【数学】安徽省某高级中学 函数与导数应用经典试题(理)

函数与导数14 导数及其应用 恒成立及存在性问题一、具体目标： 1.导数在研究函数中的应用：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）. 2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。

考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点：(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 二、知识概述： 一）函数的单调性：1.设函数y =f (x )在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则函数y =f (x )为增函数；如果f ' (x )<0，则函数y ＝f (x )为减函数；如果恒有f ' ( x )＝0，则y =f (x )为常函数.2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．3.f (x )在区间I 上可导，那么0)(>'x f 是f (x )为增函数的充分条件，例如f (x )=x 3是定义于R 的增函数， 但 f '(0)=0，这说明f '(x )>0非必要条件．)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定．4. 讨论可导函数的单调性的步骤： （1）确定)(x f 的定义域；【考点讲解】（2）求)(x f '，令0)(='x f ，解方程求分界点； （3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断)(x f '在每个开区间内的符号，即可确定)(x f 的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f (x )、g (x )均在[a 、b ]上连续，(a ，b )上可导，那么令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )也在[a ，b ]上连续，且在(a ，b )上可导，若对任何x ∈(a ，b )有h '(x )>0且 h (a )≥0，则当x ∈(a ，b )时 h (x )>h (a )=0，从而f (x )>g (x )对所有x ∈(a ，b )成立． 二）函数的极、最值： 1．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x )的极小值． (2)函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f(x)在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b ]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b ]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．三）高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究相关结论：结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∀∈>⇔>； 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∃∈>⇔>； 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>； 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>；结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ∃∈∃∈=⇔的值域和()g x 的值域交集不为空.1. 【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥【真题分析】在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号，∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 【答案】C2.【优选题】设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】本题考点是函数的单调性、存在性问题的综合应用.令()()()21,xg x e x h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ，使得()g t 在直线()h x 的下方.()()21'=+xg x ex ，当12x <-时，函数单调递减，当12x >-，函数单调递增，当12x =-时，函数取得最小值为122e --.当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，(1)0g e =>，直线()h x ax a =-过定点()1,0，斜率为a ，故()0a g ->且()113g e a a --=-≥--，解得3,12⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭a e . 【答案】D3.【2019年高考北京】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞. 【答案】(]1,0--∞4.【优选题】已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x ，若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x ，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时，显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故只需Δ>0，即1－8m >0，解得m <18.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，18. 【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，18 5.【优选题】若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 【解析】 由题意可知'21()2f x ax x=+，又因为存在垂直于y 轴的切线， 所以231120(0)(,0)2ax a x a x x+=⇒=->⇒∈-∞. 【答案 】 (,0)-∞ 6.【2018年江苏卷】若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()∞+，0内有且只有一个零点，则()x f 在[]11，-上的最大值与最小值的和为________．【解析】本题考点是函数的零点、函数的单调性与最值的综合应用. 由题意可求得原函数的导函数为()0262=-='ax x x f 解得3,0ax x ==，因为函数在()∞+，0上有且只有一个零点，且有()10=f ，所以有03,03=⎪⎭⎫⎝⎛>a f a，因此有3,0133223==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a ，函数()x f 在[]01，-上单调递增，在[]10，上单调递减，所以有()()10max ==f x f ，()()41min -=-=f x f ，()()3min max -=+x f x f .【答案】–37.【2018年理新课标I 卷】已知函数()x x x f 2sin sin 2+=，则()x f 的最小值是_____________．【解析】本题考点是函数的单调性、最值与三角函数的综合应用. 由题意可()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=+='21cos 1cos 42cos 2cos 42cos 2cos 22x x x x x x x f ，所以当21cos <x 时函数单调减，当21cos >x 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,352ππππ，函数的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππ，所以当()Z k k x ∈-=,32ππ时，函数()x f 取得最小值，此时232sin ,23sin -=-=x x ，所以()23323232min-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f ，故答案是233-. 【答案】233-8.【优选题】已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12x x 、都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是 . 【解析】由题意可知()'2af x x x=+≥（x ＞0）恒成立，∴22a x x ≥-恒成立， 令()()22211g x x x x =-=--+则()max x g a ≥，∵()22g x x x =-为开口方向向下，对称轴为x =1的抛物线，∴当x =1时，()22g x x x =-取得最大值()11=g ，∴1≥a 即a 的取值范围是[1，+∞）．【答案】[)1,+∞9. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l ]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．10.【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-+=()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()f x ≤2ln 0x ≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t tx t =≥2()2ln g t t x=-．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==. 故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g =…．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫ ⎪⎝⎭„． 由（i ）得，11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此()0g t g =>…． 由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a „． 综上所述，所求a的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦.1.设函数a ax x x x f -+--=53)(23，若存在唯一的正整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是（ ）A ．)31,0( B ．]45,31( C ．]23,31( D ．]23,45(【解析】当32a =时，3237()322f x x x x =--+，()()20,30f f <<，不符合题意，故排除C ，D.当54a =时，32515()344f x x x x =--+，()()()()10,20,30,40f f f f ><=>，故54a =符合题意.【答案】B2.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e - C ．33[,)24e D ．3[,1)2e【解析】 ()0(21)xf x e x ax a <⇔-<-，记()(21)xg x e x =-，则题意说明存在唯一的整数0x ，使()g x 的图象在直线y ax a =-下方，【模拟考场】'()(21)x g x e x =+，当12x <-时，'()0g x <，当12x >-时，'()0g x >，因此当12x =-时，()g x 取得极小值也是最小值21()22g e --=-，又(0)1g =-，(1)0g e =>，直线y ax a =-过点（1,0）且斜率为a ，故1(0)1(1)3a g g e a a-->=-⎧⎨-=-≥--⎩，解得312a e≤<． 【答案】D3.若函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，则m 的取值范围（ ） A.()1,3- B.()3,1- C.()3,+∞ D.(),1-∞- 【解析】考查函数()2ln xg x a x x a m =+--，则问题转化为曲线()y g x =与直线2y =有两个公共点，则()()ln 2ln 1ln 2x x g x a a x a a a x '=+-=-+，则()00g '=， 当01a <<时，ln 0a <，当0x <时，10x a ->，()1ln 0x a a -<，20x <，则()1ln 20x a a x -+<， 当0x >，10x a -<，()1ln 0x a a ->，20x >，则()1ln 20x a a x -+>，此时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，同理，当1a >时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，因此函数()2ln xg x a x x a m =+--在0x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 01g x g m ==-，)由于函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点， 结合图象知12m -<，解得13m -<<，故选A. 【答案】A 4. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若当[]1,2x ∈-时()f x m <恒成立，求m 的取值范围 【解析】试题分析：（1）由原函数求出导数，通过导数的正负求出相应的单调区间（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题中需求函数()f x 的最大值，可通过导数求解.试题解析：（1）由()'2320fx x x =--> 得1x >或()1,+∞（2上递减，在区间[]1,2上递增，又，所以在区间[]1, 2-上max 7f =要使()f x m <恒成立，只需7m >即可.【答案】（1，()1,+∞ 2）7m >5.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =.当)x ∈+∞U 时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>.所以()f x在)+∞单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 6.已知函数()ln 2a xf x x x =++． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()ln 1g x x x f x =+-，若1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222112222a x x af x x x x +-'=-+=，令()0f x '=，则2220x x a +-=，480a ∆=+>时，即12a >-，方程两根为11x ==--2x =-122x x +=-，122x x a =-，①当12a ≤-时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间为()0,+∞；②当102a -<≤时，1220x x a =-≥，10x <，20x ≤，()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 的增区间为()0,+∞；③当0a >时，10x <，20x >，当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2+x x ∈∞,时，()0f x '>，单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞； 当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞．（2）1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，即ln ln 102a x x x x x ---+>，∴22ln ln 2x a x x x x x <--+，令()221ln ln 22x h x x x x x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，()2ln ln 11h x x x x x x '=+---+，()()21ln h x x x '=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1+x ∈∞,时，()0h x '>，()h x 单调递减； ∴()()min 112h x h ==，∴12a <，则实数a 的取值范围时12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞；（2）12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．7.已知函数f (xln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点．【解析】（Ⅰ）函数f （x）的导函数1()f x x '=-，由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+==≥ 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=+=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=， 所以所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令m =()e a k -+，n =21()1a k++，则f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0， f （n ）–kn –a <)a n k n --≤)n k -<0，所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ， 所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点． 由f （x ）=kx +a 得k =设()h x =22ln )1)((12x ag x x x a x h '=-+--+=，其中(n )l g x x -=． 由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2，故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln 2+a ≤0， 所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根． 综上，当a ≤3–4ln 2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点． 8.【优选题】已知函数21()(2)2ln 2f x x a x a x =-++(0)a >. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为2y x b =+，求2a b +的值； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）设函数()(2)g x a x =-+，若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】本题是函数的综合问题.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()(2)'=-++a f x x a x， ∴1(1)(2)22f a b =-+=+，(1)1(2)22'=-++=f a a ， 解得132,2a b ==-，∴210a b +=-．（2）2(2)2(2)()()-++--'==x a x a x x a f x x x，当2a =时，()0(0,)'≥⇒∈+∞f x x ，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞.当02a <<时，由'()0(0,)(2,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞由'()0(,2)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(,2)a .当2a >时，由'()0(0,2)(,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞由'()0(2,)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(2,)a .综上所述：当2a =时，'()0(0,)f x x ≥⇒∈+∞，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞，当02a <<时，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞，()f x 的单调减区间为(,2)a 当2a >时，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞，()f x 的单调减区间为(2,)a .（3）若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >，∴212ln 02x a x +>， 当[,4]x e ∈时，ln 1x >，∴2122ln xa x>-有解，令212()ln x h x x=-，∴min 2()a h x >.2'22111ln (ln )22()0(ln )(ln )x x x x x x h x x x -⋅-=-=-<， ∴()h x 在[,4]e 上单调递减，min 4()(4)ln 2h x h == ∴42ln 2a >得，2ln 2a >． 9.【2018山东模拟】设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率.（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f > 恒成立，求m 的取值范围.【解析 】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力. （1）当1)1(,2)(,31)(1'2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时， 所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.（2） 12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1因为m m m ->+>11,0所以当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：x )1,(m --∞m -1)1,1(m m +-m +1),1(+∞+m)('x f+0 - 0 +)(x f极小值极大值)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十二 极值与最值（学生版）一．选择题（共13小题）1．（2017•新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为() A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．12．（2013•安徽）若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．（2013•辽宁）设函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，f （2）28e =，则0x >时，()(f x)A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值4．（2016•四川）已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则(a = ) A ．4-B ．2-C ．4D ．25．（2015•新课标Ⅰ）设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A ．3[,1)2e-B ．33[,)24e -C ．33[,)24e D ．3[,1)2e6．（2013•浙江）已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(1,2)x k f x e x k =--=，则( ) A ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极小值 B ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极大值 C ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极小值 D ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极大值7．（2013•福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．x R ∀∈，0()()f x f x … B ．0x -是()f x -的极小值点 C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点8．（2013•湖北）已知函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞9．（2013•安徽）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．610．（2013•湖北）已知a 为常数，函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点1x ，212()(x x x < ) A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-11．（2011•福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2B ．3C ．6D ．912．（2008•广东）设a R ∈，若函数x y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则( ) A ．1a <-B ．1a >-C ．1a e<-D ．1a e>-13．（2011•湖南）设直线x t =与函数2()f x x =，()g x lnx =的图象分别交于点M ，N ，则当||MN 达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12C D 二．填空题（共3小题）14．（2018•江苏）若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，1]上的最大值与最小值的和为 ．15．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ． 16．（2013•新课标Ⅰ）若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十二 极值与最值（教师版）一．选择题（共13小题）1．（2017•新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A ．1- B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】函数21()(1)x f x x ax e -=+-，可得121()(2)(1)x x f x x a e x ax e --'=+++-， 2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，可得：33(2)(4)(421)0f a e a e --'-=-++--=，即4(32)0a a -++-=．解得1a =-． 可得121()(21)(1)x x f x x e x x e --'=-+--21(2)x x x e -=+-，函数的极值点为：2x =-，1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>函数是增函数，(2,1)x ∈-时，函数是减函数， 1x =时，函数取得极小值：f （1）211(111)1e -=--=-．故选A ．2．（2013•安徽）若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 是方程2320x ax b ++=的两根， 由23(())2()0f x af x b ++=，得1x x =，或2x x =，即23(())2()0f x af x b ++=的根为1()f x x =或22()f x x =的解． 如图所示，由图象可知1()f x x =有2个解，2()f x x =有1个解，因此23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为3．3．（2013•辽宁）设函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，f （2）28e =，则0x >时，()f x ( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值【答案】D【解析】Q 函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，∴2[()]x e x f x x'=令2()()F x x f x =，则()x e F x x '=，F （2）4f =g （2）22e =．由2()2()x e x f x xf x x '+=，得32()()x e F x f x x -'=，令()2()x x e F x ϕ=-，则(2)()2()x xe x x e F x xϕ-'=-'=．()x ϕ∴在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， ()x ϕ∴的最小值为ϕ（2）22e F =-（2）0=．()0x ϕ∴…．又0x >，()0f x ∴'…．()f x ∴在(0,)+∞单调递增．()f x ∴既无极大值也无极小值． 4．（2016•四川）已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则(a = ) A ．4- B ．2- C ．4 D ．2【答案】D【解析】2()312f x x '=-；2x ∴<-时，()0f x '>，22x -<<时，()0f x '<，2x >时，()0f x '>； 2x ∴=是()f x 的极小值点；又a 为()f x 的极小值点；2a ∴=．故选D ．5．（2015•新课标Ⅰ）设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是( )A ．3[,1)2e-B ．33[,)24e -C ．33[,)24e D ．3[,1)2e【答案】D【解析】设()(21)x g x e x =-，y ax a =-，由题意知存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，()(21)2(21)x x x g x e x e e x '=-+=+Q ，∴当12x <-时，()0g x '<，当12x >-时，()0g x '>， ∴当12x =-时，()g x 取最小值122e --，当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，g （1）0e =>， 直线y ax a =-恒过定点(1,0)且斜率为a ， 故(0)1a g ->=-且1(1)3g e a a --=---…，解得312a e<…6．（2013•浙江）已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(1,2)x k f x e x k =--=，则( ) A ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极小值 B ．当1k =时，()f x 在1x =处取得极大值 C ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极小值 D ．当2k =时，()f x 在1x =处取得极大值 【答案】C【解析】当1k =时，函数()(1)(1)x f x e x =--． 求导函数可得()(1)(1)(1)x x x f x e x e xe '=-+-=-，f '（1）10e =-≠，f '（2）2210e =-≠，则()f x 在在1x =处与在2x =处均取不到极值，当2k =时，函数2()(1)(1)x f x e x =--．2()(1)2(1)(1)(1)(2)x x x x f x e x e x x xe e '=-+--=-+-，∴当1x =，()0f x '=，且当1x >时，()0f x '>，当01x x <<时0(x 为极大值点），()0f x '<，故函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；在0(x ，1)上是减函数，从而函数()f x 在1x =取得极小值．对照选项．故选C ．7．（2013•福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．x R ∀∈，0()()f x f x … B ．0x -是()f x -的极小值点 C ．0x -是()f x -的极小值点 D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D【解析】对于A 项，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A 错误；对于B :()f x -是把()f x 的图象关于y 轴对称，因此，0x -是()f x -的极大值点，故B 错误； 对于C :()f x -是把()f x 的图象关于x 轴对称，因此，0x 是()f x -的极小值点，故C 错误； 对于D :()f x --是把()f x 的图象分别关于x 轴、y 轴做对称，因此0x -是()f x --的极小值点，故D 正确．8．（2013•湖北）已知函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞【答案】B【解析】函数()()f x x lnx ax =-，则1()()21f x lnx ax x a lnx ax x'=-+-=-+，令()210f x lnx ax '=-+=得21lnx ax =-，函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点，等价于()21f x lnx ax '=-+有两个零点，等价于函数y lnx =与21y ax =-的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当12a =时，直线21y ax =-与y lnx =的图象相切， 由图可知，当102a <<时，y lnx =与21y ax =-的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是1(0,)2．简解：函数()()f x x lnx ax =-，则1()()21f x lnx ax x a lnx ax x'=-+-=-+，令()210f x lnx ax '=-+=得21lnx ax =-，可得12lnxa x+=有两个不同的解， 设1()lnxg x x+=，则2()lnx g x x -'=，当1x >时，()g x 递减，01x <<时，()g x 递增，可得g （1）取得极大值1，作出()y g x =的图象，可得021a <<，即102a <<，故选B ．9．（2013•安徽）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【解析】Q 函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，2()320f x x ax b ∴'=++=有两个不相等的实数根，∴△24120a b =->．解得2224123a a b a a bx -±--±-==．12x x <Q ，∴213a a b x ---=，223a a b x -+-=． 而方程23(())2()0f x af x b ++=的△1=△0>，∴此方程有两解且1()f x x =或2x ． 不妨取120x x <<，1()0f x >．①把()y f x =向下平移1x 个单位即可得到1()y f x x =-的图象， 11()f x x =Q ，可知方程1()f x x =有两解．②把()y f x =向下平移2x 个单位即可得到2()y f x x =-的图象，11()f x x =Q ，12()0f x x ∴-<，可知方程2()f x x =只有一解．综上①②可知：方程1()f x x =或2()f x x =．只有3个实数解．即关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的只有3不同实根．故选A ．10．（2013•湖北）已知a 为常数，函数()()f x x lnx ax =-有两个极值点1x ，212()(x x x < ) A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><- D ．121()0,()2f x f x <>-【答案】D【解析】()12f x lnx ax '=+-Q ，(0)x >令()0f x '=，由题意可得21lnx ax =-有两个解1x ，2x ⇔函数()12g x lnx ax =+-有且只有两个零点()g x ⇔'在(0,)+∞上的唯一的极值不等于0．112()2axg x a x x'-=-=． ①当0a …时，()0g x '>，()f x '单调递增，因此()()g x f x ='至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当0a >时，令()0g x '=，解得12x a=， 1(0,)2x a ∈Q ，()0g x '>，函数()g x 单调递增；1(,)2x a∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减． 12x a ∴=是函数()g x 的极大值点，则1()02g a >，即111(2)02ln ln a a+-=->， (2)0ln a ∴<，021a ∴<<，即102a <<． 故当102a <<时，()0g x =有两个根1x ，2x ，且1212x x a<<，又g （1）120a =->， 12112x x a∴<<<，从而可知函数()f x 在区间1(0,)x 上递减，在区间1(x ，2)x 上递增，在区间2(x ，)+∞上递减．1()f x f ∴<（1）0a =-<，2()f x f >（1）12a =->-．故选D ．11．（2011•福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】D【解析】2()1222f x x ax b '=--Q ，又因为在1x =处有极值，6a b ∴+=， 0a >Q ，0b >，∴2()92a b ab +=…，当且仅当3a b ==时取等号，所以ab 的最大值等于9． 故选D ．12．（2008•广东）设a R ∈，若函数x y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则( ) A ．1a <- B ．1a >-C ．1a e<-D ．1a e>-【答案】A【解析】x y e ax =+Q ，x y e a '∴=+．由题意知0x e a +=有大于0的实根，令1x y e =，2y a =-，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得11a a ->⇒<-，故选：A ．13．（2011•湖南）设直线x t =与函数2()f x x =，()g x lnx =的图象分别交于点M ，N ，则当||MN 达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12C 5D 2 【答案】D 【解析】设函数2()()y f x g x x lnx =-=-，求导数得21212x y x x x -'=-= 当20x <时，0y '<，函数在2上为单调减函数， 当2x 时，0y '>，函数在2()+∞上为单调增函数 所以当2x =时，所设函数的最小值为11222ln + 所求t 2 二．填空题（共3小题）14．（2018•江苏）若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，1]上的最大值与最小值的和为 ．【答案】-3【解析】Q 函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点， ()2(3)f x x x a ∴'=-，(0,)x ∈+∞，①当0a …时，()2(3)0f x x x a '=->，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，(0)1f =， ()f x 在(0,)+∞上没有零点，舍去；②当0a >时，()2(3)0f x x x a '=->的解为3a x >， ()f x ∴在(0,)3a 上递减，在(3a ，)+∞递增， 又()f x 只有一个零点，3()10327a a f ∴=-+=，解得3a =， 32()231f x x x =-+，()6(1)f x x x '=-，[1x ∈-，1]，()0f x '>的解集为(1,0)-， ()f x 在(1,0)-上递增，在(0,1)上递减，(1)4f -=-，(0)1f =，f （1）0=，()(1)4min f x f ∴=-=-，()(0)1max f x f ==，()f x ∴在[1-，1]上的最大值与最小值的和为：()()413max min f x f x +=-+=-．15．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ．【答案】 【解析】由题意可得2T π=是()2sin sin 2f x x x =+的一个周期， 故只需考虑()2sin sin 2f x x x =+在[0，2)π上的值域，先来求该函数在[0，2)π上的极值点，求导数可得()2cos 2cos2f x x x '=+ 22cos 2(2cos 1)2(2cos 1)(cos 1)x x x x =+-=-+，令()0f x '=可解得1cos 2x =或cos 1x =-，可得此时3x π=，π或53π； 2sin sin 2y x x ∴=+的最小值只能在点3x π=，π或53π和边界点0x =中取到，计算可得(f )3π=()0f π=，(f 5)3π=(0)0f =，∴函数的最小值为 16．（2013•新课标Ⅰ）若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．【答案】16【解析】Q 函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称， (1)(3)0f f ∴-=-=且f （1）(5)0f =-=，即22[1(3)][(3)(3)]0a b ---+-+=g且22[1(5)][(5)(5)]0a b ---+-+=g ， 解之得815a b =⎧⎨=⎩，因此，22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =-++=---++， 求导数，得32()424288f x x x x '=---+，令()0f x '=，得12x =-22x =-，32x =-当(,2x ∈-∞-时，()0f x '>；当(2x ∈-2)-时，()0f x '<；当(2,2x ∈--+时，()0f x '>； 当(2x ∈-，)+∞时，()0f x '<()f x ∴在区间(,2-∞--、(2,2--上是增函数，在区间(2--，2)-、(2-+)+∞上是减函数．又(2(216f f --=-=Q ，()f x ∴的最大值为16．故答案为：16．。

2023-2024一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是()A. B. C. D.120。

2.平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于.()A. B. C.3 D.设3.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数1，3，6，10，⋯,正方形数1，4，9，16，⋯等等．如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为()A.16B.17C.18D.224.在处的切线方程是()A. B. C. D.5.函数的单调减区间是()A. B. C. D.6.已知点P、Q分别为圆：与圆：上的任意一点，则IPQ的取值范围为()A. B.C. D.7.若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.8.过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，若，则双曲线的离心率是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若方程所表示的曲线为C，则下列命题正确的是()A.若C为椭圆，则B.若C为双曲线，则或t<1C.曲线C可能是圆D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则1＜t＜210.下列说法正确的有()A.直线过定点B.过点作圆的切线l，则l的方程为2-w-4=0C.圆上存在两个点到直线的距离为2D.若圆：与圆：有唯一公切线，则m=2511.如表所示的数阵成为“森德拉姆素数筛”，由孟加拉过学者森德拉姆于1934年创立．表中每行每列的数都成等差数列，且第n行从左至右各数与第n列从上至下各数对应相等，则下列结论正确的是() 234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……………………A.第10行第10列的数是99B.数字69不在数表中C.偶数行的数都是奇数D.数字86在数表中共出现4次12.如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是()A.B1C/MNB.若p为直线上的动点，则为定值C.点A到平面的距离为D.过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省合肥市长源高级中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数,则（）.A. B. C. D.参考答案：A略2. 函数y=x2co sx的导数为（）A. y′=2x co sx+x2s i nxB. y′=2x co sx－x2s i nxC. y′=x2co sx－2xs i nxD. y′=x co sx－x2s i nx参考答案：B3. 若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是A．B．C．D．参考答案：D4. 若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为A．B．C．D．参考答案：A略5. 曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为( )A．1 B．2 C．e D．参考答案：A考点：直线的斜率；导数的几何意义．专题：计算题．分析：由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x=0代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率．解答：解：由y=e x，得到y′=e x，把x=0代入得：y′（0）=e0=1，则曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为1．故选A．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．6. 一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均为边长为2的正方形，侧视图为腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A. 8B. 4C.D.正视图侧视图俯视图参考答案：B略7. 已知命题p：x=1且y=1，命题q：x+y=2，则命题p是命题q的（）条件．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p?q，反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：由p?q，反之不成立，例如取x=3，y=﹣1．∴命题p是命题q的充分不必要条件．故选：B．8. 已知数列是首项为的等比数列，且成等差数列，则其公比q等于（）A．1 B．C．1或 D．参考答案：C9. 已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2+x－6<0的解集为B，不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B，则a+b等于()A.－3B.1C.－1D.3参考答案：A由题意得，A={x|-1<x<3}，B={x|-3<x<2}，故A∩B={x|-1<x<2}．即不等式x2+ax+b<0的解集为{x|-1<x<2}，∴-1，2是方程的两根，∴。