线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准1

1.11. 图1-1表示了B 省的3个城市123,,B B B 与C 省的3个城市123,,C C C 的交通连接图，称为一个交通网络.每条线上的数字表示此通路上不同的运路(公路，铁路，水路，空路)数目.若以(,1,2,3)ij a i j =表示从i B 到j C 的运路数，试写出矩阵()ij a =A.图1-1解：111213212223313233042213430a a a A a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2. 当22812x y u u z x ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭时，,,,x y z u 各取何值？解 由2,2,1,82x u y u z x ===-=可得，4,1,1,2x y z u =-=-==-.. 3. 写出即是上三角形矩阵又是下三角行矩阵的n 阶矩阵的一般形式.解112200000nn a a A a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎪= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭4. 下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵，哪些不是？（1）321400010000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭;（2）321401560245⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（3）321401060010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（4）321400000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 解(1),(3)是，(2),(4)不是.5. 下列矩阵哪些是行简化的阶梯形矩阵，哪些不是？1021102011101101(1)0101;(2)0100;(3)0000;(4)0011.0010000100010000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解(1),(3)不是，(2),(4)是. 6. 写出线性方程组12n x x x b +++=的系数矩阵和增广矩阵，增广矩阵的行和列是多少？它是不是行阶梯形矩阵？是不是行简化阶梯形矩阵？解系数矩阵A =111000000n n⨯⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，增广矩阵(1)11100000000n n b ⨯+⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭A .增广矩阵n 行，1n +列，它是行阶梯形矩阵，也是行简化的阶梯形矩阵习题1.21. 已知A =131023⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, B =202111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭, C =122113-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.求：2+C A ;-+A B C ; 32-++A B C .解 1723243-⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭C A ;251241⎛⎫ ⎪-+=- ⎪⎪-⎝⎭A B C ;913211136-⎛⎫ ⎪-++=- ⎪ ⎪--⎝⎭A B C .2. 已知两个线性变换112321233123x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=+-⎨⎪=-+⎩及1123212332323245y z z z y z z z y z z =++⎧⎪=--+⎨⎪=+⎩，把它们分别表示为矩阵形式，并求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换.解 111122223333111123111;124;111051x y y z x y y z x y y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222333111123058111124056111051290x z z x z z x z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪=---=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即 12322331258,56,29.x z z x z z x z z =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩ 3. 已知矩阵1321⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，3012⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，381204⎛⎫= ⎪⎝⎭C .求：-AB BA ；BC ；CB ；22+A B ；T C A .解 3303-⎛⎫-=⎪-⎝⎭AB BA ；9243789⎛⎫= ⎪⎝⎭BC ；CB 无意义；22160511⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B ；7782491T ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭C A .4. 设310121342⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭A ，102111211⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，且矩阵X 满足方程32-=A X B ，求X . 解 341251127115222⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭X . 5. 设101λ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，求2A ,3A ,nA (n 为正整数). 解 21021λ⎛⎫=⎪⎝⎭A ,31031λ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,101n n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭A .6. 某机械公司生产甲、乙、丙三种型号的机械，2000年和2001年的年产量如表1-1表1-1 表2-2型号产量甲 乙 丙2000年70 50 60 2001年80 60 70这三种机械的本价与销售价如表2-2所示，求两年的总成本和总销售额.解 设67705060,7880607089⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B ,则6770506012501430788060701460167089⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭C AB . 即2000年的总成本是1250，销售总额是1430；2001年的总成本是1460，销售总额价格 型号 单位成本价 销售价甲6 7 乙7 8 丙8 9是1670.7. 已知()1,2,3T=α，11(1,,)23T =β，设T =A αβ，求nA .解 1()()()()()()()Tn T TTT T TT Tn n ==A αβA αβαβαβαβαβαβαβαβ－个个＝， 而111(1,,)23233T ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭βα)，所以111333n n T n T n ---===A αβαβA . 8. 1143011-⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，求23456()()+-+-+-+A E E A A A A A A . 解 原式=1043012-⎛⎫⎪-⎝⎭，2114114103011301101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E ,34567,,,,=====A A A E A A A E A A ，原式=71043012-⎛⎫+=+= ⎪-⎝⎭A E A E9. 设A 为m 阶对称矩阵，B 为m n ⨯矩阵，证明：TB AB 为n 阶对称矩阵. 证 ()()TTTT TT===B A B A B B B A BB A B，即T B AB 为对称矩阵. 10. 设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明ΑΒ为反对称矩阵的充分必要条件是=ΑΒΒΑ.证 充分性,T T ==-A A ΒB ,又=ΑΒΒΑ，所以()T T T==-=-ΑΒΒΑΒΑΑΒ，即ΑΒ为反对称矩阵.必要性 由()T=-AB AB ，又T T T ==-AB B A BA （），所以=ΑΒΒΑ. 习题1.31. 用分块矩阵计算下列矩阵乘积：(1) 321021201102240110104003-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(2) 11001000310010000100013100210214-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭.解 (1) 设111221223210201124011040-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭A A A A A ，112121021003⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭B B B ，则 1112111111122121222121112221+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A B A B A B AB A A B A B A B ，而1111322167200242⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B ， 1221101010110313--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B .则111112217735⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B A B .同理211122214921-⎛⎫+= ⎪-⎝⎭A B A B ，故原式77354921⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭AB . (2) 11112122212211001000310010000100013100210214-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎝⎭A B A A B B 00 11112111222122220⎛⎫=⎪+⎝⎭A B A B A B A B 2000400010000056⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭. 2. 设34004300,0024002⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪⎝⎭A 求2k A . 解 设123424,4302⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A A ，则2134342504343025⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，24221112250025⎛⎫==⋅⋅⋅⎪⎝⎭A A A ，，由数学归纳法可得21250025kkk ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,同理可得1224404kk kk k +⎛⎫= ⎪⎝⎭A .于是，有221212250000025000044004kk k kk k k k k +⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭A A A .3. 设A 为m n ⨯实矩阵，若,T=A A 0则=A 0.证 将A 按列分块：12=(,,,)n ⋅⋅⋅A βββ，则12T T TT n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ββA β，于是1111212212221212(,,,)T T T T n T T T T Tn n T T T Tn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββββββββββββββA A ββββββββββ， 由,T =A A 0得0(1,2,,)T i i i n ==ββ,又因A 为实矩阵，故(1,2,,)0i i n ==β，故=A 0.4. 设120000=00n a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，其中当i j ≠时i j a a ≠(,1,2,,)i j n =.证明：与A可交换的矩阵只能是对角矩阵.证 设1111n n nn b b b b ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B 与A 可交换，即 11111111110000000000n n n n nn n nn n a b b b b a a b b b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即11111211111212122122222121222212211222n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于1,,n a a 互异，比较非对角元素得i ij j ij a b a b = 即0i j ij a a b =(-)，于是0()ij b i j =≠,故与A 可交换的矩阵1122000000000000nn b b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭B 为对角阵. 5. 当太空卫星发射之后，为使卫星在精确计算过的轨道上运行，需要校正它的位置.雷达屏幕给出一组矩阵1,,k x x ，它们给出卫星在不同时间里的位置与计划轨道的比较.设()12,,,k k =X x x x ,矩阵Tk k k=G X X 需要在雷达分析数据时计算出来，当1k +x 到达时，新的1k +G 必须计算出来.因数据矩阵高速达到，所以计算负担很重，而分块矩阵的计算在其中起了很大的作用.试写出从k G 计算1k +G 的矩阵形式. 解 由于()12,,,k k =X x x x ,所以()11,k k k ++=X X x ,又Tk k k=G X X ,因此 ()1111111,T TT T k k k k k k k k k k T k +++++++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭X G X X X x X X x x x . 习题1.41. 设A 是三阶方阵，将A 的第1列与第2列变换得到B ，再把B 的第2列加到第3 列得到C ，以满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为( ).01001001001()100;()101;()100;()100101001011001A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 分析 C 是对A 实行两次初等列变换得到的，因此C 可由A 与初等矩阵的乘积表示.解 −−−−→A B 初等列变换，即为010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B A ，−−−−→B C 初等列变换，即为100011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C B ，所以010100011100011100001001001C A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因此应选()D .2. 把下列矩阵化为行最简形矩阵：10210231(1)2031;(2)0343;30430471--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 11343231373354112024(3);(4)22320328303342123743----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭.解 10050105(1)0013;(2)0013;00000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11023102020012201103(3);(4)00000000140000000000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 设111213113112321333212223212223313233313233333,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，问B 是A 经过哪种类型的初等变换得到的？并写出相应的初等矩阵.解 111213212223313233103(3(3),1)010001a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B E A . 4. 设201413411234⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A .(1) 求(1(2),2)E A ; (2) (2,3)E A ; (3) (3(2))E A .解 10020142014(1)(1(2),2)01013411341201123452512⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A ; 1002014201(2)(2,3)00113411234010********⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A ; 100201421(3)(3(2))0101341134100212342468⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A. 5. 把矩阵4321⎛⎫=⎪⎝⎭A 表示成初等矩阵的乘积.解 12212432121214301r r r r ↔-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−→−−−→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A1121220100101r r r ⨯-⎛⎫⎛⎫−−−→−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E即(1,2)(1(2),2)(2(1),1)(1(2))=A E E E E习题1.51. 设航线图如图1-3所示，(1) 写出邻接矩阵；(2) 求出顶点3V 到1V 长为3条航线的条数；(3) 是否存在从顶点4V 到2V 的长为3的航路？ 图1-3解 （1）0100001111011000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ； （2）2条：3241V V V V →→→；3231V V V V →→→；.（3）不存在 32101121122120011⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 2. 设{}123456,,,,,X x x x x x x =表示6个人的集合.用R 表示他们彼此之间的相貌相像的程度,如表1-3，表中i x 行和j x 列交叉处的数字表示第i 个人i x 与第j 个人j x 的相貌的相像程度，则R 是X 上的Fuzzy 关系，其隶属函数(,)R i j x x μ就是i x 行与j x 列交叉处的数字，又(,)R i i x x μ=1表示任何个人自身与自身完全相象，(,)(,)R i j R j i x x x x μμ=表示第i 个人i x 与第j 个人j x 的相貌的相像程度与j x 和i x 的相像程度相同，写出这个Fuzzy 矩阵，并求出它的合成.解 10.8210.820.200.850.350.650.82100.900.120.120.20010.120.850.250.850.900.1210.250.200.350.120.850.251⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，210.820.820.200.820.350.8210.850.350.850.350.820.8510.200.900.350.200.350.2010.250.850.820.850.900.2510.350.350.350.350.850.351⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A .复习题一1. 若1122125212111231c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭C ，则=C _________. 解 由415a +-=，得110,4a c ==;又由1261b -++=-，得223,7b c =-=-. 答案4517⎛⎫⎪--⎝⎭.2. 设α为3行的列矩阵，若111111111T -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭αα，则=ααT_________.解 设(,,)T x y z =α,则222Tx xy xz xyy yz xz yzz ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αα，故2221x y z ===.因而 2223T x y z =++=αα.答案为3.3. 设111213122223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B ,1010100001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,2100010101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则必有__________.(A )12=AP P B ; (B)12P P A =B ;(C)21AP P =B ;(D)21P P A =B .解 解法一 选(B).首先，用初等矩阵右乘A 表示A 作行变换，故可排除(A),(C).2P A 表示将A 的第1行加于第3行，12()P P A 表示再将1,2两行变换.解法二 此题考察矩阵的初等变换和初等矩阵，比较矩阵A 和B ，可发现把矩阵A 的 第一行加到第三行，再把第二行与第一行互换，则可得到矩阵B ,而对矩阵做初等行变换，就相当于对矩阵左乘相应的初等矩阵，故上述过程恰相当于先对A 左乘2P ，再左乘1P ，即12P P A =B ，应选(B).4. 设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b ==αβ，求(1) ,TTαβαβ；(2) 令求T=γαβ，求kγ.解 (1) 12121122(,,,)Tn n n n b ba a a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪⎝⎭αβ，()1111212212221212n n Tn n n n n n a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αβ. (2) ()()()kTTT =γαβαβαβ ()()()T T T T =αβαβαβαβ11()nTk i j i a b-==∑αβ11()nk Ti j i a b -==∑αβ11()nk i j i a b -==∑γ.5. 设()12=+A B E ，证明：2=A A 当且仅当2=B E . 证 先证必要性设2=A A ，因为()()()2221112242⎡⎤=+=++==+⎢⎥⎣⎦A B E B B E A B E ，即 ()22222++=+=+B B E B E B E ，所以2=B E .再证充分性设2=B E ，则有()()()2211122442=++=++=+=A B B E E B E B E A . 6. 任意一个n n ⨯矩阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.证 任一n n ⨯矩阵都可以表示为：22T T+-=+A A A A A ，因为 222T T T⎛⎫+++== ⎪⎝⎭A A A A A A ， 即2T +A A 为对称矩阵，又222TT T T ⎛⎫---==- ⎪⎝⎭A A A A A A ，即2T-A A 为反对称矩阵. 7. 证明：如果A 是实对称矩阵且=A 20，那么=A 0.证 设111nn n nn a a a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭A ,因为T=A A ,所以 2221112122222122222212******nnn n nn a a a a a a a a a T⎛⎫+++⎪+++⎪=== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭A AA AA , 又因为=A 20，所以222120,12,i i in a a a i n+++==,,.由于()12,,;12,,ij a i n j n ==,,均为实数，故有120i i in a a a ===，12,,i n =,.即=A 0.8. 设,A B 均为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充要条件是A 与B 可变换.证 由于,A B 是对称的，故,T T==A A B B ，如果=AB BA ，则可得()TT T ===AB B A BA AB ，即乘积AB 是对称的.反之，若AB 是对称的，即()T =AB AB ,则()TT T===AB AB B A BA ，即A 与B是可变换的.9. 设A 是任一方阵，证明,T T +A A AA 均为对称矩阵. 证 ()()()(),TTTTT TTT T T TT +=+=+==A AA A A A A AAA A A. 10. 设111222333⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求24100,,A A A .解 ()121,1,13⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,所以()()()()2111121,1,121,1,1261,1,1621,1,163333⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦A A ,同理34100996,6==A A A A .11. 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，试计算mA ，其中m 为正整数. 解 为简化高阶幂mA 的计算，首先将其分解为一个列向量与一个行向量的乘积，为此令()()1212,,,,,,,Tn n a a a b b b ==αβ，则=A αβ，且1212(,,,)n n i i i n a a b b b a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑βα 为一个数.为方便计算，令λ=βα,则()()()()()()1111.mmm m m m λλ----======βαA αβαβαβαββαβαβαβαβαββααβαβA 个12. 设11r r a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭E A E ，其中当i j ≠时i a ≠j a (),1,2,i j n =，i E 是i n 阶单位矩阵，1ri i n n ==∑.证明：与A 可交换的矩阵只能是准对角矩阵1r ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭A A ，其中i A 是i n 阶矩阵.证 设1112112r r r rr ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B B B B B B B 与A 可变换，其中B 与A 分块方式相同， 111211112111111212r r r r r r rr r r rr r r a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B B B B B B E E E B B B B B B E ， 即111112111112121121112r r r r r r r r rr r r r rr a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B B B B B B BB B B B B ,由于12,r a a a 互异，比较非对角块元素得i ij j ij a a =B B ，即()0i j ij a a -=B ，于是()0ij i j =≠B ， 因此与A 可交换的矩阵1122rr ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B B B B 是准对角矩阵.。

第一章1.在循环结构中跳出循环，执行循环后面代码的命令为（）.答案:break2.清空Matlab工作空间内所有变量的指令是（）.答案:clear3.用round函数四舍五入对数组[2.48 6.39 3.93 8.52]取整，结果为（）.答案:[2 6 4 9]4.已知a=2:2:8, b=2:5，下面的运算表达式中，出错的为（）.答案:a*b5.角度x =[30 45 60]，计算其正弦函数的运算为（）.答案:sin(deg2rad(x))6.在matlab中（）用于括住字符串.答案:’’7.下列（）是合法变量.答案:Eps8.答案:9.若矩阵运算满足AXB=C，则计算矩阵X的指令为( ).答案:inv(A)C inv(B)第二章1.已知空间三点，，，则三角形面积（）.答案:2.已知二维向量，，求由该向量所张成的平行四边形面积为（）.答案:103.已知二维平面中三角形的顶点为，，，则其存在一点P使得的面积相等，则P点坐标为（）.答案:4.对于空间中三点，，，下列说法正确的是（）.答案:构成等边三角形5.三维平面中过三点的平面方程为.答案:对6.齐次方程组有非零解得充分必要条件是其系数矩阵行列式等于零.答案:错7.球面的球心在直线上，且过点和，则此球面方程为.答案:对8.三维平面中过三点，，的平面方程为.答案:对9.二维平面中三角形的顶点为，则它的AB边的中线方程为.答案:对第三章1.设A为矩阵，方程组，对应的齐次方程组为，则以下说法中正确的是（）.答案:若有无穷解，则有非零解2.由m个方程，n个未知数构成的方程组中，以下说法正确的为（）.答案:若，则方程组有解3.设A为矩阵，且A的行向量组的秩为3，则方程组AX=b（）.答案:是否有解无法判断4.设A为阵，其秩为r，则当时，下列结论错误的是（）.答案:线性方程组AX=b必无解5.答案:一定有非零解6.答案:7.答案:8.答案:第四章1.设A,B为n阶方阵，则以下结论中错误的是（）.答案:若，则2.若把n阶方阵A的主对角线元素之和称为A的迹，为n阶方阵，则以下结论中正确的是（）.答案:AB的迹等于BA的迹3.设k为正整数，A,B为n阶方阵，则以下结论不一定正确的是（）.答案:;4.设，矩阵，，其中E为n阶单位阵，则BC等于（）.答案:E5.设A,B,C为n阶方阵，则以下结论中一定正确的是（）.答案:;6.设A,B为n阶对称阵，则以下结论中不一定是对称阵的是（）.答案:AB7.设A为n阶可逆阵，则以下结论中不一定正确的是（）.答案:;8.设A为n阶可逆阵，则下列结果不一定正确的是（）.答案:;9.设A为n阶可逆阵，则下列结论中不一定正确的是（）.答案:;10.设A,B为n阶方阵，则以下结论中正确的是（）.答案:;第五章1.设A为矩阵，则齐次线性方程组仅有零解的充分条件是（）.答案:A的列向量线性无关2.由所生成的向量空间记作，由所生成的向量空间记作,则（）.答案:3.答案:04.答案:5.答案:6.答案:第六章1.已知三阶方阵A的特征值为-1，1，2，则的特征值为（）.答案:2.设A是n阶方阵，和是A的特征值，和是A的分别对应于和的特征向量，则（）.答案:时，不可能是A的特征向量3.n阶方阵A的两个特征值与所对应的特征向量分别为与，且，则下列结论正确的是（）.答案:不是的特征向量4.矩阵只有一个线性无关的特征向量，则a=（）.答案:-5.n阶矩阵的特征值为则（）.答案:6.已知二阶实对称矩阵A的一个特征向量为，且,则下列必为A的特征向量的是（）.答案:7.答案:8.答案:9.答案:3第七章1.{全体n阶反对称阵}按照矩阵的加法和数乘运算是线性空间.答案:对2.={全体正实数}加法和数乘定义为，；则是线性空间.答案:对3.{全体n阶正交阵}按照矩阵的加法和数乘运算是线性空间.答案:错4.{全体n次（）实系数多项式}按照多项式的加法和数乘运算是线性空间.答案:错5.{全体n阶上三角阵}按照矩阵的加法和数乘运算是线性空间.答案:对6.{平面上全体向量}对通常的向量加法，数乘定义：，则是线性空间.答案:错7.线性空间中，，其中为中一固定非零向量则是线性变换.答案:对8.中，是线性变换.答案:错9.在中，，在基,下的矩阵为答案:对10.答案:错。

线性代数与几何答案华南理工大【篇一：华南理工大学线性代数与解析几何试卷(14)】s=txt>华南理工大学期末考试《线性代数－2007》试卷a注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：开（闭）卷；一、单项选择题（每小题2分，共30分）。

1．设矩阵a1 2??3 4??, b1 23??456??, c??14?25，则下列矩阵运算无意义的是【】36??a. bacb. abcc. bcad. cab2.设n阶方阵a满足a2–e =0，其中e是n阶单位矩阵，则必有【】a. a=a-1b. a=-ec. a=ed. det(a)=13.设a为3阶方阵，且行列式det(a)=?12,则a*【】 a. ?14b. 14c. ?1d. 1 4.设a为n阶方阵，且行列式det(a)=0，则在a的行向量组中【】a.必存在一个行向量为零向量b.必存在两个行向量，其对应分量成比例c. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合d. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合5．设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】 a．a1?a2,a2?a3,a3?a1 b. a1,a2,2a1?3a2 c. a2,2a3,2a2?a3 d.a1,a2,a1?a36.向量组(i): a1,?,am(m?3)线性无关的充分必要条件是【】a.(i)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出b.(i)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 c.(i)中任意两个向量线性无关d.存在不全为零的常数k1,?,km,使k1a1kmam?0【】a．a的行向量组线性相关 b. a的列向量组线性相关 c. a的行向量组线性无关 d. a的列向量组线性无关a1x1a2x2a3x308.设ai、bi均为非零常数（i=1，2，3），且齐次线性方程组?bx?bx?bx?02233?11的基础解系含2个解向量，则必有【】a.a1a2b2b30 b.a1a2b1b20 c.a1a3a1a2a30 d.b1b2b1b2b3【】9.方程组?x?2x?x?1 有解的充分必要的条件是1233 x3x2xa123?2x1x2x31a. a=-3b. a=-2c. a=3d. a=2【】a. 方程组有无穷多解b. 方程组可能无解，也可能有无穷多解c. 方程组有唯一解或无穷多解d. 方程组无解12. n阶方阵a相似于对角矩阵的充分必要条件是a有n个【】a.互不相同的特征值b.互不相同的特征向量c.线性无关的特征向量d.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间rn的子空间的是【】a. {(a1,a2,?,an)|a1a2?0}b. {(a1,a2,?,an)|c. {(a1,a2,?,an)|a1?1}d. {(a1,a2,?,ana)|?an1i?nii0} 1}14.【】1001?1 2a. 011b. ?5?2-10 1 -1c. ?1 -11 0d.0 -10 -11 0 015.若矩阵a?0 2 a正定,则实数a的取值范围是【】 0 a 8?? a．a 8b. a＞4c．a＜-4 d．-4 ＜a＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。

综合练习100题一、填空题1．设A 是n 阶矩阵，满足,||0'=<AA E A ，则||+=A E 0. 2．若4阶行列式D 的某一行的所有元素及其余子式都相等，则D =0.3．在一个n 阶行列式中，如果等于零的元素多于2n n -个，那么这个行列式D =0. 4．设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，若m n >，则||=AB 0. 5．若n 阶方阵,A B 满足,||0=-≠AB B A E ，则=B 0. 6．若n 阶方阵,A B 满足+=A AB E ，则+=A BA E . 7．若n 阶方阵,,A B C 满足=ABC E ，则'''=B A C E . 8．若、A B 都是n 阶方阵，||1,||3==-A B ，则*1|3|-=A B13n --.9．若n 阶方阵A 满足*||0.=≠0A A ，则秩()=A 1n -. 10．设,A B 是两个n 阶方阵，||1,||2+=-=A B A B ，则=A B BA2 .11．设矩阵111022003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*1()-=A 111666110331002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 12．A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，||,||a b ==A B ，则C=0AB (1)mn ab -.13．设矩阵A 满足24+-=0A A E ，其中E 为单位矩阵，则1()--=A E 1(2)2+A E .14．设A 为3阶方阵，其特征值为3,1,2-，则2||+=A E 100.15．已知11000101100100110100*********a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则4,4,()5,4.a R a =-⎧=⎨≠-⎩当时当时A16．已知n 阶方阵A 的各行元素之和都等于0，且()1n =-R A ，则=0AX 的通解为(1,1,,1),k k '为任意常数.17．矩阵m n ⨯A 满足,m n <||0'≠AA ，则=0AX 的基础解系一定由n m -个线性无关的解向量构成.18．若矩阵A 满足3=A A ，则A 的特征值只能是0或1或1-.19．如果(1,1,1)'=-ξ是方阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量，则a =3-；b =0.20．已知A 与B 相似，且3021⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，则2||λ-=A A 3(1)(31)λλ--.21．已知33⨯A 的特征值为1,2,3，则1*||-+=A A 376.22．已知2是A 的一个特征值，则2|6|+-=A A E 0.23．设,αβ是n 维列向量，0'=βα，则'αβ的特征值为0()n 重. 24．若n 阶方阵A 的行向量组线性相关，则0一定是A 的一个特征值. 25．直线1022270x y x x y z +-=⎧⎨+-=⎩的单位方向向量为. 26．已知2768444424798188D =，41424344,,,A A A A 为D 中第4行元素的代数余子式，则41424344+++=A A A A 0.27．设A 是3阶方阵，X 是3维列向量，使得2,,X AX A X 线性无关，且3232=-A X AX A X ，记2(,,)=P X AX A X ，则1-=P AP 000103012⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭.28．若两个非零几何向量,a b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 是夹角θ=2π.29．直线260:210x y z L x y z +--=⎧⎨-+-=⎩的参数方程为8,5113,55.x t y t z t ⎧=-⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩30．圆22212462402210x y z x y z x y z ⎧++-+-+=⎨+++=⎩的半径R =3.二、选择题1．设n 元齐次线性方程组=0AX 的系数矩阵A 的秩为r ，则=0AX 有非零解的充要条件是（C ）.（A ）r n =； （B ）A 的行向量组线性无关； （C ）A 的列向量组线性相关； （D ）A 的列向量组线性无关.2．设A 是m n ⨯矩阵，=0AX 是非齐次线性方程组=AX β所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（C ）.（A ）若=0AX 只有零解，则=AX β有唯一解； （B ）若=0AX 有非零解，则=AX β有无穷多解； （C ）若=AX β有无穷多解，则=0AX 有非零解； （D ）=AX β的任两解之和还是=AX β的解.3．设非齐次线性方程组=AX β的系数行列式为零，则（C ）. （A ）方程组有无穷多解； （B ）方程组无解； （C ）若方程组有解，则有无穷多解； （D ）方程组有唯一解.4．设A 是m n ⨯矩阵，对于线性方程组=AX β，下列结论正确的是（A ）. （A ）若A 的秩等于m ，则方程组有解； （B ）若A 的秩小于n ，则方程组有无穷多解； （C ）若A 的秩等于n ，则方程组有唯一解； （D ）若m n >，则方程组无解.5．设5阶方阵A 的秩是3，则其伴随矩阵*A 的秩为（C ）. （A ）3； （B ）4； （C ）0； （D ）2.6．设A 是n 阶方阵，*2,n >A 是A 的伴随矩阵，则下列结论正确的是（B ）.（A ）*||=AA A ； （B ）若||0≠A ，则*||0≠A ； （C ）**1||=A A A ； （D ）秩()=A 秩*()A . 7．设,AB 是n 阶方阵，A 非零，且=AB 0，则必有（D ）.（A ）=0B ； （B ）=0BA ； （C ）222()+=+A B A B ； （D ）||0=B . 8．设有两个平面方程 11111:0a x b y c z d π+++=，22222:0a x b y c y d π+++=，如果 秩1112222a b c a b c ⎛⎫=⎪⎝⎭，则一定有（D ） （A ）1π与2π平行； （B ）1π与2π垂直； （C ）1π与2π重合； （D ）1π与2π相交.9．设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随阵*A 的特征根之一是（D ）. （A ）1n λ-； （B ）||λA ； （C ）λ； （D ）1||λ-A .10．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（B ）. （A ）充分必要条件； （B ）充分而非必要条件； （C ）必要而非充分条件； （D ）既非充分条件也非必要条件. 11．已知n 阶方阵A 与某对角阵相似，则（C ）.（A ）A 有n 个不同的特征值； （B ）A 一定是n 阶实对称阵；（C ）A 有n 个线性无关的特征向量； （D ）A 的属于不同特征值的特征向量正交. 12．下列说法正确的是（D ）. （A ）若有全不为0的数12,,,m k k k 使11m m k k ++=0αα，则向量组12,,,mααα线性无关；（B ）若有一组不全为0的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++≠0ααα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（C ）若存在一组数12,,,m k k k 使1122m m k k k +++=0ααα，则向量组12,,,m ααα线性相关；（D ）任意4个3维几何向量一定线性相关.13．设,A B 是n 阶方阵，满足：对任意12(,,,)n x x x '=X 都有''X AX =X BX ，下列结论中正确的是（D ）.（A ）若秩()=A 秩()B ，则=A B ； （B ）若'=A A ，则'=B B ；（C ）若'=B B ，则=A B ； （D ）若,''==A A B B ，则=A B . 14．设,A B 均为n 阶正定矩阵，则必有（B ）.（A ）AB 正定； （B ）2+A B 正定； （C ）-A B 正定； （D ）k A 正定. 15．设A 是n 阶方阵，2=A E ，则（C ）.（A ）A 为正定矩阵；（B ）A 为正交矩阵；（C ）*2()=A E ；（D ）2tr()n =A . 16．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（D ）. （A ）若,A B 都可逆，则'A B 也可逆；（B ）若,A B 都是实对称正定矩阵，则1-+A B 也是实对称正定矩阵； （C ）若,A B 都是正交矩阵，则AB 也是正交矩阵； （D ）若,A B 都是实对称矩阵，则AB 是实对称矩阵. 17．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（B ）. （A ）若A 经列的初等变换化成B ，则秩()=A 秩()B ； （B ）若A 经行的初等变换化成B ，则11--=A B ；（C ）若A 经行的初等变换化成B ，则=0AX 与=0BX 同解；（D ）若A 经列的初等变换化成B ，则A 的列向量组与B 的列向量组等价.18．设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B 12010100100010001101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P ，则必有（C ）.（A ）12=AP P B ；（B ）21=AP P B ；（C ）12=P P A B ；（D ）21=P P A B .19．若A 与B 相似，则（B ）.（A ）λλ-=-E A E B ；（B ）||||λλ+=+E A E B ；（C ）**=A B ；（D ）11--=A B .20．若2=A E ，则（D ）.（A ）+A E 可逆； （B ）-A E 可逆；（C ）+=0A E 或-=A E 0； （D ）≠A E 时，+A E 不可逆.21．设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，4000000000000000⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭B ，则A 与B （A ）.（A ）合同且相似； （B ）合同但不相似； （C ）不合同但相似； （D ）不合同且不相似.22．实二次型f '=X AX 为正定二次型的充要条件是（C ）. （A ）f 的负惯性指数是0； （B ）存在正交阵P 使'=A P P ； （C ）存在可逆阵T 使'=A T T ； （D ）存在矩阵B 使'=A B B . 23．设B 是m n ⨯实矩阵，'=A B B ，则下列结论中错误的是（D ）. （A ）线性方程组=0BX 只有零解⇔A 正定；（B ）()()R R =A B ； （C ）A 的特征值大于等于0； （D ）()R m =⇔B A 正定. 24．设A 是n 阶方阵，||0a =≠A ，则*1||-A A 等于（C ）. （A ）a ； （B ）1a； （C ）2n a -； （D ）na . 25．设,A B 是n 阶方阵，则必有（D ）. （A ）11||||||--+=+A BA B ； （B ）111||---+=+A B B A ;（C ）222()=AB A B ； （D ）||||'=A B BA .26．已知12,ηη是非齐次线性方程组=AX β的两个不同的解，12,ξξ是对应的齐次线性方程组=0AX 的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组=AX β的通解为（B ）. （A ）1211222k k -++ηηξξ； （B ）1211212()2k k ++++ηηξξξ；（C ）112121()k k +-+ξηηη； （D ）1121212()()k k +-++ξηηηη.27．设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（C ）. （A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π.28．若12312,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式1231||,m =αααβ 1223||n =ααβα，则4阶行列式12312||+αααββ等于（D ）.（A ）m n +； （B ）()m n -+； （C ）m n -； （D ）n m -. 29．设n 阶矩阵A 非奇异(2)n >，则（C ）. （A ）**1()||n -=A A A ； （B ）**1()||n +=A A A ； （C ）**2()||n -=A A A ； （D ）**2()||n +=A A A .30．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩是3，则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---（A ）.（A ）相交于一点； （B ）重合； （C ）平行但不重合； （D ）异面.三、计算题1．设1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求5A 及10||A . 解：由311111111||(4)11111111λλλλλλλ+---+--==+-+---+E A故A 的特征值为12340,4λλλλ====-.对0λ=，由1()λ-=0E A x ，可解得三个线性无关的特征向量，1(1,1,0,0)'=ξ，2(1,0,1,0)'=ξ，3(1,0,0,1)'=-ξ.对4λ=-，由(4)--=0E A x ，可解得特征向量4(1,1,1,1)'=--ξ，令 12341111010010(),0101000114D⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭T T T T T ，由=AT TD 得 11*13111131111113||41111---⎛⎫ ⎪- ⎪=== ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭A TDTT T T 故 1111013111001011311()0101011134001141111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪=⋅ ⎪⎪⎪---- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭551511110131110010113110101011134001141111--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪==⋅ ⎪⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A TD T 88111111112211111111--⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A . 又10161016642,|||2|2||0====A A A A A .2．设0100102a c b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，（1）,,a b c 满足什么条件时，A 的秩是3;（2）,,a b c 取何值时，A 是对称矩阵; （3）取一组,,a b c ，使A 为正交阵.解：（1）01002002000010010010120120100102a c a bc a bc a c b b b ⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭A当2a bc ≠时，A 的秩是3.（2）0100102a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，要想A 成为对称矩阵，应满足'=A A ，即1,0a b c ===.（3）要想A 为正交阵，应满足'=A A E ，即00101001000010110010022a b a c c b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.2221,10,211,2a b ac b c ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得1,2a b c ===. 3．设有三维列向量123211101,1,1,111λλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ 问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一； （2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一； （3）β不能由123,,ααα线性表示.解法1： 设111111111λλλ+⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭A , 21110111111λλλλλ+⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭B由22211100(2)(1)1110(1)111111λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+⎛⎫⎪ ⎪=+−−→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭行B 22222003(12)1110(1)0(1)11100(3)(12)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭行行（1）当0λ≠且3λ≠-时，()()3R R ==A B ，此时β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一.（2）当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一.（3）当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示. 解法2：2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A① 当0λ≠且3λ≠-时，||0≠A ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一, ② 当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一， ③ 当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示.4．设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===，对应的特征向量依次为，1231111,2,3149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ，又12322=-+βξξξ，求nA β(n 为正整数).解：由于 123123222(,,)21⎛⎫⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭βξξξξξξ又由于 1111n n λ==A ξξξ，22222n n nλ==A ξξξ，33333n n n λ==A ξξξ. 所以 12312322(,,)2(,,)211n n n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A βξξξξξξ111232221232(,2,3)2123211231nn n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ 12132223223223n n n n n n +++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭.5．设122212221-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，（1）求A 的特征值；（2）求1-+E A 的特征值.解：（1）2122||212(1)(5)0221λλλλλλ+---=-+=-+=-+E A得A 的特征值为1231,5λλλ===-.·129·（2）由A 是对称阵，A 的特征值是1,1,5-，存在可逆阵T 使1115-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT 于是 111115--⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭T A T , 112()245--⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭T E A T ，故1-+E A 的特征值为42,2,5.6．已知(1,,1)k '=α是211121112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆阵1-A 的特征向量，试求常数k 的值.解：设α为A 的特征值为λ的特征向量，则λ=A αα.即 2111112111211k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即 322k k kλλ+=⎧⎨+=⎩解得 220k k +-=，即1k =或2-.7．设11 111, 1112a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，已知线性方程组=AX β有无穷多解，试求：（1）a 的值；（2）正交阵P ，使'P AP 为对角阵.解：（1）211111111101101120112a a a a aa a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭B 111011000(1)(2)2a a a a a a ⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭要使=AX β有无穷多解，必须()()3R R =<A B ，因此2a =-.·130· （2）此时112121211-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，112||121(3)(3)0211λλλλλλλ---=-+-=-+=--E A ，得A 的特征值1230,3,3λλλ===-.对于10λ=，由1112121211ξ--⎛⎫⎪--=⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量1111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得13⎛⎫ ⎪=⎝⎭η； 对于23λ=，由2212151212ξ-⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪-⎝⎭0，得特征向量2101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得2202⎛⎫⎪⎪= ⎪ - ⎝⎭η；对于34λ=-，由3412111214ξ--⎛⎫ ⎪---= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量3121⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得363η⎛⎫ ⎪ =- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭;·131·令3260⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎪⎪⎝⎭P ，此时P 为正交阵，并且'P AP 为对角阵033⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 8．已知线性方程组（I ）1111221331442112222332440a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨+++=⎩的一个基础解系为112112221213231424, b b b bb b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，试求线性方程组.（II ）11112213314421122223324400b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎨+++=⎩的通解.解：设11121314111213142122232421222324a a a a b b b b a a a a b b b b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B由12,ξξ为（I ）的一个基础解系得0'=AB .由12,ξξ线性无关，所以()2R =B ，又0'=BA ，所以1111213142(,,,),a a a a '==ηη21222324(,,,)a a a a '是B 的基础解系，通解为112212,,k k k k +ηη为任意常数.9．已知方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有三个线性无关的解向量，求,a b 的值及方程组的通解.解：1111111111(|)43511011531310131a b a a b a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭行A β10242011530042452a b a a -⎛⎫⎪−−→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭行由于该非齐次线性方程组有三个线性无关的解向量，故()(|),()1 3.R R A n R =-+=A A β·132· 其中4n =. 于是()(|)2R R ==A A β.从而2,3a b ==-. 该方程组与方程组13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩ 同解. 令3142,x k x k ==得该方程组的通解112212314224253x k k x k k x k x k -++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 12242153100010k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,k k 为任意常数.10．设3221423kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，问当k 为何值时，存在可逆阵P ，使得1-P AP 为对角阵，并求出一个P 及相应的对角阵A . 解：A 的特征方程为：322122||11423123k k k λλλλλλλλ-----=+-=+---+--+E A2122(1)01(1)(1)0123k λλλλλ-=-+-=-+=-+.解得特征根为1231,1λλλ===-.当1λ=时，()2,R -=E A A 有1个线性无关的特征向量.当1λ=-时，211422211100022422000000E A -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k k k k k k·133·因存在可逆阵P ，使1-P AP 为对角阵，所以(1)1R --=E A ，从而0k =.因此 322010423-⎛⎫⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A ， 对应于11λ=的特征向量为1ξ，由222020424--⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭1=0ξ得1(1,0,1)'=ξ 对应于231λλ==-的特征向量为23,ξξ，由422000422--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭0ξ，得 23(1,2,0),(0,1,1)''=-=ξξ令110021101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P 且P 为可逆阵，相应的对角阵111⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A .11．设101020101⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭A ，方阵B 满足2+=+AB E A B ，求B . 解：由2+=+AB E A B 得 2()()()-=-=-+A E B A E A E A E由于001010100⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E ，所以-A E 可逆，得 201030102⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭B A E ，12．已知将3阶可逆阵A 的第2行的2倍加到第3行得矩阵B ，求1-AB .解：令100010021⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，则=CA B ，由于,A C 均可逆，故B 可逆，所以 11100010021--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭AB C .13．设有线性方程组·134· 123123123000ax bx bx bx ax bx bx bx ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （,a b 不全为0） （1）,a b 为何值时方程组有非零解； （2）写出相应的基础解系及通解； （3）求解空间的维数.解：（1）齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式0a b bba b b b a=即 2()(2)0a b a b -+= 故0a b =≠，或20a b =-≠时，方程组有非零解. （2）当0a b =≠时，方程组为1230x x x ++=，即123x x x =--.其基础解系为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，通解为12121110,,10k k k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.当20a b =-≠时，方程组为123123123202020x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，解得基础解系为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，通解为11,1k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.（3）当0a b =≠时，解空间维数为2；当20a b =-≠时，解空间维数为1.14．设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++经正交变换=X PY 化成22232f y y =+，其中123123(,,),(,,),x x x y y y ''==X Y P 是3阶正交矩阵，求,a b 及满足上述条件的一个P .解：正交变换前后，二次型的矩阵分别为11111a a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 000010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B故二次型可以写成f '=X AX 和f '=Y BY ，且1-'==B P AP P AP .·135·由,A B 相似知||||λλ-=-E A E B ，即322223(2)()a b a b λλλ-+--+-3232λλλ=-+，比较系数得：0,0a b ==.由1000010002-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP B ，知A 的特征值是0,1,2.解方程组(0)-=0E A x ，得1101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得11120||2ξξ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ - ⎝⎭P 解方程组()-=0E A x ，得22201,0⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P ξξ，解方程组(2)-=0E A x ，得3101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得33320||2⎛ ⎪== ⎪ ⎝⎭P ξξ故123022()010022⎛ ⎪== ⎪ - ⎝⎭P P P P . 15．求直线110:220x y z L x y z +--=⎧⎨+--=⎩与2220:2240x y z L x y z +--=⎧⎨+++=⎩的公垂线方程.解：1L 与2L 的标准式及参数形式分别为：11:011x y z L -==与1,,;x y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩22:210x y z L +==-与2,,2.x y z λλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩·136· 1L 的方向向量为12(0,1,1),L =s 的方向向量为2(2,1,0)=-s .设1L 与2L 公垂线垂足为(1,,),(2,,2)t t λλ--A B ，则应有(21,,2)AB t t λλ=-----，且1220s λ⋅=---=AB t ，2520s λ⋅=+-=AB t .解得4,32.3t λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1{1,2,2}3AB =-，故公垂线方程为 44133122y z z ++-==-. 16．求直线210:10x y z L x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩在平面:20x y z π+-=上投影的方程.解：A 点坐标为44(1,,)33--.设通过直线L 垂直于平面π的平面0π的方程为21(1)0x y z x y z λ-+-++-+=.0π的法向量为1(2,1,1)λλλ=+-+-n . 平面π的法向量为(1,2,1)=-n . 由0ππ⊥，知10⋅=n n ，得 22(1)(1)0λλλ++-+--= 解得14λ=. 从而得0π方程为310.x y z -+-=所以所求直线0L 方程为310,20.x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩17．设矩阵A 与B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ， （1）求,a b 的值；（2）求一个可逆阵P ，使1-=P AP B .解：（1）因为A 与B 相似，所以有||||λλ-=-E A E B ，32111||242(5)(53)6633a a a aλλλλλλλ---=--=-++++--E A232||(2)()(4)(44)4b b b b λλλλλλ-=--=-+++-E BππL 0L·137·比较两式系数可得：5344664a b a b +=+⎧⎨-=-⎩解得56a b =⎧⎨=⎩.（2）因A 与226⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 相似，所以A 的特征值为2,2,6. 1112222333-⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭E A . 解(2)-=0E A X 得A 的对应于特征值2的特征向量12111,001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，5116222331-⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E A . 解()E A X -=60得A 的对应于特征值6的特征向量3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ.令123111()102013P -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭ξξξ，则有1-=P AP B .18．已知3阶实对称阵A 的特征值为03,2,2,10⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭及01 ⎪ ⎪⎝⎭分别是A 的对应于特征值3,2的特征向量，（1）求A 的属于特征值2-的一个特征向量；（2）求正交变换=X PY 将二次型f '=X AX 化为标准形.解：（1）设2-对应的特征向量为X ，则有12(,)0,(,)0==X X ξξ，可取310⎛⎫⎪= ⎪ ⎝ξ.（2）把特征向量规范正交化后得：·138·12310221,0,00122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ - ⎪⎝⎭⎝⎭P P P .令10221001022⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ - ⎝⎭P ， 则在正交变换=X PY 下f 化为 222123322f y y y =+-.19．已知二次型22212312232355266f x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，求c 及此二次型对应矩阵的特征值，指出123(,,)1f x x x =代表三维几何空间中何种几何曲面.解：二次型f 所对应的矩阵为51315333c -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ,因f 的秩为2，即A 的秩为2，故有||0=A ，所以3c =.513||153(4)(9)0333λλλλλλλ---=-=--=--E A ，得特征值为0,4,9. 与特征值相对应的单位特征向量分别为123(,,'''===P P P ， 取正交变换阵0⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则在正交线性变换=X PY 下，方程123(,,)1f x x x =化为椭圆柱面2223491y y +=.20．设有数列01201321120,1,,,,,n n n a a a a a a a a a a a --===+=+=+，求1000a .解法1：·139·由1121110n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 得9991000109991110a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.记 1110⎛⎫=⎪⎝⎭A 得A，并且1211,2211⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ分别是A的对应于特征值1122+的特征向量.记1211(,)2211⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭T ξξ，于是111-⎛ ⎪=⎪-⎪⎝⎭T则100-⎫⎪ = ⎝A T T99999911020-⎛⎫+ ⎪= ⎝A T T1000100010001000999999999999]]-+⎪= ⎪-+⎪⎝⎭所以10001000100011(()())522a +-=-. 解法2：设 1111n D +++=++αβαβαβαβαβαβαβαβ·140· 将n D 按第一行展开可得1n n n D D αβ--= （1）由, αβ的对称性可得1nn n D D βα--= （2）若αβ≠，（1）、（2）联立解之11n n n D αβαβ++-=- （3）若αβ=，由（1）1(1)n nn n D D n ααα-=+=+ （4）考察令 11111111111n D --=-补充定义100,1D D -==，则12,1,2,n n n D D D n --=+= 于是1n n a D -= 解：11αβαβ+=⎧⎨=-⎩, 得001122αβ+==，由（3）知 00000000001000999000000111a D αβαβαβαβαβαβαβαβ+++==++100010000000αβαβ-=-10001000⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦.·141·四、证明题1．证明69169169(1)316916n n D n ==+，（n 为正整数）. 证：1 1n =时，16(11)3D ==+⋅2 假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，由226936927(21)316D ==-==+⋅知命题成立.若13k +≥，将1k D +按第一行展开得11169169696(1)39316916k k k k k D D D k k -+-==-=+-⋅⋅1(2)3k k +=+⋅由数学归纳法，对一切自然数n 结论都成立.2．设A 为2阶方阵，证明：若存在大于等于2的自然数m 使m=0A ，则=20A .证：因m=0A ，所以||||0mm==A A ，又A 为2阶方阵，故()1R ≤A .所以A 经初等变换可以化为100000000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是存在可逆阵,P Q ，使 1000100000(100)00000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P Q P Q ，·142· 取10,(100)0⎛⎫ ⎪ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭U P V Q ，则'=A UV .令k '=V U ，则2.k k '''===A UV UV UV A 由m m k -==10A A 知0k =，或者=0A ，故2k ==0A A . 3．设A 是幂等阵2()=A A ，试证 （1）A 的特征值只能是1或0， （2）()()n R R n +-=A A E ， （3）A 可相似对角化； （4）()tr()R =A A .证：（1）设λ是A 的任一特征值，则存在≠0X 使λ=AX X . 于是22λ=A X X .由2=A A 知，2λλ=X X . 由≠0X 得2λλ=，故1λ=或0. （2）由2=A A 知，()-=0A A E ，于是()()R R n +-≤A A E （1）由()n n +-=A E A E 知()()()()()n n n R R R R R =≤+-=+-E A E A A A E （2）综合（1），（2）可得()().n R R n +-=A A E（3）记12(),()n R r R r =-=A A E .当10r =或20r =时，=0A 或n =A E ，命题显然成立. 以下设120,0r r ≠≠，由12r r n +=知10r n <<，20r n <<. 取112,,,n r -ξξξ为=0AX 的基础解系212,,,n r -ηηη是()n -=0A E X 的基础解系，则112,,,n r -ξξξ是A 的属于特征值0的线性无关的特征向量，212,,,n r -ηηη是A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，故由12()()n r n r n -+-=知A 有n 个线性无关的特征向量1211,,,,,n r n r --ξξηη. 从而A可相似对角化.（4）由（1）、（3）可知存在可逆阵T 使10r-⎛⎫=⎪⎝⎭E T AT 于是1()tr()tr()R r -===A TAT A .4．设,A B 是n 阶正定矩阵，证明：AB 的特征值全大于0.·143·证：因,A B 正定，则存在可逆阵12,P P ，使11221122''''===A P P B P P AB P P P P12221121212()()()-'''''==P AB P P P P P P P P P因12,P P 可逆，则12'P P 可逆，从而1212()()''P P PP 正定，它的特征值全大于0， 因AB 与1212()()''''P P P P 相似，从而AB 的特征值全大于0. 5．设A 为n 阶方阵，试证：（1）若1k +=0A α且k≠0A α，则1,,,,kk -A A A αααα线性无关；（2）1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解； （3）1()()n nR R +=A A .证：（1）反证法若1,,,,kk +A A A αααα线性相关，则存在不全为零的数01,,,k l l l ，使01k k l l l +++=0αααA A ，设i l 是第一个不等于零的系数，即0110,0i i l l l l -====≠， 则 11i i k i i k l l l +++++=0A A A ααα，两边乘以矩阵k i -A ，得121k k k i i i k l l l +-++++=0A A A ααα，由于1k +=0Aα，故对任意1m k ≥+都有m =0A α，从而由上式得k i l α=0A ，但k ≠0A α，故0i l =与假设矛盾. （2）证明：假设α是1n +=0A X 的解，但不是n =0A X 的解，即有 1n +=0A α 但n≠0A α.由（1）知1,,,,nn -A A A αααα线性无关，与1n +个n 维向量1,,,,n n -A A A αααα线性相关矛盾，故α是n =0A X 的解. （3）由（2）知1n +=0AX 的解一定是n =0A X 的解，且易知n =0A X 的解一定是1n +=0A X 的解，所以方程1n +=0A X 与n =0A X 同解，所以1()()n n +=R A R A .6．已知向量组12,,,(2)m m ≥ααα线性无关，试证：向量组1112,m k =+=βααβ22111,,,m m m m m m m k k ---+=+=ααβααβα线性无关.证：假设有一组数121,,,,m m l l l l -使得112211m m m m l l l l --++++=0ββββ.则有11222111()()()m m m m m m m m l k l k l k l ---+++++++=0ααααααα，即有·144· 112211112211()m m m m m m l l l l k l k l k l ----++++++++=0αααα由于12,,,m ααα线性无关，所以 1211122110m m m m l l l l k l k l k l ---====++++=，所以1210m m l l l l -=====.故12,,,m βββ线性无关.7．设12,,,m ααα线性无关，m 为奇数，试证：1122231,,,m -=+=+=βααβααβ11,m m m m -+=+ααβαα线性无关.证：假设存在一组数12,,,m k k k 使112211m m m m k k k k --++++=0ββββ，则有112223111()()()()m m m m m k k k k --++++++++=0αααααααα，即111221()()()m m m m k k k k k k -++++++=0ααα 又由于12,,,m ααα线性无关，所以11210m m m k k k k k k -+=+==+=，因为m 是奇数，所以线性方程组（1）的系数行列式1101111(1)20010001m D +==+-=≠， 1121000m m m k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ （1） 故（1）只有零解，所以120m k k k ====，故12,,,m βββ线性无关.8．设n 阶矩阵A 的n 个列向量为12,,,n ααα，n 阶矩阵B 的n 个列向量为122311,,,,,()n n n R n -++++=ααααααααA ，问齐次线性方程组=0BX 是否有非零解，证明你的结论.证：当n 为奇数时，齐次线性方程组=0BX ，没有非零解. 当n 为偶数时，=0BX 有非零解.·145·由于()R n =A ，所以n 阶矩阵A 的n 个列向量12,,,n ααα线性无关，由上题知，当n 为奇数时，122311,,,,n n n -++++αααααααα也线性无关，所以()R n =B ，因此齐次线性方程组=0BX 没有非零解，但当n 为偶数时，因122311()()()()n n n -+-++++-+=0αααααααα，122311,,,,n n n -++++αααααααα线性相关，所以()R n <B .因此，齐次线性方程组=0BX 有非零解.9．设12,,,n ξξξ是n 阶方阵A 的分别属于不同特征值的特征向量，12n =+++αξξξ. 试证：1,,,n -A A ααα线性无关.证：设A 的n 个互不相同的特征值为12,,,n λλλ，对应的特征向量依次为12,,,n ξξξ，则1111(),,n n n n λλ=++=++=++A A A A αξξξξξξ11111n n n n n λλ---=++A αξξ.设有一组数011,,,n k k k -，使得1011n n k k k --+++=0αααA A 即1101111111()()()n n n n n n n k k k λλλλ---+++++++++=0ξξξξξξ.可得1101111101212201(λλ)(λλ)(λn n n n n k k k k k k k k ξξ----+++++++++++11)n n n n k λ--+=0ξ.由于12,,,n ξξξ线性无关，所以1011111012121011000n n n n n nn n k k k k k k k k k λλλλλλ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 即 1011212211111n n n n n n k k k ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0λλλλλλ又由于1111221111()01n n i j j i nn nn --≤<≤-=-≠∏λλλλλλλλ.所以0110n k k k -====， 即21,,,,n -A A A αααα线性无关.·146· 10．已知,A B 是两个n 阶实对称矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是,A B 的特征多项式相等.证：（1）若A 与B 相似，记1-=T AT B ，则11||||||||||||λλλλ---=-=-=-E B E T AT T E A T E A .（2）若,A B 的特征多项式相等，则,A B 有相同的特征值12,,,n λλλ. 因,A B 都是实对称矩阵，存在正交阵,P Q 使112211,n n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP Q BQ 于是11--=P AP Q BQ .即111()()---=PQ A PQ B故A 与B 相似.11．设A 是n 阶实矩阵，证明当0k >时，k '+E A A 正定.证：()()()k k k ''''''+=+=+E A A E A A E A A ，即k '+E A A 是实对称阵. 对任意n 维非零实列向量X ，有()()()()k k k '''''''+=+=+X E A A X X E X X A AX X X AX AX由于0k >，所以()0k '>X X ，又()0'≥AX AX ，所以()0k ''+>X E A A X .即k '+E A A 正定.12．设A 是m n ⨯实矩阵，证明：()()()R R R ''==A A AA A ，并举例说明A 是复矩阵时，结论未必成立. 证：考察方程组'=0A AX ， （1）=0AX （2）显然（2）的解均为（1）的解，因而()()n R n R '-≤-A A A ，即有()()R R '≤A A A （3）·147·另一方面，对任意1nn x x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭R X 如果'=0A AX ，则()0''=X A AX ， 即()()0'=AX AX （4）设12(,,,)n a a a '=AX ，由（4）知210ni i a ==∑，因为A 为实矩阵，X 为实向量，故i a 均为实数，所以120n a a a ====，即=0AX ，由于（2）的解也是（1）的解，故有()()n R n R '-≤-A A A ，即()()R R '≤A A A （5）综合（3），（5）式知()()R R '=A A A由()()R R '=A A 知()(())()()R R R R '''''===AA A A A A故有()()()R R R ''==A A AA A .令1i ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则(1,)i '=A ，于是(0)'=A A ，即A 是复矩阵，结论不成立. 13．若任意n 维列向量都是n 阶方阵A 的特征向量，试证：A 一定是标量矩阵. 证：先证A 的任两个特征值都相等，否则设1212,()λλλλ≠是A 的两个特征值，≠0X ，≠0Y ，使12,λλ==AX X AY Y . 因12λλ≠，所以,X Y 线性无关，+≠0X Y . 依题意存在k ，使()()k +=+A X Y X Y ，于是1212()(),k k k λλλλ-+-===0X Y ，矛盾，故A 的所有特征值都相等，记为λ.令j e 为n 阶单位阵E 的第j 个列向量，1,,j n =，于是 1()E e e e =jn由已知,1,2,,j j j n λ==Ae e得11()(),,A e e e e e e AE E A E λλλ===j n j n即A 是数量矩阵.14．设A 是n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B 使2=A B . 证：A 是正定阵，则存在正交矩阵P ，使得·148· 121n λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP D ，其中0,(1,2,,)ii n λ>=令(1,2,,)i i n δ==，则21111222222n n n n λδδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D 而 11221n n δδδδδδ-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪'== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P 1122n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 12n δδδ⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P P ，易验证B 为正定阵，故2=A B . 15．设α是n 维非零实列向量，证明：2'-'E αααα为正交矩阵.证：因为22()'''-=-''E E αααααααα，故2222()()()()'''''--=--''''E E E E αααααααααααααααα 224444()()()()()''''''=-+=-+''''E E αααααααααααααααααααα 44''=-+=''E E αααααααα. 因而2'-'E αααα为正交矩阵.16．设方程组=0AX 的解都是=0BX 的解，且()()R R =A B ，试证：=0AX 与·149·=0BX 同解.证：设()()R R r ==A B ，则=0AX 的基础解系含有n r -个线性无关的向量，不妨设为12,,,n r -ξξξ. 有,(,,)A ==-01i i n r ξ.又=0AX 的解必为=0BX 的解，从而,(,,)i i n r ξ==-01B从而12,,,n r -ξξξ也是=0BX 的基础解系.于是=0BX 的通解为11.n r n r k k --+ξξ则=0AX 与=0BX 同解.17．设A 是n 阶方阵，12(,,,)n b b b '=β是n 维列向量，0⎛⎫= ⎪'⎝⎭A B ββ，若()()R R =A B ，则=AX β有解.证：由于()()()R R R ≤=A B A β，又由于()()R R ≤A A β，所以()()R R =A A β即=AX β有解.18．设12(,,,)(1,2,,,)i i i in a a a i r r n '==<α是r 个线性无关的n 维实向量，12(,,,)n b b b '=β 是线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的实非零解向量，试证：12,,,,r αααβ线性无关.证：假设12,,,,r αααβ线性相关，由已知12,,,r ααα线性无关，必有1122r r k k k =+++βααα， （1）又由β为方程组的解，从而(,)0,(1,,)i i r ==βα于是11(,)(,)0r r k k =++=βββαα， 从而=0β，矛盾.所以12,,,,r αααβ线性无关. 19．设,A B 是两个n 阶正定矩阵，若A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定. 证：因为,A B 是两个n 阶正定矩阵，因此,A B 也必为实对称矩阵，设12,,,n P P P 为A 的n 个标准正交的特征向量，记12()n =P P P P ，则·150· 112211,,n n k k k λλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP P BP 并且,0,(1,,)i i k i n λ>=，所以 1122111n n k k k λλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭P ABP P AP P BP 1122n n k k k λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 且0,(1,,)i i k i n λ>=. 再由1-'=P P 得()'=AB AB ，因此AB 正定.20．设12,,,t ααα是齐次线性方程组=0AX 的基础解系，向量β不是=0AX 的解，试证向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关. 证：设有一组数01,,,t k k k 使得011()()t t k k k +++++=0ββαβα即0121122()t t t k k k k k k k ++++++++=0βααα （1）由于12,,,t ααα是齐次线性方程组=0AX 的基础解系，向量β不是=0AX 的解，所以β不能表为1,,t αα的线性组合，所以0120t k k k k ++++=，因此（1）式变为1122t t k k k +++=0ααα，由于1,,t αα线性无关，所以120t k k k ====，进而00k =，故向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.。