平面向量知识点及练习题 有答案

3. 平 面 向 量

知识网络结构 向量的运算

几何方法 坐标方法 运算性质

加法 1.平行四边形法则

2.三角形法则

减法 1.平行四边形法则

2.三角形法则 ,

数

乘

向

量 1.是一个向量,

满足:

2.>0时, 同向;

<0时, 异向;

=0时, .

向

量

的

数

量

积 ab是一个数

1.0a或0b时,0ab

2. .0a或0b时,

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；

坐标表示法 a=xi+yj=(x,y)

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. ABBAABOAOBa||||||aaaa与aa与0aAB

(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）

(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.

2.重要定理、公式

(1)平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)两个向量平行的充要条件: a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.

(3)两个向量垂直的充要条件: a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.

(4)线段的定比分点公式: 设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则

＝＋ (线段的定比分点的向量公式) (线段定比分点的坐标公式)

当λ＝1时，得中点公式：＝（＋）或

(5)平移公式: 设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），

则＝+a或 曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)

(6)正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

（7）三角形面积计算公式： 设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R

④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= [海伦公式]

⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.

如图：

图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr

图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点. 2121yyxx21PPPP12PPOP111OP112OP.1,12121yyyxxxOP211OP2OPPOOP.,kyyhxx.2sinsinsinRCcBbAacPbPaPP

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

⑻△ABC的判定：

△ABC为直角△∠A + ∠B =

＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜

＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞

附：证明：，得在钝角△ABC中，

⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

二。例题。

例1。已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）。设cCA,bBC,aAB且b2CN,c3CM；

（1）求c3ba3；职 （2）求满足cnbma的实数m,n的值；

（3）求M，N的坐标及向量MN；

例2。已知bkabkb,12|b|,5|a|与互相垂直， 则k？

例3。已知AD，BE分别是△ABC的边BC、AC上的中线，且bBE,aAD则BC=？

例4。已知baba,13|ba|,2|b|,3|a|与求的夹角。

例5。已知|b||a|,8|b|,4|a|与夹角是1500；

计算：（1）)ba2)(b2a(； （2）|b2a4|；

3. 平 面 向 量

A 组

1.如果a，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）

A.ab B.1ab= C.22ab D.ab

2.在四边形ABCD中，若ACABAD，则四边形ABCD的形状一定是 ( )

(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形

3.若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（ ）

A.（12，5） B.（-2，9） C. （3，7） D. （-4，-1）

4.已知正方形ABCD的边长为1，ABa，BCb，ACc， 则abc等于 ( )

A． 0 B. 3 C.2 D.22

5.已知3a，4b，且向量a，b不共线，若向量akb与向量akb互相垂直，则实数k 的值为 ． 222bac22c22ba22c22ba2abcbaC2cos222222222,00coscbacbaC

6.在平行四边形ABCD中，ABa，CBb，O为AC与BD的交点，点M在BD上，13BMOD，则向量BM用a，b表示为 ；AM用a，b表示为 ．

7.在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，则航向为 ．

8.三个力1F，2F，3F的大小相等，且它们的合力为0，则力2F与3F的夹角为 ．

9.已知平面内三点A、B、C三点在一条直线上，(2,)OAm，(,1)OBn，(5,1)OC，且OAOB，求实数m，n的值．

B 组

11.已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且32OAOBOP，则

( )

A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上

C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上

12.已知D、E、F分别是三角形ABC的边长的边BC、CA、AB的中点，且BCa，CAb，ABc，则①EF1122cb，②BE12ab，③CF1122ab，④0ADBECF中正确的等式的个数为 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

13.已知向量a(1,5)，b(3,2)，则向量a在b方向上的投影为 ．

14.已知OAa，OBb，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量MN用a、b表示为 ．

15.已知向量a(2,3)mm，b(21,2)mm，若向量a与b的夹角为直角，则实数m的值为 ；若向量a与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为 ．

16.已知(2,1)OP，(1,7)OA，(5,1)OB，点O为坐标原点，点C是直线OP上一点，求CACB的最小值及取得最小值时cosACB的值．

17.如图，点1A、2A是线段AB的三等分点，求证：12OAOAOAOB （1）

一般地，如果点1A，2A，…1nA是AB的n(3)n等分点，请写出一个结论，使（1）为所写结论的一个特例．并证明你写的结论．

18.已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，

（Ⅰ）判断BPCQAPCB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由；

（Ⅱ）求BPCQ的最大值．

参考答案或提示：A组

（1）D （2）A （3）C （4）D （5）34 （6）6-a-b；56a-b （7）北偏西300

EDACB（8）0120

（9）略

（10）63mn或332mn

略解或提示：

1.由单位向量的定义即得1ab，故选（D）．

2.由于ACABAD，∴ACABAD，即BCAD，∴线段BC与线段AD平行且相等，∴ABCD为平行四边形，选（A）．

3.估算：画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点．由

于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（B）、（D），而符合条件的点第一象限只有一个点，且位于点（5，7）的右侧，则该点的横坐标要大于5，∴排除（A），选（C）．

4.由于2abcc∴222abcc，∴选（D）．

5.向量akb与向量akb互相垂直，则（ak)b(ak)0b,∴2a2k2b,

而229aa, 2216bb,∴34k．

6.∵13BMOD，而12ODBD，

∴111()()666BMBDADABBCAB6-a-b；

∴ AMABBM56a-b．

7.如图，渡船速度OB，水流速度OA，船实际垂直过江的速度OD，

依题意，12.5OA，25OB，由于OADB为平行四边形，则BDOA，又ODBD，∴在直角三角形OBD中，∠BOD=30，

∴航向为北偏西30．

8.过点O作向量OA、OB、OC，使之分别与力1F，2F，3F相等，由于1F，2F，

3F的合力为0，则以OC、OB为邻边的平行四边形的对角线OD与OA的长度相等，又由于力1F，2F，3F的大小相等，∴OAOBOC，则三角形OCD和三角形OBD均为正三角形，∴120COB，即任意两个力的夹角均为120．

9.解：由于DECECD，而12CECB，12CDCA

∴1111()2222DECBCACBCAAB，

则DE∥AB，且12DEAB，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半．