第8.1节 参数的点估计

《概率论与数理统计》（46学时）课程教学大纲一、课程的基本情况课程中文名称：概率论与数理统计课程英文名称：Probability Theory and Mathematical Statistics课程编码：0702003课程类别：学科基础课课程性质：必修总学时：46 讲课学时：46 实验学时：0学分：2.5授课对象：本科相关专业前导课程：《高等数学》《线性代数》二、教学目的概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，是理工科各专业的一门重要的学科基础课。

通过本课程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

同时，也为一些后续课程的学习提供必要的基础。

三、教学基本要求第一章概率论的基本概念1.1 随机试验1.2 样本空间、随机事件1.3 频率与概率1.4 等可能概型（古典概型）1.5 条件概率1.6 独立性基本要求：1. 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念并掌握事件的关系与运算2. 掌握概率的定义与基本性质3. 理解古典概型的概念，掌握古典概率的计算方法4. 理解条件概率的定义，熟练掌握乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式并会灵活应用5. 理解事件独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及有关概率的计算重点与难点：1. 重点：随机事件；概率的基本性质及其应用；乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式事件的独立性2. 难点：概率的公理化定义、条件概率概念的建立、全概率公式与贝叶斯公式的应用第二章随机变量及其分布2.1 随机变量2.2 离散型随机变量及其分布律2.3 随机变量的分布函数2.4 连续型随机变量及其概率密度2.5 随机变量的函数的分布 基本要求：1. 理解随机变量的概念；掌握离散型随机变量和连续型随机变量的描述方法2. 掌握分布律、分布函数、概率密度函数的概念及性质；掌握由概率分布计算相关事件的概率的方法3. 熟练掌握二项分布、泊松（Poisson ）分布、正态分布、指数分布和均匀分布，特别是正态分布的性质并能灵活运用；熟练掌握伯努利概型概率的计算方法4. 熟练掌握一些简单的随机变量函数的概率分布的求法 重点与难点：1. 重点：随机变量、分布律、密度函数和分布函数的概念；二项分布、均匀分布的概念和性质2. 难点：二项分布的推导及应用；随机变量函数的概率分布第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布3.4 相互独立的随机变量3.5 两个随机变量的函数的分布 基本要求：1. 正确理解二维随机变量的定义，掌握二维随机变量的联合分布律、联合分布函数、联合概率密度函数及条件分布的概念2. 熟练掌握由联合分布求事件的概率，求边缘分布及条件分布的基本方法3. 理解随机变量独立性的概念，掌握随机变量独立性的判别方法4. 了解求二维随机变量函数分布的基本思路，会求,max{,},min{,}X Y X Y X Y 的分布 重点与难点：1. 重点：由联合分布求概率，求边缘分布及条件分布的方法2. 难点：求离散型随机变量联合分布律的方法，条件密度的导出，随机变量函数的分布第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 基本要求：1. 掌握随机变量及随机变量函数的数学期望的计算公式，熟悉数学期望的性质并能灵活运用2. 掌握方差的概念和性质；熟悉二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布和均匀分布的数学期望和方差；了解切比雪夫（Chebyshev ）不等式3. 掌握协方差和相关系数的定义和性质，并会灵活应用4. 掌握矩、协方差矩阵的定义 重点与难点：1. 重点：数学期望、方差、相关系数与协方差的计算公式及性质2. 难点：随机变量函数的数学期望的计算，利用数学期望的性质计算数学期望，相关系数的含义第五章大数定律及中心极限定理5.1 大数定律5.2 中心极限定理基本要求：1. 掌握依概率收敛的概念及贝努利大数定律和契比雪夫大数定律2. 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛－拉普拉斯(De Moivre-Laplace)极限定理3. 掌握应用中心极限定理计算有关事件的概率近似值的方法重点与难点：1. 重点：用中心极限定理计算概率的近似值的方法2. 难点：依概率收敛的概念第六章样本及抽样分布6.1 随机样本6.2 抽样分布基本要求：1. 理解总体、个体、样本容量、简单随机样本以及样本观察值的概念2. 理解统计量的概念；熟悉数理统计中最常用的统计量（如样本均值、样本方差）的计算方法及其分布χ-分布，t-分布，F-分布的定义并会查表计算3. 掌握24. 熟悉正态总体的某些常用统计量的分布并能运用这些统计量进行计算重点与难点：χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表；正态总体常用统计量的分布1. 重点：2χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表2. 难点：2第七章参数估计7.1 点估计7.3 估计量的评选标准7.4 区间估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计7.7 单侧置信区间基本要求：1. 理解参数的点估计(矩估计、最大似然估计)的计算方法2. 掌握参数点估计的评选标准：无偏性，有效性和相合性3. 理解参数的区间估计的概念，熟悉对单个正态总体和两个正态总体的均值与方差进行区间估计的方法及步骤重点与难点：1. 重点：点估计的矩法、最大似然估计法；正态总体参数的区间估计2. 难点：最大似然估计法，两个正态总体的参数的区间估计四、课程内容与学时分配五、教材参考书教材：盛骤谢式千潘承毅《概率论与数理统计》（第三版）高等教育出版社2001. 参考书：[1] 茆诗松《概率论与数理统计教程》（第一版）高教出版社2004.[2] 王展青李寿贵《概率论与数理统计》（第一版）科学出版社2000.六、教学方式和考核方式1.教学方式：以课堂讲授为主，辅以答疑、课后作业。

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2. 用矩估计法进行点估计的ABC ⑴ 估计之初就应明确 总体数学期望 E ( X ) 的别名即总体X 的一阶原点矩,
总体平方数学期望 E ( X 2 )的别名即总体的二阶原点矩,
总体 k 次方数学期望 E ( X k ) 的别名即总体的 k 阶原点矩; 总体方差 D( X ) 的别名即总体的二阶中心矩. ⑵ 还应提醒自己
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▲例2-4 设 X1, X2 , X3 是总体 X 的样本．三常数 a b c 1 . 试证明: aX1 bX 2 cX 3 是总体期望 E ( X ) 的无偏估计.
证
E (aX1 bX 2 cX 3 ) aE ( X1 ) bE ( X 2 ) cE ( X 3 )
1 (n 1) 2 2 D( X ) , 故样本方差 S2 是总体方差的无偏估计. n 1
证毕.
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例2-3 设 X1, X2 , X3 , X4 是总体 X 容量为4 的样本．则总体均 值的以下无偏估计中, 最有效的点估计量是 ( B ) A.
1 1 1 1 X1 X 2 X 3 X 4 3 6 6 3 4 3 1 1 X1 X 2 X 3 X 4 9 9 9 9
1 8 1 8 ˆ x xi 74 100( xi 74) 74.002 8 i 1 800 i 1
总体方差是总体的二阶中心矩 B2 , 故其矩估计值为样本二 阶中心矩的观测值, 即 1 1 8 5 6 2 2 ˆ b2 ( xi x ) 4.8 10 6.0 10 8 8 i 1 此外, 总体样本方差 S2 的观测值为 1 1 8 5 6 2 2 s ( xi x ) 4.8 10 6.86 10 7 8 1 i 1

有效性
总结词
有效性是指估计量的方差应该尽可能小。
详细描述
有效性关注的是估计量的稳定性，即估计量在多次重复抽样中的变异性。一个有 效的估计量应该具有较小的方差，这意味着该估计量在多次抽样中给出的结果应 该相对稳定。方差越小，估计量的有效性越高。
一致性
总结词
一致性是指随着样本容量的增加，估计量的值应该趋近于被估计参数的真实值。
《点估计的求法》ppt课件
目录
CONTENTS
• 点估计的概述 • 点估计的常用方法 • 点估计的优良性准则 • 点估计的应用实例 • 点估计的未来发展
01
CHAPTER
点估计的概述
点估计的定义
总结词
点估计是一种统计学方法，用于估计某个未知参数或总体分布的特征值。
详细描述
点估计是一种统计学方法，通过使用样本数据来估计未知的总体参数或总体分 布的特征值。它是一种近似估计，以样本统计量作为总体参数的估计值。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优点包括简单易行、直观明了和计算方便， 但缺点是存在误差且无法衡量误差大小。
详细描述
点估计是统计学中最为基础和直观的估计方法之一，其 优点在于简单易行、直观明了和计算方便。它能够快速 地给出未知参数的近似值，因此在许多情况下被广泛应 用。然而，点估计也存在一定的缺点，主要是由于它是 基于样本统计量来估计总体参数，因此不可避免地存在 误差，而且无法提供一个准确的衡量误差大小的指标。 因此，在某些情况下，可能需要更精确的估计方法来替 代点估计。
随着数据流的处理需求增加，在线估计方法能够实时更新估计结 果，减小计算和存储开销。
分布式估计
利用分布式计算框架（如Hadoop、Spark）进行大规模数据的并 行处理和估计，提高计算效率。

第七章 参数估计
进行统计推断的一般步骤为: 总体 随机抽样 样本
统计量
作出推断
统计推断的
基本问题
参数的点估计 参数估计问题
参数的区间估计
参数假设检验 假设检验问题
非参数假设检验
参数估计问题: 就是要利用样本, 对总体 分布中包含的未知参数或未知参数的某些函数 作出估计.
如: 估计产品的废品率; 估计湖中鱼的数量; 估计降雨量等等.

,
2
解得 2E( X ) ,
总体矩用相应的样本矩代替, 得矩估计量:



2
1
n

X
i

2X
.
n i1
二、 极大似然估计法 是在总体类型已知的条件下使用的一种参数
估计方法 . 其基本思想是概率最大的事件最可能发生 .
例如: 某位同学与一位猎人一起外出打猎 .一只野兔 从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 是谁打中的呢？
同样是无偏估计量, 有的取值较集中, 有的 取值较分散. 自然是: 取值越集中的越好. 由此 引入了有效性这个标准 .
估计量与样本容量有关, 我们希望: 随着样 本容量的无限增大, 估计量与被估计量任意接近 的可能性越来越大. 由此引入了一致性这个标准.


无偏性: 若 E( ) , 则称 是 的无偏估计.
根据“概率最大的事件最可能发生”，我们可取
使
概率
n
f
(
xi
;
)d
xi
达到最大的参数


作为

的估计；
i 1

n

n
即求 使 f ( xi;