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初中生如何做好几何证明题(含标准答案)

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初中生如何做好几何证明题(含答案)

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———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期： - 3 -

14、如何做几何证明题 【知识精读】 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1所示，ABC中，CACBCADDBAECF90，，，。 求证：DE＝DF - 4 -

CFBAED

图1

分析：由ABC是等腰直角三角形可知，AB45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CDAD，DCF45。从而不难发现DCFDAE 证明：连结CD ACBCABACBADDBCDBDADDCBBAAECFADCBADCD90，，，，

ADECDFDEDF

说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。 求证：∠E＝∠F - 5 -

DBCF

EA

图2 证明：连结AC 在ABC和CDA中， ABCDBCADACCAABCCDASSSBDABCDAECFBEDF，，

，()

在BCE和DAF中， BEDFBDBCDABCEDAFSASEF



()

说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证：KH∥BC - 6 -

ABCMN

QP

KH

图3

分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。 证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M ∵BH平分∠ABC ∠∠ABHNBH 又BH⊥AH ∠∠AHBNHB90 BH＝BH ABHNBHASABABNAHHN()，

同理，CA＝CM，AK＝KM KH是AMN的中位线

KHMN// 即KH//BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，∠，，AAEBFBDDC90。 求证：FD⊥ED - 7 -

BCAFE

D32

1

图4

证明一：连结AD ABACBDDCDAEDABBACBDDCBDADBDABDAE，∠∠，∠∠∠，∠∠∠129090

在ADE和BDF中， AEBFBDAEADBDADEBDFFDED，∠∠，313290

说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。 证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM

BCAEF

DM图5 - 8 -

BDDCBDMCDEDMDEBDMCDECEBMCCBMBMACAABMAABACBFAEAFCEBM，

，

，



//9090

AEFBFMFEFMDMDEFDED

说明：证明两直线垂直的方法如下： （1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。 （2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90°。

3、证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。 求证：AC＝AE＋CD

图6B

CAED

FO

14

23

56

分析：在AC上截取AF＝AE。易知AEOAFO，12。由B60，知 - 9 -

566016023120，，。123460，得：

FOCDOCFCDC， 证明：在AC上截取AF＝AE

BADCADAOAOAEOAFOSAS，42

又B60 566016023120123460FOCDOCAASFCDC()

即ACAECD （二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法） 例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，EAF45。 求证：EF＝BE＋DF

GBEC

AFD

12

3

图7 分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。 证明：延长CB至G，使BG＝DF 在正方形ABCD中，ABGDABAD90， - 10 -

ABGADFSASAGAF()，13

又EAF45 23452145

即∠GAE＝∠FAE GEEFEFBEDF

4、中考题： 如图8所示，已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。 求证：EC＝ED

E

BDFAC图8

证明：作DF//AC交BE于F ABC是正三角形

BFD是正三角形

又AE＝BD AEFDBFBAAFEF

即EF＝AC

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初二几何证明题的解题思路

初二几何证明题的解题思路

初二几何证明题的解题思路一、题目11. 题目- 已知：在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接DE、BF。

求证：四边形DEBF是平行四边形。

2. 解析- 思路：要证明四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的判定定理，可以从对边平行且相等入手。

- 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB = CD，AB∥ CD。

- 又因为E、F分别是AB、CD的中点，所以BE=(1)/(2)AB，DF=(1)/(2)CD。

- 所以BE = DF。

- 且BE∥ DF（因为AB∥ CD）。

- 根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形DEBF是平行四边形。

二、题目21. 题目- 已知：在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于F。

求证：AF=(1)/(2)FC。

2. 解析- 思路：过点D作DG∥ BF交AC于G，利用中位线定理和平行线分线段成比例定理来证明。

- 证明：过点D作DG∥ BF交AC于G。

- 因为AD是BC边上的中线，所以D是BC中点。

- 又因为DG∥ BF，根据中位线定理，可得G是FC中点，即FG = GC。

- 因为E是AD的中点，DG∥ BF，根据平行线分线段成比例定理，可得AF = FG。

- 所以AF=(1)/(2)FC。

三、题目31. 题目- 已知：在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠ BAD交BC于E，∠ CAE = 15^∘。

求∠ BOE的度数。

2. 解析- 思路：先求出∠ BAE的度数，进而得出 ABE的形状，再求出∠ ACB的度数，最后根据三角形的内角和求出∠ BOE的度数。

- 证明：- 因为四边形ABCD是矩形，AE平分∠ BAD，所以∠ BAE = 45^∘。

- 又因为∠ CAE=15^∘，所以∠ BAC=∠ BAE +∠ CAE = 45^∘+15^∘=60^∘。

- 在矩形ABCD中，AC = BD，OA=OC=(1)/(2)AC，OB =OD=(1)/(2)BD，所以OA = OB。

初中数学几何题证明思路汇总

初中数学几何题证明思路汇总

初中数学几何题证明思路汇总初中几何证明题考察的重点是学生的逻辑思维实力，能通过严密的因为、所以逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。

这类题目出法相当敏捷，更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。

下面是我为大家整理的关于初中几何题证明思路汇总，盼望对您有所协助。

几何问题怎么解解决几何问题有几个要点，首先要具有比拟扎实的根底，见到题目条件后能联想到与之相关的学问点和方法;其次，几何题目对学生的读图实力有比拟高的要求，在分析题目时须要将确定条件与几何图像综合起来分析和思索;第三，做几何题目须要要具备较强的分析实力和逻辑思维实力，能从错综困难的条件中分析和整理出解题思路和方法。

当题目中的条件比拟多的时候或图形比拟困难的时候许多同学就会陷入恐慌之中。

解决几何题目较重要的两种实力就是分析确定条件的实力和读图实力。

解题的过程就是对确定条件整理和分析运用的过程，对条件的分析和理解越透彻，解题的过程也就会越顺当。

数学证明题不会做的缘由第一，教材里的证明很能加深你对定理理解的精度和精确度。

好多人对于定理和推论理解的失误，并非源于他们的记忆和理解实力。

而是不熟识这个定理是怎么来的，有什么假设条件。

熟识定理和推论的证明过程有助于更好的理解定理的条件，适用性和精确性。

而假如很熟识这个定理的证明，就会对这些性质的准确度了如指掌了，所以可以看到，加深对定理证明的理解也有助于加强我们数学表达的严谨性。

其次，性质、定理的证明本身有助于加强一些数学概念的进一步理解。

有些定理的证明很简洁，但有些定理的证明却是很长的一大串，在一大串中用到了许多的数学概念，这些概念有时我们平常可能理解的不透，通过这些证明过程就更能加深对概念的理解和运用。

一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

初中几何证明题之解题技巧总结及解析

初中几何证明题之解题技巧总结及解析

初中几何证明题之解题技巧总结及解析今天小编为大家整理了一篇有关初中几何证明题之解题技巧总结及解析的相关内容，以供大家阅读！上课听讲很重要几何不像其他的用很多公式关键要看懂图没有图的自己要会画图我做几何一般都是事先想到答案是什么（除了计算的）然后再想办法用定理证明其实我觉的几何是数学里面最简单的看上去复杂但是一旦你会做了一题一般都能解出来因为思考方向还有用到的定理都差不多所以熟记定理真的好重要的啊！！要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。

下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。

一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

*12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

八年级数学几何证明题技巧

八年级数学几何证明题技巧

八年级数学几何证明题技巧对于八年级的学生来说，几何证明题是一个全新的挑战。

如何更好地理解和解决这些题目，掌握相应的技巧至关重要。

以下，是我为八年级学生整理的一些几何证明题技巧。

一、理解基本概念首先，你需要理解并掌握几何的基本概念，如线段、角、三角形、四边形等。

这些基本元素及其之间的关系是证明题的基础。

理解这些概念，可以帮助你更好地理解题目的要求，从而找到正确的解题方向。

二、熟悉常用证明方法在几何证明中，有许多常用的证明方法，如直证法、间接证法、辅助线法等。

辅助线法尤其重要，它是解决许多复杂问题的关键。

通过添加辅助线，可以将复杂的图形分解成更易于处理的子图形，从而找到解题的突破口。

三、培养观察力和想象力几何证明需要你具备出色的观察力，能够看到题目中的关键信息，以及想象出题目未直接给出的信息。

通过观察和分析，你可以找到解决问题所需的各种条件，并将其转化为证明语句。

四、学会找规律几何证明题有时会有一定的规律可循。

通过观察和分析不同类型的题目，你可以发现一些常见的模式和技巧。

掌握了这些规律，可以大大提高解题速度和准确性。

五、练习是关键几何证明需要大量的练习来提高你的解题能力。

只有通过不断的练习，你才能更好地掌握各种方法和技巧，提高你的解题速度和自信心。

六、学会自我反思和总结在解题过程中，要学会自我反思和总结。

哪些地方做得好？哪些地方需要改进？如何改进？只有不断地反思和总结，才能不断提高你的解题能力。

七、使用几何工具和软件现代科技为几何证明提供了许多便利。

你可以使用几何工具如直尺、圆规等，也可以使用一些数学软件来帮助你绘制图形和进行计算。

这些工具可以帮助你更好地理解题目和图形，提高解题效率。

八、培养逻辑思维能力在几何证明中，逻辑思维能力至关重要。

你需要按照一定的逻辑顺序来思考和证明问题，从已知条件出发，逐步推导出结论。

通过不断地练习和思考，你可以培养出更加严密的逻辑思维能力。

九、注意细节和规范书写在几何证明中，细节决定成败。