当前位置：文档之家 › 高三二轮复习不等式、基本不等式专题

高三二轮复习不等式、基本不等式专题

  • 格式：doc
  • 大小：750.00 KB
  • 文档页数：6

不等式专题课前概述：①出题方向：不等式这个知识点一般单独成题的话会出现在选择或填空里面，有时简单有时比较难，相对而言属于中等题（个别题会出在压轴填空题，跟别的知识结合）；②思路点拨：实际上不等式的题会有三种种出题类型，一种是不等式的恒成立问题，一种是线性规划问题，最后一种是基本不等式的应用。

见到每一种就按照掌握的知识技巧解答；③方法要点：对于该知识点，一般是出现在小题里（选择填空）。

由于不需要过程，只要结果对就行，于是方法就不是很限制，只要能做出来就行，这时要灵活运用做题技巧，尤其是特例法，特殊值法，都可以尝试，关键是把题目给的条件“凑”成要求的结果即可。

知识要点：基本不等式：ab ≤a ＋b 2（1）基本不等式成立的条件：a >0，b >0.（2）等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 注意：1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab(a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性．4．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 典例分析及练习：类型一：有关不等式的几个常见问题：例1、（20XX 届鄞州中学开学考）若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则实数a 的取值范围为（ ）A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)523,(--∞练习1：若不等式)(2222y x a xy x +≤+对于一切正数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A 、2B 、212+C 、23D 、215+练习2．已知x >0，y >0，2x +y =1，若221404x y m +≥恒成立，则m 的取值范围是 ．例2、已知奇函数)(x f 在]1,1[-上是增函数，且.1)1(=f 若对所有的]1,1[-∈x ，都存在]1,1[-∈a 使不等式14)(2--≥at t x f 成立，则实数t 的取值范围是练习：已知定义在R 上的单调递增奇函数f (x )，若当2o πθ≤≤时，f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)<0恒成立，则实数m的取值范围是________．归纳总结：当不等式中求某个字母的最值或取值范围时，首先应该想到能不能分离参数。

当能分离时先分离再运算，如果不能分离时再用常规题型解答。

例3．（20XX 届五校联考）已知,,,a b c d 为常数，若不等式0b x d x a x c ++<++的解集为11(1,)(,1)32--，则不等式1011bx dx ax cx -+<--的解集为 ． 练习：关于x 的不等式222(log )log 0x b x c ++≤（,b c 为实常数）的解集为[2,16]，则关于x 的不等式22210x x c b •+•+≤的解集为归纳总结：如果出现上面这类题型时，一定要先分析出题人的意图，看他们打算考察哪个知识类型（这个方法要靠平时的多积累才能分析出来），否则用常规方法解答很耗时间。

例4、已知函数2()x a f x x+=，当*x N ∈时，()(3)f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ．练习1、实数d c b a ,,,满足0)2()3(222=+++-+d c a a b ，则22()(）d b c a ++-的最小值是 。

练习2．已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，F 为其焦点，当点P 在抛物线C 上运动时，POPF的最大值为( ) A 23 B ．43 C 5 D ．54练习3．已知点)0,4(M ，点P 在曲线x y 82=上运动，点Q 在曲线1)2(22=+-y x 上运动，则PQPM 2的最小值是 .练习4．设),(b a P 是直线x y -=上的点，若对曲线)0(1>=x xy 上的任意一点Q 恒有3≥PQ ，则实数a 的取值范围是 ．练习5、设实数c b a ,,满足,0)(252⎪⎩⎪⎨⎧>=+≥a ac b c a b 若b a c b a +++485的最大值和最小值分别为m M ,，则m M +的值为（ ）A. 9B.332 C. 349 D. 19 练习6、点P 为椭圆()0,012222>>=+b a by a x 在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线x ab y -=于R Q ,，交y 轴，x 轴于N M ,两点，记OMQ ∆与ONR ∆的面积分别为21,S S ，当2=ab 时，2221S S +的最小值为 .练习7、已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O 和圆2O 都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为1e 和2e （12e e >），则122e e +的最小值为（ ）A ．34+ B ．32CD ．38归纳总结：如果出现类似这类题型，首先看看题目考察的是哪个知识，如果没有明确思路的话，一般题目要求求什么，就用函数思想把什么表示出来，然后再转换成不等式的形式求解 例5．设,x y 为实数，若1422=+y x ，则y x +的最大值是练习．函数=y 的最大值是 ；最小值是 . 归纳总结：参数方程法也是对于解不等式类型题的一种常用方法例6．若实数,,a b c 满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为________． 【知识点】基本不等式【解析】：)22332332ab bc c c ⎫⎛⎫⎫-+=++⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭22222313322222223a b b c c ⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22233a b c =++= 【思路点拨】可结合基本不等式对所求式子用基本不等式凑出已知条件中的定值进行解答.例7、若等差数列{}n a 满足2211010a a +=，则101119...S a a a =+++的最大值为 （ ）A ．60B ．50C ． 45D ．40 【知识点】等差数列的性质【解析】：设等差数列的公差为d ，因为2211010a a +=，所以()221010910a d a -+=，而10111910...1045S a a a a d =+++=+，可得104510S d a -=，代入()221010910a d a -+=，整理得()222213545360210000ddS S +-+-=，由关于d 的二次方程有实根可得()()22222360413545210000S S∆=-+-≥，化简可22500S ≤得，解得50S ≤【思路点拨】设等差数列的公差为d ，易得()221010910a d a -+=，由求和公式可得104510S da -=，代入()221010910a d a -+=，整理可得关于d 的方程，由0∆≥可得S 的不等式，解不等式可得． 类型二：基本不等式的常见题型及应用 （1）题型一：“1”的灵活代换：例1． 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y的最小值是_____________．练习1．（2012·浙江）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6练习2、已知x ，y 为正实数，且32=+y x 。

则xyyx +3的最小值为 ； 则)1(2+y x 的最大值为 。

练习3．已知正数x ，y 满足：x +4y=x y ，则x +y 的最小值为 ． 练习4．若正实数x ，y 满足1911x y+=+，则x +y 的最小值是（ ） （A ）15 （B ）16 （C ）18 （D ）19 （2）题型二：（思路）求谁保留谁，把不符合的代换掉例2、已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 ( ) A ．3B ．4C ．92D ．112练习1．（2011·浙江）设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．练习2、已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为练习3．（姜山中学20XX 届12月月考题）若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．（3）题型三：柯西不等式（这个内容属于选修4-5的内容，虽然不学，但是对于做题帮助很大）例3．设a ．,,,(0,)b R a b x y +∈≠∈+∞，则222()a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a bx y=时，上式取等号，利用以上结论，可以得到函数291()((0,))122f x x x x =+∈-的最小值为（ ） A ．169 B ．121C ．25D ．16总结（规律和特点）：练习1、设103m <<，若1313k m m+≥-恒成立，则k 的最大值为 练习2、已知12,(0,),2,21x y x y x y ∈+∞+=++则的最小值为 练习3、若不等式ac c b b a -+-+-λ11>0对于满足条件a >b >c 的实数a 、b 、c 恒成立,则实数λ的取值范围是______ 练习4、（20XX 届四川高考）设0a b >>，则()211a ab a a b ++-的最小值为 练习5 、对任意实数1x >，12y >，不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A.2B.4C.142D.22 【综合练习训练】1、设二次函数2()4()f x ax x c x R =-+∈的值域为19[0,),19c a +∞+++则的最大值为____________． 2、已知二次函数f(x)=αx 2+2x+c(x ∈R)的值域为[0,+∞),则αα11+++c c的最小值为 .3、已知0)(,),20(,)(2≥∈∀<<++=x f R x b a c bx ax x f 恒成立，则)1()0()1(--f f f 的最小值为4、已知实数x 、y 、z 满足0x y z ++=，2221x y z ++=，则x 的最大值为 . 5、已知实数,x y ,实数1,1a b >>，且2xya b ==, （1）若4ab =，则11x y +=_________，（2）28a b +=，则 21x y+的最大值___________ 6、已知正实数b a ,满足321=+b a ，则()()21++b a 的最小值是（ ） A. 163 B. 950 C. 499D. 67、已知1222=+b a ，求b a ⋅的最小值8．已知正数x ,y 满足xy +x +2y =6，则xy 的最大值为 . 9、已知正实数,a b 满足21a b +=，则2214a b ab++的最小值为 . 10、已知向量)1,11(-=x a ，)1,1(yb =)0,0(>>y x ，若b a ⊥，则y x 4+的最小值为11、已知,x y 满足方程210x y --=，当3x >353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为__ _．12、已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围为 ． 13．若对任意]2,1[∈x ，不等式24210()x x a a a R -+⋅+-<∈恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．52a >或2a <- B ．174a >或4a <- C ．174a >或2a <-D ．52a >或4a <-14、若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．1615、设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 。

合集下载

高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)

高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)

专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。

高考数学二轮复习不等式

高考数学二轮复习不等式


(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确 的是__②__③____.(填序号) ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋2 y2， 解得－2≤x＋y≤2， 当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2， 当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤x2＋2 y2， 解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确； x2＋y2－xy＝1 可变形为x－2y2＋34y2＝1，
考点二
线性规划
核心提炼
1.截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转
化为y＝－abx＋bz
(b≠0)，通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值.
2.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z
＝|PM|2. 3.斜率型：形如z＝yx－ －ba (x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
作出不等式组2x－3y－6≤0， x＋2y＋2≥0
表示的平面区域如图
中阴影部分(包括边界)所示，
函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内
的点与点(－1，－2)的距离的平方. 由图知， z＝ x＋12＋y＋22的最小值为点(－1，－2)到直线 x＋2y
＋2＝0 的距离，
即|－1－4＋2|＝3 5
C.[－1，3]
D.[－3，1]
作出约束条件的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
其中 A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝22yx＋－11＝yx＋－1212， 表示定点 M12，－12与可行域内点(x，y)连线的斜率，
不等式基本原理专题 ---(非常全面)

不等式基本原理专题 ---(非常全面)

不等式基本原理专题 ---(非常全面)不等式基本原理专题 - 完整版概述在数学不等式中，有一些基本的原理和定理，这些定理不仅在不等式证明中起到重要的作用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。

在本文中，将阐述几个不同的不等式基本原理，并通过相关例题进行演示。

一、加减法原理不等式加减法原理指的是，如果两个不等式关系成立，则将它们加起来或从其中一个减去另一个，得到的结果仍然是不等式关系。

例如：如果 $a>b$ 且 $c>d$，则 $a+c>b+d$如果 $a>b$ 且 $c>d$，则 $a-c>b-d$二、乘法原理不等式乘法原理指的是，如果不等式关系的两侧均为正或均为负，则将它们相乘，得到的结果仍然是不等式关系，而如果一侧为正，另一侧为负，则将它们相乘，则得到一种新的不等式关系。

例如：如果 $a>b>0$ 且 $c>d>0$，则 $ac>bd$如果 $a>b>0$ 且 $c<d<0$ 或 $a<b<0$ 且 $c>d>0$，则 $ac<bd$三、倒数性质不等式倒数性质指的是，如果 $a>b>0$，则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。

例如：如果 $3>2>0$，则$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$。

四、平均值不等式平均值不等式是一个常用的不等式概念，它指的是对于一组实数 $a_1,a_2,...,a_n$，它们的算术平均值、几何平均值与调和平均值有以下关系：$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$。

例如：对于一组实数 $1,2,3$，它们的算术平均值是 $2$，几何平均值是 $\sqrt[3]{6}$，调和平均值是$\frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{9}{5}$。

基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）

基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。