二维装箱问题的非线性优化方法
一、本文概述
二维装箱问题（Two-Dimensional Bin Packing Problem，2DBPP）是一个重要的组合优化问题，它广泛应用于生产制造、物流配送、计算机科学等领域。在二维装箱问题中，需要将一组不规则形状的物体装入到有限数量的固定大小的箱子中，以最小化所使用的箱子数量。这个问题是一个NP难问题，因为它涉及到大量的组合选择和优化决策。
传统的二维装箱问题求解方法主要基于线性规划和启发式算法，这些方法在处理大规模问题时往往效率低下，难以得到最优解。因此，本文提出了一种基于非线性优化方法的二维装箱问题求解策略。这种方法通过对物体形状和装箱过程的非线性特征进行建模，可以更好地描述和解决问题。
本文首先介绍了二维装箱问题的背景和研究现状，然后详细阐述了非线性优化方法在二维装箱问题中的应用原理和步骤。接着，通过具体的算例和实验验证，对比分析了非线性优化方法与传统方法的效果差异，并探讨了影响优化效果的关键因素。本文总结了非线性优化方法在二维装箱问题中的优势和局限性，并对未来的研究方向进行了展望。 本文旨在为二维装箱问题的求解提供一种新的非线性优化思路和方法，为相关领域的研究和应用提供有益的参考和借鉴。
二、二维装箱问题的数学模型
二维装箱问题（Two-Dimensional Bin Packing Problem, 2D-BPP）是一种典型的组合优化问题，它涉及到如何在满足一定约束条件下，将一组具有不同尺寸的物品有效地装入一系列固定大小的箱子中。该问题的关键在于如何最大化每个箱子的空间利用率，同时确保所有物品都能被成功装箱。
在二维装箱问题中，每个物品通常由其宽度和高度两个尺寸参数来定义，而箱子则具有固定的宽度和高度。目标是使用尽可能少的箱子来装下所有物品，同时满足每个箱子内物品的总宽度和总高度都不超过箱子的相应尺寸。由于物品尺寸和箱子尺寸的多样性，以及物品在箱子中的排列方式的不确定性，使得二维装箱问题变得非常复杂。
毕业论文
题 目 非线性最优化计算方法与算法
学 院 数学科学学院
专 业 信息与计算科学
班 级 计算1201
学 生 陶红
学 号 20120921104
指导教师 邢顺来
二〇一六年五月二十五日济南大学毕业论文
- I - 摘 要
非线性规划问题是一般形式的非线性最优化问题。本文针对非线性规划的最优化问题进行方法和算法分析。传统的求解非线性规划的方法有最速下降法、牛顿法、可行方向法、函数逼近法、信赖域法，近来研究发现了更多的求解非线性规划问题的方法如遗传算法、粒子群算法。本文对非线性规划分别从约束规划和无约束规划两个方面进行理论分析。
利用最速下降法和牛顿法两种典型算法求解无约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。另外给出了阻尼牛顿法，探讨其算法的收敛性和稳定性，求解无约束非线性规划比牛顿法的精确度更高，收敛速度更快。惩罚函数是经典的求解约束非线性的方法，本文采用以惩罚函数法为核心的遗传算法求解有约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。并改进遗传算法，给出适应度函数，通过变换适应度函数，提高算法的收敛性和稳定性。
关键词：非线性规划；最速下降法；牛顿法；遗传算法
济南大学毕业论文
- II - ABSTRACT
Nonlinear programming problem is the general form of the nonlinear optimization
problem. In this paper, we carry on the analysis of the method and algorithm aiming at the
最优化理论与方法（线性部分）思考题
1. 对同一优化问题，是否存在决策变量一样但所建模型不一样的情况？请举例；是否存在目标函数中没有决策变量的最优化问题？
2. 就你学过的运筹学问题，写出能够建立线性规划模型的问题，并举例（建立模型）。
3. 举例（说明问题、建立模型）论述线性规划在交通、运输、物流和安全管理中的应用。
4. 简述线性规划求解算法的改进历史。
5. 对一个用单纯形法求解不会产生循环的n个变量m个约束的线性规划问题，估算一下基本计算次数。
6. 证明课本（清华版运筹学（第三版））2.5题。
7. 有人说：“原问题有多重解（多个最优解），对偶问题一定也有多重解”，此话是否正确？请举一算例。
8. 何谓“原始-对偶”单纯形法？请举一算例。
9. 何谓有界变量的线性规划问题？如何求解？请举一算例。
10. 何谓线性规划的逆问题，分别对“最优解的逆线性规划问题”和“对目标函数值的线性规划逆最优值问题”举出算例。
11. D-W分解算法适合那种类型的线性规划问题？请举一算例。
12. 简述建立线性多目标规划的过程，自选一个实际问题，建立模型并用图解法和单纯形法求解。
要求每个人所举例题都不一样，否则视为抄袭！
非线性优化问题
函数 fmincon
使用格式：
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
x0 为开始运算的初始值
x 为最优解时x的值
fval 为 z 的最优值
exitflag 判断算法停止的原因
grad 梯度
m文件
function y=funn(x)
y=-x(1)-2*x(2)+0.5*(x(1).^2+x(2).^2)
主程序
A=[2 3;1 4];
b=[6;5];
vlb=[0;0];
x0=[0;0];
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hession]=fmincon('funn',x0,A,b,[],[],vlb)
结果如下
Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006):
lower upper ineqlin ineqnonlin
2
x =
0.7647
1.0588
fval =
-2.0294
exitflag =
1
output =
iterations: 1
funcCount: 6
lssteplength: 1
stepsize: 1.3061
algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'
firstorderopt: 1.7969e-008
constrviolation: 0
