数学归纳法

数学归纳法数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。

n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n)，（1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设n0≤n<=k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；（2）假设P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立；（四）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)，（1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

（3）证明数列前n项和与通项公式的成立。

（4）证明和自然数有关的不等式。

在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。

下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当n=b时命题成立。

课堂互动讲练
证明】 左式＝ 【证明】 (1)当 n＝1 时，左式＝ 当 ＝ 12(1－ 1)(1＋ 1) － ＋ 2 1 － 1＝0，右式＝ ＝ ，右式＝ ＝0， ， 4 等式成立． ∴等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N )时等式成立， 假设 ＝ ∈ 时等式成立 时等式成立， 即 (k2 － 1)＋ 2(k2－ 22)＋ … ＋ k(k2 － k2) ＋ ＋ k2(k－ 1)(k＋ 1) － ＋ . ＝ 4
数学归纳法
基础知识梳理
证明一个与正整数n有关的命题， 证明一个与正整数 有关的命题，可 有关的命题 按下列步骤进行： 按下列步骤进行： (1)(归纳奠基 证明当 取第一个值 归纳奠基)证明当 归纳奠基 证明当n取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立； 时命题成立； 时命题成立 (2)(归纳递推 假设 ＝k(k≥n0，k∈N*) 归纳递推)假设 归纳递推 假设n＝ ∈ 时命题成立，证明当n＝ ＋ 时命题也成 时命题成立，证明当 ＝k＋1时命题也成 立． 只要完成这两个步骤， 只要完成这两个步骤，就可以断定命 题对从n 开始的所有正整数n都成立 都成立． 题对从 0开始的所有正整数 都成立．
基础知识梳理
上述证明方法叫做数学归纳法． 上述证明方法叫做数学归纳法．用 框图表示就是： 框图表示就是：
三基能力强化
1．数学归纳法适用于证明 ． ________类型的命题 类型的命题( ) 类型的命题 A．已知⇒结论 ．已知⇒ B．结论⇒已知 ．结论⇒ C．直接证明比较困难 ． D．与正整数有关 ． 答案： 答案：D
课堂互动讲练
【证明】 (1)当n＝1时，f(1)＝36， 证明】 当 ＝ 时 ＝ ， 能被36整除 整除． 能被 整除． (2)假设 ＝k(k∈N*)时，f(k)能被 假设n＝ ∈ 时 能被36 假设 能被 整除， 整除， 能被36整除 即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被 整除； ＝ ＋ 能被 整除； ＋ 当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝ ＋ 时 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9 ＋ － ＋ － ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， ＋ ＋ ，

用数学归纳法需注意：
1.第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳 基础。 2.第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确 性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而 不是确认命题成立)。 3.第三步是总体结论，也不可少。
k (2k 2 1) Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ， 3
=[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2 2 2+2k+1 = k ( 2k 1) + 2k2+2k+1 =Sk+2k 3 1 1 3+k+6k2+6k+3) = [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] = 3 (2k 3 = 1 (k+1)(2k2+4k+2+1) = 1 (k+1)[2(k+1)2+1],
3
∴ 当n=k+1时公式仍成立。

3
由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有
n( 2n 2 1) Sn 3
。
练习：
1 a n2 1、用数学归纳法证明1 a a a a 1 a （a≠1），在 1+a+a2 验证n=1等式成立时 ，左边应取的项是__________.
例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)

成才之路：P69----73
课堂练习二 下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n 1 2 2 3 n (n 1) n 1
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?
1 1 1 1 (1)当n=1时,左边= , 右边= 1 2 2 11 2
(2)假设n=k(k∈N+且k≥1)时命题成立 即 1 1 1 k 1 2 2 3 k (k 1) k 1 那么当n=k+1时, 1 1 1 1 1 ) 左边 (1 ) ( ) ( 2 2 3 k 1 k 2 1 k 1 =右边, 1 k 2 (k 1) 1 所以n=k+1时命题也成立. (3)由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.
k (k + 1)(2k + 1) + (k + 1) 2 6 k (k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1) 2 6 (k + 1)(2k 2 + 7 k + 6) 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 (k + 1) [(k + 1) + 1][2( k + 1) + 1] 6
复习引入
结果具有或然性
归纳推理
由特殊到一般
合情推理
类比推理
由特殊到特殊
推理
三段论
结果具有必然性
演绎推理
由一般到特殊
关系推理
完全归纳推理
新课引例 ①观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3＋ 11， 16＝5＋11，· · · 78＝67＋11，· · · 我们能得出什么结论？ 完全 任何一个大于等于 6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和． 不完全归 归纳 纳法 法 ②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及 格” ． 思考一：归纳推理的特征是什么？ 由特殊到一般