10-2 安培环路定理

B
o
R
B d l 0 I
l
dl
l
二、安培环路定理
1. 安培环路定理的表述
B dl 0 ?
l
表述: 在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任一
闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径所 包围的各电流的代数和. 表达式: 注意 电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺旋时， 为正；反之为负.
定理表达式中B是闭合积分环路上各点的
总磁感应强度,是由空间所有电流共同激发的
L
闭合环路不包围的电流对 B dl 没有贡献
该定理可用于求解对称性磁场的B分布
与静电场的高斯定理的应用相似
B dl 0 说明磁场不是保守场,而是非保守场,也叫涡旋场
L
定理只适用于稳恒电流的磁场
对称性分析 选择合适的高斯面 根据定理求解
二、安培环路定理的应用
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析；
一个重要结论: 若 Idl1 和 Idl2 关于某个面为镜象对称,则 此对对称电流元在该面上产生的合磁场 必与该面垂直
2. 选取合适的闭合积分路径和积分回路的绕向
过场点 积分路径上各点B大小相等, B//dl 规则曲线

m2 （2）计算 单位：韦伯(wb) 1Wb=1T·
a . dS垂 直B
b. dS跟B成角
d m B dS
d m B cosdS
c. 通过任一曲面的 磁通量
B dS
m B dS
S
B
dS dS n 源自B例 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩 形面积的磁通量.

L
B dl o I i
L

S
B dS 0 j dS

S
B 0 j
安培环路定理的物理意义 磁场是有旋场(或磁场是非保守场，磁感应线 是闭合曲线)。
三、安培环路定理的应用
O
R
r
例3、求长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为 L,共有N匝线圈，单位长度上有 n = N/L匝线圈， 通过每匝线圈电流为I。管内中间部分的磁场是均 匀的，方向与管的轴线平行，在管的外侧磁场很 弱，可以忽略不计。
B
a
b
c d [解]: 若螺线管很长，则边缘效应可以忽略，螺 线管可看成是无限长，由对称性可知管内磁场是 均匀的，方向与管的轴线平行，并由右手螺旋定 则确定。在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B dl B 2πr μ0 I ,
j I / R2
且 I j s jπr 2 (r <R)
B
1 B μ0 jr 2
μ0 Ir B 2π R 2
0 I B 2R
μ0 I r = R处 B 2π R
B
0 Ir 1 0 jr， ( r R) 2 2 R 2 0 I 1 R2 0 j ， r R ) （ 2 r 2 r
例2、求均匀载流无限长圆柱导体内外的磁场分布。
[解]：当r R时 B dl B 2r 0 I
L
I
R
μ0 I B 2π r
I 由 j πR 2
1 R2 B μ0 j 2 r
(r >R)
I jπR2
r
L
L

第十四周作业答案10-1填空题(1)边长为a 的正方形导线回路载有电流为I ，则其中心处的磁感应强度 。

[答案：0Ia π，方向垂直正方形平面]()()()01200004cos cos 4cos 45cos 45I B aI I a a μααπμπππ=⨯-=--= (2)计算有限长的直线电流产生的磁场 用毕奥——萨伐尔定律，而 用安培环路定理求得（填能或不能）。

[答案：能, 不能](3)电荷在静电场中沿任一闭合曲线移动一周，电场力做功为 。

电荷在磁场中沿任一闭合曲线移动一周，磁场力做功为 。

[答案：零，正或负或零](4)两个大小相同的螺线管一个有铁心一个没有铁心，当给两个螺线管通以 电流时，管内的磁力线H 分布相同，当把两螺线管放在同一介质中，管内的磁力线H 分布将。

[答案：相同，相同]10-2选择题（1）对于安培环路定理的理解，正确的是：（A）若环流等于零，则在回路L上必定是H处处为零；（B）若环流等于零，则在回路L上必定不包围电流；（C）若环流等于零，则在回路L所包围传导电流的代数和为零；（D）回路L上各点的H仅与回路L包围的电流有关。

[答案：C]（2）对半径为R载流为I的无限长直圆柱体，距轴线r处的磁感应强度B（）（A）内外部磁感应强度B都与r成正比；（B）内部磁感应强度B与r成正比，外部磁感应强度B与r成反比；（C）内外部磁感应强度B都与r成反比；（D）内部磁感应强度B与r成反比，外部磁感应强度B与r成正比。

[答案：B](3）质量为m 电量为q 的粒子，以速率v 与均匀磁场B 成θ角射入磁场，轨迹为一螺旋线，若要增大螺距则要（）（A ） 增加磁场B ；（B ）减少磁场B ；（C ）增加θ角； （D ）减少速率v 。

[答案：B] 02cos m h v qB πϑ=(4）一个100匝的圆形线圈，半径为5厘米，通过电流为0.1安，当线圈在1.5T 的磁场中从θ=0的位置转到180度（θ为磁场方向和线圈磁矩方向的夹角）时磁场力做功为（）（A ）-0.24J ；（B ）2.4J ；（C ）-0.14J ；（D ）14J 。

13
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平面 等分。ab和cd 与电流平 面平行，则有
dB' dB
dB''
dl'
l pd c
o dl''
ab
方向如图所示。
结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
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是与环共轴的一系列同心圆。
11
设螺绕环的半径为
，共有N 匝线圈。
以平均半径 作圆为安培回路 L得：
R
L
n 为单位长度上的匝数。
其磁场方向与电流满足右手螺旋。 同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：
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例4：设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，
其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流
密度为 j ,求无限大平板电流的磁场分布。
其方向与电流满足右手螺旋法则。
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例3： 求载流螺绕环内的磁场。 解：设环很细，环的平均半径为R ， 总匝数为N，通有电流强度为 I。
磁场的结构与长直螺旋管类似， 环内磁场只能平行于线圈的轴线 (即每一个圆线圈过圆心的垂线)
根据对称性知，在与环共轴的
圆周上磁感应强度的大小相等，
p
方向沿圆周的切线方向。磁感线
表达式
符号规定：穿过回路 L 的电
流方向与 L 的环绕方向服从右 手关系的，I 为正，否则为负。
不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。
3
2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场 在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路 。
在围绕单根载流导线的 垂直平面内的任一回路。
r
4
闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路