数学建模
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数学建模—基因遗传学号：201101050061 姓名：王娟引言遗传是我们一直关心的一个话题，所谓常染色体遗传是指：后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型。
如果所考虑的遗传特征是有两对基因R和r，Y和y控制的，那么就有九种基因型：YYRR，YYRr，YyRR，YyRr，YYrr，Yyrr，yyRR，yyRr，yyrr。
豌豆果实豌豆粒的颜色黄色和绿色是由一对遗传基因决定的遗传现状，含有R的表现为黄色，含有rr的表现为绿色。
而豌豆粒的外形圆或皱，则由另一对基因决定，含有Y的表现为圆形，而含有yy的表现为皱粒。
其中基因r对于R是隐性，y对于Y是隐性的。
当一个亲体的基因为YYRR，另一个亲体的基因型为YyRr，那么后代便可从YyRr型中的得到基因和从YYRR中得到的基因是等可能性地。
1问题提出豌豆植物的基因型有YYRR，YYRr，YyRR，YyRr，YYrr，Yyrr，yyRR，yyRr，yyrr。
先计划采YyRr型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，问若干年后，豌豆植株的任意一代的九种基因型分布如何？是否九种基因型依然存在，存在情况是怎样的？2模型假设由问题分析，后代从上一代亲体中继承基因，形成了自己的基因型，而基因型确定后代的表现特征。
其中YYRR，YYRr，YyRR，YyRr表现型是圆形黄色颗粒，YYrr，Yyrr表现型是圆形绿色颗粒，yyRR，yyRr表现型是皱形黄色颗粒，yyrr表现型是皱形绿色颗粒。
根据基因遗传的定律，后代从上一代亲体中遗传得到的基因R或r，Y或y是等可能性的，用YyRr型植物与YYRR，YYRr，YyRR，YyRr，YYrr，Yyrr，yyRR，yyRr，yyrr这几种基因型植物分别相结合繁殖后代。
那么后代所有的可能结合得到的基因型种类及后代每种基因型的概率分布情况可由表列出，即后代每种基因型的概率分布情况如下表2-1 后代每种基因型的概率分布情况表以n a ,n b ,n c ,n d ,n e ,n f ,n g ,n h ,n p 分别表示第n 代植物中基因型为YYRR ，YYRr ，YyRR ，YyRr ，YYrr ，Yyrr ，yyRR ，yyRr ，yyrr 的植物总数的百分率，()n x 表示第n 代植物的基因型分布，即有()Tn n n n n n n nn a n p h g f e d c b x =)( (0,1,2)n = （2-1）就是当n=0时，()Tp h g f e d c b a x 00000)0(=表示植物基因型的初始分布，所以有100000000=++++++++o p h g f e d c b a3模型建立因为原问题是采用YyRr 型与每种基因型相结合，因此这里首先要考虑第n代中的YyRr 型，按上表2-1所列出数据。
第n 代YyRr 型所占的百分率为如下的第四行的n d ，其他的基因型YYRR ，YYRr ，YyRR ，YyRr ，YYrr ，Yyrr ，yyRR ，yyRr ，yyrr 表示分别如下1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111114/18/108/1016/10004/14/14/18/108/18/1004/18/14/10016/18/1004/18/104/4/18/108/100008/14/116/108/104/14/14/14/14/14/14/14/14/108/14/1008/14/18/14/10008/14/18/18/14/14/10000016/18/18/14/1---------------------------------------------------------------------------------++++++++=++++++++=++++++++=++++++++=++++++++=++++++++=++++++++=++++++++=++++++++=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n p h g f e d c b a p p h g f e d c b a h p h g f e d c b a g p h g f e d c b a f p h g f e d c b a e p h g f e d c b a d p g f f e d c b a c p h g f e d c b a b p h g f e d c b a a 将以上各式联立，并用矩阵形式表示得到(1)n n x x -=M (0,1,2)n = （2-2）其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M 4/18/108/1016/1004/14/14/18/108/18/10008/14/10016/18/1004/18/104/14/18/108/100008/14/116/108/104/14/14/14/14/14/14/14/14/108/14/108/14/18/14/10008/14/18/18/14/14/10000016/18/18/14/1 由式（2-2）进行递推，可获得第n 代基因型分布的数学模型0)1(2)1(x x x x n n n n M ==M =M =-- （2-3）根据（2-3）式知历代基因型分不均可由初始分布)0(x 与矩阵M 确定。
4模型建立要求)3,2,1(,)1( =M =-n x x n n 的值，首先计算n M ，可以采用MATLAB 计算， 计算出特征值，得到对角阵D ，特征值分别为1234567890,0,0,0,0,1/4,1,1/2,1/2λλλλλλλλλ=========具体数据操作见“附件A ”、“附件B ”每个特征值对应的矩阵V 的列向量为特征值的特征向量，该矩阵是满秩矩阵。
其中D V M =M ，右乘一个1-V ，1-V 即程序中的V1得有VD =M 1-V ，其中对角 形矩阵D 如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100000002/100000000010000000004/100000000000000000000000000000000000000000000000000D 矩阵V 如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------=101110000012001000111100100212000010111100001004042020212020210012021002101110101V 矩阵V 的逆矩阵如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----------------------------=-4/18/108/10008/14/14/14/14/104/1004/14/18/18/18/18/18/18/18/18/18/14/104/104/10004/18/34/18/14/18/18/1008/12/12/12/14/104/14/1008/14/18/308/18/14/108/12/14/102/12/14/104/108/108/14/18/38/104/18/11V 由1-=M VDV 有1)(-=M V VD n n ，经过计算有当∞→n 时，有4/1,8/1,2/1,4/1,4/1,8/1→→→→→→n n n n n n f e d c b a8/1,4/1,8/1→→→n n n p h g5 结果分析即采用YyRr型与九种基因型即YYRR，YYRr，YyRR，YyRr，YYrr，Yyrr，yyRR，yyRr，yyrr相结合后，用线性代数知识计算的结果是：当繁殖代数很大时，九种基因型均存在，且不会出现某种基因型缺失。
九种基因性植物概率分布情况逐渐稳定，九种基因型的概率分布情况如上的数据。
6 参考文献[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社，2011.1.[2] 薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解[M].北京：清华大学出版社，2008.10[3] 人民教育出版社生物课程教材研究开发中心.人教版高中课本教材教科生物必修二遗传与进化[M].北京：人民教育出版社，2012.17 附录附件A求矩阵M的特征值和特征向量的程序M=[1/4 1/8 1/8 1/16 0 0 0 0 0;1/4 1/4 1/8 1/8 1/4 1/8 0 0 0;1/4 1/8 1/4 1/8 0 0 1/4 1/8 0;1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4;0 1/8 0 1/16 1/4 1/8 0 0 0;0 1/8 0 1/8 1/4 1/4 0 1/8 1/4;0 0 1/8 1/16 0 0 1/4 1/8 0;0 0 1/8 1/8 0 1/8 1/4 1/4 1/4;0 0 0 1/16 0 1/8 0 1/8 1/4];rank(M) （注释：求矩阵M的秩）[V,D]=eig(M) （注释：求特征值对应的特征向量构成的矩阵V,而表示对角阵）eig(sym(M))[V,D]=eig(sym(M))附件B求矩阵V的逆矩阵V1的程序(由上程序可得矩阵V)V=[1 0 1 0 -1 1 1 0 -1;-2 0 0 1 2 0 2 -1 0;0 1 -2 0 2 0 2 1 -2;0 -2 0 -2 -4 0 -4 0 0;1 0 0 0 0 -1 1 -1 1;0 1 0 0 0 0 2 -1 2;0 0 1 0 0 -1 1 1 -1;0 0 0 1 0 0 2 1 0;0 0 0 0 1 1 1 0 1];V1=inv(V)。
