【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：6-3 第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题]

【高考领航】（课标版）2015届高三一轮复习辅导与测试第2部分第5讲专题创新演练Ⅰ.用所给词的适当形式填空1．—Is your mother still teaching at No.3 Middle School?—Yes，she’ll retire in three years.And she________at the school for thirty years.(teach)解析：has been teaching。

考查现在完成进行时。

句意：——你母亲还在第三中学教学吗？——是的，她还要三年才退休。

她已经在这个学校教了30年了。

此处表示从过去某一时间开始一直延续到现在的动作，并且有可能持续下去，故用现在完成进行时。

2．This year，many parts of our country________by the heat.(affect)解析：are affected。

考查被动语态。

句意：今年我们国家的大部分地区都受到了高温的影响。

many parts of our country与affect之间是动宾关系，同时从时间状语This yea r 可知此处应用一般现在时的被动语态。

3．—Did Jack join you in riding bikes yesterday?—No，he________.(invite)解析：wasn’t invited。

考查时态与语态。

句意：——Jack昨天参加你们骑自行车的活动了吗？——没有，他没被邀请。

由时间状语yesterday可知，此处表示过去，且he与invite 之间为动宾关系，故用一般过去时的被动语态。

4．A huge playground，which they hope to complete next year，________here.(build) 解析：is being built。

考查现在进行时。

句意：这里正在建一个大操场，他们期望明年竣工。

A 组 基础演练1．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b2D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b解析：∵0＜a ＜b ，∴a ＜a ＋b2＜b ，A 、C 错误； ab －a ＝a (b －a )＞0，即ab ＞a ，D 错误，故选B. 答案：B2．(2014·青岛模拟)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A.14 B ．4 C.12D ．2解析：由4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，又a ＞0，b ＞0，所以1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立． 答案：C3．(2014·泰安模拟)设0＜x ＜2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为( )A ．2 B.22C. 3D. 2解析：∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号． ∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值是 2.答案：D4．(2014·曲靖模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________．解析：由题意得点A 的坐标为(－2，－1)， ∴2m ＋n ＝1，∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn ≥4＋2n m ·4m n ＝8.当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号， 故1m ＋2n 的最小值为8. 答案：85．当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号． 答案：16．(2014·四平模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析：依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6， 即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎨⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4. 答案：47．(2014·太原二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)＞g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞8．(1)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值； (2)已知a ＞b ＞0，求a 2＋16b (a －b )的最小值．解：(1)由x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＋6＝xy ，得 xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)， 即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy ＞0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.(2)∵a ＞b ＞0，∴b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a24， 当且仅当a ＝2b 时等号成立． ∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b (a －b )取得最小值16.9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ； ca b ＋ab c ≥2ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . B 组 能力突破1．(2014·东营模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0y ≥0，若目标函数z ＝ax＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为6，则4a ＋6b 的最小值为( )A.256B.253C.506D.503解析：点(x ，y )所满足的可行域如图中阴影部分所示．根据目标函数所表示的直线的斜率是负值可知目标函数只在点A 处取得最大值，故实数a ，b 满足4a ＋6b ＝6，即2a ＋3b ＝3，从而4a ＋6b ＝ 13(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋6b ＝ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫26＋12b a ＋12a b ≥13(26＋24)＝503，当且仅当a ＝b 时取等号．从而4a ＋6b 的最小值为50 3.答案：D2．如果0＜a＜b＜1，P＝log 12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝12log12(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是() A．P＞Q＞M B．Q＞P＞MC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P解析：因为P＝log 12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝12log12(a＋b)，所以只需比较a＋b2，ab，a＋b的大小，显然a＋b2＞ab.又因为a＋b2＜a＋b(因为a＋b＞(a＋b)24，也就是a＋b4＜1)，所以a＋b＞a＋b2＞ab，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q＞P＞M. 答案：B3．(2013·天津)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．解析：∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1.当且仅当b4|a|＝|a|b且a＜0，即b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．答案：－24．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)， 设平均每天所支付的总费用为y 1元， 则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]x＋1 800×6＝900x ＋9x ＋10 809 ≥2900x ·9x ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉． 设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90 ＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)． 令f (x )＝x ＋100x (x ≥35)，x 2＞x 1＞35， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 2－x 1)(100－x 1x 2)x 1x 2.∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0,100－x 1x 2＜0， 故f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)， 即f (x )＝x ＋100x ，当x ≥35时为增函数． 则当x ＝35时，f (x )有最小值， 此时y 2＜10 989.因此该厂应接受此优惠条件．。

解析：只有K2≥6.635才能有99%的把握认为该电视栏目是否
优秀与改革有关系，而即使K2≥6.635也只是对“该电视栏目
是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论， 与是否有99%的人等无关．故只有D正确． 答案：D
(2)在一项打鼾与患心脏病的相关关系的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27.63，根据这一数据分
为独立性检验．
对点演练
(1)为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居
民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K2≈0.99，根据 这一数据分析，下列说法正确的是 ( A．有99%的人认为该电视栏目优秀 )
B．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
(二)命题趋势 1．从考查内容看，高考中对本节的考查主要为判断两个变 量的相关关系，利用最小二乘法求线性回归方程并进行预
测、独立性检验的应用．近几年对该部分内容的考查有加
强的趋势且常与概率问题结合在一起考查． 2．从考查形式看，选择题、填空题、解答题都有可能出现， 属中档题．
1．两个变量的线性相关
3．独立性检验的理解 (1)独立性检验的一般步骤：①根据样本数据制成2×2列 联表；②根据公式计算K2的值；③比较K2与临界值的大 小关系作统计推断． (2)K2的值可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变 量有关系”；K2值越大，认为“两个分类变量有关系” 的把握越大． (3)常用的四个标准：当K2≥3.841时，则有95%的把握说 事件A与B有关；当K2≥6.635时，则有99%的把握说事件A 与B有关；当K2≥10.828时，则有99.9%的把握说A与B有 关；当K2≤2.706时，则认为事件A与B无关．

第6课时
对数与对数函数
(一)考纲点击 1 ． 理 解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一
般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运
算中的作用． 2 ．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对 数函数图象通过的特殊点． 3．了解指数函数 y ＝ ax与对数函数 y ＝logax互为反函数 (a ＞0 ，
且a≠1)．
(二)命题趋势
1 ． 有 关对数、对数函数的内容每年必考，既可以选择题、 填空题的形式出现，又可以解答题的形式出现，且结合 指数函数等知识考查，综合能力较高． 2 ．纵观近几年的高考试题，在对数运算、对数函数图象、
性质的运用考查较多，特别是对图象、性质的考查．
1．对数的概念及运算法则 (1)如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对
6．对数函数 f(x)＝logax(a＞0 且 a≠1)满足 f(xy)＝f(x)＋f(y)，x，y ∈(0，＋∞) 7．在对数 logab 中，(1)若 a，b 都大于 1 或 a，b 都大于 0 且小于 1，则 logab＞0； (2)若 a，b 中一个大于 1，另一个大于 0 且小于 1，则 logab＜ 0.
2．对数函数的图象与性质
(1)对数函数的概念：函数y＝logax叫做 对数函数 ，其 中a是一个大于零且不等于1的常量，函数的定义域 是 (0，＋∞) ． (2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下
表所示：
a＞1
0＜a＜1
图象
①定义域： (0，＋∞) ，值域 R 性 质 ②图象都过定点 (1,0) ③当x＞1时，y＞0 ③当x＞1时，y＜0 ，
解得 x＞2 且 x≠3.故选 C.Leabharlann 答案：C3．反函数