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九年级数学 圆单元知识点汇总

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圆的基本概念和性质—知识讲解 【学习目标】 1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性； 2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.

【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 2

要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 4.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： ①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等.

【典型例题】 类型一、圆的定义

1．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 2

举一反三： 【变式】下列命题中，正确的个数是（ ） ⑴直径是弦，但弦不一定是直径； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆； ⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆 ； ⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

类型二、圆及有关概念 2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由) ①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（ ） ②弦是直径；（ ） ③长度相等的两段弧是等弧；（ ） ④直径是圆中最长的弦. （ ）

举一反三： 【变式】下列说法中，结论错误的是（ ） A．直径相等的两个圆是等圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧

3．直角三角形的三个顶点在⊙O上，则圆心O在 . 4．判断正误：有、，的长度为3cm, 的长度为3cm，则与是等弧.

举一反三： 【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长.”试分析这个观点是否正确. 甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.

乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O中的优弧，中的劣弧，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长. 请你判断谁的说法正确？

ABCDABCDABCD

AmBCD 2

类型三、圆的对称性

5．已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：AC=BD．

【巩固练习】 一、选择题 1.有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 4

2.在⊙O中，，那么( ) A.AB＝2CD B.AB＝CD C.AB＜2CD D.AB＞2CD 3.过圆上一点可以作出圆的最长的弦有（ ）条. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4．等于圆周的弧叫做（ ） A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆 5.已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知圆内一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆 的圆心是（ ）

2ABCD23 2

A.点P B.点Q C.点R D.点M 8．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 二、填空题 9.下列说法正确的是 （填序号）． ①半径不等的圆叫做同心圆； ②优弧一定大于劣弧； ③不同的圆中不可能有相等的弦； ④直径是同一个圆中最长的弦． 10.过已知⊙O上一定点P，可以画半径_____条；弦____条；直径____条. 11.圆是____ ___对称图形. 12. 在平面内到定点A的距离等于3的点组成的图形是 . 13.已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为________cm． 14. 在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧． 15.一个圆的圆心决定这个圆的_________，圆的半径决定这个圆的_________． 三、解答题

16．某市承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图27-11所示，那么运动员公寓应建立在何处？

17．如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．

18.已知MN=6cm，画出到M点的距离等于4cm的所有点，再画出到N点的距离等于5cm的所有点，指出既到点M的距离等于4cm，又到点N的距离等于5cm的点有几个？试说明你的结论.

cm 2

18．已知：如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使DC=EC，∠AOD=60°，求∠BOE•的度数．

垂径定理—知识讲解 【学习目标】 1.理解圆的对称性； 2.掌握垂径定理及其推论； 3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.

【要点梳理】 知识点一、垂径定理 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

BACEDO 2

（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明

1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（ ） A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm

举一反三： 【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。

2．如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．

举一反三：

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九年级数学圆的知识点总结大全

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第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长： C=2πr 或C=πd 、圆的面积：S=πr ²圆环面积计算方法：S=πR ²-πr ²或S=π（R ²-r ²）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知识要点 一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O 为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；A外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

(完整版)九年级数学圆的知识点总结大全

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第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²—r²）(R是大圆半径,r是小圆半径)二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上;3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外;三、直线与圆的位置关系A1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2)⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3)⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切(图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

图4图5推论1：(1）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

(完整word版)九年级数学圆的知识点总结大全

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第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长：C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系A1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

图4图5推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

九年级数学圆的知识点总结大全

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第四章：《圆》一、知识回首圆的周长： C=2π r 或 C=πd、圆的面积：S=πr 2圆环面积计算方法： S=π R2- πr 2或 S=π（ R2-r 2） (R 是大圆半径， r 是小圆半径）二、知识重点一、圆的观点会合形式的观点：23 1 、圆能够看作是到定点的距离等于定长的点的会合；、圆的外面：能够看作是到定点的距离大于定长的点的会合；、圆的内部：能够看作是到定点的距离小于定长的点的会合轨迹形式的观点：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O为圆心。

连结圆上随意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上随意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直均分线：到线段两头距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直均分线；3、角的均分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的均分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的地点关系1、点在圆内 d r 点 C 在圆内；2、点在圆上 d r 点 B 在圆上；3、点在圆外 d r 点 A 在圆外；三、直线与圆的地点关系1、直线与圆相离 d r无交点；2、直线与圆相切 d r有一个交点；3、直线与圆订交 d r有两个交点；四、圆与圆的地点关系外离（图1）无交点 d R r ；外切（图2）有一个交点 d R r ；订交（图 3）有两个交点R r d R r ；内切（图 4）有一个交点 d R r ；内含（图 5）无交点 d R r ；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径均分弦且均分弦所对的弧。

推论 1：（ 1）均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧；（3）均分弦所对的一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推3 定理：此定理中共 5 个结论中，只需知道此中 2 个即可推出其余 3 个结论，即：① AB是直径② AB CD③ CE DE ④弧BC 弧 BD ⑤弧AC 弧AD中随意 2 个条件推出其余 3 个结论。