课时规范训练--集合9-3

课时规范训练A组基础演练1．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是()A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样解析：选D.因为③为系统抽样，所以选项A不对；因为②为分层抽样，所以选项B不对；因为④不为系统抽样，所以选项C不对，故选D.2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()A．6B．8D．1210 C．30＝6，×设样本容量为NN，则选解析：B.7040∴N＝14，∴高二年级所抽取的人数为14×＝8.70150老年职工人，250中年职工人，350其中青年职工人，750某单位有职工．3．人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为()A．7 B．15D．35C．25解析：选B.由题意知青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.4．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，己知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为()A．13 B．19D．20 51C．解析：选C.抽样间隔为46－33＝13，故另一位同学的编号为7＋13＝20，选C.5．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A．101 B．808D．．C1 212 2 01212，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21由题意知抽样比为解析：选B.9612101＋25＋43＝101，故有＝，解得N＝808.N966．某学校高三一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是()A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56D．3,9,13,27,36,541,2,4,8,16,32 C．，所以10由系统抽样知识知，所选取学生编号之间的间距相等且为B.选解析：应选B.7．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生是高一1学生的两倍，高二学生比高一学生多300人，现在按的抽样比例用分层抽样100的方法抽取样本，则高一学生应抽取的人数为()A．8 B．11D ．10C．16解析：选A.设高一学生有x人，则高三学生有2x人，高二学生有(x＋300)人，1学校共有4x＋300＝3 500(人)，解得x＝800(人)，由此可得按的抽样比例用分1001层抽样的方法抽取样本，高一学生应抽取的人数为×800＝8(人)，故应选A. 1008．某校初一、初二、初三年级各有300人，400人，302人，采用系统抽样从中抽取一个容量为100的样本检查学生的视力情况，则初三年级每人被抽到的概率为()302100B. A. 1 0021 00230300D. C. 3021000n100＝. 2人，但每人能抽到的概率为选B.利用系统抽样，虽然剔除解析：1 002N9．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝()A．9 B．10D 12 ．13C．n3，故n＝＝13.依题意得选解析：D.6060＋120＋8010．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是()7．B 5 ．A．C．11 D．13800＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，＝k解析：选B.间隔数50所以第1小组中抽取的数为7.B组能力突破1．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表所示：一年级二年级三年级女生y380373男生z 370377现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为() A．24 B．18D．C．16 12解析：选C.一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，所以应在三年级抽取64的人数为500×＝16.2 0002．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26,16,8 B．25,17,8D．．25,16,9 24,17,9C解析：选B.由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．103令3＋12(k－1)≤300得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；4103令300＜3＋12(k－1)≤495得25－42因此第Ⅱ营区被抽中的人数是，42≤k＜4．＝17.结合各选项知，选B.3．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________．答案：16,28,40,524．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成某甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．61＝，由已知得抽样比为解析：2441∴丙组中应抽取的城市数为8×＝2.4答案：25．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．解析：由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.答案：766．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是________．解析：由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋(n－1)×8，所以第16组应抽出的号码为x＋(16－1)×8＝123，解得x＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋(2－1)×8＝11.11答案：。

(—g, 3) U [5 , + g)(2019 大纲全国卷)已知集合 A = {1,3 , .m}, B = {1 , m}, A U B = A ，贝U m =()0或 3 1或，3（2019 中山模拟）设 S = {x|x< — 1，或 x>5},值范围是（）A. (一 3，一 1)B. [ — 3, — 1]C. ( —g,— 3]U (— 1,+g ) D . ( — g, — 3) U (— 1,+g )9. _____________________________________________________________ 若集合 U = R , A = {x|x + 2>0} , B = {x|x > 1}，贝U AA (?u B) = ____________________________课时跟踪检测(一)集合1. (2019 新课标全国卷)已知集合 A = {xlx 2 — x — 2<0} , B = {x|— 1<x<1}，则( ) A . AB B . BA C . A = B D . A A B = ?2. (2019 广州毕业测试)设集合 A = {(x , y)|2x + y = 6}, B = {(x , y)|3x + 2y = 4}，满足 C? (A A B)的集合C 的个数为( ) A . 1 B . 2 C . 33.设集合 P = {3 , log 2a}, Q = {a , b}，若 P A Q = {0}，则 P U Q =( ) A . {3,0} B . {3,0,1} C . {3,0,2} D . {3,0,1,2}4 . （2019辽宁高考）已知全集 U = {0,123,4,5,6,7,8,9}，集合 A = {0,1,3,5,8}，集合 B ={2,4,5,6,8}，则(?u A)A (?u B)=( A . {5,8} B . {7,9} C . {0,1,3} D . {2,4,6}5 . （2019合肥质检）已知集合 的实数a 的一个值为（ ） A = { — 2, — 1,0,1,2},集合 B = {x € Z|x S a},贝U 满足 A B6 . （2019汕头质检）已知全集 U = R ，集合 A = {x|3W x<7} , B = {xlx 2 — 7x + 10<0}，则？U (A A B)=( )( — g, 3) U (5,+^ ) B . ( — g, 3] U [5 ,+g )D . (— g, 3] U (5,+g )T = {x|a<x<a + 8}, SU T = R ，贝U a 的取第1页(?u B)n A = {1} , (?u A)Q (?U B)= {2,4}，贝U B Q (?U A) = ________ .11. ____________________________________________________________________ 已知R 是实数集，M = x -<1 , N = {y|y=\/x—1}，贝U N n (?R M)=__________________________ .12. (2019 吉林模拟)已知U = R ,集合A= {xlx2—x— 2 = 0} , B ={x|mx+ 1 = 0}, B n (?u A) =?，贝U m= _______ .13. (2019苏北四市调研)已知集合A = {x|x2+ a< (a + 1)x, a€ R}，存在a€ R，使得集合A中所有整数元素的和为28，则实数a的取值范围是__________ .14. (2019安徽名校模拟)设集合S n= {1,2,3，…，n}，若X? S n,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集.则S4的所有奇子集的容量之和为11. (2019 杭州十四中月考)若集合A = y y= lg x,帀w x< 10, B = { —2,—1,1,2}, 全集U = R，则下列结论正确的是()A . A n B= { —1,1}B . (?U A) U B= [ —1,1]C. A U B= (—2,2) D . (?U A) n B= [ —2,2]2. (2019湛江模拟)设集合P= {(x, y)|x+ y<4, x, y€ N*}，则集合P的非空子集个数是()A . 2B . 3C. 7D. 83. 设A是自然数集的一个非空子集，对于k€ A，如果k2?A，且.k?A,那么k是A的一个“酷元”，给定S= {x€ N|y= lg(36 —x2)}，设M? S,且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有()A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个4. 给定集合A，若对于任意a, b€ A,有a + b€ A，且a—b€ A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A = { —4,—2,0,2,4}为闭集合；②集合A = {n|n= 3k, k€ Z}为闭集合；③若集合A1, A2为闭集合，则A1U A2为闭集合.其中正确结论的序号是___________ .5 . (2019 清远调研)已知集合A= {x|x2—2x—3< 0, x € R}, B = {x|m —2w x w m+ 2}.(1)若A n B= [1,3]，求实数m的值；⑵若A?? R B，求实数m的取值范围.6 . (2019 衡水模拟)设全集1 = R，已知集合M = {x|(x+ 3)2< 0}, N= {x|x2+ x—6= 0}.⑴求(？I M)n N；(2)记集合A = (?i M)n N,已知集合B = {x|a —1 < x< 5-a, a€ R}，若B U A= A,求实数a的取值范围.答案课时跟踪检测（一）A级1. 选B A= {xlx2—x—2<0} = {x|—1<x<2},B= {x|—1<x<1},所以B A.2•选B 由条件可知集合A, B分别表示直线2x+ y= 6,3x+ 2y= 4上的点，且这两条直线不平行，也不重合，则这两条直线必有一个交点，即A n B只有一个元素，满足条件的集合C,只可能是？或A n B这两种情况.3. 选B 因为P n Q= {0}，所以0€ P, log2a= 0, a= 1，而0 € Q,所以b= 0•所以P U Q = {3,0,1}.4. 选B 因为A U B= {0,123,4,5,6,8}，所以(?U A) n (?U B)=?U(A U B) = {7,9}.5 .选D 当a = 0 时，B = {0};当 a = 1 时，B= { —1,0,1};当 a = 2 时，B= { —2,—1,0,1,2};当 a = 3 时，B= { —3,—2,—1,0,1,2,3},显然只有a = 3时满足条件.6. 选C x2—7x+ 10<0? (x—2) (•—5)<0? 2<x<5, A n B = {x|3< x<5},故？u(A n B)= (— 8, 3) U [5 ,+s ).7. 选B 法一：vAU B = A, AB? A.又 A = {1,3 , . m}, B = {1 , m} , u m= 3 或m= , m. 由m= . m得m = 0或m= 1.但m= 1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m= 0或m= 3.法••B = {1 , m} ,「.m M 1 ,•••可排除选项二：又当m= 3 时，A = {1,3 , 3}, B = {1,3}，满足 A U B= {1,3 , .3} = A,故选 B.a< —1,8. 选A在数轴上表示两个集合，因为S U T = R，由图可得a + 8>5，解得-3<a<9. 解析：由题意得？u B = (—g,1),又因为 A = {x|x+ 2>0} = {x|x> —2},于是 A A (?u B) = (—2,1).答案：(一2,1)10. 解析：依题意及韦恩图得， B A (?u A)= {5,6}.答案：{5,6}11. 解析：M = {x|x<0，或x>2}，所以?R M = [0,2],又N= [0,+^),所以N A?R M)= [0,2].答案：[0,2]12. 解析：A= { —1,2}, B= ?时，m= 0;1B= { —1}时，m= 1; B= {2}时，m= —71答案：0,1,—-13. 解析：不等式x2+ a w (a+ 1)x可化为(x—a)(x—1)< 0，由题意知不等式的解集为{X|1W x< a}. A中所有整数元素构成以1为首项，1为公差的等差数列，其前7项和为7X 1 + 72 = 28,所以7w a<8,即实数a的取值范围是[7,8).答案：[7,8)14. 解析：.S4= {1,2,3,4} ,「.X = ?, {1} , {2} , {3} , {4} , {1,2} , {1,3} , {1,4} , {2,3}, {2,4} , {3,4} , {1,2,3} , {1,2,4} , {1,3,4} , {2,3,4} , {1,2,3,4}.其中是奇子集的为X= {1},⑶，{1,3},其容量分别为1,3,3 ,所以S4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7B级1.选A1•/x€ 10 , 10, • y€ [ —1,1],••• A A B= { —1,1}.2. 选C 当x= 1 时，y<3 ,又y € N* ,因此y= 1 或y= 2;当x = 2 时，y<2，又y€ N*，因此y= 1;当x = 3时，y<1，又y€ N*，因此这样的y不存在.综上所述，集合P中的元素有(1,1), (1,2), (2,1)，集合P的非空子集的个数是23- 1 = 7.3. 选C 由36- x2>0，解得—6<x<6.又因为x€ N，所以S= {0,1,2,3,4,5}.依题意，可知若k是集合M的"酷元”是指k2与.k都不属于集合M.显然k= 0,1都不是“酷元”.若k = 2,则k2= 4;若k= 4,则.k=2.所以2与4不同时在集合M中，才能成为“酷—??兀 .显然3与5都是集合S中的“酷元”.综上，若集合M中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3 与5,即M = {3,5};⑵从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M = {3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}.所以满足条件的集合M共有5个.4. 解析：①中，一4 + (—2) = —6?A，所以不正确；②中设n1, n2€A, n1= 3k1, n2= 3k2, k1, k2 € Z,贝U m+ n2€ A, n1—n2€ A，所以②正确；③令A1= { —4,0,4} , A2= { —2,0,2}，贝U A1, A2为闭集合，但A1 U A不是闭集合，所以③不正确.答案：②5. 解：A= {x|—K x w 3} , B= {x|m—2< x< m + 2}.m—2 = 1,(1) '/An B= [1,3] ,•••得m= 3.m+ 2 > 3,(2) ?R B = {x|x v m—2,或x> m+ 2}.'•'A?? R B, Am —2>3 或m+ 2v—1.•'■m >5 或m v—3.即m的取值范围为(一g,—3) U (5 ,+s).6. 解：(1) VM = {x|(x+ 3)2w 0} = { —3}, N = {xlx2+ x—6= 0} = { - 3,2},•■•?I M = {x|x€ R 且X M—3}, ••(?i M)n N= {2}.(2)A = (?i M)n N= {2},••A U B= A,「.B? A,「.B = ?或B = {2},当B= ?时，a—1>5 —a,「.a>3 ;a—1 = 2,当B= {2}时，解得a = 3,5 —a = 2,综上所述，所求a的取值范围为{a|a> 3}.。

课时规范训练A 组 基础演练1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A.p 2B ．pC ．2pD ．无法确定解析：选C.当弦AB 垂直于对称轴时|AB |最短，这时x ＝p 2，∴y ＝±p ，|AB |min ＝2p .2．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)与双曲线x 2a －y 2b ＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F 1和F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．m －aB.m －a 2 C ．m 2－a 2 D.m －a解析：选A.由已知可得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，于是，|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4m ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a ，故选A.3．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42，∴x 0＝32，∴y 20＝42x 0＝42×32＝24，∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3.4．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12 D.3＋1解析：选D.因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ， 所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D. 5．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB→等于( ) A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x－1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x＝43，所以两个交点坐标分别为A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13. 6．若经过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．解析：由题可设直线方程为y ＝k (x －4)，即：kx －y －4k ＝0，因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：d ＝|2k －0－4k |k 2＋1≤1，解得：－33≤k ≤33.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 7．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：88．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM→＝MB →，则p ＝________. 解析：设直线AB 的方程为y ＝3x －3，代入y 2＝2px 得3x 2＋(－6－2p )x ＋3＝0，又∵AM→＝MB →， ∴1＋p 2＝x B －1，即x B ＝2＋p 2，则y B ＝3x B －3＝32p ＋3，将(x B ，y B )代入C ：y 2＝2px ，得p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2，p ＝－6(舍去)．答案：29．已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线l ：y ＝－kx ＋92对称，求k 的取值范围．解：由题意知k ≠0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是曲线上关于直线l 对称的两点，则MN 的方程可设为y ＝1k x ＋b (b ＞0)，代入y ＝x 2，得x 2－1k x －b ＝0，所以Δ＝1k 2＋4b ＞0，①x 1＋x 2＝1k .设MN 中点的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝12k ，y 0＝12k 2＋b ，因为(x 0，y 0)在直线l ：y ＝－kx ＋92上，所以12k 2＋b ＝－k ·12k ＋92，所以b ＝4－12k 2.②将②代入①，得1k 2＋16－2k 2＞0.所以1k 2＜16，即k 2＞116，所以k ＞14或k ＜－14.10．如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．证明：(1)依题意可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，直线BD 的方程为x ＝x 2. 解得交点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1， 注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)依题意知，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1、N 2的坐标为N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2，则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8， 即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.B 组 能力突破1．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54B ．5 C.52D. 5 解析：选D.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，y ＝x 2＋1，消去y 得，x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 2．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455C.4105D.8105解析：选C.设直线l 为y ＝x ＋t ，椭圆与直线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t .消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则有x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.3．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：选B.椭圆的左顶点为A 1(－2,0)、右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34. 又kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2， 所以kP A 2·kP A 1＝y 20x 20－4＝－34. 又因为kP A 2∈[－2，－1]，所以kP A 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34. 4．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21－y 213＝1， ①x 22－y 223＝1 ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)·(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2. ∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3， ∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0，又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得 916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合．答案：0或－85．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y 2＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14，直线BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则e ＝c a ＝22，c ＝1，故a 2＝2，b 2＝1，椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)由(1)知A (0,1)，当直线BC 的斜率不存在时，设BC ：x ＝x 0，设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)，k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 20x 20＝12x 20x 20＝12≠14，不合题意． 故直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为：y ＝kx ＋m (m ≠1)，并代入椭圆方程，得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0，①由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)＞0得2k 2－m 2＋1＞0.②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2(m 2－1)1＋2k 2， 由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得： 4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，整理得(m－1)(m－3)＝0，又因为m≠1，所以m＝3，此时直线BC的方程为y＝kx＋3.所以直线BC恒过一定点(0,3)．。

课时规范训练(一)[A级基础演练]1．(2016·湖南益阳一模)设集合M＝{x|x＋1>0}，N＝{x|x－2<0}，则M∩N ＝()A．(－1，＋∞) B．[－1，2)C．(－1，2) D．[－1，2]解析：选 C.∵M＝{x|x＋1>0}＝{x|x>－1}，N＝{x|x－2<0}＝{x|x<2}，∴M∩N ＝(－1，2)．2．(2016·河北唐山一模)已知全集U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，则∁U A＝()A．(1，3) B．(－∞，1)∪[3，＋∞)C．(－∞，－1)∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：选 C.∵U＝{x|x2>1}＝{x|x>1或x<－1}，A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，∴∁U A＝{x|x<－1或x≥3}．3．(2016·天津河西区训练)设集合P＝{1，2，3，4，5，6}，Q＝{x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是()A．P∩Q＝P B．P∩Q QC．P∪Q＝Q D．P∩Q P解析：选D.根据集合的定义可知P∩Q＝{2，3，4，5，6}，所以只有D选项正确．4．(2016·江西九江一模)已知全集U＝R，集合A＝[2，5)，∁U B＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，则A∩B＝()A．(2，5) B．(1，2)C．{2} D．∅解析：选C.∁U B＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，∴B＝[1，2]，∴A ∩B ＝{2}，故选C.5．已知集合M ＝{}－1，0，1，N ＝{}0，1，2，则M ∪N ＝( )解析：选∪N ＝{－1，0，1，2}，故选C.6．集合{}－1，0，1共有__________个子集．解析：集合{－1，0，1}的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}，共8个．答案：87．已知集合M ＝{}1，m ，N ＝{}n ，log 2n ，若M ＝N ，则(m －n )2 016＝__________．解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.即(m －n )2 016＝1或0. 答案：1或08．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩(∁R B )等于________．解析：A ＝{}x |x ≥0，B ＝{}x |2≤x ≤4，∴A ∩(∁R B )＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．答案：{x |0≤x <2或x >4}9．已知全集U ＝R ，A ＝{}x |x ≤0，B ＝{}x |x ≥1，则集合∁U (A ∪B )＝________． 解析：A ∪B ＝{}x |x ≥1或x ≤0，因此∁U (A ∪B )＝{}x |0<x <1.答案：{}x |0<x <110．(2016·宁夏银川一中模拟)已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2，b 2，2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________．解析：因为A ∩B ＝A ∪B ，所以A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.所以a 的值为0或14. 答案：0或141．已知a ∈R ，若{－1，0，1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，a 2，0，则a 的值是多少？解析：由题意1a ≠0，a ≠0，a 2≠－1，只有a 2＝1.当a ＝1时，1a ＝1，不满足互异性，∴a ＝－1.2．(2016·临沂质检)已知集合A ＝{}－4，2a －1，a 2，B ＝{}a －5，1－a ，9，若9∈(A ∩B )，则实数a 的值为多少？解析：∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝±3.当a ＝5时，A ＝{}－4，9，25，B ＝{}0，－4，9，符合题意；当a ＝3时，A ＝{}－4，5，9，B 不满足集合中元素的互异性，∴a ≠3； 当a ＝－3时，A ＝{}－4，－7，9，B ＝{}－8，4，9，符合题意． ∴a ＝5或a ＝－3.3．(2016·河北保定一模)若非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的实数a 的集合是多少？解析：由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥3，3a －5≤22，解得6≤a ≤9.4．(2016·烟台诊断)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则集合A ∩B 为多少？解析：.B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，2，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1 5．(2016·山东潍坊一模)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，则A ∩B 为多少？ 解析：.∵B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0＝{x |－1≤x <3}，又集合A 为奇数集， ∴A ∩B ＝{－1，1}，。