《二平面与圆柱面的截线》教案.docx

2022-2022学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案

目录

第一章1.11.1.1相似三角形判定定理第一章1.11.1.2相似三角形的性质第一章1.11.1.3平行截割定理

第一章1.11.1.4锐角三角函数与射影定理第一章1.21.2.1圆的切线第一章1.21.2.2圆周角定理第一章1.21.2.3弦切角定理第一章1.31.3.1圆幂定理

第一章1.31.3.2圆内接四边形的性质与判定第一章章末小结

第二章2.1平行投影与圆柱面的平面截线第二章2.2用内切球探索圆锥曲线的性质第二章章末小结

2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案

_1.1

相似三角形

1．1.1相似三角形判定定理

[对应学生用书P1]

[读教材·填要点]

1．相似三角形的定义及相关概念

如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数)． 2．相似三角形判定定理

(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．(2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．

(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．

[小问题·大思维]

1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？

提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．

2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．

[对应学生用书P1]

[例1]如图，若O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的靠近O的三等分点．

求证：△DEF∽△ABC.

[思路点拨]本题考查相似三角形判定定理2的应用．解答此题需

相似三角形的判定1

圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线)

平面与圆锥面的截线

一、直观感受：

观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？

改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：

二、分类探究：

从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：

将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：

归纳提升：

定理 在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），

则：

（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；

（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；

（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

三、证明结论：

利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.

如图，利用切线长相等，容易证明 PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.

下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。

下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：

换个角度看图：

容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.

四、知识运用

用图霸制作三维直观图：

解答参看下图：

五、图形制作

三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：

1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C关于O的对称点B’、C'.

2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.

3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.

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平面与圆柱面的截线（北京习题集）（教师版）

一．选择题（共4小题）

1．（2008•崇文区二模）若半径为1的球与120的二面角的两个半平面切于M、N两点，则两切点间的球面距离是(

)

A．43 B． C．23 D．3

2．（2017秋•朝阳区期末）如图，PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD．若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为( )

A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分

C．一段圆弧 D．一条线段

3．（2015秋•大兴区期末）若直线//a平面，直线b，ab，则在平面内到直线a和直线b距离相等的点的轨迹是( )

A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线

4．（2013秋•大兴区期末）工人师傅在如图1的一块矩形铁皮上画一条曲线，沿曲线剪开，将所得到的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．工人师傅所画的曲线是( )

A．一段圆弧 B．一段抛物线 C．一段双曲线 D．一段正弦曲线

二．填空题（共3小题）

5．（2006秋•东城区期末）已知棱长等于2的正四面体的四个顶点在同一个球面上，则球的半径长为 ，球的表面积为 ．

6．（2013秋•大兴区期末）工人师傅在如图1的一块矩形铁皮的中间画了一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．对工人师傅所画的曲线，有如下说法：

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（1）是一段抛物线；

（2）是一段双曲线；

（3）是一段正弦曲线；

（4）是一段余弦曲线；

（5）是一段圆弧．

则正确的说法序号是

．

7．（2003•北京）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 ．

《平面与圆柱面的截线》

♦教材分析

平面与圆柱面的截线是本章重要内容， 对于学生的空间想象能力提出要求， 巧妙地利用

dan del in双球证明定理的方法是学生应具备的能力、知识，本节内容对下一节平面与圆锥面

的截线具有重要意义。

♦教学目标

【知识与能力目标】

1, 通过观察平面截圆柱面的情境，体会定理

2, 利用dandelin双球证明定理

3, 通过探究，得出椭圆的准线和离心率

【过程与方法目标】

3、培养学生化归的思想、运动联系的观点。

【情感态度价值观目标】

4、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。

定理的证明、椭圆的准线和离心率的探究

【教学难点】

椭圆的准线和离心率的探究

♦课前准备

———

多媒体课件

♦教学过程

、复习回顾 ♦教学重难点

I. --------------- 【教学重点】 问题：圆柱的斜截面是什么形状？

学生：椭圆

二、知识探究

AB CD是两个等圆的直径 AB//CD,AD、BC与两圆相切。作两圆的公切线EF,切点分别为

F1、F2交BA DC的延长线与 E、F,交AD于G1,交BC于G2。设EF与BC CD的交角分

别为与、

问题1: G2F1 + G 2F2与AD有怎样的等式？

学生： G2F1=G2B,

G2F2=G2C

G2F1+G2F2=G2B+G2C=BC=AD

学生：又••• GG= G1F2+ F2G

G1F2= G1D,F2G2=G2C

GiG2= G1D+GC

连接 F1O1,F2O2, 容易证明

△ EFiO^A FF2Q

••• EO=FQ

问题2: AD的长与GG的长有怎样等式？

问题3: G2F1的长与GE的长有怎样等式？

（2）G1G2=AD

（2）G1G2=AD

将左图中的两个圆拓广为球面， 将矩形ABCD看成是圆柱面的轴截面，将EB DF拓广为

两个平面 ，EF拓广为平面得到右图

你能猜想这个椭圆的两个焦点的位置吗？