专题训练等腰三角形的综合

1挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编

专题06三角形综合的压轴真题训练

一．全等三角形的判定与性质

1．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的

内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）

A．6B．7C．8D．9

【答案】B

【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．

∵I是△ABD的内心，

∴∠BAI＝∠CAI，

∵AB＝AC，AI＝AI，

∴△BAI≌△CAI（SAS），

∴IB＝IC，

∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，

∴△IDT≌△IDE（AAS），

∴DE＝DT，IT＝IE，

∵∠BEI＝∠CTI＝90°，

∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），

∴BE＝CT，

2设BE＝CT＝x，

∵DE＝DT，

∴10﹣x＝x﹣4，

∴x＝7，

∴BE＝7．

故选：B．

2．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为

AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，

则四边形ACGH周长的最小值是（）

A．24B．22C．20D．18

【答案】B

【解答】解：∵CG∥AB，

∴∠B＝∠MCG，

∵M是BC的中点，

∴BM＝CM，

在△BMH和△CMG中，

，

∴△BMH≌△CMG（ASA），

∴HM＝GM，BH＝CG，

∵AB＝6，AC＝8，

∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，

∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，

∵∠A＝90°，MH⊥AB，

∴GH∥AC，

3∴四边形ACGH为矩形，

∴GH＝8，

∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，

故选：B．

3．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B

重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A

1处，连接A

1B，将A

1B绕

点B顺时针旋转90°得到A

等腰三⾓形存在性问题专项训练

l

B

A

第 讲：等腰三⾓形存在性问题专题训练

⼀、等腰三⾓形4⼤性质 （1）等边对等⾓、等⾓对等边； （2）三线合⼀；

（3）含有60°⾓的等腰三⾓形是等边三⾓形；

（4）等腰三⾓形底边上任意⼀点到两腰的距离等于腰上的⾼； ⼆、构造等腰三⾓形

⼆、特殊的等腰三⾓形

（1）等边三⾓形； （2）等腰直⾓三⾓形； （3）底⾓为30°的等腰三⾓形； （4

）黄⾦三⾓形 ⼀、模型引⼊

引⼊：如图，已知线段AB ，在过A 点的直线l 上求作点P ，使△ABP 为等腰三⾓形.

思维提升：在平⾯直⾓坐标系内,已知点A (2,1),O 为坐标原点．请你在坐标轴上确定点P ,使得ΔAOP 为等腰三⾓形．在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来,画上实⼼点,并在旁边标上P 1,P 2,……,

P k ,(有k 个就标到P K 为⽌,不必写出画法)

【答案】⼆、典型分析

例1.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =4AD =24，∠B =45°．直⾓三⾓板含45°⾓的顶点E 在边BC 上移动，⼀直⾓边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若△ABE 为等腰三⾓形，则CF 的长等于 ． 【答案】

，2，． 例2.如图，四边形OABC 是⼀张放在平⾯直⾓坐标系中的正⽅形纸⽚．点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y轴上，OC =4，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为(30)，，过点N 且平⾏于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ．现将纸⽚折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点．

（1）求点G 的坐标；

（2）求折痕EF 所在直线的解析式；

（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P 、F 、G 为顶点的三⾓形为等腰三⾓形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5

2

3 y x

CF O

E

M

B

G

N

A

F

【答案】

1/6

第14讲：等腰三角形综合1(三线合一专题训练)

“三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：

如图1，△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点.

CDAB

图1

（1）若AD是等腰△ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的高线；

（2）若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD是底边BC上的高线；

（3）若AD是等腰△ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的中线.

显然，“三线合一”性质提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们。

要点：等腰三角顶角的角平线、底边上的高线、底边上的中线互相重合，简称“三线合一”。

一、用三线合一证线段相等：

例1．已知D是△ABC的角平分线，∠A＝40°，∠ACB＝70°，DF⊥BC于F，E是BC延长线上一点，CE＝CD，求证：BF＝FE。

FEDCAB2/6

练习：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线AF与高CD相交于E，∠DCB的平分线交EF于G，交DB于H，求证：EG＝GF。

GHEFDABC

二、用三线合一证角相等：

例2．已知：如图，AD∥BC，AE平分∠DAB，E为在DC的中点，。求证：BE平分∠ABC。

CEADB

练习：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD，垂足为F，求证：∠AEF＝∠BEF。

FDEBCA

3/6

三、用三线合一证垂直：

例3．已知：以Rt△ABC的两直角边AB、BC分别作等边△ABD和等边△BCE，连结CD、DE，求证：BD⊥CE。

DBCEA

练习：已知：AB＝AC，BD⊥AC于D，CF⊥AB于F，BD交CE于点O，连结AO并延长交BC于F,求证：AF⊥BC

等腰直角三角形专题训练

1、在△ABC中，∠ACB=90° ， AC=BC，D为AB的中点，点E、F分别在AC、BC上，∠EDF=90°.求证：DE=DF AE=CF

2、在△ABC中，∠ACB=90° ， AC=BC，D为AB的中点，点E、F分别在AC、CB的延长线上，∠EDF=90°.求证：△DEF为等腰直角三角形

3、在△ABC中，∠ACB=90° ， AC=BC，D为AB的中点，点E、F分别在AC、BC上，

AE=CF，连接DE、DF、EF。求证：△DEF为等腰直角三角形。

FDBCAEFDBCAEFDBCAE

4、在△ABC中，∠ACB=90° ， AC=BC，D为AB的中点，点E、F分别在AC、BC上，∠EDF=90°，EM⊥AB，EN⊥AB，垂足分别为M、N，求证：EM+FN=21AB

5、在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，D为BC的中点，以点D为顶点作∠EDF=90°,DE、DF分别交AB、AC于点E、F,

（1）如图1，线段BE、CF和AB之间有什么数量关系？并加以证明；

(2) 如图2，DE、DF分别交AB、CA的延长线于点E、F，请你直接写出线段BE、CF和AB之间的数量关系__________________.

6、已知：等边△ABC中， 点D 是BC 的中点，E、F分别在边AB、AC上，如图，∠EDF=120°.(1)求证：BE+CF =21AB

(2)点E在AB 的延长线上，线段BE、FC、AB之间的数量关系是__________。

NMFDBCAE120°FDCBAEFDCBAEFDCABE120°FDCABE

7、在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，过点C作直线l，AD⊥l于D，BE⊥l于E

求证：AD+BE=DE

8、在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，过点C作直线l，AD⊥l于D，BE⊥l于E