内江市重点中学2022—2023学年高一（下）期中考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第I 卷选择题（满分60分）一、单选题（每题5分，共40分）1.已知向量a ，b 满足5a =，6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a b =（ ） A. 45-B.45C.15D. 15-2.已知1sin 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 12πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.13B. 13-C.223D. 223-3.在ABC △中，()310AE AB AC =+，D 为BC 边的中点，则（ ） A. 37AE ED = B. 73AE ED = C. 23AE ED =D. 32AE ED =4.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波组合而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）A. 11sin sin 2sin 323y x x x =++ B. 11sin sin 2sin 323y x x x =-- C. 11sin cos 2cos323y x x x =++D. 11cos cos 2cos323y x x x =++5.已知函数()()cos 22sin cos R 344f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 的最大值为2C.函数()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度；所得图象对应的解析式为()sin 2g x x = 6.若函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在最小值-2，则非零实数ω的取值范围是（ ） A. (],1-∞-B. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (]4,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. (][),12,-∞-⋃+∞7.已知向量a ，b 满足2a =，2b =，且2a b ⋅=-，c 为任意向量，则()()a cb c-⋅-的最小值为（ ） A.-2B. 52-C.-3D. 72-8.人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度similarity 为向量OA ，OB 夹角的余弦值，记作()cos ,A B ，余弦距离为()1cos ,A B -.已知()sin ,cos P αα，()sin ,cos Q ββ，()sin ,cos R αα-，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，则tan tan αβ⋅=（ ） A.7 B. 17 C.4 D. 14二、多选题（全选对得5分，少选得2分，选错不得分，每题5分，共20分）9.下列说法正确的是（ ） A.若AB BC ⊥，则0AB BC ⋅= B.零向量与任意向量平行C. 2AB BC CD AD ++=D.在正六边形ABCDEF 中，AB DE =10.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为3πB. ()f x 的增区间是()53,344k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()()50f x f x π-+-=D.将2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的32倍（纵坐标不变）得到()f x 的图象11. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题为真命题的是（ ）. A.若A B >，则sin sin A B >B.若222sin sin sin A B C +<，则ABC △是钝角三角形 C.若cos cos a A b B =，则ABC △为等腰三角形D.若22AB =，45B =︒，3AC =，则满足条件的三角形有且只有一个12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中使用.如图，一个半径为6米的筒车逆时针匀速转动，其圆心O 距离水面3米，已知筒车每分钟转动1圈，如果当筒车上一盛水桶M （视为质点）从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，经过t 秒后，盛水桶M 运动到P 点，则下列说法正确的是（ ）A.当10t =秒时，063PP =米；B.在转动一周内，盛水桶M 到水面的距离不低于6米的持续时间为20秒；C.当[]55,75t ∈时，盛水桶M距水面的最大距离为3+D.盛水桶M 运动15秒后筒车上另一盛水桶恰好露出水面，则转动中两盛水桶高度差的最大值为.第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）三、填空题（每题5分，共20分）13.已知在ABC △中，7813sin sin sin A B C==，则角C 的大小为________. 14.已知()1,1A ，()2,1B ，()1,2C --，()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影向量的坐标为_____.15.已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC △，则a =___________. 16.下列命题：①若()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---，ABC ∠为锐角，则实数m 的取值范围是34m >-②若非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC △为等边三角形 ③若单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则当()122e te t R +∈取最小值时，1t =④已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，()0,λ∈+∞，则动点P 一定通过ABC △的重心⑤如果ABC △内接于半径为R 的圆，且())222sin sin sinR A C b B -=-，则ABC △2其中正确的序号为_______________________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,3a =-，()2,4b =-，()2,c m =. （1）若()a b c ⊥+，求c ；（2）若ka b +与2a b -共线，求k 的值.18.已知函数()()23cos cos 2cos 2f x x x x ππ⎛⎫=---⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的对称轴和对称中心； （2）若0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32310f θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 19.已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最大值及相应的x 值； （2）设函数()4g x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭，如图，点P ，M ，N 分别是函数()y g x =图像的零值点、最高点和最低点，求cos MPN ∠的值.20.已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅， （1）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围.21.在①()22cos cos 2c ab c a B b A b +=-+，②()()()sin sin sin sin b c B C a A B +⋅-=--，③)sin 3cos b C a c B =-⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______. （1）求角C 的大小；（2）若23c =，求4sin B a -的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.22.如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB 的长为2km ，C ，D 两点在半圆弧上，且BC CD =，设COB θ∠=； （1）当12πθ=时，求四边形ABCD 的面积；（2）若要在景区内铺设一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l 的最大值.数学参考答案1.D2.B3.C4.A5.C6.C7.B8.A9.AB 10.ABD 11.ABD 12.BCD12.【详解】解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O 为坐标原点，以平行于水面的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()()sin h f t A t B ωϕ==++.则93A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，解6A =，3B =，又水轮每分钟转动一周，则2ππ6030ω==，∴()π6sin 330f t t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 由()06sin 30f ϕ=+=，得1sin 2ϕ=-，∴π6ϕ=-，则()ππ6sin 3306f t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 对于A ：当10t =时，0π3POP ∠=，又6OP =，∴0ππ6sin 6sin 666PP =+=，故A 错误；对于B ：令()ππ6sin 36306f t t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭，则ππ1sin 3062t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以πππ5π63066t ≤-≤， 解得1030t ≤≤，则在转动一圈内，盛水桶M 到水面的距离不低于6米以上的持续时间为301020-=秒，故B 正确；对于C ，当[]55,75t ∈，则ππ5π7π30633,t ⎡⎤∈⎢⎣-⎥⎦，则ππsin 306t ⎡∈⎢⎭⎣⎛⎫- ⎪⎝⎦， 所以()3f t ⎡⎤∈-⎣⎦，故C 正确；设盛水桶M 运动时间为1t ，则另一桶为115t -， 所以()()()1111ππππ6sin 36s 3151in 3063056h f t f t t t ⎛⎫⎡⎤-+---⎪⎢⎥⎝⎭=⎣--⎦=-△1111πππππππππ6sin 6sin 6sin 6cos 3063062306306t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣=⎦=11πππππ30643012t t ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=，当1ππsin 13012t ⎛⎫+=⎪⎝⎭时()max h =△，故D 正确；故选：BCD. 13.120°/23π14. 46,1313⎛⎫⎪⎝⎭15.2 16.②④⑤ 16【详解】对于①，由()()()3,4,6,3,5,3OA OB OC m m =-=-=---，得()3,1BA OA OB =-=--，()1,BC OC OB m m =-=---，因为ABC ∠为锐角，故0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，所以()()310310m m m m ---+>⎧⎪⎨+--≠⎪⎩，解得34m >-且12m ≠，故①错误；对于②，因为非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，所以BAC ∠的平分线与BC 垂直，ABC △为等腰三角形，又12AB AC ABAC⋅=，所以3BAC π∠=，所以ABC △为等边三角形，故②正确； 对于③，()222222212112212444424132e te e te e t e t t t t t +=+⋅+=+⨯+=++=++，当1t =-时，()122e te t R +∈取得最小值，故③错误；对于④，已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，()0,λ∈+∞，记BC 中点为E ，则2AB AC AE +=，则2AP AE λ=，AE 直线过重心，故P 一定过重心；故④正确对于⑤∵())2sin 2sin 2s in R A C b B -=-，∴根据正弦定理，得)222a c b b b -=-=-，可得222a b c +-=∴cos 2C =，∵角C 为三角形的内角，∴角C 的大小为4π∵n 2si 4c R π==∴由余弦定理2222cos c a b a b C =+⋅-，可得(222222R a b b ab ab =+⋅≥=-，当且仅当a b =时等号成立∴(222ab R ≤=+∴(22111sin 22222ABC S ab C R R =≤⋅=△，即ABC △面积的最大值为212R ；故⑤正确， 故答案为②④⑤17.（1）（2）-2.【详解】（1）因为()2,4b =-，()2,c m =，∴()0,4b c m +=+， ∵()a b c ⊥+，()1,3a =-，∴()()340a b c m ⋅+=+=， ∴4m =-，∴()2,4c =-，∴25c =；（2）由已知：()2,34ka b k k +=--+，()20,2a b -=， ∴()()220340k k --⨯-⨯+=，∴2k =-. 18.（1）23k x ππ=+，k Z ∈，1,2122k ππ⎛⎫+-⎪⎝⎭（2）7 【详解】解：（1）由已知1cos 2111()cos 2cos 2sin 2222262x f x x x x x x π+⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭， 令262x k πππ-=+，则23k x ππ=+，k Z ∈. 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+，k Z ∈. 令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，k Z ∈ 所以函数()f x 的对称中心为1,2122k ππ⎛⎫+-⎪⎝⎭，k Z ∈ （2）21113sin sin cos 2336222210f θπθπθθππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴4cos 5θ= 又0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴4sin ,tan 335θθ==， 1tan 1tan 741tan 34413θπθθ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-.19.（1）1；,Z 12x k k ππ=+∈（2）5【详解】（1）解：由题意，函数()11sin2cos2sin2sin2sin 222223f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最大值为()max 1f x =，此时2232x k πππ+=+，即,Z 12x k k ππ=+∈（2）由题意，函数()sin 2sin 4323g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，过D 作MD x ⊥轴于D ，因为1PD DM ==所以90PMN ∠=︒，可得PM MN PN ===在直角MPN △中，可得cos PM MPN PN ∠===20.（1）,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】（1）解：因为2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =且()f x m n =⋅， 所以()22sin 22sin 6f x m n x x π⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭()122cos 21cos 22x x x ⎫=-+--⎪⎪⎝⎭1cos 221cos 2123x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 即()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 令2223k x k ππππ-≤+≤，Z k ∈，解得236k x k ππππ-≤≤-，Z k ∈， 又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的单调增区间为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）解：因为()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位得到cos 21cos 21121236f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）再向下平移1个单位得到()cos 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以4,63t x πππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，令4036x ππ-≤+≤，解得824x ππ-≤≤-，令046x ππ≤+≤，解得52424x ππ-≤≤，即函数()g x 在,824ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且1cos 832g ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，作出cos 3y t t ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭图像可得：所以m 的取值范围1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.（1）π3C =（2）(23,23-【详解】（1）选择条件①.由余弦定理得()()22222222211cos cos 2222c ab ac B bc A b a c b b c a b +=-+=+--+-+.整理得222a b c ab +-=，所以由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又因为()0,πC ∈，所以π3C =.选择条件②.由正弦定理得()()()b c b c a a b +-=--，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又因为()0,πC ∈，所以π3C =选择条件③.由正弦定理得)sin sin 3sin sin cos B C A C B -.整理得()sin sin cos B C C B A B C ==+，所以sin sin cos B C B C =.因为sin 0B >，所以sin C C =.显然cos 0C ≠，所以tan C =又因为()0,πC ∈，所以π3C =. （2）因为c =，π3C =，所以由正弦定理得4sin sin a c A C==，即4sin a A =. 因为πA B C ++=，所以2π3B A =-，所以2ππ4sin 4sin 4sin 2sin 4cos 36B a A A A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝-=---+⎭=. 因为2π03A <<，所以ππ5π666A <+<，所以π4cos 6A -⎛⎫ ⎪⎝⎭<+<， 故4sin B a -的取值范围是(-. 22.【答案】（1）144+；（2）5 【详解】（1）连结OD ，则5,126COD AOD ππ∠=∠= ∴四边形ABCD的面积为1151211sin 11sin 2122644ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ （2）由题意，在BOC △中，2OBC πθ-∠=，由正弦定理1sin sin()cos 22BC OB πθθθ==-，∴sin 2sin 2cos 2BC CD θθθ=== 同理在AOD △中，,2OAD DOA θπθ∠=∠=-，由正弦定理sin(2)sin DA OD πθθ=-，∴sin 22cos sin DA θθθ== ∴224sin 2cos 24sin 212sin ,02222l θθθπθθ⎛⎫=++=++-<< ⎪⎝⎭令sin 022t t θ⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭，∴()222124212444452l t t t t t ⎛⎫=++-=+-=--+ ⎪⎝⎭∴12t=时，即3πθ=，l的最大值为5。
