插值法(lagrange插值,牛顿插值).

杜丁坤 20171506003 自动化1班实验二 插值法一、实验目的和要求(1)学会Langrange 插值、Newton 插值和Hermite 插值等基本插值方法．(2)学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题(3) 按照题目要求完成实验内容、写出相应的Matlab 程序给出实验结果．(4)对实验结果进行分析讨论．(5)写出相应的实验报告．一、 实验内容1. Lagrange 插值公式.练习11=2=3=，利用Lagrange 拉格朗日插值的函数%%%%%%%%%function yi=Lagrange(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n~=merror('The length of X must be equal!');endp=zeros(1,n);for k=1:nt=ones(1,n);for j=1:nif j~=kif abs(x(k)-x(j))<epserror('the DATA is error');return;endt(j)=(xi-x(j))/(x(k)-x(j));endendp(k)=prod(t);endyi=sum(y.*p);%%%%%主函数是：%%%%%X=[1 3 9];Y=[1 2 3];Xi=5;Lagrange(X,Y,xi)练习21=2=3=，利用Newton 进行比较。

牛顿插值函数%%%%%%%%function yi=Newton(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n~=merror('The length of X must be equal!');endA=zeros(n,n);A(:,1)=y;for j=2:nfor i=1:n-j+1A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));endendX1=xi*ones(1,n)-x;X=ones(1,n);for p=2:nfor q=1:p-1X(p)=X(p)*X1(q);endendY=zeros(1,n);for r=1:nY(r)=A(1,r)*X(r);endyi=sum(Y);%%%%%%%%%%主函数：X=[1 3 9];Y=[1 2 3];Xi=5;Newton(X,Y,xi)三、实验要求要求在实验前必须预习，将实验内容事先准备好，否则不允许上机。

其中 (a , b)且 依赖 于x .
二、Newton 插值多项式(n次)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 ) f ( x0 , x1 , x2 )( x x0 )( x x1 )
f ( x0 , x1 ,, xn )( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
f ( x0 , x1 )
f ( x1 , x2 ) f ( x0 , x1 , x2 ) f ( x2 , x3 ) f ( x1 , x2 , x3 ) f ( x 3 , x 4 ) f ( x 2 , x 3 , x4 )
f ( x k 1 , x k ) f ( x k 2 , x k 1 , x k )
x
1 1 2
y
一阶差商 二阶差商
2 3 1
1 2 2

5 6
N 2 x f ( x0 ) f ( x0 , x1 ) x x0 f ( x0 , x1 , x2 ) x x0 x x1
1 x 1 5 x 1 x 1 2 2 6
差分表6-2
xi x0 x1 x2 f ( xi ) f0 f1 f1 f2 f 2 x3 x4 xn f3 f4 f n1 2 f 2 f f 0 2 f 3 f 4 f n f
f0
f 0
前插的系数
2 ff 0 2 0 2 f1 0 3 ff 0 f 3 f1 3
解：设 0 1, x1 1, x2 2 x
x x1 x x2 x 1 x 2 1 2 l0 x ( x 3 x 2) x0 x1 x0 x2 1 1 1 2 6 1 2 x x0 x x2 x 1 x 2 l1 x ( x x 2) x1 x0 x1 x2 1 11 2 2 x x0 x x1 x 1 x 1 1 2 l2 x ( x 1) x2 x0 x2 x1 2 12 1 3

就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉
格朗日（Lagrange）插值。
2.n=2
线 性 插 值 只 利 用 两 对 值 (x0,y0) 及 (x1,y1) 求 得
y=f(x)的近似值，误差较大。
p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。
第1章 插值方法
插值法是一种古老的数学方法。早在 1000多年前，我国历法上已经记载了应用一 次插值和二次插值的实例。 拉格朗日（Lagrange）、牛顿 （Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了 不同的解决方法。
1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛顿插值公式 1.3 埃特金插值公式 1.4 存在惟一性定理 1.5 插值余项 1.6 分段三次埃尔米特插值 1.7 三次样条插值 1.8 应用实例
［a,b］,有与x有关的ξ(a<ξ<b)存在, 使得
其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。
［例５］ 设f(x)=lnx, 并假定已给出值表试近 似计算ln(0.6)的值，并指出精度。 值表 0.4 -0.916291
x lnx
0.5 -0.693147
0.7 -0.356675
0.8 -0.223144
(x∈［-5,5］)。
取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的逼近效果。
图1-3 例6的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
为了避免 Runge现象的发生 , 我们很自 然地会想到把区间［-5, 5］等分为10个小区 间, 在每一个小区间内应用低次插值。但由 于每个小区间只有两个端点（插值节点） , 按照我们已知的方法, 得到的将是一个分段 线性插值函数。

Nn ( x) A0 A1 ( x x0 ) A2 ( x x0 )( x x1) ... An ( x x0 )...( x xn1)
利用插值条件Nn(xj)=f(xj), j=0,1，…，n代入 上式，得关于Ak (k=0,1，…，n)的线性代数方 程组
y0
y1
x1
yn
0 a x0
xn b
X
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定理 n次插值问题的解是存在而且唯一的。
证明： 设 Pn (x)=a0 + a1x + a2x2 + ……+ anxn 是 y=f(x)在[a,b]上的n+1个互异节点x0,x1,…,xn的 插值多项式，则求Pn (x)问题归结为求系数 a0,a1,…,an。 由插值条件： Pn (xk)= yk (k = 0,1,…,n)
1 lk ( x j ) 0
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j k (j,k=0,1,…,n) jk
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则称这n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…, ln(x)为节点 x0 ,x1,…,xn上的n次插值基函数。
由n=1,2时的讨论可得
( x x0 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
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2、Lagrange插值
2.1 线性插值与抛物插值 1.线性插值：n=1情形 给定插值节点 x0,x1， y0=f(x0)，y1=f(x1). 求线性插值多项式L1 (x)=a0+ a1x，使满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1. y= L1 (x)的几何意义就是过点(x0, y0)，(x1, y1)的直线。