(通用版)高三数学二轮复习第一部分基础送分题专题检测(四)不等式理

二项式定理、排列与组合1、在1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数为（ C ） A 、120- B 、120 C 、15- D 、152、在二项式251()x x -的展开式中，含4x 的项的系数是（ B ） A 、10- B 、10 C 、5- D 、5解析：对于()251031551()()1r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，对于1034,2r r -=∴=，则4x 的项的系数是225(1)10C -=3、64(1(1的展开式中x 的系数是（ B ）A 、4-B 、3-C 、3D 、44、若4(1,a a b =+为有理数)，则a b +=（ B ）A 、33B 、29C 、23D 、19解析：∵(40123401234444441C C C C C =++++112417=++=+17a ++ ∴171229a b +=+=。

5、(1)n ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为（ D ）A 、2,1,5a b n ==-=B 、2,1,6a b n =-=-=C 、1,2,6a b n =-==D 、1,2,5a b n ===解析：5(1)2433n b +==，5(1)322n a +==，则可取1,2,5a b n ===。

6、在4(1的展开式中，x 的系数为 。

解析：2144()r rr r r T C C x +⇒==，故2r =得x 的系数为24 6.C =。

7、7x⎛+ ⎝的二项展开式中x 的系数是 。

解析：7(x+的二项式展开式中x 项为3347()35C x x ⋅=，x 项的系数是35。

8、10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于 。

解析：因r r r r r y x C T -+-=10101)1(所以有373101010()2240C C C -+-=-=-。

数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . (3)等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . (4)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A3．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n －m .(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . (5)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 (1)512 (2)10 4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________． 答案 925．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫23，16．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件． 答案 充分不必要7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)(1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)． (2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． [问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．答案 98．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．答案22易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________． 错解 －1找准失分点 当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1. 正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 错解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132 所以S k ＝2k 2－23k ＋132.找准失分点 忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．正解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0. 当k ≤6时，S k ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝－2k 2＋23k .当k ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132，所以S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7).易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 错解 150或－200找准失分点 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列． ∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2或r ＝－3(舍去)， ∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24)1－2＝150.答案 150易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．错解 由⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4 ≥2ab ＋2ab＋4≥4ab ·1ab＋4＝8， 得⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是8. 找准失分点 两次利用基本不等式，等号不能同时取到． 正解 ⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝(a 2＋b 2)＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋4 ＝[(a ＋b )2－2ab ]＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－2ab ＋4＝(1－2ab )⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4 由ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，得1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b 2≥16,1＋1a 2b 2≥17. ∴原式≥12×17＋4＝252(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是252.1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．28答案 C解析 因为a 3＋a 8＝10，所以由等差数列的性质，得a 5＋a 6＝10， 所以3a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝20，选C.2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析 由1a <1b<0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确； 由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，所以a >b ，即③错误，选B.3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e答案 A解析 x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，14ln x ·ln y ＝(14)2，即14＝ln x ·ln y ≤(ln x ＋ln y 2)2，ln x ＋ln y ≥1，ln xy ≥1，故xy ≥e.4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3答案 A解析 ∵{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也构成等比数列， 记S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，可得S 10－S 5＝－k ， 进而得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，故S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．396答案 C解析 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.6．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________． 答案 2 2解析 点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则m ＋2n ＝1；2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ·22n ＝22m＋2n＝2 2.7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．答案 4解析 由x ，a ，b ，y 成等差数列知a ＋b ＝x ＋y ，① 由x ，c ，d ，y 成等比数列知cd ＝xy ，②把①②代入(a ＋b )2cd 得(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ≥4，∴(a ＋b )2cd的最小值为4.8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．答案 4解析 画出可行域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ， ∴y ＝－2x ＋z ， 令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时， 截距z 有最大值， 故z max ＝2×2＋2＝4.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________． 答案 (4,8)解析 ∵{a n }是单调递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2>0a >1(4－a 2)×6＋4<a2，⎩⎪⎨⎪⎧a <8a >1a <－7或a >4， ∴4<a <8.10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，①知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1， 整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项． 当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，① 2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n ＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。

2021年高考数学二轮复习 不等式专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·四川卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{－2，－1,0,1} C ．{0,1}D ．{－1,0}解析 A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{－1,0,1,2}，选A. 答案 A2．已知a <b ，则下列不等式正确的是( ) A.1a >1bB ．a 2>b 2C ．2－a >2－bD ．2a>2b解析 ∵a <b ，∴－a >－b ，∴2－a >2－b . 答案 C3．(xx·皖南八校联考)若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析 依题意0<x <1⇒a ≤x ≤a ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1.∴－1≤a ≤0. 答案 A4．(xx·山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析 由a x<a y(0<a <1)，知x >y ，所以x 3>y 3，选D. 答案 D5．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP→的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.答案 D6．(xx·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5D ．2解析 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取最小值时，最优解为(2,1)．所以2a ＋b ＝25，则b ＝25－2a ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20＝5⎝⎛⎭⎪⎫a －4552＋4，即当a ＝455，b ＝255时，a 2＋b 2有最小值4. 答案 B 二、填空题7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x ≥0，－x 2＋x x <0，则不等式f (x 2－x ＋1)<12的解集是________．解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x ≥0－x 2＋x x <0的图象，可知该函数是奇函数，且在R 上单调递增，所以由f (x 2－x ＋1)<12＝f (3)可得x 2－x ＋1<3，解得－1<x <2，故不等式f (x 2－x ＋1)<12的解集是(－1,2)．答案 (－1,2)8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋4≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，则ab 的最大值为________．解析 画出可行域，如图所示，目标函数变形为y ＝－ab x ＋z b ，由已知得－a b<0，且纵截距最大时，z 取到最大值，故当直线l 过点B (2,4)时，目标函数取到最大值，即2a ＋4b ＝8，因a >0，b >0，由基本不等式，得2a ＋4b ＝8≥42ab ，即ab ≤2(当且仅当2a ＝4b ＝4，即a ＝2，b ＝1时取“＝”)，故ab 的最大值为2.答案 29．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 解析 因为x ＋2y ＋2xy ＝8，所以y ＝8－x2x ＋2>0， 所以－1<x <8，所以x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2x ＋1·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＝2时取等号．答案 4 三、解答题10．设集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4x ＋3>1. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ，求a ，b 的值． 解 A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4x ＋3>1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋3<0＝{x |－3<x <1}， (1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}．(2)因为2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}，所以－3和1为2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1，b2＝－3×1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.11．(xx·课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立，故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.B 级——能力提高组1．(xx·课标全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1，其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3解析 画出可行域如图阴影部分所示．作直线l 0：y ＝－12x ，平移l 0，当直线经过A (2，－1)时，x ＋2y 取最小值，此时(x ＋2y )min ＝0.故p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2为真．p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2为真．故选B.答案 B2．(xx·辽宁卷)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a－4b ＋5c的最小值为________．解析 要求|2a ＋b |最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值．∵4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab －3b 2.∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab －3b 2＋4ab ＝c ＋6ab －3b 2＝c ＋3b (2a －b )＝c ＋32·2b (2a －b )≤c ＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋2a －b 22＝c ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22，即(2a ＋b )2≤85c ，当且仅当2b ＝2a －b ，即3b ＝2a 时取到等号，即(2a ＋b )2取到最大值．故3b ＝2a 时，|2a ＋b |取到最大值．把3b ＝2a ，即b ＝2a 3代入4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，可得c ＝409a 2. ∴3a －4b ＋5c ＝3a －423a ＋5409a 2＝3a －6a ＋98a 2＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－83a ＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －432－2.∴当1a ＝43时，3a －4b ＋5c取到最小值－2.答案 －23．已知函数f (x )＝13x 3＋a －22x 2－2ax －3，g (a )＝16a 3＋5a －7.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在区间[－2,0]上不单调，且x ∈[－2，0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－12x 2－2x －3，定义域为R ，f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )>0，得x <－1或x >2.∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)f ′(x )＝x 2＋(a －2)x －2a ＝(x ＋a )(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－a . ∵函数f (x )在区间[－2,0]上不单调， ∴－a ∈(－2,0)，即0<a <2.又∵函数在(－2，－a )上，f ′(x )>0，在(－a,0)上，f ′(x )<0，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x －2 (－2，－a )－a (－a,0) 0 f ′(x ) ＋0 －f (x )f (－2)极大值↘f (0)∴f∴f (x )在[－2,0]上的最大值为f (－a )．∵当x ∈[－2,0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，等价于f (－a )<g (a )， ∴－13a 3＋a －22·a 2＋2a 2－3<16a 3＋5a －7.∴16a 3＋a 2－3<16a 3＋5a －7. ∴a 2－5a ＋4<0，解得1<a <4.综上所述，a 的取值范围是(1,2)．24228 5EA4 庤38601 96C9 雉34051 8503 蔃^29586 7392 玒29671 73E7 珧Zh34944 8880 袀20741 5105 儅23866 5D3A 崺31095 7977 祷40302 9D6E 鵮H36899 9023 連。

2021年高考数学二轮复习不等式训练题 理1．(xx·湖北八校联考)“0<a<1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(xx·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a>b ，则( ) A ．ac>bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D. a 3>b 33．(xx·合肥质检)点(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，x≤a，若目标函数z ＝x －2y 的最大值为1，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－3D ．34．(xx·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52 B.72 C.154D. 1525．(xx·湖北七市模拟)不等式x 2＋2x<a b ＋16b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)6．已知点A(a ，b)与点B(1,0)在直线3x －4y ＋10＝0的两侧，给出下列说法： ①3a －4b ＋10>0；②当a>0时，a ＋b 有最小值，无最大值； ③ a 2＋b 2>2；④当a>0且a≠1，b>0时，b a －1的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．47．(xx·银川部分中学联考)不等式(x －1)·x 2－x －2≥0的解集为________． 8．(xx·北京高考)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，2x －y≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．9．(xx·天津高考)设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b 取得最小值.10．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式⎝⎛⎭⎪⎫ax －1a (x ＋4)≤0的解集． (1)求A∩B；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．11．(xx·湖南五市十校联考)某化工企业xx 年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y(单元：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．求该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．12．已知函数f(x)＝13x 3＋12ax 2＋bx.(1)若a ＝2b ，试问函数f(x)能否在x ＝－1处取到极值？若有可能，求出实数a ，b 的值；否则说明理由．(2)若函数f(x)在区间(－1,2)，(2,3)内各有一个极值点，试求w ＝a －4b 的取值范围．1．选A 当a ＝0时，1>0，显然成立；当a≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝4a 2－4a<0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R”的充分而不必要条件．2．选D 当c ＝0时，选项A 不成立；当a>0，b<0时，选项B 不成立；当a ＝1，b ＝－5时，选项C 不成立；a 3－b 3＝(a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b) >0，故选D.3．选A 由题意可知，目标函数经过点(a,1－a)时达到最大值1，即a －2(1－a)＝1，解得a ＝1.4．选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a)2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52.5．选C 不等式x 2＋2x<a b ＋16b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x<⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋16b a min，由于a b ＋16ba≥2a b ·16ba＝8(a ＝4b 时等号成立)， ∴x 2＋2x<8，解得－4<x<2.6．选B 因为点A(a ，b)，B(1,0)在直线3x －4y ＋10＝0的两侧，所以(3a －4b ＋10)(3－0＋10)<0，即3a －4b ＋10<0，故①错误；因为a>0时，点(a ，b)对应的平面区域如图(不含边界)， 所以a ＋b 既没有最小值，也没有最大值，故②错误；因为原点到直线3x －4y ＋10＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪105＝2， 而点(a ，b)在直线3x －4y ＋10＝0的左上方， 所以a 2＋b 2>2，故③正确；ba －1的几何意义是点(a ，b)与(1,0)的连线的斜率， 由图可知，取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞，故④正确． 7．解析：原不等式等价于(x －1)x 2－x －2>0①或(x －1)· x 2－x －2＝0②，解①，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x 2－x －2>0得x>2；解②，由x 2－x －2＝0或x －1＝0且x 2－x －2有意义，得x ＝－1或x ＝2.综上可知，原不等式的解集是{x|x≥2或x ＝－1}． 答案：{x|x≥2或x ＝－1}8．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255. 答案：2559．解析：因为12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a 4|a|＋2b 4|a|·|a|b＝a 4|a|＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b ，a ＜0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a|＋|a|b 取最小值时，a ＝－2.答案：－210．解：(1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x<2， 即A ＝{x|－4<x<2}． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0，即x>－1时，y≥2－1＝1，此时x ＝0，符合题意；当x ＋1<0，即x<－1时，y≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合题意．所以B ＝{x|x≤－3或x≥1}，所以A∩B＝{x|－4<x≤－3或1≤x<2}．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1a (x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2. 当a>0时，C ＝，不可能有C ⊆∁R A ； 当a<0时，C ＝，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－22≤a<0. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0. 11．解：(1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋2＋4＋6＋…＋2xx，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)．(2)由基本不等式得： y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备． 12．解：(1)由题意f′(x)＝x 2＋ax ＋b ， ∵a ＝2b ，∴f′(x)＝x 2＋2bx ＋b. 若f(x)在x ＝－1处取极值，则f′(－1)＝1－2b ＋b ＝0，即b ＝1， 此时f′(x)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，函数f(x)为单调递增函数，这与该函数能在x ＝－1处取极值矛盾， 故该函数不能在x ＝－1处取得极值．(2)∵函数f(x)＝13x 3＋12ax 2＋bx 在区间(－1,2)，(2,3)内分别有一个极值点，∴f′(x)＝x 2＋ax ＋b ＝0在(－1,2)，(2,3)内分别有一个实根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f′－1>0，f′2<0，f′3>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b>0，4＋2a ＋b<0，9＋3a ＋b>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b>a －1，b<－2a －4，b>－3a －9.画出不等式表示的平面区域，如图所示，当目标函数w ＝a －4b 过N(－5,6)时， 对应的w ＝－29；当目标函数w ＝a －4b 过M(－2，－3)时，对应的w＝10.故w＝a－4b的取值范围为(－29,10)．38913 9801 頁25241 6299 抙 {bX>d24263 5EC7 廇a#27027 6993 榓29621 73B5 玵。