新初中数学图形的相似真题汇编及答案解析

新初中数学图形的相似真题汇编及答案解析

一、选择题

1．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm、60 cm、80 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙三角形框架共有（ ）.

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

【答案】C

【解析】

试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．

故选：C．

点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．

2．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝21：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（ ）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③

【答案】B

【解析】

【分析】

①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．

②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．

③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断．

④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，

∴∠DCB+∠ABC=180°，

∵∠ABC=60°，

∴∠DCB=120°，

∵EC平分∠DCB，

∴∠ECB=12∠DCB=60°，

∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，

∴△ECB是等边三角形， ∴EB=BC，

∵AB=2BC，

∴EA=EB=EC，

∴∠ACB=90°，

∵OA=OC，EA=EB，

∴OE∥BC，

∴∠AOE=∠ACB=90°，

∴EO⊥AC，故①正确，

∵OE∥BC，

∴△OEF∽△BCF，

∴12OEOFBCFB ，

∴OF=13OB，

∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误，

设BC=BE=EC=a，则AB=2a，AC=3a，OD=OB=223(722)aaa，

∴BD=7a，

∴AC：BD=3a：7a=21：7，故③正确，

∵OF=13OB=76a，

∴BF=73a，

∴BF2=79a2，OF•DF=76a•777269aa a2，

∴BF2=OF•DF，故④正确，

故选：B．

【点睛】

此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．

3．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（ ）

A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．

【详解】

∵S△EFC＝3S△DEF，

∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），

∵DE∥BC，

∴△DEF∽△CBF，

∴DE：BC＝DF：FC＝1：3

同理△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC＝1：9，

故选：C．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．

4．如图所示，RtAOB中，90AOB ，顶点,AB分别在反比例函数10yxx与50yxx的图象器上，则tanBAO的值为（ ）

A．55

B．5

C．255 D．10

【答案】B

【解析】

【分析】

过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO=52，S△AOC=12，根据相似三角形的性质得到=5OBOA，根据三角函数的定义即可得到结论．

【详解】

解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，

则∠BDO=∠ACO=90°，

∵顶点A，B分别在反比例函数10yxx与50yxx的图象上，

∴S△BDO=52，S△AOC=12，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，

∴∠DBO=∠AOC，

∴△BDO∽△OCA，

∴251522BODOACSOBSOA△△，

∴5OBOA，

∴tan∠BAO=5OBOA.

故选B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．当点P运动5秒时，PD的长是（ ）

A．1.5cm B．1.2cm C．1.8cm D．2cm

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

由图2知，点P在AC、CB上的运动时间时间分别是3秒和4秒，

∵点P的运动速度是每秒1cm ，

∴AC=3，BC=4．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴根据勾股定理得：AB=5．

如图，过点C作CH⊥AB于点H，则易得△ABC∽△ACH．

∴CHACBCAB，即ACBC3412CHCHAB55．

∴如图，点E（3，125），F（7，0）．

设直线EF的解析式为ykxb，则

123kb{507kb，

解得：3k5{21b5． ∴直线EF的解析式为321yx55．

∴当x5时，3216PDy51.2cm555．

故选B．

6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

A．（―1，2）

B．（―9，18）

C．（―9，18）或（9，―18）

D．（―1，2）或（1，―2）

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13 .∴AEAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.

方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.

∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.

故答案选D.

考点：位似变换.

7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（ ）

A．9 B．12 C．14 D．18

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．

【详解】

解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，

由题意得∠ACB＝∠DCE，

∵∠ABC＝∠DEC，

∴△ACB∽△DCE，

∴ABBCDECE，即1.5212DE，

∴DE＝9．

即旗杆的高度为9m．

故选A．

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．

8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（ ）

A．AC2＝AD•AB B．CD2＝AD•BD C．BC2＝BD•AB D．CD•AD＝AC•BC

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决．

【详解】

解：如图，

∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，

∴由射影定理得：AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，

CD2＝AD•BD；

∴CDBCADAC；

∴CD•AC＝AD•BC，

∴A，B，C正确，D不正确．

故选：D．

【点睛】

该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答．

9．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）

A．1：2 B．1：5 C．1：100 D．1：10

【答案】C

【解析】

根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可