小波阈值消噪算法中自适应确定分解层数研究
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f ( k ) = s ( k ) + n ( k ) , 其中 : s ( k ) 为原始信号 , n ( k ) 为高斯白
换 , 得到 J + 1 个小波空间 , 即 ( d1k1 , d1k2 , ……, dJ KJ , aJ KJ ) , 其 中 d ik i 是第 i层细节系数 , ki 是序列长度 , i = 1, 2, ……J。 aJ KJ 是第 J 层分解的近似系数 。 通过小波系数的白噪声检验自适应确定分解层次的具 体算法如下 :
2 ) 采用一定的阈值 t及相应的阈值处理函数 g ( w j, k , t)
进行一次白噪声检验 , 直到分解得到的小波系数不能通过白 噪声检验为止 ;
4 ) 放弃最后一次未通过白噪声检验的结果 , 即假设共分
= g (w j, k , t) ;
对小波系数进行处理 , 得到处理后的系数 w ^ j, k 号 s的估计 ^ s。
1 ) 对带噪信号进行第 i = 1 层分解 ; 2 ) 对 1 ) 中分解得到的细节系数 d ik i 进行白噪声检验 , 并
噪声信号 , 满足 n ( k) ～ N ( 0,δ ) , 即服从均值为 0, 方差为 δ 的正态分布 。 则小波消噪问题可描述为如何从被污染的信号
f ( k ) 中不失真的恢复真实信号 s ( k ) 。 为此 , 采用小波阈值消
阈值函数 ,以及分解层次都是影响消噪效果的关键因素 [ 4 ] 。 通过仿真实例发现 , 信号在不同的分解层数时 , 重构后信号 具有不同的信噪比 。分解层数的选择对消噪结果的影响很 大 ,分解层数过多会造成有用信号的丢失 , 信噪比反而下降 。 分解层数过少 , 消噪效果不理想 。因此对不同的信号 , 都应 该选择一个最优的分解层次 。近年来 ,大多数研究 [ 5, 6, 7 ]都是 基于信号和白噪声不同的小波变换特性 ,对小波系数进行白 噪声检验来确定分解层次 。而实际当中 ,白噪声序列常常含 有弱相关信号 ,不能确定是白噪声随机产生的 , 还是有用信 号的一种弱相关信号 。因此 ,为了准确的检测到信号的最优 分解层次 ,必须有一种更为精确的白噪声检验方法 。 本文利用小波变换特性 ,对待检验的白噪声序列分解重 构 ,去除序列中的弱相关信号 , 通过比较原序列和重构序列
A Study of Adaptive O pti m a l D ecom position L evel in Threshold D e - no isin g A lgor ithm Ba sed on W avelet Tran sform
L IW ei, CHEN X iao - hui,MAO H即可得到消噪后的有用信 号。
4. 2 增加分解层数的显著性检验
在以上的白噪声检验中 , 如果 dik i 中有弱相关信号淹没
3 白噪声检验
在实际中 , 采集到的信号通常都含有白噪声 , 白噪声是 一个有限的随机序列 。 根据时间序列分析理论
[8 ]
在白噪声中 , 则无法判断是白噪声随机产生的 , 还是有用信 号的一种相关信号 。 如果不能准确判断白噪声序列 , 则有可 能因分解层数减少而降低信号重构后的信噪比 。 因此 , 本文 提出一种改进的基于白噪声检验的自适应选择分解层数的 小波消噪算法 。 根据小波阈值消噪的特性 , 采用一定的阈值 将 dik i 中这部分相关信号分离 。 通过比较重构序列 d ’ ik i 和原序
( Z2005 - 1 - 62001 ) , 兰州理工大学重 基金项目 : 教育部“ 春晖计划 ”
点特色梯队建设项目 ( 0915) 收稿日期 : 2007 - 12 - 27 修回日期 : 2007 - 12 - 29
— 311 —
自相关函数的差异 ,来判断原序列中弱相关信号的来源 。仿 真实例表明 ,该方法准确性高 , 进一步增强了基于白噪声检 验确定分解层次算法的实效性 。
3 ) 对处理后的系数 w ^ j, k 进行小波重构 , 得到关于真实信
解了 n 次 , 则最终确定的分解层数是 n - 1 层 ;
5 ) 对 n - 1层尺度空间的近似系数 an - 1 及全部 n - 1层
由以上消噪过程可以看出 , 小波阈值消噪效果的好坏主 要取决于 4个因素 : ①门限阈值的选择 ; ②阈值函数的选取 ; ③小波基的选择 ; ④分解层数的确定 。
( 1)
法如下 : 设原 序 列 dik i 的 自 相 关 系 数 估 计 值 为 (ρ 1 ,ρ 2 ,ρ 3, ρ …… m ) , d ik i 经小波分解重构后的序列 d ’ ik i 的自相关系数估 ρ 计值为 (ρ ’ ’ ’ ’ )。 当序列长度 N 充分大时 , 序列 1 ,ρ 2 ,ρ 3 , …… m
第 26 卷 第 3期
文章编号 : 1006 - 9348 ( 2009) 03 - 0311 - 03
计 算 机 仿 真
2009 年 3 月
小波阈值消噪算法中自适应确定分解层数研究
李 炜 ,陈晓辉 ,毛海杰
(兰州理工大学电气与信息工程学院 ,甘肃 兰州 730050)
摘要 : 小波多尺度分解的阈值算法是一种有效的信号去噪方法 ,但实际应用中去噪效果易受到分解层数 、 门限阈值以及阈值 函数选取的影响 。分析了有用信号和白噪声的小波系数特点 ,提出了一种分解层数的自适应确定方法 。基于自相关函数的 白噪声检验 ,提出通过去除白噪声小波变换细节系数中的相关成分来增加白噪声的显著性检验 , 提高了自适应确定最优分 解层数的准确性 。仿真结果表明 ,确定最优分解层数是重要的 。较之传统的基于白化检验确定最优分解层数的方法 , 该方 法具有更好的去噪效果 ,尤其适用于强噪声背景下弱信号检测 。 关键词 : 小波多尺度分解 ; 阈值消噪 ; 分解层数 ; 白噪声检验 中图分类号 : TP273 文献标识码 : A
2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2
统计量 :
F (m , m ) =
2 2 2 2 N (ρ 1 +ρ 2 +ρ 3 + …… +ρ m )
′ 2 ′ 2 ′ 2 ′ 2 N (ρ 1 +ρ 2 +ρ 3 + …… +ρ m )
( 2)
分布 。
式 ( 2 ) 近似服从自由度为 m 和 m 的 F 分布 。 在原序列 dik i 是独立白噪声的假设下 , 建立统计量 :
2
2
噪一般有以下步骤 :
1 ) 选择合适的小波基 < ( x ) 及相应的分解尺度 j, 对含有
保留近似系数 aik i; 如果 d ik i 通过白噪声检验 , 对 d ik i 进行阈值 处理 , 并继续 i + 1 层的分解 ;
3 ) 重复上述步骤 , 即每分解一层 , 就对该层的细节系数
噪声的信号进行二进离散小波变换 , 得到各尺度上的小波系 数 w j, k ;
可以在小波空间中 , 对小波系数进行白噪声检验来自适应确 定小波分解的层数 。
4. 1 传统的基于白噪声检验确定分解层次的方法
在小波阈值消噪算法中 , 含噪信号 f ( x ) 经 J 层小波变
2 小波阈值消噪原理
目前 ,在小波消噪方面 ,应用较广的是 Donoho 提出的基 于软阈值和硬阈值的小波消噪算法 。设有如下检测信号 :
2 2 2 2 ρ 1 +ρ 2 +ρ 3 + …… +ρ m 2 2 2 2 - 1 ρ ’ +ρ ’ +ρ ’ + …… +ρ ’ 1 2 3 m
4 基于白噪声检验的分解层数确定
i
, 可以利用
自相关函数估计来检验此序列是否符合白噪声特性 。 设离散有限随机序列 xi ( i = 1, 2, 3, ……N ) , 其自相关函 数的估计如式 ( 1 ) :
N-K
ρ k =
∑( x
i N
- x ) ( xi+k - x ) , k = 1 ……m
i
列 d ik i 的自相关函数来准确判断序列的白噪声特性 。 检验方
2 2 2 2 2 2 2 ρ ρ ρ ρ N (ρ ’ ’ ’ 1 +ρ 2 + 3 + …… + m ) 和序列 N ( 1 + 2 +ρ 3 + …… + 2 2 ρ ’ ) 都服从自由度为 m 的 χ ( m ) 分布且相互独立 。 建立新的 m
N-K
∑( x
i
- x)
2
其中 x =
1
N
如果 N 充分大 , 那 ∑x , 通常 m 取 5 ～ 10。
1 引言
在工程应用中 ,大多数信号都不可避免的受到来自外界 的各种干扰 。因此 ,对信号进行消噪处理就成为数据预处理 中一项首要的工作 ,能否有效的消除噪声直接影响着数据处 理的其他后续工作 。小波变换是近年来发展起来的一门热 点学科 ,在信号处理 ,边缘检测 、 语音识别等方面有良好的应 用 。在信号消噪方面 , 随着 Donoho 等人提出了小波阈值消 噪方法 [ 1 ] ,许多人为此展开了广泛深入的研究 [ 2, 3 ] 。 在小波阈值消噪过程当中 ,选取合适的小波函数 、 阈值 、
i i
ρ 么序列 N (ρ 1 ,ρ 2 ,ρ 3 , …… m ) 近似服从 m 维标准正态分布 , 序列 N (ρ +ρ +ρ + …… +ρ m ) 近似服从 χ (m ) 分布 。 这样 , 判断序列 x i 是否是白噪声序列 , 就转化为判断
N (ρ +ρ +ρ + …… +ρ m ) 是否服从自由度为 m 的 χ (m )
( College of Electrical and Infor mation Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou Gansu 730050, China) ABSTRACT: It is an effective method to reduce the noise in signals based on wavelet multiscale decomposition. There are a lot of factors which will affect the de - noising efficacy, such as threshold, threshold strategy, decomposi2 tion level and so on. Based on analyzing the characteristics of the wavelet coefficients of useful signal and white noise, a novel method is p resented in this paper . The method is based on white noise verification using the self - correlation function, and it dispels the correlation of the details wavelet coefficient of white noise to increase white noise verifica2 tion of decomposition level . The sim ulations indicate that selecting op tim al decomposition level is important, and the method can effectively imp rove the de - noising efficacy than traditional methods . weak signal with strong noise. KEYW O RD S:W avelet multiscale decomposition; Threshold de - noising; Decomposition level; W hite noise verifi2 cation It is suitable for the detection of
换 , 得到 J + 1 个小波空间 , 即 ( d1k1 , d1k2 , ……, dJ KJ , aJ KJ ) , 其 中 d ik i 是第 i层细节系数 , ki 是序列长度 , i = 1, 2, ……J。 aJ KJ 是第 J 层分解的近似系数 。 通过小波系数的白噪声检验自适应确定分解层次的具 体算法如下 :
2 ) 采用一定的阈值 t及相应的阈值处理函数 g ( w j, k , t)
进行一次白噪声检验 , 直到分解得到的小波系数不能通过白 噪声检验为止 ;
4 ) 放弃最后一次未通过白噪声检验的结果 , 即假设共分
= g (w j, k , t) ;
对小波系数进行处理 , 得到处理后的系数 w ^ j, k 号 s的估计 ^ s。
1 ) 对带噪信号进行第 i = 1 层分解 ; 2 ) 对 1 ) 中分解得到的细节系数 d ik i 进行白噪声检验 , 并
噪声信号 , 满足 n ( k) ～ N ( 0,δ ) , 即服从均值为 0, 方差为 δ 的正态分布 。 则小波消噪问题可描述为如何从被污染的信号
f ( k ) 中不失真的恢复真实信号 s ( k ) 。 为此 , 采用小波阈值消
阈值函数 ,以及分解层次都是影响消噪效果的关键因素 [ 4 ] 。 通过仿真实例发现 , 信号在不同的分解层数时 , 重构后信号 具有不同的信噪比 。分解层数的选择对消噪结果的影响很 大 ,分解层数过多会造成有用信号的丢失 , 信噪比反而下降 。 分解层数过少 , 消噪效果不理想 。因此对不同的信号 , 都应 该选择一个最优的分解层次 。近年来 ,大多数研究 [ 5, 6, 7 ]都是 基于信号和白噪声不同的小波变换特性 ,对小波系数进行白 噪声检验来确定分解层次 。而实际当中 ,白噪声序列常常含 有弱相关信号 ,不能确定是白噪声随机产生的 , 还是有用信 号的一种弱相关信号 。因此 ,为了准确的检测到信号的最优 分解层次 ,必须有一种更为精确的白噪声检验方法 。 本文利用小波变换特性 ,对待检验的白噪声序列分解重 构 ,去除序列中的弱相关信号 , 通过比较原序列和重构序列
A Study of Adaptive O pti m a l D ecom position L evel in Threshold D e - no isin g A lgor ithm Ba sed on W avelet Tran sform
L IW ei, CHEN X iao - hui,MAO H即可得到消噪后的有用信 号。
4. 2 增加分解层数的显著性检验
在以上的白噪声检验中 , 如果 dik i 中有弱相关信号淹没
3 白噪声检验
在实际中 , 采集到的信号通常都含有白噪声 , 白噪声是 一个有限的随机序列 。 根据时间序列分析理论
[8 ]
在白噪声中 , 则无法判断是白噪声随机产生的 , 还是有用信 号的一种相关信号 。 如果不能准确判断白噪声序列 , 则有可 能因分解层数减少而降低信号重构后的信噪比 。 因此 , 本文 提出一种改进的基于白噪声检验的自适应选择分解层数的 小波消噪算法 。 根据小波阈值消噪的特性 , 采用一定的阈值 将 dik i 中这部分相关信号分离 。 通过比较重构序列 d ’ ik i 和原序
( Z2005 - 1 - 62001 ) , 兰州理工大学重 基金项目 : 教育部“ 春晖计划 ”
点特色梯队建设项目 ( 0915) 收稿日期 : 2007 - 12 - 27 修回日期 : 2007 - 12 - 29
— 311 —
自相关函数的差异 ,来判断原序列中弱相关信号的来源 。仿 真实例表明 ,该方法准确性高 , 进一步增强了基于白噪声检 验确定分解层次算法的实效性 。
3 ) 对处理后的系数 w ^ j, k 进行小波重构 , 得到关于真实信
解了 n 次 , 则最终确定的分解层数是 n - 1 层 ;
5 ) 对 n - 1层尺度空间的近似系数 an - 1 及全部 n - 1层
由以上消噪过程可以看出 , 小波阈值消噪效果的好坏主 要取决于 4个因素 : ①门限阈值的选择 ; ②阈值函数的选取 ; ③小波基的选择 ; ④分解层数的确定 。
( 1)
法如下 : 设原 序 列 dik i 的 自 相 关 系 数 估 计 值 为 (ρ 1 ,ρ 2 ,ρ 3, ρ …… m ) , d ik i 经小波分解重构后的序列 d ’ ik i 的自相关系数估 ρ 计值为 (ρ ’ ’ ’ ’ )。 当序列长度 N 充分大时 , 序列 1 ,ρ 2 ,ρ 3 , …… m
第 26 卷 第 3期
文章编号 : 1006 - 9348 ( 2009) 03 - 0311 - 03
计 算 机 仿 真
2009 年 3 月
小波阈值消噪算法中自适应确定分解层数研究
李 炜 ,陈晓辉 ,毛海杰
(兰州理工大学电气与信息工程学院 ,甘肃 兰州 730050)
摘要 : 小波多尺度分解的阈值算法是一种有效的信号去噪方法 ,但实际应用中去噪效果易受到分解层数 、 门限阈值以及阈值 函数选取的影响 。分析了有用信号和白噪声的小波系数特点 ,提出了一种分解层数的自适应确定方法 。基于自相关函数的 白噪声检验 ,提出通过去除白噪声小波变换细节系数中的相关成分来增加白噪声的显著性检验 , 提高了自适应确定最优分 解层数的准确性 。仿真结果表明 ,确定最优分解层数是重要的 。较之传统的基于白化检验确定最优分解层数的方法 , 该方 法具有更好的去噪效果 ,尤其适用于强噪声背景下弱信号检测 。 关键词 : 小波多尺度分解 ; 阈值消噪 ; 分解层数 ; 白噪声检验 中图分类号 : TP273 文献标识码 : A
2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2
统计量 :
F (m , m ) =
2 2 2 2 N (ρ 1 +ρ 2 +ρ 3 + …… +ρ m )
′ 2 ′ 2 ′ 2 ′ 2 N (ρ 1 +ρ 2 +ρ 3 + …… +ρ m )
( 2)
分布 。
式 ( 2 ) 近似服从自由度为 m 和 m 的 F 分布 。 在原序列 dik i 是独立白噪声的假设下 , 建立统计量 :
2
2
噪一般有以下步骤 :
1 ) 选择合适的小波基 < ( x ) 及相应的分解尺度 j, 对含有
保留近似系数 aik i; 如果 d ik i 通过白噪声检验 , 对 d ik i 进行阈值 处理 , 并继续 i + 1 层的分解 ;
3 ) 重复上述步骤 , 即每分解一层 , 就对该层的细节系数
噪声的信号进行二进离散小波变换 , 得到各尺度上的小波系 数 w j, k ;
可以在小波空间中 , 对小波系数进行白噪声检验来自适应确 定小波分解的层数 。
4. 1 传统的基于白噪声检验确定分解层次的方法
在小波阈值消噪算法中 , 含噪信号 f ( x ) 经 J 层小波变
2 小波阈值消噪原理
目前 ,在小波消噪方面 ,应用较广的是 Donoho 提出的基 于软阈值和硬阈值的小波消噪算法 。设有如下检测信号 :
2 2 2 2 ρ 1 +ρ 2 +ρ 3 + …… +ρ m 2 2 2 2 - 1 ρ ’ +ρ ’ +ρ ’ + …… +ρ ’ 1 2 3 m
4 基于白噪声检验的分解层数确定
i
, 可以利用
自相关函数估计来检验此序列是否符合白噪声特性 。 设离散有限随机序列 xi ( i = 1, 2, 3, ……N ) , 其自相关函 数的估计如式 ( 1 ) :
N-K
ρ k =
∑( x
i N
- x ) ( xi+k - x ) , k = 1 ……m
i
列 d ik i 的自相关函数来准确判断序列的白噪声特性 。 检验方
2 2 2 2 2 2 2 ρ ρ ρ ρ N (ρ ’ ’ ’ 1 +ρ 2 + 3 + …… + m ) 和序列 N ( 1 + 2 +ρ 3 + …… + 2 2 ρ ’ ) 都服从自由度为 m 的 χ ( m ) 分布且相互独立 。 建立新的 m
N-K
∑( x
i
- x)
2
其中 x =
1
N
如果 N 充分大 , 那 ∑x , 通常 m 取 5 ～ 10。
1 引言
在工程应用中 ,大多数信号都不可避免的受到来自外界 的各种干扰 。因此 ,对信号进行消噪处理就成为数据预处理 中一项首要的工作 ,能否有效的消除噪声直接影响着数据处 理的其他后续工作 。小波变换是近年来发展起来的一门热 点学科 ,在信号处理 ,边缘检测 、 语音识别等方面有良好的应 用 。在信号消噪方面 , 随着 Donoho 等人提出了小波阈值消 噪方法 [ 1 ] ,许多人为此展开了广泛深入的研究 [ 2, 3 ] 。 在小波阈值消噪过程当中 ,选取合适的小波函数 、 阈值 、
i i
ρ 么序列 N (ρ 1 ,ρ 2 ,ρ 3 , …… m ) 近似服从 m 维标准正态分布 , 序列 N (ρ +ρ +ρ + …… +ρ m ) 近似服从 χ (m ) 分布 。 这样 , 判断序列 x i 是否是白噪声序列 , 就转化为判断
N (ρ +ρ +ρ + …… +ρ m ) 是否服从自由度为 m 的 χ (m )
( College of Electrical and Infor mation Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou Gansu 730050, China) ABSTRACT: It is an effective method to reduce the noise in signals based on wavelet multiscale decomposition. There are a lot of factors which will affect the de - noising efficacy, such as threshold, threshold strategy, decomposi2 tion level and so on. Based on analyzing the characteristics of the wavelet coefficients of useful signal and white noise, a novel method is p resented in this paper . The method is based on white noise verification using the self - correlation function, and it dispels the correlation of the details wavelet coefficient of white noise to increase white noise verifica2 tion of decomposition level . The sim ulations indicate that selecting op tim al decomposition level is important, and the method can effectively imp rove the de - noising efficacy than traditional methods . weak signal with strong noise. KEYW O RD S:W avelet multiscale decomposition; Threshold de - noising; Decomposition level; W hite noise verifi2 cation It is suitable for the detection of
