八年级期末试卷培优测试卷

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(3)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变,设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)△ACP≌△BPQ,理由见解析;
(2)PC=PQ且PC⊥PQ,理由见解析;
【答案】(1)△ACP≌△BPQ,理由见解析;线段PC与线段PQ垂直(2)1或 (3)9s
【解析】
【分析】
(1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ,得出∠ACP=∠BPQ,进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可;
(2)由△ACP≌△BPQ,分两种情况:①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得答案即可.
2.如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm,点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,他们的运动时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由
(2)判断此时线段PC和线段PQ的关系,并说明理由。
(1)想办法证明AB∥CH,推出∠BAC=∠ACH,再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可.
(2)有这样分关系式.如图4中,延长ED到H山顶DH=DE.证明△EDB≌△HD(SAS),推出∠B=∠HCD,BE=CH,∠FCH=90°,利用勾股定理,线段的垂直平分线的性质即可解决问题.
(3)存在; 或 .
【解析】
【分析】
(1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ;
(2)由(1)得出PC=PQ,∠ACP=∠BPQ,进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可;
(3)分两种情况:①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得答案即可.
【详解】
解:(1)如图(1),△ACP≌△BPQ,理由如下:
当t=1时,AP=BQ=1,
∴BP=AC=3,
又∵∠A=∠B=90°,
在△ACP和△BPQ中,

∴△ACP≌△BPQ(SAS).
(2)PC=PQ且PC⊥PQ,理由如下:
由(1)可知△ACP≌△BPQ
∴PC=PQ,∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°,
(3)在(2)的条件下,将图3中的△DEF绕着点D旋转(如图5),射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F,此时(2)中结论还成立吗?请说明理由.图4中的△DEF也这样旋转(如图6),直接写出上面的关系式是否成立.
【答案】(1)详见解析;(2)有这样分关系式;(3)EF2=BE2+CF2.
【解析】
【分析】
∠CPQ=90°,
则线段PC与线段PQ垂直.
(2)设点Q的运动速度x,
①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,


解得 ,
综上所述,存在 或 使得△ACP与△BPQ全等.
(3)因为VQ<VP,只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的路程,
八年级期末试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.如图,AB=12cm,AC⊥AB,BD⊥AB ,AC=BD=9cm,点P在线段AB上以3 cm/s的速度,由A向B运动,同时点Q在线段BD上由B向D运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当运动时间t=1(s),△ACP与△BPQ是否全等?说明理由,并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(1)请你先证明△ABC≌△CHA,并用一句话总结题中的结论;
(2)现将图1中△ABC折叠(如图3),点A与点D重合,折痕为EF,此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形.BE=DE,CF=DF.由勾股定理可知DE2+DF2=EF2,因此BE2+CF2=EF2,若图2中△ABC也进行这样的折叠(如图4),此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗?若有,请证明;若没有,请举反例.
3.如图1,Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D是BC边的中点连接AD,则易证AD=BD=CD,即AD= BC;如图2,若将题中AB=AC这个条件删去,此时AD仍然等于 BC.
理由如下:延长AD到H,使得AH=2AD,连接CH,先证得△ABD≌△CHD,此时若能证得△ABC≌△CHA,
即可证得AH=BC,此时AD= BC,由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法.
∴PC⊥PQ.
(3)如图(2),分两种情况讨论:
当AC=BP,AP=BQ时,△ACP≌△BPQ,则

解得 ,
当AC=BQ,AP=BP时,△ACP≌△BQP,则,
解得
综上所述,存在 或 使得△ACP与△BPQ全等.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用,能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键.
(2)将“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,其他条件不变.若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能使△ACP与△BPQ全等.
(3)在图2的基础上延长AC,BD交于点E,使C,D分别是AE,BE中点,若点Q以(2)中的运动速度从点B出发,点P以原来速度从点A同时出发,都逆时针沿△ABE三边运动,求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇.
(3)因为VQ<VP,只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的路程,据此列出方程,解这个方程即可求得.
【详解】
(1)当t=1时,AP=BQ=3,BP=AC=9,
又∵∠A=∠B=90°,
在△ACP与△BPQ中, ,
∴△ACP≌△BPQ(SAS),
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°,
设经过x秒后P与Q第一次相遇,
∵AC=BD=9cm,C,D分别是AE,BD的中点;
∴EB=EA=18cm.
当VQ=1时,
依题意得3x=x+2×9,
解得x=9;
当VQ= 时,
依题意得3x= x+2×9,
解得x=12.
故经过9秒或12秒时P与Q第一次相遇.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.