2015届高三模拟考试试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2015．5 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i .锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知复数z ＝2i1－i－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为________．2. 经统计，某银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：(第4题)则该窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．3. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是________．4. 右图是一个算法流程图，则输出k 的值是________．5. 如下图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)的茎叶图，则成绩较为稳定(方差较小)的运动员是________．6. 记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合 B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是________．8. 已知正六棱锥PABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为________．9. 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________．10. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝________．11. 若将函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的图象向左平移π9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是________．12. 已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y的最大值为________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________．14. 已知a ，t 为正实数，函数f(x)＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t]，都有f(x)∈[－a ，a]．对每一个正实数a ，记t 的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA. (1) 求角A 的值；(2) 求sinB ＋sinC 的取值范围．在四棱锥PABCD 中，BC ∥AD ，PA ⊥PD ，AD ＝2BC ，AB ＝PB ，E 为PA 的中点．求证： (1) BE ∥平面PCD ；(2) 平面PAB ⊥平面PCD.17. (本小题满分14分)如图，摩天轮的半径OA 为50 m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240 m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60 m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ∈(0，π)．(1) 当θ＝2π3时，求点P 距地面的高度PQ ；(2) 试确定θ的值，使得∠MPN 取得最大值．在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，BF 2＝m.(1) 已知点⎝⎛⎭⎫62，1在椭圆C 上，求实数m 的值；(2) 已知定点A(－2，0)． ① 若椭圆C 上存在点T ，使得TATF 1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围； ② 当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM 、BM 分别与椭圆C 交于另一点P 、Q ，若AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →，求证：λ＋μ为定值．已知函数f(x)＝x 2－x ＋t ，t ≥0，g(x)＝lnx.(1) 令h(x)＝f(x)＋g(x)，求证：h(x)是增函数；(2) 直线l 与函数f(x)，g(x)的图象都相切．对于确定的非负实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理由．20. (本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N *，都有(S m ＋n＋S 1)2＝4a 2m a 2n .(1) 求a 2a 1的值；(2) 求证：{a n }为等比数列；(3) 已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p(p ≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意的正整数k(1≤k ≤p)，c k ＝d k .2015届高三模拟考试试卷(一)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB ，AC 是圆O 的切线，ADE 是圆O 的割线，求证：BE·CD ＝BD·CE.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′：x－y ＋2a ＝0.(1) 求实数a 的值； (2) 求A 2.C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y 满足x>y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，BC ＝233，AB＝1，BD ＝PA ＝2.(1) 求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值； (2) 求二面角APDC 的余弦值．23. 已知集合A 是集合P n ＝{1，2，3，…，n}(n ≥3，n ∈N *)的子集，且A 中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为f(n)．(1) 求f(3)，f(4)；(2) 求f(n)(用含n 的式子表示)．2015届高三模拟考试试卷(一)(南京)数学参考答案及评分标准1. 52. 0.743. 44. 65. 甲6. (－∞，－3]7. 438. 129. 119 10. 9 11. 3212. 4313. ⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ 14. (0，1)∪{2} 15. 解：(1) 因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosA.因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB.从而sinB ＝2sinBcosA.(4分) 因为sinB ≠0，所以cosA ＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(7分)(2) sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sinB ＋sin 2π3cosB －cos 2π3sinB＝32sinB ＋32cosB ＝3sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.(11分) 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6.所以sinB ＋sinC 的取值范围为⎝⎛⎦⎤32，3.(14分)16. 证明：(1) 取PD 的中点F ，连结EF ，CF. 因为E 为PA 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD.因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC ，EF ＝BC.所以四边形BCFE 为平行四边形． 所以BE ∥CF.(4分)因为BE Ì平面PCD ，CF Ì平面PCD ， 所以BE ∥平面PCD.(6分)(2) 因为AB ＝PB ，E 为PA 的中点，所以PA ⊥BE. 因为BE ∥CF ，所以PA ⊥CF.(9分)因为PA ⊥PD ，PD Ì平面PCD ，CF Ì平面PCD ，PD ∩CF ＝F ， 所以PA ⊥平面PCD.(12分)因为PA Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD.(14分) 17. 解：(1) 由题意，得PQ ＝50－50cos θ .从而，当θ＝2π3 时，PQ ＝50－50cos 2π3＝75.即点P 距地面的高度PQ 为75 m ．(4分)(2) (方法1)由题意，得AQ ＝50sin θ ，从而MQ ＝60－50sin θ ，NQ ＝300－50sin θ . 又PQ ＝50－50cos θ ，所以tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin θ1－cos θ ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin θ5－5cos θ .(6分)从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ)＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ·tan ∠MPQ＝6－sin θ1－cos θ－6－5sin θ5－5cos θ1＋6－sin θ1－cos θ×6－5sin θ5－5cos θ＝12（1－cos θ）23－18sin θ－5cos θ .(9分)令g(θ)＝12（1－cos θ）23－18sin θ－5cos θ ，θ ∈(0，π)，则g′(θ)＝12×18（sin θ＋cos θ－1）（23－18sin θ－5cos θ）2，θ ∈(0，π)．由g′(θ)＝0，得sin θ ＋cos θ－1＝0，解得θ ＝π2.(11分)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(θ )＞0，g(θ )为增函数；当θ ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，g ′(θ )＜0，g(θ)为减函数，所以，当θ ＝π2时，g(θ )有极大值，也为最大值．因为0＜∠MPQ ＜∠NPQ ＜π2，所以0＜∠MPN ＜π2， 从而当g(θ)＝tan ∠MPN 取得最大值时，∠MPN 取得最大值． 即当θ＝π2时，∠MPN 取得最大值．(14分) (方法2)以点A 为坐标原点，AM 为x 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为 x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M(60，0)，N(300，0)．设点P 的坐标为 (x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 20＋y 20－100y 0＝0. 从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝300－x 0y 0 ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0y 0 .(6分)从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ)＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ·tan ∠MPQ＝300－x 0y 0－60－x 0y 01＋300－x 0y 0×60－x 0y 0＝24y 010y 0－36x 0＋1 800 .由题意知，x 0＝50sin θ ，y 0＝50－50cos θ ，所以tan ∠MPN ＝＝12（1－cos θ）23－18sin θ－5cos θ .(9分)(下同方法1)18. (1) 解：设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝m ＋1，（m ＋1）－c ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1.所以椭圆的方程为x 2m ＋1＋y 2m＝1.因为椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫62，1，所以32（m ＋1）＋1m ＝1，解得m ＝2或m ＝－12 (舍去)． 所以m ＝2.(4分)(2) ① 解：设点T(x ，y)． 由TATF 1＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]，即x 2＋y 2＝2.(6分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x 2m ＋1＋y 2m＝1，得y 2＝m 2－m.因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2. 所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈⎣⎡⎦⎤33，22.(10分)② 证明：(方法1)设M(x 0，y 0)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．则AM →＝(x 0＋2，y 0)，AP →＝(x 1＋2，y 1)．由AM →＝λAP →， 得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝λ（x 1＋2），y 0＝λy 1. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝λx 1＋2（λ－1），y 0＝λy 1.(12分)因为x 202＋y 20＝1，所以[λx 1＋2（λ－1）]22＋(λy 1)2＝1.即λ2⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋2λ(λ－1)x 1＋2(λ－1)2－1＝0. 因为 x 212＋y 21＝1，代入得2λ(λ－1)x 1＋3λ2－4λ＋1＝0. 由题意知，λ≠1，故x 1＝－3λ－12λ，所以x 0＝λ－32. 同理可得x 0＝－μ＋32.(14分)因此λ－32＝－μ＋32，所以λ＋μ＝6.(16分)(方法2)设M(x 0，y 0)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)． 直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．将y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得⎣⎡⎦⎤12（x 0＋2）2＋y 20x 2＋4y 20x ＋4y 20－(x 0＋2)2 ＝0(*)． 因为x 202＋y 20＝1，所以(*)可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 20x －3x 20－4x 0＝0.因为x 0x 1＝－3x 20＋4x 02x 0＋3，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3.同理x 2＝3x 0－42x 0－3.(14分)因为AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →，所以λ＋μ＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－23x 0－42x 0－3－2＝（x 0＋2）（2x 0＋3）x 0＋2＋（x 0－2）（2x 0－3）－x 0＋2＝6.即λ＋μ为定值6.(16分)19. (1) 证明：由h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 2－x ＋t ＋lnx ，得h′ (x)＝2x －1＋1x ，x ＞0.因为2x ＋1x≥22x·1x＝22，所以h′(x)＞0, 从而函数h(x)是增函数．(3分) (2) 解：记直线l 分别切f(x)，g(x)的图象于点(x 1，x 21－x 1＋t)，(x 2，lnx 2)，由f′(x)＝2x －1，得l 的方程为y －(x 21－x 1＋t)＝(2x 1－1)(x －x 1)，即y ＝(2x 1－1)x －x 21＋t. 由g′(x)＝1x ，得l 的方程为y －lnx 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋lnx 2－1.所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1＝1x 2，－x 21＋t ＝lnx 2－1.(*)消去x 1得lnx 2＋（1＋x 2）24x 22－(t ＋1)＝0 (**)．(7分)令F(x)＝lnx ＋（1＋x ）24x 2－(t ＋1)，则F′(x)＝1x －1＋x 2x 3＝2x 2－x －12x 3＝（2x ＋1）（x －1）2x 3，x ＞0.由F′(x)＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，F ′(x)＜0，当x ＞1时，F ′(x)＞0，所以F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F(x)min ＝F(1)＝－t.(9分) 当t ＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解， 即存在唯一一条满足题意的直线；(11分)当t ＞0时，F(1)＜0，由于F(e t ＋1)＞ln(e t ＋1)－(t ＋1)＝0， 故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解；(13分)令k(x)＝lnx ＋1x －1(x ≤1)，由于k′ (x)＝1x －1x 2＝x －1x 2≤0，故k (x)在(0，1]上单调递减，故当0＜x ＜1时，k (x)＞k (1)＝0，即lnx ＞1－1x，从而lnx ＋（1＋x ）24x 2 －(t ＋1)＞⎝⎛⎭⎫12x －122－t.所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12（t ＋1）＞⎝⎛⎭⎫t ＋122－t ＝t ＋14＞0. 又0＜12（t ＋1）＜1，故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．所以当t ＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解． 即存在两条满足题意的直线．综上，当t ＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1； 当t ＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2.(16分)20. (1) 解：由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 22. 因为a 1＞0，a 2＞0，所以a 2＋2a 1＝a 2，即a 2a 1＝2.(3分)(2) 证明：(方法1)令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4， 令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4. 所以a 4＝4a 2＝8a 1.因为a 2a 1＝2，所以a 3＝4a 1.(6分)由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4. 两式相除，得（S n ＋2＋S 1）2（S n ＋1＋S 1）2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1S n ＋1＋S 1＝a 4a 2＝2. 即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)，从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．所以a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列．因为a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2n －1，n ∈N *.显然，a n ＝a 1·2n －1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列．(10分) (方法2)在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中， 令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n .①令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2 ，② 在①中，用n ＋1代n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2.③②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )，④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2(a 2n ＋2－a 2n )，⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2.⑥ (8分)⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n ＝2.又a 2a 1＝2，从而a n ＝a 1·2n －1，n ∈N *. 显然，a n ＝a 1·2n －1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列．(10分)(3) 证明：由(2)知，a n ＝a 1·2n －1.因为|c p |＝|d p |＝a 1·2p －1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p . 若c p ＝－d p ，不妨设c p ＞0，d p ＜0，则T p ≥a 1·2p －1－(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝a 1·2p －1－a 1·(2p －1－1)＝a 1＞0.R p ≤－a 1·2p －1＋(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝－a 1·2p －1＋a 1·(2p －1－1)＝－a 1＜0. 这与T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p . 从而T p －1＝R p －1.由上证明，同理可得c p －1＝d p －1.如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3.…，c 1＝d 1. 即对任意正整数k(1≤k ≤p)，c k ＝d k .(16分)2015届高三模拟考试试卷(一)(南京) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：因为AB 是圆O 的切线，所以∠ABD ＝∠AEB. 因为∠BAD ＝∠EAB ，所以△BAD ∽△EAB. 所以BD BE ＝ABAE .(5分)同理，CD CE ＝AC AE.因为AB ，AC 是圆O 的切线，所以AB ＝AC. 因此BD BE ＝CDCE，即BE· CD ＝BD· CE.(10分)B. 解：(1) 设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l′上点M(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0.(3分) 代入l′方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0，即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0. 因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2aa －1＝4，解得a ＝2.(6分) (2) 由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5445.(10分)C. 解： 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 直线l 的直角坐标方程为y ＝x.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 所以A(0，0)，B(2，2)． 从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y.(7分) 将其化为极坐标方程为ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(10分) D. 证明：因为x ＞y ，所以x －y ＞0，从而 左边＝(x －y)＋(x －y)＋1（x －y ）2＋2y ≥33（x －y ）×（x －y ）×1（x －y ）2＋2y ＝2y ＋3＝右边．即原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又AD ⊥AB ，故分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 根据条件得AD ＝ 3.所以B(1，0，0)，D(0，3，0)，C ⎝⎛⎭⎫1，233，0，P(0，0，2).从而BD →＝(－1，3，0)，PC →＝⎝⎛⎭⎫1，233，－2.(3分) 设异面直线BD ，PC 所成角为θ ， 则cos θ＝|cos 〈BD →，PC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD →·PC →|BD →|·|PC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（－1，3，0）·⎝⎛⎭⎫1，233，－22×193＝5738. 即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为5738.(5分) (2) 因为AB ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量为 AB →＝(1，0，0). 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z),由n ⊥PC →，n ⊥PD →，PC →＝⎝⎛⎭⎫1，233，－2，PD →＝(0，3，－2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋233y －2z ＝0，3y －2z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23z ，y ＝233z.不妨取z ＝3，则得n ＝(2，23，3)．(8分)设二面角APDC 的大小为φ，则cos φ＝cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →|×|n |＝（1，0，0）·（2，23，3）1×5＝25.即二面角APDC 的余弦值为25.(10分)23. 解：(1) f(3)＝1，f(4)＝2.(2分) (2) 设A 0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝3p ，p ∈N *，p ≤n 3，A 1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝3p －1，p ∈N *，p ≤n ＋13， A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝3p －2，p ∈N *，p ≤n ＋23， 它们所含元素的个数分别记为∣A 0∣，∣A 1∣，∣A 2∣.(4分) ① 当n ＝3k 时，则∣A 0∣＝∣A 1∣＝∣A 2∣＝k.k ＝1，2时，f(n)＝(C 1k )3＝k 3； k ≥3时，f(n)＝3C 3k ＋(C 1k )3＝32k 3－32k 2＋k. 从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N *.(6分)② 当n ＝3k －1时，则∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝∣A 2∣＝k.k ＝2时，f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4；k ＝3时，f(n)＝f(8)＝1＋1＋3×3×2＝20；k ＞3时，f(n)＝C 3k －1＋2C 3k ＋C 1k －1(C 1k )2＝32k 3－3k 2＋52k －1； 从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N *.(8分)③ 当n ＝3k －2时，∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝k －1，∣A 2∣＝k.k ＝2时，f(n)＝f(4)＝2×1×1＝2； k ＝3时，f(n)＝f(7)＝1＋3×2×2＝13；k ＞3时，f(n)＝2C 3k －1＋C 3k ＋(C 1k －1)2C 1k ＝32k 3－92k 2＋5k －2； 从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N *.所以f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N *，118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N *，118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N *.(10分)。
2015年高考理科数学试卷全国卷II 、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1 . 已知集合A{2,1,0,1,2}B x (x1)(x 2 0 ,则AI B ( )A . A1,0B.0,1 C . 1,0,1 D . 0,1,22 . 若a为实数且(2ai)(a2i)4i，则a( )A 1 B.0 C. 1 D . 23 •根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图。
以下结论不正确的是( )A. 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. 已知等比数列a n满足a i=3, a1a3a5=21，则a3a5a7( )A. 21 B . 42 C . 63 D . 841 log2(2 x),x 1,5. 设函数f (x) x1, f( 2) f (log212)( )2 ,x 1,A. 3 B . 6 C . 9 D . 126. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )7.过三点 A(1,3), B(4,2) , C(1, 7)的圆交y 轴于M N 两点，贝U | MN | (A . 2 6B . 8C . 4、6D . 108•右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入 a,b 分别为14,18，则输出的a ()A . 0B . 2C . 4D . 1411 .已知A , B 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在E 上, ?ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°,贝U E 的离心率为( )A . 5B . 2C ..3 D . 212 .设函数f '(x)是奇函数f (x)(x R)的导函数，f ( 1)0 ,当x 0时，xf (x) f (x) 0,则使得f (x) 0成立的x 的取值范围是(已知A, B 是球O 的球面上两点,AOB 90 ,C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC 体积的最大值为36,则球 36 B.64 C.144 O A . 10.如图，长方形ABCD 的边ABO 是AB 的中点，点P 沿着边BC , 动，记BOP x .将动P 到A 、 O 的表面积为 D.256 2, BC 1,CD 与DA 运B 两点距离之禾口表示为 x 的函数f (x)，则y f(x)的图像大致 为(16 .设S n 是数列a n 的前n 项和，且a 1 1 , a n1S n S n 1，则S n ______________三、解答题ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分 BAC , ABD 面积是ADC 面积的2 倍.18 •(本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A , B 两地区分别随机调查了 20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图， 并通过茎叶图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)4-■r6 7 8A . ( ,(1,0)U(1,) C. (, 1)U( 1,0)D . (0,1)U(1,) 、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分r r13 .设向量a , b 不平行，向量a b 与a 2b 平行，则实数14 .若x ，y 满足约束条件x y 10,x 2y 0,，则z x y 的最大值为 x 2y 2 0,15. (a x)(1 x)4的展开式中 x 的奇数次幕项的系数之和为32,则 a17 .(本题满分12分)(I)sin B sin C(n)若 AD 1 , DC求BD 和AC 的长.g(n)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级” •假设两地区用户的评价结果相互独立•根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.19.(本题满分12 分)如图，长方体ABCD A3GD,中，AB=16, BC=10, AA 8 ,点E , F分别在A1B1 , C1D1上，AE DiF 4•过点E , F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ；(n)求直线AF与平面所成角的正弦值.2 2 220. (本题满分12分)已知椭圆C:9x y m (m 0),直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A , B，线段AB的中点为M•(I)证明：直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；(n)若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边3形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.21. (本题满分12分)设函数f(x) e mx x2 mx .(I)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0,)单调递增；(n)若对于任意为兀[1,1]，都有f(xj f(X2) e 1，求m的取值范围.22 .(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD 交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点.AG(I)证明：EF//BC ;(n) 若AG等于eO的半径，且AE MN 2、3，求四边形EBCF的面积.23 .(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程x tCOS ,在直角坐标系xoy中，曲线G：( t为参数，t 0)，其中0 ，在y tsin ,以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: 2sin ，曲线Q2 3cos：(I).求C2与G交点的直角坐标；(n) •若C2与C1相交于点A , C3与G相交于点B，求AB 的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设a, b,c,d均为正数，且a b c d，证明：(I)若ab cd，贝U 、a . b 、c 、d ；(n)j a j b J C J d是a b c d的充要条件.1. A【解析】由已知得B x 2 x 1 ,故AI B 1,0，故选A . 考点：集合的运算.2. B考点：等比数列通项公式和性质. 5. C7. C2 2(x 1) (y 2) 25，令 x 0,得 y2J 6 2，所以MN4后，故选C.参考答案【解析】由已知得k AB1 _2 73 ,k C BT13，所以 k AB k CB 1，所以 AB CB ,即 ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2),半径为5 ,所以外接圆方程为2【解析】由已知得4a (a 4)i4i ，所以 4a 0,a 2 44，解得a 0考点：复数的运算. 3. D【解析】由柱形图得，从 份负相关，故选 D. 考点：正、负相关. 4. B2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年 【解析】设等比数列公比为 q ，则 a i2ag4ag21，又因为a 1 3，所以q 42解得q 2，所以a 3 a 5 a 7(a i a 32a 5)q42，故选 B.【解析】 由f( 2)1 log2 43 又 log 212f (log 2 12) 2log21212砚266，故f( 2) f (log9，故选C.考点：分段函数. 6. D【解析】由三视图得, 在正方体ABCD截去四面体 A A 1B 1D 1 ,如图所示，，设正方体棱长为 a，则 V A A I B 1D 11 3 1 3丄a 3丄a 3,故剩余几何体体积 2 6为 a 31a 36所以截去部分体积与剩余部分体1—,故选 5考点：三视图. 积的比值为D. 1A 1B 1C 1D 1中，考点：圆的方程. 8. B 【解析】程序在执行过程中, a 2； b 2，此时 a 考点：程序框图. 9. C 【解析】如图所示，当点a ,b 的值依次为a 14 , b 18 ； b b 2程序结束，输出a 的值为2,故选B . 4 ； a 10 ； a 6 ； 大，设球0的半径为R , C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 1R 3 6此时 V O ABC V C AOB [R 22 O ABC 的体积最 36，故R 6，则 球O 的表面积为S 4 R 2144 ，故选C. 考点：外接球表面积和椎体的体积. 【解析 】 由已知得，当点P 在BCPA PB「tan 2x 4 tanx ；当点P 在CD 边上运动时，即 3 ,x4时,2PA PB (宀 1)2 (" 2 1) 1，当 x —时, 2 PA PB 2 2 ；当点P 在AD 边上运动时，即3 4 时，PA PB tan 2 x 4 tanx ,从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 2对称，且 考点：函数的图象和性质. 11 . D 【解析】设双曲线方程为 2 x ~~2ay 2 b 2 1(a ABM1200如图所示，|AB BM , MN x 轴，垂足为N ，在Rt BMN 中，BN | a ,MN | J3a，故点M的坐标为M(2a, J3a)，代入双曲线方程得a2 b2 a2 c2，即c2 2a2，所以e 2，故选D.考点：双曲线的标准方程和简单几何性质.12. AI【解析】记函数g(x) ,贝y g'(x) xf (x)2f (x),因为当x 0时，x xxf'(x) f (x) 0，故当x 0时，g'(x) 0,所以g(x)在(0,)单调递减；又因为函数f(x)(x R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)单调递减，且g( 1) g(1) 0 •当0 x 1 时，g(x) 0，则f(x) 0 ；当x 1 时，g(x) 0，则f(x) 0,综上所述，使得f(x) 0成立的x的取值范围是(，1)U(0,1)，故选A. 考点：导数的应用、函数的图象与性质.13 .a b与a 2b平行，所以ab k(a 2b),则1考点：向量共线.14.【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为yx z,当z取到最大时，直线y x z的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到D(1」)，则z x y的最大值为-.2 2考点：线性规划.【解析】试题分析：由已知得(1 x) 1 4x 6x 4x x ,故(a x)(1 x)的展开式中x的奇k'所以2k,【解析】因为向量15. 3数次幕项分别为4ax , 4ax3, x , 6x3, x5,其系数之和为4a 4a 1+6+1=32,解得a 3.考点：二项式定理.1,S nn考点：等差数列和递推关系.理得2 2 2 2 2AB 2AC 3AD BD 2DC 6 •由（I ）知 AB 2AC ，所以 AC 1 .18.【解析】（I ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下B 地冈4fi35 1 56 46 4 26 2 4 5 5 6 S 8 6 4 3 1 35 4699 2 &6 $ 1 8 71 ? 1 75 S 291 3通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值;16. 【解析】由已知得a n 1 S n 1 S n S n 1 S n ，两边同时除以S i 11Sn ，得— S n 11S n故数列— 是以 1为首项， 1为公差的等差数列，则S n1 (n 1)所以17.【解析】（I ） S ABD〔AB AD sin BAD , S ADC2 i ACAD sin CAD , 因为S ABD 2S ADC,BADCAD ，所以AB 2AC .由正弦定理可得sin Bsin CACAB因为 S ABD : S ADCBD : DC ，所以 BD . 2 .在 ABD 和 ADC 中, 由余弦定AB 2AD 2 BD 2 2ADBD cos ADB,AC 2 AD 2 DC 2 2AD DC cos ADC .1,A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散. （n）记C A1表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”C A2表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；C B 1表示事件：“ B 地区用户满意度等级为不满意”；C B 2表示事件：“ B 地区用户满意度等级为满意”则 C A 1 与 C B 1 独立，C A 2 与 C B 2 独立，C B 1 与 C B 2 互斥，C C B1C A1 UC B2C A2 .P(C) P(C B1C A1 UC B2C A2)P(CB1CA1) P(CB2CA2)P(C BI )P(C AI ) P(C B 2)P(C A 2).由所给数据得 C A 1 , C A 2 , C B 1 , C B 2发生的概率分别为16 204 10 2 0 ' 2 0 呀•故 P (C A 1)=20，，P(C B 2)=20，A(10,0,0) , H (10,10,0) , E(10,4,8) , F (0,4,8) uuu，FE (10,0,0)，uuur HE(0, 6,8).设 r n n （x, y,z ）是平面EHGF 的法向量，贝U r n uuu FE UL UT0,即0,10x6y 0,8z 所以可取0,，P(C B 1)= 1020P(C A 2)=—20r UUUT n (0, 4,3) •又 AF (r UUUT10,4,8)，故 cos n, AFn| AF4 ” 5--- .所以直线AF 与15平面所成角的正弦值为4\5 1520.【解析】（I ）设直线l :y kx b (k 0,b0) ，A （为，yj ， B(x 2, y )，将 y kxb2 2 2 2 2 2 29x y m 得(k 9)x 2kbx b m 0 ，故9by M kx M b 斗•于是直线OM 的斜率k °M k 2 9线OM 的斜率与I 的斜率的乘积为定值.(n)四边形 OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m ,m)，所以1不过原点且与3C 有两个交点的充要条件是 k 0 , k 3 •9由(I)得 OM 的方程为y- x .设点P 的横坐标为 X P .由y9x,kk小 22 29x y m ,2 m ^k® •解得 k i 4 -7 , k 2 4 .7 •因为 k i 0,k i 3, i 1, 2，所以当 I 3(k9)的斜率为4 17或4 J 时，四边形OAPB 为平行四边形.21 •【解析】(I) f '(x) m(e mx 1) 2x • 若m0，则当x (,0)时， —mxe1, f '(x)；当 x (0,mx /)时，e1,f '(x)0 •若m0，则当x (,0)时， mxe 1, f '(x)；当 x (0,mx A)时，e1,f '(x)0 •所以， f (x)在(,(0)单调递减,在 (0, )单调递增.(n)由(I)知，对任意的 m , f (x)在［1,0］单调递减，在［0,1］单调递增，故f (x)在kb k 2y MX M9，即k oM k 9 •所以直k2Xpk 2m 29k 281 '即—m — •将点(m,m)的坐标代入直线I 的方程得b 3、.k 2 9 3m(3 k) 3因此x M3)•四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段3(k 2 9)AB 与线段OP 互相平分,即x P2x M• 于是km 3 <k 2 9x 0处取得最小值•所以对于任意治兀［1,1］, f(xj f(X2) e 1的充要条件是:f(1 )f(°) e 1,即me m e1，①，设函数f( 1I) f(0) e 1,m e m e1,g'(t)e t 1 •当t 0 时，g'(t)；当t:0时，g'(t)0 . f在(0,）单调递增.又g（11) 0, g(1)e1 2 e 0,故当m [1,1]时，g(m) 0 , g(m)0, 即①式成立.当mg(m)0 ,即e m m e 1 ；当m1时寸，g( m) 0，即et [ 1,1]时，g(t) 0 .当1时,取值范围是[1,1].g（t）在（，0）单调递减,mmg(t) e t t e 1，则由g（t）的单调性,e 1 .综上，m的ABC是等腰三角形,AC相切于22.【解析】（I）由于因为e O分别与AB、EF//BC .（n）由（I）知，AE AF , AD 弦，所以O在AD上•连接OE , OMADE、F两点，BC，所以AD是所以AEAF，故ADCAB的平分线.又EF •从而EF，故AD是EF的垂直平分线，又，则OE AE •由AG等于eO的半径得EF是eO的AO 2OE,所以OAE 300.所以ABC和AEF都是等边三角形.因为AE 2「3，所以AO 4 , OE 2.1因为OM OE 2, DM —MN .3 ,2 所以OD 1 .于是AD 5, AB .所31以四边形EBCF的面积丄2(2「3)16 3【解析】（I）曲线23.x2C2的直角坐标方程为x22y 曲线C3的直角坐标方程为y22、、3X 0 •联立2x2xy2 2y y22、3X0,0,解得2所以C2与G交3点的直角坐标为（0,0）和（—3 ,-）2 2(n)曲线 C i 的极坐标方程为( R, 0)，其中 0因此A 得到极坐标AB 2sin 2A /3COS4 sin( —)，当34 .24.【解析】(I)因为,b)2 a b 2 ab , (、、C 、、d)2 C d cd ，由题设a b C d , ab cd ，得(、a、b)2 (、c ,d )2. 因此 jajb VC jd .(n) (i)若a b C d ，则(a b)2(C d)2 .即(ab)2 4ab(Cd)24cd .因为 a b C d ，所以 ab cd ，由(I)得 .a 、、b .. C .. d . (ii) 若、a. b 、、c 、、d , 贝U( •、. a . b)2(、、c . d )2, 即 a b 2.0b Cd2. cd .因为a b C d ,所以 ab cd,于是(ab)2 (a b)2 4ab (C d )2 4cd (C d)2 .因此 a b C d ，综上，的充要条件.为(2sinB 的 极坐标 为 (2 3 cosAB取得最大值，最大值为。
2015年高考数学模拟试卷（文科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 一、 选择题（本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 请把正确结论的选项填入答题卷(即第II 卷)的表格内. ）1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3,5}A =，{1,2,5}B =，则()()U U C A C B = ( ) A ．{4} B ．{2,3,4} C ．{2,4} D ．{3,4}2. i 为虚数单位，则b aia bi-+=+( ) （改编）A ．22a bi a b ++ B ．22a bia b -+ C ．i D ．i -3. 若sin 1()sin 2x f x x +=+，则()f x 的值域为( )A ．2[0,]3 B ．[0,1] C ．2[1,]3- D ．3[0,]44. 已知曲线sin x y x =在点(,)22P ππ处的切线斜率为( ) （改编） A ．-1 B ．0 C ．2πD ．15. 已知数列{}n a ，121,1a a ==，且21()n n n a a a n N +++-=∈，则12a =( ) A ．144 B ．89 C ．55 D ． 346.命题2"x =-是2"(2)"x x =-的( ) （改编） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7. 如右图，某几何体的三视图，其中主视图和左视图的正方形边长为1，俯视图为等腰直角三角形，则该几何体的体积为( ) （原创） A ．21 B ．31 C ．41 D ．618. 已知sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-=，cos()cos()2cos cos αβαβαβ++-=，则下列等式不恒成立．．．．的是( ) （改编） 主视图俯视图左视图A ．sin sin 2sincos 22x y x y x y +-+= B ．sin sin 2cos sin 22x y x yx y +--= C ．cos cos 2coscos 22x y x y x y +-+= D ．cos cos 2sin sin 22x y x yx y +--= 9.( ) A．B ．4πC ．3πD ．2π10. 设()g x 是定义在R 上的奇函数，且是以1为周期的周期函数. 若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在[3,3]-的值域为( ) （改编） A ．[2,5]-B ．[7,7]-C ．[2,7]-D ．[8,8]-11. 过x 轴上点(,0)P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．412. 若函数2,(0)()1ln ,0xkx x f x x x x ⎧-≤⎪=-⎨⎪>⎩有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ( )A ．(4,0)-B ．(4,0]-C ．(,0]-∞D ．(,0)-∞二、填空题（每小题4分, 共20分.）13. 已知向量(1,2)a = ，(2,)b k =- ，且a b ⊥，则()a a ⋅= __________________.14. 如下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是__________________.15. 已知抛物线2y ax =，它的准线方程为1y =，则a =__________________.16. 已知函数sin2cos22(0)y a x b x ab =++≠图象的一条对称轴方程为12x π=，则函数sin2cos22y a x b x =++图象的位于对称轴12x π=左边的第一个对称中心点坐标为__________________.（原创）三、解答题（本大题共6小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 某高校的有甲、乙两专业各10名学生参加毕业论文答辩，甲、乙两专业的学生论文答辩的具体成绩如下茎叶图. 若规定分数达到85分以上（包括85分）为优秀论文.(1) 若从乙专业80分-89分(包括89分)中，任选2名学生论文答辩成绩都为．．优秀论文的概率； (2) 从甲、乙两专业各选一名学生，论文答辩成绩分数和小于．．184的概率. （原创）787992068甲乙9150956453098118. 在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边为,,a b c ，且tan tan tan tan 0A B C A B ++=. (1) 求角C ；(2) 若2a =. 当sin sin A B +取得最大值时，求ABC ∆的面积. （改编）19. 如图，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为2的菱形，且60DAB ∠=，PA PD =，,,E F G分别为,,BC PC AD 的中点. (1) 求证：//PG DEF 面； (2) 求证：ADDEF ⊥面.（改编）20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，连接椭圆的四个顶点得到的棱形有一个角的正切值为43，且其中一顶点坐标为(0,1). (1) 求椭圆的方程；(2) 若过椭圆左焦点F l 与椭圆C 交于A B 、，有(1)AF FB λλ=>， 求λ的值. （改编）GACE FPD21. 已知函数321()(,)3f x x x ax b a b R =-+++∈． (1) 若函数()f x 在3=x 处取得极值12，求)(x f 的解析式；(2) 若函数()f x 在其图象上任意一点(,())t f t 处切线的斜率表达式)(t g k =，且有 26)(a t g ≤对于R t ∈恒成立，求实数a 的取值范围. （改编）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4－1：几何证明选讲如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于,A B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 和两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点,D E ，DE 与AC 相交于点P . (1) 求证://AD EC ；(2) 若AD 是⊙O 2的切线,且6,2,9PA PC BD ===，求AD 的长.23. 选修4－4：坐标系与参数方程在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 上两点的极坐标分别为)2,332(),0,2(πN M . 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 2cos 22a y x （θ为参数）.(1) 设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角方程； (2) 若圆C 上只有3个点到直线l 的距离为1，求a 的方程.（改编）24. 选修4—5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x a =+-+． （1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围．。
