对称性在电磁学中的运用
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大学物理（下）结课论文
对称性原理在电磁学中的运用
北京理工大学03110901班
刘伟20090481 2010年12月
摘要
对称性原理是凌驾于一切物理规律之上的原理。
群论是描述对称性的数学语言。
在数学与物理学中对称性的概念逐步发展，已近具有了十分广泛的含义。
总结起来，对称性原理可以简单的表述为：对称性的原因必然导致对称性的结果。
对称性的种类有很多，包括镜像对称性、转动与平移对称性、时间平移与反演对称性等。
本文主要镜像对称性（即宇称）在电磁学中的运用。
通过一些具体的实例，在某些具体镜像对称条件下，对电场与磁场分布进行定性与半定量分析。
关键词
对称操作 镜像对称性 极矢量 轴矢量
正文
一 相关概念
我们把使一个系统从一个状态变换到另一个与之等价的状态的过程叫做“对称操作”。
镜像对称即通常所说的“左右对称”。
显然对于镜像对称系统，对系统作关于镜像对称面的左右置换的过程就是一次“对称操作”，因为操作前后，系统的状态保持不变。
我们又把镜像对称的操作叫做“镜面反射”。
按照矢量在镜面反射操作下的变换方式，可以把矢量划分为极矢量和轴矢量。
对极矢量作镜面反射，则与镜面垂直的分量反向而与镜面平行的分量不变。
如位置矢量r (如图0-1)、速度矢量v 等。
对轴矢量作镜面反射，与镜面垂直的分量不变而与镜面平行的分量反向。
如角速度矢量ω（如图0-2所示）、角加速度矢量α等。
（两个极矢量的叉积一定是轴矢量，如ω=2v
v r ⨯）。
从库仑定律出发，可以论证，静电场E 极矢量，从毕奥-萨伐尔定律出发，
可以论证，磁感应强度B 是轴矢量（r l Id B ⨯∝）。
值得注意的是，变化磁场下
的感应电场感E 有具备了类似轴矢量的性质。
二 应用实例
在电磁学中，对于具有镜像对称面的系统，研究镜像对称面内任一场点P ，有如下两个重要结论：
（1） 极矢量静电场E 总在镜像对称面内。
（以下简称结论（1））。
（2） 轴矢量磁感应强度B 总垂直于镜像对称面。
（以下简称结论（2））。
下面通过一些电磁学问题实例，来探讨以上结论的应用。
Ⅰ 论证均匀带电球体在空间任一点P 处产生电场必沿矢径r 的方向。
很显然，对均匀带电球体，过球心O 的任意平面都是系统的镜像反射面。
如图2所示，过OP 的两个平面α、β都是带电系统的镜像对称面，由结论（1）可以知道，P 点电场强度E 必同时在α、β平面内，即必沿两平面交线OP 方向，也就是矢径r 的方向，命题得证。
Ⅱ 在北京理工大学精品教材《大学物理》下册中，有这样一道习题（8-8）：如图3-1所示，一点电荷q 放在一无限大接地金属平板上方h 处，求板面上距离q 为R 处的感应电荷面密度。
对于这个题目，我们手中可用的工具只有静电平衡条件，似乎很难下手，
要求解出来总觉得还缺了点什么。
如果我们从对系统的对称性开始作定性分析，问题也就迎刃而解了。
不难看出，该带电系统关于h 所在铅直轴呈现轴对称分布。
绕h 轴旋转任意角度θ都不改变电荷分布。
由对称性的原因必然导致对称性的结果，可以知道，以q 在平面上投影O 为中心的r 任意同心圆处有相同的电荷面密度。
如图3-2，形式上可以画出一组组感应电荷“等密度线”321σσσ……
我们希望能够求出P 处上表面的电场强度p E （已知其方向与板面垂直），
通过σ=p E 0ε来求解。
由静电平衡条件可知内表面处E =0，设q 在P 处产生电场
为0E ，如图3-3所示，则带电平面在下表面处产生电场为1E =0E -。
q 在P 处上表面产生电场任为0E ，关键在于求出带电平板在P 上表面处
产生的电场强度2E ，这里就要用到极矢量E 关于镜像对称的性质了。
下面单独研究带电平面，题干3-1图示的纸面是平板的一个镜像对称面，
有结论（1）可知，1E 、2E 都应在图示平面内，空间电场便简化到二维纸面上分
析。
显然平板自身平面也是其镜像对称面，将1E 分解为平行镜面（即自身平面）
x 方向和垂直镜面y 方向上，对带电平板关于自身平面对称操作，由极矢量镜面反射特性可得：x E 2 =x E 1 ，y E 2 =-y E 1 ，2E 得求。
接下来对2E 与0E 矢量叠加，结合静电平衡条件：p E 与带电平面垂直，
可求得p E =2E +0E ，如图3-5所示p E 大小为23002cos 2R
qh E E p πεθ==，可知P
处感应电荷面密度为302R qh E p πεσ-=
-=。
利用点电荷向空间辐射电场各向同性的性质（即球对称性），可以很巧妙地求解一些电通量问题，现有一例：
Ⅲ 如图4-1，求距圆面（O ，r ）中心轴线h 处的点电荷q 对圆面的
电通量。
当然，从库仑定律出发，结合叫繁杂的积分，此题可解。
但如果我们能够充分利用点电荷电场的球对称性，结合高斯定律，便能更快得到答案。
如图4-2，以q 为中心，以圆面为截面有唯一确定球面（P ，R ）与之对应。
且有R=22r h +,过圆面的电通量大小与过上球冠弧面的电通量大小相同。
而球面上“电通量面密度”大小处处相同，不难求出上球冠面积为S=2)(h R R -π,很快得出)1(24)(242200202r
h h q R q h R R q R S +-=-==Φεεππεπ。
Ⅳ 如图5-1，证明无限大均匀载流平面外任一点的磁感应强度B 的方向平行与载流平面且与电流方向垂直。
如图5-2，过任意场点P ，以电流方向为交线方向，可作载流平面的镜像对称面，由结论（2）可知，P 处磁感应强度B 垂直于镜像对称面，即平行于载流平面且与电流方向垂直，命题得证。
前面已经提到，静电场是极矢量，但变化的磁场产生的感应电场却具有了轴矢量的特性，通过以下例子对比说明。
Ⅴ1 如图6-1，在无限长均匀带电圆柱体（R,ρ）内有偏心圆柱形空腔，偏心距为d,求空前内电场分布。
对称性分析：如图6-1，显然过21O O 且垂直于图截面的平面为带电系统的镜像对称面α，而点电荷产生的静电场E 极矢量，又结论（1）可知，镜像对称面内各点的电场强度矢量E 必在镜像对称面α内，由图截面本身也是带电系
统的镜像对称面β，平面α、β交线上的场点电场强度E 必沿21O O 方向，即d 的
方向。
以上结论可以通过定量计算得以证明。
如图6-2，对空腔内任一场点P ，可看作是整个带正电圆柱体与带负电空腔产生电场的叠加。
作同心圆柱体高斯面，
可求得p E =)(2210r r -ερ=d 0
2ερ,可知空腔内有匀强电场，沿d 方向。
这是极矢量E 的情况，再看下面感应电场感E 的情况。
Ⅴ2 如图7-1，在带柱形偏心空腔的无限长直螺线管内有均匀变化的磁场k dt
B d = （k>0）,偏心距为d,求空腔内的感应电场分布。
对称性分析：如图7-1，同上题，过21O O 且与图截平面垂直的平面任为
系统的镜像对称面，但感E 不同于静电场E ，它具有轴矢量的特性，可知感E 应与
镜像对称面垂直。
以上结论同样可以通过定量计算得以证明。
如图7-2，对空腔内任一场点P ，感E 可以看作是整个柱面空间内变化的磁场产生的1感E 与空腔内相反方向
同步变化磁场产生2感E 的叠加，作同心环状安培回路，有
感E =1感E +2感E =d k r r k r dt B d r dt B d 2
)(2)21(212121-=--=⨯--⨯- ，可知空腔内有匀强感应电场，大小d E 2
k =感，方向与d 垂直。
通过以上对比可知，电荷产生的有源场E 与变化磁场产生的无源闭合感应电场感E 的镜像对称性有本质区别。
结束语
以上各应用实例都是基于一定得假设，即电磁学的定律具有空间反射等不变性。
对电场或磁场的一些分布问题，可以先从对称性原理的角度作定性分析，再结合半定量的分析与计算得到求解。
实际上我们平时在解决一些具体问题时，都自觉或不自觉的用到了对称性原理。
比如大学物理电磁学中，高斯定律与安培环路定律固然广泛使用，但对于实际问题，必须把握系统的对称性，才能真正运用这些定律对问题作简单化求解。
对平日里遇到的一些对称性问题进行归纳总结并作适当延伸，有助于培养我们的对称性思维，解决更多对称性并不明显但又确实存在的实际问题。
参考文献：
《定性与办定量物理学》 赵凯华 著 高等教育出版社；
《对称》H.Weyl 钟金魁译商务印书馆；《大学物理学》国防工业出版社。
