武汉中考数学---相似三角形考题汇总(含答案)

热点07 相似三角形相似三角形在中考数学中的地址永远都是无法撼动的第一，不管是对相似三角形性质、判定、亦或是应用的考察，都有出题类型多变，出题形式随意的特点，并且，因为其高度的融合性，不管是在选择题、填空题、解答题的压轴题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途径。

基于以上特征，相似三角的考察难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。

1.相似三角形的性质：分类记忆——边、角、线、面积＋周长；相似三角形的性质有：对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=相似比的平方、对应周长之比=相似比。

另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性质的考察。

2.相似三角形的判定：重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型；相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特别是和网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。

3.相似三角形的应用：理解题意、提炼模型、注意特殊要求；相似三角形的应用多与实际生活结合，考察树或者楼的高度、物体的某些边的长度等。

此时通常需要自己提炼出应用的相似模型，并根据需要添加辅助线等，个别时候还会要求结果符合一定的要求，需要特点别注意。

当相似三角形与函数结合考察时，通常为压轴题，需要同时注意相似三角形与函数各自的性质的融合。

相似三角形的考察热点有：平行线分线段成比例的基本性质、相似三角形的性质、判定以及其综合应用。

近几年也常考察相似里的几何模型，如：手拉手模型、K型图模型、A字图与8字图模型、母子三角形模型等。

A卷（建议用时：60分钟）1．（2021•攀枝花·中考真题）若（x、y、z均不为0），则＝．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．2．（2021•百色·中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝．【分析】证AD＝CD＝BC，再证△BCD∽△BAC，得BC：AB＝BD：BC，则AD：AB＝BD：AD，得点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，求出AD＝AB＝﹣1，即可求解．【解答】解：∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∴∠CDB＝∠B，∴BC＝CD，∴BC＝AD，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，∴△BCD∽△BAC，∴BC：AB＝BD：BC，∴AD：AB＝BD：AD，∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，∴AD＝AB＝﹣1，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．3．（2021•哈尔滨·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到，然后根据比例的性质可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴，∴AE＝4．故选：B．4．（2021•上海·中考真题）如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则＝．【分析】过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，由四边形BMDN是矩形，可得DM＝BN，＝，根据AD∥BC，可得＝＝，＝，即可得到＝．【解答】解：过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，如图：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四边形BMDN是矩形，DM＝BN，∵＝，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝，∴＝，故答案为：．5．（2021•镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝．【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，故答案为：．6．（2021•湘潭·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．【解答】解：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．7．（2021•巴中·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．△ADE与△ABC的面积比为1：3C．△ADE与△ABC的周长比为1：2D．DE∥BC【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．【解答】解：∵＝＝，∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝1：3，故A错误；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．故D正确．故选：D．8．（2021•恩施州·中考真题）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE的长，从而可以得到CE和BD的关系；根据图形，很容易判断△ABC≌△CBD和AC＝CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC 和∠CBD的关系．【解答】解：由图可得，BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5，∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∵EF∥GD，∴△BFE∽△BGD，∴，即，解得EF＝1.5，∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，∴＝，故选项A错误；由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；∵AC＝2，CD＝，∴AC≠CD，故选项C错误；∵tan∠ABC＝＝，tan∠＝＝，∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；故选：D．9．（2021•内江·中考真题）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比例出关于x的比例式，求出x的值即可．【解答】解：设这幢高楼的高度为x米，依题意得：＝，解得：x＝36．故这幢高楼的高度为36米．故选：D．10．（2021•兰州·中考真题）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．【解答】解：由题意得：CB∥DF，，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，，∴DF＝43.62（mm），故选：B．11．（2021•锦州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（）A．2B．4C．3D．4【分析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE＝2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG＝3，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，则AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解决．【解答】解：方法一、连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BC＝6，∴AB＝BC＝12，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°，∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE，∴＝，∵CE＝2DE，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，∵∠ADB＝∠AGB＝90°，∠DAG＝∠BAD，∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG•BG，∴9＝（6﹣3x）（6+3x），∵x＞0，∴x＝，∴OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝，方法二、∵∠CDB＝∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∵∠BCE＝∠DCB，∴△BCE∽△DCB，∴BC2＝CE×CD，设DE＝x，则CE＝2x，∴（6）2＝2x×3x，∵x＞0，∴x＝2，∴CE＝4，故选：D．12．（2021•连云港·中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．【分析】过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得＝＝，由AD＝AC，AB＝2，可求出CE的长，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，则∠CBD＝60°，解直角△BCE，可分别求出BE和BD的长，进而可求出△BCD的面积．【解答】解：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，则∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴＝＝，∵AD＝AC，∴＝，∴＝＝＝，则CE＝，∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝CE＝，∴BD＝BE＝，∴S△BCD＝•BD•CE＝×＝．故选：A．13．（2021•济南·中考真题）如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为．【分析】如解答图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，由题意得，小正方形的边长为1，根据勾股定理得出OP＝，根据矩形的性质可判定△OEP∽△QBM，得到＝＝＝，进而得出BM＝，QB＝，利用AAS证明△QBM≌△MAN，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．【解答】解：如下图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，由题意得，小正方形的边长为1，∴OP＝＝＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°，∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP，同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC，∴∠BMQ＝∠EPO，又∠OEP＝∠B＝90°，∴△OEP∽△QBM，∴＝＝＝，∴BM＝＝＝，QB＝＝＝，∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°，∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN，在△QBM和△MAN中，，∴△QBM≌△MAN（AAS），∴AM＝QB＝，∴AB＝BM+AM＝+＝．故答案为：．14．（2021•鄂州·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．【分析】（1）利用∠ABE＝∠CDF以及平行四边形的性质，求证BE∥DF，AD∥BC即可判断四边形BEDF 的形状；（2）设AG＝2a，通过已知条件即可推出的值，再通过求证△AGE∽△CGB，利用相似比即可求出BC的长．【解答】解：（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABE＝∠CDF，∴∠EBF＝∠EDF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，∴BE∥DF，∵AD∥BC，∴四边形BEDF为平行四边形；（2）设AG＝2a，∵，∴OG＝3a，AO＝5a，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB，∴，∵AE＝4，∴BC＝16．15．（2021•聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC 于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．【分析】（1）由题意可证∠BAE＝∠CAE，由等腰三角形的性质可得AE⊥BC，由平行线的性质可证EF ⊥AE，可得结论；（2）在Rt△OHC中，利用勾股定理可求半径，可得AE的长，通过证明△AEF∽△AHG，可得，可求EF的长，通过证明△DCG∽△BAG，可得，可求CD的长．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴＝，∵AE是直径，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE，又∵AB＝AC，∴AE⊥BC，又∵EF∥BC，∴EF⊥AE，∴EF是⊙O的切线；（2）连接OC，设⊙O的半径为r，∵AE⊥BC，∴CH＝BH＝BC＝1，∴HG＝HC+CG＝4，∴AG＝＝＝5，在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，∴（3﹣r）2+1＝r2，解得：r＝，∴AE＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△AHG，∴，∴＝，∴EF＝，∵AH＝3，BH＝1，∴AB＝＝＝，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠CDG＝180°，∴∠B＝∠CDG，又∵∠DGC＝∠AGB，∴△DCG∽△BAG，∴，∴＝，∴CD＝．B卷（建议用时：80分钟）1．（2021•大庆·中考真题）已知＝＝，则＝．【分析】设＝＝＝k，分别求出x、y、z的值，代入所求式子化简即可．【解答】解：设＝＝＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝＝＝，故答案为．2．（2021•德阳·中考真题）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为﹣1，则该矩形的周长为．【分析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为3﹣，求出矩形的周长即可；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为＝2，求出矩形的周长即可．【解答】解：分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为×（﹣1）＝3﹣，∴矩形的周长为：2（﹣1+3﹣）＝4；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：（﹣1）÷＝2，∴矩形的周长为2（﹣1+2）＝2+2；综上所述，该矩形的周长为2+2或4．3．（2021•阿坝州·中考真题）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（）A．4B．6C．7D．12【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴AB：BC＝DE：EF．∵AB：BC＝2：3，EF＝9，∴DE＝6．故选：B．4．（2021•宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEF＝S△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．【解答】解：连接DE．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴＝＝2，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△AEF＝S△BDF，∴S△AEF＝S△ABD，∵BD＝BC＝，∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值＝××4＝，∴△AEF的面积的最大值＝×＝，故答案为：5．（2021•盘锦·中考真题）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得，设井深为x尺，所列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】如图，设AD交BE于K．利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，设AD交BE于K．∵DK∥BC，∴△EKD∽△EBC，∴＝，∴＝，故选：A．6．（2021•临沂·中考真题）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．3【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．【解答】解：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故选：B．7．（2021•湘西州·中考真题）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC ＝12.4，则CD的长是（）A．14B．12.4C．10.5D．9.3【分析】由∠ABE＝∠C，∠E＝∠E，证明△ABE∽△DCE，得＝，即可求解．【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，∴EC＝EB+BC＝14，∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，解得：CD＝10.5，故选：C．8．（2021•益阳·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于．【分析】证明△ACC′∽△ABB′，可得＝（）2，解决问题．【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴＝，∴△ACC′∽△ABB′，∴＝（）2，∵∠CAB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴＝（）2＝．故答案为：9：4．9．（2021•常州·中考真题）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC 内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝．【分析】连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由四边形CDFE是边长为1的正方形可得AD＝2，BE＝3，根据勾股定理求出AB＝5，AF＝，BF＝，设BG＝x，利用勾股定理求出x＝3，可得FG＝1，即可得sin∠FBA的值．【解答】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，∵四边形CDFE是边长为1的正方形，∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°，∵AC＝3，BC＝4，∴AD＝2，BE＝3，∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝，设BG＝x，∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，∴5﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得：x＝3，∴FG＝＝1，∴sin∠FBA＝＝．故答案为：．10．（2021•绵阳·中考真题）如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质得到＝，得到BD＝4（负值舍去），AB＝BD＝4，过B作BH⊥AD 于H，根据等腰三角形的性质得到AH＝AD＝3，根据勾股定理得到BH＝＝＝，当PQ⊥AB时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△DAB∽△DCA，∴＝，∴＝，解得：BD＝4（负值舍去），∵△DAB∽△DCA，∴，∴AC＝，∵AC2＝AB（AB+BC），∴（AB）2＝AB（AB+BC），∴AB＝4，∴AB＝BD＝4，过B作BH⊥AD于H，∴AH＝AD＝3，∴BH＝＝＝，∵AD＝3AP，AD＝6，∴AP＝2，当PQ⊥AB时，PQ的值最小，∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠P AQ＝∠BAH，∴△APQ∽△ABH，∴，∴＝，∴PQ＝，故选：A．11．（2021•温州·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A．B．C．D．【分析】如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN ＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，想办法求出BH，CG，可得结论．【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE ＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，∵四边形ENFM是正方形，∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG，∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，∴CT＝3a，CG＝＝a，∵MH∥TG，∴△CMH∽△CTG，∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，∴MH＝a，∴BH＝2a+a＝a，∴＝＝，故选：C．12．（2021•山西·中考真题）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD 的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为．【分析】取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DF＝a，EF∥AC，DE＝3，通过证明四边形DGEH是正方形，可得DE＝DG＝3，DH∥EF，通过证明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．13．（2021•鞍山·中考真题）如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x 轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝．【分析】过点B作BF⊥x轴于点F，通过设参数表示出三角形ABC的面积，从而求出参数的值，再利用三角形ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得k的值．【解答】解：如图，过点B作BF⊥x轴于点F．∵AB∥x轴，∴△DBE∽△OCE，∴＝，∵＝＝，∴＝＝＝＝，设CO＝3a，DE＝3b，则AD＝2a，OE＝2b，∴，OD＝5b，∴BD＝，∴AB＝AD+DB＝，∵S△ABC＝＝＝13，∴ab＝，∵S矩形ODBF＝BD•OD＝＝＝18，又∵反比例函数图象在第一象限，∴k＝18，故答案为18．14．（2021•营口·中考真题）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．【分析】（1）利用AB是⊙O直径，AF是⊙O的切线，得到∠DAF＝∠ABF，利用＝得到∠ABF＝∠CAD，进而证得∠F＝∠AEF，根据等角对等边即可证得AF＝AE；（2）利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到＝，求得CE＝AF＝AE，根据AE+CE ＝AC即可求得AF．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠F AB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．15．（2021•杭州·中考真题）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAG＝∠F AC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠F AC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．16．（2021•罗湖区·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．（1）求证：＝；（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．【分析】（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；（2）首先证明AD＝BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD＝AB，得出四边形ABFD是菱形．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，又∵AB＝AD，∴＝；（2）设AE＝x，∵AE：EC＝1：2，∴EC＝2x，由（1）得：AB2＝AE•AC，即AB2＝x•3x∴AB＝x，又∵BA⊥AC，∴BC＝2x，∴∠ACB＝30°，∵F是BC中点，∴BF＝x，∴BF＝AB＝AD，连接AF，则AF＝BF＝CF，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，又∵∠ABD＝∠ADB＝30°，∴∠CBD＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝∠ACB＝30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD＝AB，∴四边形ABFD是菱形．。

15．已知点 P 是线段 AB 的一个黄金分割点，且 AB 6cm ， AP BP ，那么 AP __________ cm ． 16．已知点 P 是线段 AB 上的黄金分割点，AP BP ，AB 4 ，那么 AP __________． 17．点 C 是靠近点 B 的线段 AB 的黄金分割点，若 AB 10cm ，则 AC __________ cm ．（结果保留根号）
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习 2（附答案详解）
1．已知线段 a 2cm ， b 8cm ，它们的比例中项 c 是（ ）
A． 4cm
B． 4cm
C．16cm
D． 16cm
2．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、2、3
B．1、2、3、4
C．1、2、2、4 D．3、5、9、13
金分割点( AP2 P1P2 ),点 P3 是线段 AP2 的黄金分割点( AP3 P2P3 ),..,依此类推,则线段
AP2020 的长度是（
）
A． (3 5 )2020 2
B． ( 5 1)2020 2
C． ( 1)2020 2
D． ( 5 2)1010
11．爱好骑行的小明想知道从淮北到首都北京的距离大约是多少，因此他从一张比例尺
AB AC AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．请
计算黄金比．
22．已知 x y z ，且 2x+3y﹣z＝18，求 4x+y﹣3z 的值． 234
23．阅读理解：
如图①，点 C 将线段 AB 分成两部分，若 AC = BC ，则点 C 为线段 AB 的黄金分割点． AB AC

中考数学复习之相似三角形的存在性问题（学案）知识与方法梳理：相似三角形存在性的处理思路1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2. 画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解． 注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例；3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．例1：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为 C (4，，且与x 轴的两个交点间的距离为6． （1）求二次函数的解析式；（2）在x 轴上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形 【思路分析】△由顶点坐标C (4，)可知对称轴为直线x =4，利用与x 轴两个交点间的距离为6，再结合抛物线的对称性可知A （1，0)，B (7，0)．△设交点式y =a (x -1)(x -7)，再代入坐标C (4，可求解出解析式2y x =-+．【过程示范】△顶点坐标为C (4，)， △抛物线对称轴为直线x =4，又△抛物线与x 轴的两个交点间的距离为6， △由抛物线的对称性可知：A (1，0)，B (7，0)． 设抛物线的解析式为y =a (x -1)(x -7)，将C (4，)代入可得，a = △所求解析式为2y x x =． 第二问：相似三角形的存在性 【思路分析】相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的：△分析特征：先研究定点、动点，其中A 、B 、C 为定点，点Q 为抛物线上的动点；进一步研究此△ABC ，发现其中AC=BC ；构造辅助线：CD 垂直于x 轴，能够计算出△BAC =30°，△ACB =30°；再考虑研究△QAB ，固定线段为AB ，并且由于点Q 在x 轴上方的抛物线上，所以△QAB 为钝角（填“钝角”或“直角”）三角形．△画图求解：先考虑点Q 在抛物线对称轴右侧的情况，此时△ABQ 为钝角，要想使△ABC 与△ABQ 相似，则需要△ABQ =120°，且AB=BQ ．求解时，可根据△ABQ =120°，AB =BQ =6来求出Q 点坐标．同理，考虑点Q 在抛物线对称轴左侧时的情况．△结果验证：考虑点Q 还要在抛物线上，将点Q 代入抛物线解析式验证． 【过程示范】存在点Q 使得△QAB 与△ABC 相似．由抛物线对称性可知，AC =BC ，过点C 作CD △x 轴于D ， 则AD =3，CD在Rt△ACD 中，tan△DAC，△△BAC =△ABC =30°，△ACB =120°． △当△ACB △△ABQ 1时， △ABQ 1=120°且BQ 1=AB =6． 过点Q 1作Q 1E △x 轴，垂足为E ， 则在Rt△BQ 1E 中，BQ 1=6，△Q 1BE =60°， △Q 1E =BQ 1·sin60°=62⨯=BE =3， △E (10，0)，Q 1(10，． 当x =10时，y= △点Q 1在抛物线上．△由抛物线的对称性可知，还存在AQ 2=AB ， 此时△Q 2AB △△ACB ，点Q 2的坐标为(-2，． 综上，Q 1(10，，Q 2(-2，．练习题1. 如图，抛物线2110833y x x =-+-经过A ，B ，C 三点，BC △OB ，AB =BC ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ．点M是直线AB 上方的抛物线上一动点，作MN ⊥x 轴于点N ，若△AMN 与△ACD 相似，则点M 的坐标为_____________________________．OB CDAxy2. 如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(1，0)，过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH △OB 于点H ．若PB 5t ，且0＜t ＜1．（1）点C 的坐标是____________，b _______，c ______． （2）求线段QH 的长（用含t 的代数式表示）．（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．A BCOHP QxyyxO CB A3. 如图，抛物线213222y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D (1，m )在抛物线上，直线y =-x -1与抛物线交于A ，E 两点，点P 在x 轴上，且位于点B 的左侧，若以P ，B ，D 为顶点的三角形与△ABE 相似，则点P 的坐标为__________________________________．4. 如图，已知抛物线过点A (0，6)，B (2，0)，C (7，52)．（1）求抛物线的解析式．（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称．求证：△CFE =△AFE ． （3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，抛物线y=ax2+bx经过两点A(-1，1)，B(2，2)．过点B作BC△x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．连接OA，OB，OC，AC，点N在坐标平面内，且△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应），则点N的坐标为_____________________________________．6.如图，抛物线y=-x2+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D．是否存在以P，O，D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点A作AP△CB交抛物线于点P．（1）求A，B，C三点的坐标．（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MG△x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA 相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，1)．（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标．（2）过点B作BD△CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9. 如图，抛物线经过A (4，0)，B (1，0)，C (0，-2)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P 是抛物线上一动点，过点P 作PM △x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1. 2. （1）(0，-3)，，-3；（2）；（3）存在，或． 3. 4. （1）；（3）． 5. N 1(3，4)，N 2(4，3)，N 3(-2，-1)，N 4(-1，-2)6.存在，1P ，2(12P --+．7.（1）A (-1，0)，B (1，0)，C (0，-1)；（2）存在，M 1(-2，3)，M 2(4，15)，347()39M ，． 1257111()()2424M M -，，，94-148 0218 4 12t t QH t t ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（）（）73225321121322(0)(0)75P P -，，，21462y x x =-+1241(0)(02)2P P --，，，8.（1）y =-x 2+1，B (-1，0)；（2）存在，11(0)3P ，，P 2(-2，0)． 9.（1）215222y x x =-+-；（2）存在，P 1(0，-2)，P 2(-3，-14)，P 3(2，1)，P 4(5，-2)．。

母子型相似及思路分析1.如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD ＝∠C ＝45°，BD ＝5，DC ＝3，则△ABC 的面积为 .【解】∵∠BAD ＝∠C ，∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA ，∴AB BC BD AB=，AB 2＝BD ·BC ＝5(5＋3)＝40，作AM ⊥BC 于H ，∵∠C ＝45°，∴AH ＝HC ，设AH ＝HC ＝x ，则BH ＝8－x ，在Rt △ABH 中，(8－x )2＋x 2＝40，解得x ＝2或x ＝6，∴S △ABC ＝12BC ·AH ＝8或24.2.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥AC 于E ，DE 、BC 的延长线交于点F ，若BC ＝5，CF ＝4，则AB 的长为 .【解】：BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝90°，D 是AB 的中点，∴DE ＝AD ，∴∠A ＝∠AED ＝∠CEF ，∵BE ⊥AC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝∠EBF ，∴∠CEF ＝∠EBF ，又∵∠EFC ＝∠BFE ，∴△ECF ∽△BEF ，∴EF BF CF EF =，∴EF 2＝BF ·CF ＝9×＝36，∴EF ＝6，易知△ABC ∽△BEC ，∴AB BE EF BC CE CF ==，∴AB ＝561542BC EF CF ⋅⨯==.3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝5，CD ＝2，则AD 的长为 . 【解】：在DC 上取点E ，连接AE ，使∠DAE ＝30°，设DE ＝a ，则AD ＝3a ，AC 2＝3a 2＋4，EC ＝2－a ，∵∠BAC ＝120°，又∠BAD ＋∠EAC ＝90°，∠BAD ＋∠B ＝90°，∴∠EAC ＝∠B ，又∵∠ACE ＝∠BC 4，∴△EAC ∽△ABC ，AC BC EC AC=，∴AC 2＝BC ·EC ，∴3a 2＋4＝7(2－a )，解得a ＝1，∴AD ＝3.4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90，AD ⊥B C 于D ，E 为AC 上一点，连接BE 交AD 于M ，M 为BE 的中点，EF ⊥BC 于F ，AE ＝3，EC ＝12，则EF 的长为解：延长FE 、BA 交于G 点，由AD ∥GF ，M 为BE 的中点，∴EG ＝EF ，∵∠GAE ＝∠EFC ＝90°，∴A 、F 、C 、G 四点共圆，∴GE EF AE CE ⋅=⋅，∴231236EF AE CE =⋅=⨯=，∴EF ＝6.AMF ED CB AAB CD EF MG5.如图，在R t △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点E 、F 在线段BC 上，点F 在点E 右侧，∠EAF ＝45°，若BF ＝3，CE ＝4，则BC ＝解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵∠EAF ＝45°，∴∠B ＝∠EAF ∵∠BAF ＝∠BAE ＋∠EAF ，∠CEA ＝∠BAE ＋∠B ，∴∠BAF ＝∠CEA ，∴△ABF ∽△ECA ，AB CE BF AC=，∴AB AC BF CE ⋅=⋅， ∴22341222BC BC ⋅=⨯=，∴6BC =6.如图，点D 在线段BC 上，CD ＝2B D ，AC ＝4，AD ＝2，点E 在DA 的延长线上，∠BED ＝∠ACD ，则AE 的长为 .解：过A 作AF ∥EB 交BD 于F ，E F CB AEB C AF ACD B E则∠F AD ＝∠BED ，∵∠BED ＝∠ACD ，∴∠F AD ＝∠ACD ，又∵∠AFD ＝∠C F A ，∴△AFD ∽△CF A ，24AF DF AD CF AF AC ∴===，∴CF ＝2AF ＝4DF ，∴CD ＝3DF ，由CD ＝2BD ，设CD ＝6a ，则BD ＝3a ，DF ＝2a ，BF ＝a ，∵作AF //E B ，12AE BF AD DF ∴==，112AE AD ∴==7.如图，点D 是等边△ABC 内一点，∠BDC ＝120°，E 是BC 的中点，AD 的延长线交BC 于点F ，着CF ＝DF ，DE ＝2，则BD 的长为解：延长DE 至P ，使PE ＝DE ，将△ACD 绕点A 顺时针旋转连接60°到△ABG ，连接BP 、DG ，则△ADG 是等边三角形，∠GDF ＝120°，∵∠BDC ＝120°，∴∠BDG ＝∠CDF ，易知△BEP ∽△CED （SAS ），∴BP ＝CD ＝BG ，∠EBP ＝∠ECD ，∴BP //DC ，∴∠DBP ＝60°，∵∠BDC ＝120°，∴∠DBC ＋∠DCB ＝60°∵∠ACD ＋∠DCB ＝60°，∴∠DBC ＝∠ACD ＝∠ABG ，∵∠ABD ＋∠DBC ＝60°，∴∠ABD ＋∠ABG ＝60°，即∠DBG ＝60°，∴∠DBP ＝∠DB G 又∵BD ＝BD ，∴△BDP ∽△BDG （SAS ），∴∠BDE ＝∠BDG ，∴∠BDE ＝∠C DF ，∵CF ＝DF ，∴∠CDF ＝∠BCD ，∴∠BDE ＝∠BCD ，又∵∠EBD ＝∠DBC ，∴△BDE ∽△BCD ，∴∠BED ＝∠BDC ＝120°，BD BE BC BD =，∴∠DEF ＝60°，2212BD BC BE BC =⋅=，∴BC =，DC =，作DH ⊥BC 于H ，∴112EH ED ==，DH =Rt △BDH中，1122BH BC EH BD =+=+，222BH DH BD +=，∴2221)BD BD ++= F E DB AH GP ABC DEF，解得210BD=+8.如图，在△M8C中，AD平分∠BA C，AD的垂直平分线交AD于E，交B C的延长线于F，BD＝3，CF＝4.则DC＝ .解：连接AF，∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠DAF＝∠ADF，∵∠DAF＝∠DAC＋∠CAF，∠ADF＝∠BAD ＋∠B，∠BAD＝∠DAC，∴∠CAF＝∠B又∵∠AFC＝∠BF A，∴△CAF∽△ABF∴AF BFCF AF=.∴2AF CF BF=⋅＝CF(BD＋DF)＝CF(BD＋AF)，∴24(3)AF AF=+，解得AF＝6，∴DF＝6，∴DC＝DF－CF＝6－4＝2.9.如图，在△MBC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，点E在BC的延长线上，∠DAE＝90°，若BC＝7CE，则sin B的值为解：∠BAC＝90°，D为BC的中点，AD＝BD，∴∠BAD＝∠BFED CAACDEFAB D E∵∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴∠B ＝∠CAE 又∵∠AE 8＝∠CE A ，∴△ABE ∽△CAE ，AB AE BE AC CE AE ==由BC ＝7CE ，设CE ＝a ，则BC ＝7a ，BE ＝8a ，∴8a AE AE a=∴AE =，∴AB AE AC CE a ===AB =.∴3CB AC ==，∴S i nB ＝13AC BC =10.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，B D 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥BD 交A B 于E ，若AD ＝2AE ，CD ＝3.则AB 的长为解：取BE 中点F ，连接DF ，∵∠BDE ＝90°，∴DF ＝BF ，∴∠BDF ＝∠ABD ∵DE ⊥BD ，∴∠BDE ＝90°，∴∠ADE ＋∠BDC ＝90°，∴∠ADE ＝90°－∠BDC ＝∠DBC ＝∠ABD ，又∵∠DAE ＝∠BAD ，∴△ADE ∽△ABD 由AD ＝2AE 可得BD ＝2DE ，AB ＝2AD ＝4AE ，∴BE ＝3AE 设AE ＝2a ，则BE ＝6a ，BF ＝EF ＝3a ，AF ＝5a∵∠BDF ＝∠ABD ＝∠DAC ，∴DF ∥BC ，∴53AD AF DC BF ==∴553AD DC ==，∴AB ＝2AD ＝10 11.如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交B C 于D ，点E 在AD 的延长线上，∠DBE ＝∠DAC ，若∠C ＝60°，AB ＝7，AC ＝5，则BE 的长为解：作AH ⊥BC 于H ，E DCCD E ABCD FE∵∠C ＝60°，AC ＝5，∴1522HC AC ==，HA =，∴112HB ==， ∴BC ＝BH ＋HC ＝8，作DF /∥AC 交AB 于F ，则∠ADF ＝∠DAC ＝∠DAF ，∴AF ＝DF ，∵DF ∥AC ，∴△FBD ∽△ABC ，∴75BD BF BF AB DC AF DF AC ==== ∴77145123BD DC BC ===，∴103DC =，∵∠D BE ＝∠DAC ＝∠B A E ，∠BED ＝∠A EB ∴△BDE ∽△ABE ，23BE DE DB AE BE AB ===，设DE ＝4a ，则BE ＝6a ，AE ＝9a ，AD ＝5a ∵∠DBE ＝∠DAC ，∠BDE ＝∠ADC ，∴∠E ＝∠C ，又∵∠BAE ＝∠DAC ，∴△ABE ∽△ADC ，BA DA AE AC = ∴AD AE AB AC ⋅=⋅，∴5975a a ⋅=⨯，∴3a =，6BE a ==12.如图，△AB C 是等腰直角三角形，∠B AC ＝90°，点E 、F 分别在CB 的延长线和反向延长线上，∠EAF ＝135°，若CE ＝3，BF ＝4，则BC 的长为解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ＝45°∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABE ＝∠ACF ＝135°，∠BAE ＋∠E ＝45°，∵∠EAF ＝135°，∴∠BAE ＋∠CAF ＝45°，∴∠E ＝∠CAF ，∴△ABE ∽△FCA ，∴BA CF BE AC=设AB ＝AC ＝x ，则BC，BE ＝3，BF ＝4，∴4x=，解得x，∴BC ＝2 13.如图，在△ABC 中，t an ∠ABC ＝512，B D 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ⊥AB 交BC 于点E ，点C 在点E 的右侧，若AE ＝EC ，BD ＝4，则B C 的长为H FB ACD A B CE F解：作BF ⊥CA 交CA 的延长线于F ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE ＝90°，∴∠ABE ＋∠AEB ＝90°，∵AE ＝EC ，∴∠CAE ＝∠C ，∴∠AEB ＝2∠C ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠ABE ＝2∠DBC ，∴∠DBC ＋∠C ＝45°，∴∠ADB ＝45°，∴∠FBD ＝45°，BF ＝DF ＝－BD＝2BD＝∴∠ABF ＝45°－∠ABD ，∠C ＝45°－∠DBC ，∴∠ABF ＝∠C 又∵∠AFB ＝∠BFC ，∴△ABF∽△BCF ，由tan ∠ABC ＝125，设AB ＝12a ，则C E ＝AE ＝5a ， ∴B E ＝13a ，∴BC ＝18a ，122183BA BF a BC FC a ===，32CF BF ==BC=14.如图，在R t △A 8C 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，E 是AC 上一点，∠DEA ＝∠BEC ，BE 与CD 相交于点F ，若DEF S ∆＝2，则BCF S ∆＝ .解：过C 作CG //AB 交DE 的延长线于点G ，则∠GCD ＝∠FDB ，∠GCE ＝∠A ，∵D 是Rt △A BC 的斜边AB 的中点，∴CD ＝AD ＝BD ，∴∠FCE ＝∠A ，∴∠GCE ＝∠FCE 又∵∠GEC ＝∠DEA ＝∠FEC ，CE ＝CE ，∴△CEG ∽△CEF ，∴CG ＝CF ，∵∠DEA ＝∠BEC ，∴∠BEA ＝∠DEC ，∴∠GDC ＝∠FBD ，∴△CDG ≌△DBF ，∴CG ＝DF ，∴CF ＝DF ，∵∠GDC ＝∠FBD ，∴△DEF ∽△BED ，作DH ⊥AC 于H ，则BC ＝2DH ，△DEH ∽△BEC ，∴BE ＝2DE ，∴4BED DEF S S ∆∆=，36BCF BDF DEF S S S ∆∆∆===.E DCAACDE FFE D CA ACDE F15.如图，AD 是R t △ABC 斜边BC 上的高，E 为AC 中点，A 8、ED 的延长线交于F ，若AB ＝4，AC ＝6，则DF 的长为 .解：∵在Rt △ABC 中，BC 是斜边，∴∠BAC ＝90°，∵AD 是斜边BC 上的高，∴∠A DB ＝∠ADC ＝90°，∴∠B A D ＝∠C ，△ABD ∽△CBA ，6342DA AC BD AB ===，∵E 为AC 中点，∴ED ＝EC ，∴∠C ＝∠EDC ＝∠BDF ，∴∠BAD ＝∠BD F ，又∵∠AFD ＝∠DFB ，∴△ADF ∽△DBF ，32FA DF AD FD FB BD ===，∴33392224AF DF BF BF ==⨯=，∴41655BF BA ==，∴32425DF BF ==16.如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF ＝90°，EG ∥AB 交AF 于点G ，若BE ＝4，EG ＝13，则△AEF 的面积为 .解：作EH ⊥AB 于H ，AM ⊥EG 于M ，交CD 于N ，FK ⊥EG 于K ，∵∠B ＝60°，BE ＝4，∴BH ＝2，AM ＝EH＝2AM EM MG =⋅，2(13)EM EM =⋅-，解得EM ＝1（舍去），或EM ＝12∴A H ＝EM ＝12，∴AD ＝A 8＝AH ＋B H ＝14，∴AN AD ==ABCD F EF E DCB AG1122AEF AEG FEG S S S EG AM EG FK ∆∆∆=+=⋅+⋅1122EG AM EG MN =⋅+⋅1()2EG AM MN =⋅+1113222EG AN =⋅=⨯⨯=17.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，∠EDF ＝60°，EG ∥BC 交DF 于点G ，若AE ＝9，EG＝DEF 的面积为 .解：延长EG 至H ，连接DH ，使∠H ＝60°，EH 交CD 于K ，则DK ＝AE ＝9，KH＝GK ＝x ，则EK ＝x＋EH ＝x＋222(x 9DE =++∵∠E DG ＝∠H ＝60°，∠D 6G ＝∠H 6D ，∴△D E G ∽△HED ，∴DE EH EG DE=，∴2DE EG EH =⋅，∴22(x 9x ++=+解得xCD ＝AD ＝EK ＝x＋=GF E DCB A A B CDE F G K H。