．6B ．5C ．1-D ．235．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）计算：62m m ¸=______．【答案】4m 【分析】直接根据同底数幂的除法法则计算即可．【详解】解：原式624m m -==，故答案为：4m ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减．6．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）若58m =，54n =，则5m n -=_________．【答案】2【分析】根据同底数幂的除法进行计算即可．【详解】解：∵58m =，54n =，\5m n -=55842m n ¸=¸=，故答案为：2．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的运算法则是解决本题的关键．7．（2023春·七年级课时练习）已知：212m=，248n =，则2m n -=__．【答案】14##0.258．（2022春·河北邢台·七年级统考期中）（1）计算：()223x y xy ×-=______．（2）若212x =，42y =，则22x y -的值为______．【答案】 326x y - 6【分析】（1）根据单项式乘单项式的法则计算即可；（2）逆用同底数的除法法则计算即可．【详解】解：（1）()322263x y xy x y -×-=；（2）∵212x =，42y =，∴222y =，∴222212622x y x y -=¸=¸=．故答案为：326x y -，6．【点睛】本题考查了单项式乘单项式，同底数的除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．9．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）计算：(1)2643x x x -¸；(2)()()322340.125x y xy ．10．（2023春·七年级课时练习）若m n a a =（0a >，1a ¹，m ，n 都是正整数），则m n =，利用上面结论解决下面问题：(1)已知62m a a a ¸=，求m 的值．(2)已知2530x y +-=，求432x y ×的值．【答案】(1)4m =(2)8【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可．【详解】（1）解：626m m a a a a -¸==Q62m \-=，4m \=；（2）解：2530x y +-=Q ，253x y \+=，2525343222228x y x y x y +\×=×===．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法与除法，掌握同底数幂的乘法与除法法则是解题的关键．题组B 能力提升练1．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）A ．326a a a ×=B ．()326a a =C ．824a a a ¸=D ．22a a a +=【答案】B【分析】根据同底数幂的乘方、乘法及除法与合并同类项依次计算判断即可．【详解】解：A 、325a a a ×=，选项计算错误，不符合题意；B 、()326a a =，选项计算正确，符合题意；C 、826a a a ¸=，选项计算错误，不符合题意；D 、2a a a +=，选项计算错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】题目主要考查同底数幂的乘方、乘法及除法与合并同类项，熟练掌握各个运算法则是解题关键．2．（2023春·七年级课时练习）若4x m =，4y n =，则4x y -等于（ ）A ．m n+B ．m n -C ．mn D ．m n【答案】D【分析】根据逆用同底数幂的除法进行计算即可求解．【详解】解：∵4x m =，4y n =，3．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）若25a =，23b =，则2a b -的值为（ ）A ．53B ．2C ．4D ．154．（2023春·七年级课时练习）下列计算中正确的个数有（ ）①()()32a a a -¸-=-；②32345m mn m n n -=-；③3253(62)x x x ×-=-；④324(2)2a b a b a ¸-=-；⑤325()a a =；⑥2124-=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个故选：C ．【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法（底数不变，指数相加），同底数幂的除法（底数不变，指数相减），幂的乘方()nm mn a a =运算法则是解题关键．5．（2023·全国·九年级专题练习）计算：23322493(·2)()a a a a a a -+--¸+=__________．【答案】6a 【分析】先算幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，再合并同类项．【详解】解：原式666662a a a a a =-+-+=．故答案为：6a ．【点睛】本题考查了幂的运算，合并同类项，熟记“幂的乘方、同底数幂的乘法和同底数幂的除法的运算法则”是正确解答本题的关键．6．（2023春·江苏·七年级专题练习）若x a m =，y a n =，则x y a -=__．7．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）已知6m x =，=3n x ，则()2m n x -的值为______．【答案】4【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法计算即可．【详解】Q 6m x =，=3n x ，\ ()2m n x -()()2222634mn x x =¸=¸=．故答案为：4．【点睛】本题考查幂的乘方以及同底数幂的除法计算，熟记幂的运算法则是解答本题关键．8．（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）已知5m a =，5n b =，则25m n +=______，235m n -=______．（请用含有a ，b 的代数式表示）9．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）（1）已知35x m x n==，，用含有m n，的代数式表示14x．（2）已知221933nm m+æö¸=ç÷èø，求n的值．10．（2023春·七年级课时练习）已知53a=，58b=，572c=．(1)求()25a的值；(2)求5a b c +-的值；(3)直接写出字母a 、b 、c 之间的数量关系为______．题组C 培优拔尖练1．（2023春·七年级课时练习）已知23a =，84b =，则312a b -+的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．25D ．32【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法和幂的乘方公式进行转化，再整体代入计算即可解答．【详解】解：23a =Q ，84b =，2．（2023春·七年级课时练习）已知36a =，92b =，则23a b -=（ ）A ．3B ．18C ．6D ．1.5【答案】A【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可．【详解】解：当36a =，92b =时，23a b -=233a b ¸39a b=¸62=¸3=．故选：A ．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．（2023春·七年级课时练习）若2m a =，2n b =，则232m n -等于（ ）A ．23a bB ．23a b -C ．23a bD ．23a b -+【答案】A 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：∵2m a =，2n b =，∴232m n-23=22m n¸23(2)(2)m n =¸4．（2023春·七年级课时练习）已知xa=3，xb=4，则x3a-2b 的值是（ ）A ．278B ．2716C ．11D ．195．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知：4=m x ，2n x =，求34m n x -的值为____．【答案】4【分析】逆用同底数幂除法和幂的乘方的法则即得，法则是同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．【详解】∵4=m x ，2n x =，∴()()34324343424m n n m n m x x x x x -=¸=¸=¸=．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握同底数幂除法和幂的乘方运算法则，是解题关键．6．（2023春·七年级课时练习）如果()()541135x x x -¸-=+，那么x 的值为_____．【答案】3-【分析】利用同底数幂的除法算出等式左边的值，再解一元一次方程即可．【详解】解：∵()4411x x --＝，∴原方程可变形为()()541135x x x -¸-=+．∴135x x -=+．解得：3x =-．经检验：3x =-是原方程的解．故答案为：3-．【点睛】本题考查同底数幂的除法，以及解一元一次方程．熟练掌握同底数幂的除法法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键．7．（2023春·七年级单元测试）若927819a b c ׸=，则234a b c +-的值为______．【答案】2【分析】先化为同底数幂，再根据同底数幂相乘、同底数幂相除的法则，计算即可．【详解】解：9a ⋅27b ÷81c =92343339a b c ׸=234233a b c +-=∴2a +3b −4c =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方，解题的关键是化为同底数幂后再计算．8．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）已知22555a b b ×=，444b a ¸=，则代数式2a +2b 值是_________．9．（2023春·江苏·七年级专题练习）(1)若1632793m m ´¸=，求m 的值；(2)已知2x a =-，3y a =，求32x a -y 的值；(3)若n 为正整数，且24n x =，求2222()3)4(n n x x -的值．80=．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．10．（2023春·七年级单元测试）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若x a N = (0a >且1a ¹)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作a x log N =，比如指数式4216=可以转化为对数式2416log =，对数式5225log =，可以转化为指数式2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log a a a M N M N ×=+01(0)0a a M N >¹>>，，，，理由如下：设log a M m =，log a N n =，则m n M a N a ==，，∴m n m n M N a a a +×=×=，由对数的定义得log ()a m n M N +=×又∵log log a a m n M N +=+，∴log ()log log a a a M N M N ×=+．请解决以下问题：(1)将指数式4381=转化为对数式_______；(2)求证：log a M N=log log 0100()a a M N a a M N ->¹>>，，，；(3)拓展运用：计算666log 9log 8-log 2+=______．【答案】(1)34lo 81g =(2)证明见解析(3)2【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．（2）根据指数与对数的关系求证．（3）利用（1）、（2）中的对数运算法则求解．【详解】（1）解：根据指数与对数关系得：34log 81=．故答案为：34log 81=．。
同底数幂的除法1．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m÷a n=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．2．零指数幂零指数幂：a0=1（a≠0）由a m÷a m=1，a m÷a m=a m﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00无意义．3．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=1（a≠0，p为正整数）αp注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．【典例】1.（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1=（）A.（a+b+c）2B.（a+b+c）4C.（a+b+c）2n+1D.a4+b4+c4【方法总结】此题主要考查了同底数幂的乘除运算:底数不变，指数相减．【随堂练习】1.计算a2• a4•（2•a2）4÷（a2）5的结果是_____【典例】1.若2018m=5，2018n=4，则20183m﹣2n等于____【方法总结】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方的性质，解答本题的关键是将20183m﹣2n转化成同底数幂的除法，即转化成20183m÷20182n的形式，再利用幂的乘方法则，将20183m，20182n 分别用（2018m）3、（2018n）2代换，即20183m÷20182n转化成为（2018m）3÷（2018n）2，然后将2018m=5，2018n=4代入（2018m）3÷（2018n）2即可求解．【随堂练习】1.已知10x=9，10y=4，则102x﹣3y的值为_____2.若a x=2，a y=3，则a3x﹣2y=_____。
