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A CHARACTERIZATION OF QUANTIC QUANTIFIERS IN ORTHOMODULAR LATTICES

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TheoryandApplicationsofCategories,Vol.16,No.10,2006,pp.206–217.

ACHARACTERIZATIONOFQUANTICQUANTIFIERSIN

ORTHOMODULARLATTICES

DedicatedtoProfessorHumbertoC´ardenason

theoccasionofhis80thBirthday

LEOPOLDOROM´AN

Abstract.LetLbeanarbitraryorthomodularlattice.Thereisaonetoonecor-respondencebetweenorthomodularsublatticesofLsatisfyinganextraconditionandquanticquantifiers.Thecategoryoforthomodularlatticesisequivalenttothecategoryofposetshavingtwofamiliesofendofunctorssatisfyingsixconditions.

Introduction

Thepurposeofthispaperistogivesomenewresultsconcerningquanticquantifierson

orthomodularlattices.Asiswellknown,quantifiershavetheirmainsourceinthetheory

ofAlgebraicLogicandinthetheoryoforthomodularlattices.Morerecently,quantifiers

becameimportantinthetheoryofidempotent,right-sidedquantales.

Insection1wedealwiththenotionofaquanticquantifierandcharacterizesuch

quanticquantifiersinorthomodularlattices.

Insection2weapplytheresultsofsection1forthealgebraicfoundationsofquantum

mechanics.Wealsoshowthefollowing:thecategoryoforthomodularlatticesisequivalent

tothecategoryofposetshavingtwofamiliesofendofunctorssatisfyingsomeconditions.

PartofthisworkwasdonewhentheauthorwasaresearchvisitoratLouisianaTech

University.ManythankstoProf.R.Greechieforhisinvitationandmanyconversations.

AlsomanythankstoProf.M.F.Janowitzfortheelectronicmailshesentmeandthe

commentshemadeaboutquantifiers.ThisworkwaspartiallysupportedbyaBeca

Sab´aticadelaDGAPAdelaUNAM.

1.QuanticQuantifiers

Theclassicnotionofaquantifierwasintroducedin[6]whereP.Halmosgaveachar-

acterizationofquantifiersforBooleanAlgebras.Latter,M.F.Janowitzgeneralizedthis

conceptfororthomodularlattices,see[7]fordetails.Thereisanotherconcept,namely,

Receivedbytheeditors2005-12-15and,inrevisedform,2006-03-23.TransmittedbyF.W.Lawvere.Publishedon2006-04-15.2000MathematicsSubjectClassification:03G12;06C99.Keywordsandphrases:Quantumlogic;Orthomodularlattice.c󰀐LeopoldoRom´an,2006.Permissiontocopyforprivateusegranted.

206ACHARACTERIZATIONOFQUANTICQUANTIFIERS207

thenotionofanucleusforHeytingAlgebras.Nucleiandquantifiershaveacloserelation

asweshallsee.

1.1.Definition.AboundedlatticeL=(L,∨,∧,0,1)isanortholatticeifthereexistsa

unaryoperation⊥:L→Lsatisfyingtheconditions:

1.a⊥⊥=a.

2.a,b∈L:(a∨b)⊥=a⊥∧b⊥.

3.a∨a⊥=1.

4.a∧a⊥=0.

a,bbeingarbitraryelementsofL.

IfLisanortholattice,weshallsayLisanorthomodularlatticeifitsatisfiesthe

followingweakmodularityproperty:

Givenanya,b∈Lwitha≤bwehave:b=a∨(a⊥∧b)(equivalently,a=(a∨b⊥)∧b).

IfLandMareorthomodularlattices,afunctionf:L→Missaidtobeamorphism

oforthomodularlatticesiffthefollowingpropertieshold:

1.f(1)=1.

2.f(a∧b)=f(a)∧f(b),foralla,b∈L.

3.f(a⊥)=f(a)⊥,foralla∈L.

Thecompositionofmorphismsisdefinedintheusualwayandclearly,wehavea

category,denotedbyOML.

IfLisaboundedlatticewithbounds0,1andF:L→Lisafunction,Fwillbecalled

aquantifieronLincaseFsatisfies:

1.F(0)=0.

2.Foranya∈L,a≤F(a).

3.F(a∧F(b))=F(a)∧F(b),foralla,b∈L.

IfwewriteF(a∧b)=F(a)∧F(b)in3andwedonotassumecondition1thenweget

thenotionofanucleus.ThetheoryofnucleiisgiveninthecontextofHeytingAlgebras

orLocales,thereadercansee[8]wherethereisastudyofnucleiforHeytingAlgebras.In

[11]theauthorandBeatrizRumbosgaveacharacterizationofnucleiandquanticnuclei

fororthomodularlattices.

TherearealwaystwospecialquantifiersonL:208LEOPOLDOROM´AN

1.Thediscretequantifier=theidentitymap.

2.Theindiscretequantifierquantifier:F(a)=1fora=0,F(0)=0.

Everynucleusisaquantifierbutnotconversely.Ifwetaketheindiscretequantifier

itisnothardtoshowthatitisnotanucleuswheneverLisaHeytingalgebraoran

orthomodularlattice.

Now,forthenotionofaquanticquantifierweneedtointroduceabinaryconnective

&foranarbitraryorthomodularlattice.

1.2.Definition.LetLbeanorthomodularlattice,wedefinetwobinaryoperationsas

follows:Ifa,barearbitraryelementsofL

1.a&b=(a∨b⊥)∧b.

2.a→b=a⊥∨(a∧b).

Itisnothardtoshowthefollowing:

a&b≤ciffa≤b→c.

Thelastclaimhastwoequivalentmeanings.Wecansay,thefunction:F(−b):L→L

givenby:F(−,b)(a)=a&bisaresiduatedmaporthefunctorF(−,b):L→Lgiven

bythesamerulehasarightadjoint.So,isjustaquestionofterminology;theimportant

ideahereisthelastinequalityandtheconnective&.Toourknowledge,P.D.Finchwas

thefirstpersontoconsider&asabinaryconnective.See[5]formoredetails.Also,the

readercanconsult[2]foradetailedaccountofResiduationTheory.

Wejustfinishwithanothercomment:F(−,b)iscalledtheSasakiprojectionandthe

rightadjointH(b,−)isknowninphysicsastheSasakihook;butremember,weshall

viewthisprojectionasabinaryconnective,replacingtheclassicalconnective∧.Fora

HeytingalgebraA,itiswellknownthefunctora∧−:A→A,hasarightadjoint.In

fact,wheneverAisabooleanalgebratherightadjointisgivenby:a→b=a⊥∨b.,a,b

areelementsofA.

Fororthomodularlattices,thesituationisquitedifferent.Indeed,onemightaskif

theclassicalconnectivehasarightadjoint:Whenthispropertyissatisfied,thenLisa

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abaqus问答集合

abaqus问答集合

1．ABAQUS的UMAT一点看法：

如果本构模型复杂，应力应变关系是非线性的隐式表达，就需要进行迭代，更新应力。这就是UMAT的最重要的任务。那么这样一来，在给定应变增量的情况下更新应力，就必须求解应变对应力的导数，运用迭代，如N-R迭代。这样一来，在UMAT中就需要求解两次导数。（DDSDDE为一次）所以比较麻烦的。对于时间相关的本构模型来说更是麻烦。

2．使用abaqus求解螺栓和螺母接触螺纹的强度所碰到的问题

1． Solver problem. Zero pivot when processing D.O.F. 1 of 49 nodes. The node

s have been identified in node set warnnodesolvprobzeropiv_1_1_1_1_1.（是什么

原因造成的？）

2。The system matrix has 6276 negative eigenvalues..（是什么原因造成的？）

3。1304 nodes may have incorrect normal definitions. The nodes have been ide

ntified in node set warnnodeincorrectnormal.（这个法向量错误在模型中显示为螺

母内部的接触面，但我反了一下法向量还是同样错误）

4。Program is asked to invert a singular matrix.（是什么原因造成的？）

2． 模型就是一个螺母和螺栓之间夹一个平板的简单模型

边界条件施加如下：固定螺栓的下端，在螺栓、平板、螺母之间分别建立surface to s

urface接触（带摩擦），然后在螺母上施加力矩，这样来求解螺栓预紧时螺纹接触部分

的应力，但总是出现上述问题，请高手分析指点，谢谢！

答：检查一下两个接触面之间是不是有初始的穿透； 负特征值可能是因为你的初始步长太大了，接触的问题；保证模型中的每个零件在开始时有稳定的约束，可以考虑加一些软弹簧约束住； 还可以用ajust使两个接触面在一开始就起上作用。

预处理子空间迭代法的一些基本概念

预处理子空间迭代法的一些基本概念

CG算法的预处理技术：、

为什么要对A进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A的特征值分布

特征值如何影响收敛性：特征值分布在较小的范围内，从而加速CG的收敛性

特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页）

求解特征值和特征向量的方法：Davidson方法：Davidson 方法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI)

产生子空间，这里 D 是 A 的对角元所组成的对角矩阵。θ是由 Rayleigh-Ritz 过程所得到的A的近似特征值。

什么是子空间法：Krylov子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的方程，A是一个n*n 的矩阵，当n充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov方法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi的迭代形式来求解。这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。

如何取正定矩阵Mk为：

Span是什么？:设x_(1,)...,x_m∈V ,称它们的线性组合∑_(i=1)^m?〖k_i x_i \|k_i∈K,i=1,2...m〗为向量x_(1,)...,x_m的生成子空间，也称为由x_(1,)...,x_m张成的子空间。记为L（x_(1,)...,x_m），也可以记为Span（x_(1,)...,x_m）

什么是Jacobi迭代法：

什么是G_S迭代法：请见PPT《迭代法求解线性方程组》

什么是SOR迭代法：

什么是收敛速度：

什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix）和可约矩阵（reducible

matrix）两个相对的概念。

定义1：对于 n 阶方阵 A 而言，如果存在一个排列阵 P 使得 P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。

SrVO3 Hubbard band 和 氧空位

SrVO3 Hubbard band 和 氧空位

PHYSICALREVIEWB94,241110(R)(2016)

HubbardbandversusoxygenvacancystatesinthecorrelatedelectronmetalSrVO3

S.Backes,1T.C.R¨odel,2,3F.Fortuna,2E.Frantzeskakis,2P.LeF`evre,3F.Bertran,3M.Kobayashi,4R.Yukawa,4

T.Mitsuhashi,4M.Kitamura,4K.Horiba,4H.Kumigashira,4R.Saint-Martin,5A.Fouchet,6B.Berini,6Y.Dumont,6

A.J.Kim,1F.Lechermann,7,8H.O.Jeschke,1M.J.Rozenberg,9R.Valent´ı,1,*andA.F.Santander-Syro2,†

1Institutf¨urTheoretischePhysik,Goethe-Universit¨atFrankfurt,Max-von-Laue-Strasse1,60438FrankfurtamMain,Germany2CSNSM,Univ.Paris-Sud,CNRS/IN2P3,Universit´eParis-Saclay,91405OrsayCedex,France3SynchrotronSOLEIL,L’OrmedesMerisiers,Saint-Aubin-BP48,91192Gif-sur-Yvette,France4PhotonFactory,InstituteofMaterialsStructureScience,HighEnergyAcceleratorResearchOrganization(KEK),

1-1Oho,Tsukuba305-0801,Japan5SP2M-ICMMO-UMR-CNRS8182Universit´eParis-Sud,Universit´eParis-Saclay,91405OrsayCedex,France6GEMaC,Universit´edeVersaillesSt.QuentinenY.-CNRS,Universit´eParis-Saclay,Versailles,France7Institutf¨urTheoretischePhysik,Universit¨atHamburg,Jungiusstrasse9,20355Hamburg,Germany8Institutf¨urKeramischeHochleistungswerkstoffe,TUHamburg-Harburg,D-21073Hamburg,Germany9LaboratoiredePhysiquedesSolides,CNRS,Univ.Paris-Sud,Universit´eParis-Saclay,91405OrsayCedex,France

正交矩阵及其应用

正交矩阵及其应用

正交矩阵及其应用

1. 引言 (1)

2. 正交矩阵的基本知识 (2)

2.1正交矩阵的定义与判定 (2)

2.2 正交矩阵的性质 (3)

3.正交矩阵在数学中的应用 (4)

3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (4)

3.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 (10)

4.正交矩阵在化学中的应用 (13)

sp杂化轨道 (14)

4.1 3

4.2 sp杂化轨道 (16)

5.正交矩阵在物理学中的应用 (17)

6. 结论 (20)

参考文献 (21)

致谢 (22)

如果n阶实矩阵A满足T

,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．

AA E

本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．

关键词：正交矩阵；初等旋转矩阵；标准正交基；原子轨道的杂化；曲率；挠率

Abstract

If a n-dimensional real matrix A satisfies E

AA T ,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is

extracted by inner product.

This paper enumerats the applications of orthogonal matrix

in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is