二次函数中几何图形的最值问题

二次函数线段最值问题———几何类“最短距离”经典问题汇总 一、“两点之间线段最短”．基本问题在直线l 上找一点P ,使得其到直线异侧两点A B 、的距离之和最小,如图所示．作点A 或B 关于直线l 的对称点,再连接另一点与对称点,与l 的交点即为P 点．变式1直线12l l 、交于O ,P 是两直线间的一点,在直线12l l 、上分别找一点A B 、,使得PAB ∆的周长最短．如图所示,作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、,连接12P P ,与12l l 、分别交于A B 、两点,即为所求．变式2直线12l l 、交于O ,A B 、是两直线间的两点,从点A 出发,先到1l 上一点P ,再从P 点到2l 上一点Q ,再回到B 点,求作P Q 、两点,使AP PQ QB ++最小．如图所示,作A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B 、′′,连接A B ′′分别交12l l 、于P Q 、,即为所求． 变式3从A 点出发,先到直线l 上的一点P ,再在l 上移动一段固定的距离PQ ,再回到点B ,求作P 点使移动的距离最短,如图所示．先将A 点向右平移到A ′点,使AA ′等于PQ 的长,作点B 关于l 的对称点B ′,连接A B ′′,与直线l 的交点即为Q 点,将Q 点向左平移线段PQ 的长,即得到P 点．OB AP 2P 1Pl 2l 1变式4下面这个题与对称无关,但涉及到了平移的内容,与变式4的作法有点类似,因此放在这里,共享一下．A B 、是位于河两岸的两个村庄,要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥,使得从A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短．如图所示,将点A 向垂直于河岸的方向向下平移距离d ,到A ′点,连接A B ′交河岸于Q 点,过Q 点作PQ 垂直于河岸,交河岸的另一端为P ,即为所求．变式5在直线l 上找一点P ,使得其到直线异侧两点A B 、的距离之差的绝对值最大,如图所示．作点A 或B 关于直线l 的对称点,再连接另一点与对称点,其延长线与l 的交点即为P 点．二、“垂线段最短”．例题探究：【探究1】 如图,抛物线4212+--=x x y 与x 轴的两个交点分别为A －4,0、B 2,0,与y轴交于点C ,顶点为D ．E 1,2为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小,并求出最小周长；【探究2】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x 轴交于A B 、两点点A 在点B 的左侧,与y 轴交于点C ;若一个动点P 自点C 出发,先到达x 轴上某点设为点E ,再到达抛物线的对称轴上某点设为点F ,最后运动到点C ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标,并求出这个最短总路径的长．【探究3】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x轴交于A B 、两点点A 在点B 的左侧,与y 轴交于点C ,在线段BC 上是否存在一点P ,使得B 、C 两点到直线AP 的距离之和最大若存在,请求出P 点的坐标；若不存在,请说明理由;【探究4】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x 轴交于A B 、两点点A 在点B 的左侧,与y 轴交于点C ;若一个动点P 自OC 的中点M 出发,先到达x 轴上某点设为点E ,再到达抛物线的对称轴上某点设为点F ,最后运动到点C ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标,并求出这个最短总路径的长．【探究5】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线364y x =-+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,将OBA ∠对折,使点O 的对应点H 落在直线AB 上,折痕交x 轴于点C ．设过A 、B 、C 三点的抛物线2111644y x x =-+的对称轴与直线BC的交点为T ,Q 为线段BT 上一点,请求出QA QO -的取值范围．【探究6】 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线268y x x =-+经过A 2,0、B 4,0两点,直线122y x =+交y 轴于点C ,且过点(8,)D m ．将抛物线268y x x =-+左右平移,记平移后点A 的对应点为'A ,点B 的对应点为'B ,当四边形''A B DC 的周长最小时,求抛物线的解析式及此时四边形''A B DC 周长的最小值．【探究7】 已知： 抛物线223y x x =-++与x 轴交于A B 、两点点A 在点B 的左侧,与y轴交于点C ,顶点为D.直线l 过点C ,且l ∥x 轴,E 为l 上一个动点,EF ⊥x 轴于F ．求使DE+EF+BF 的和为最小值的E 、F 两点的坐标,并直接写出DE+EF+BF 的最小值.。

二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法二次函数是高中数学中一个经常出现的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是处理三角形面积最大值问题。

在本文中，我们将介绍二次函数在处理三角形面积最大值问题中的基本方法和应用技巧。

1. 三角形面积最大值问题的基本原理三角形面积最大值问题指的是给定三边长度为a、b、c，求出以这三条边为边长的三角形的面积最大值。

根据海伦公式，三角形面积公式为：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，是三角形半周长。

我们可以通过求解出上式的最大值来得到三角形的最大面积。

2. 二次函数相关知识介绍二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 是常数，而x是自变量。

二次函数在数学中有着广泛的应用，其标准形式为：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中a表示二次函数的开口方向和大小，常被称为二次函数的开口因子；b表示二次函数的对称轴的位置，常被称为二次函数的对称轴；c表示二次函数在y轴上的截距，即当x=0时，二次函数的函数值。

3. 二次函数求解三角形面积最大值的应用在二次函数求解三角形面积最大值的应用中，我们可以将三角形面积公式中的p表示为：p=(a+b+c)/2 = (x+y+z)/2然后使用二次函数y=f(x)表示√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中x、y、z分别表示三角形的三边长度a、b、c。

由于p=(x+y+z)/2是一个常数，因此我们可以将其视为一个固定值，从而将y=f(x)表示为：y=√[(x+y+z)/2(x+y+z)/2-x(x+y+z)/2-y(x+y+z)/2+z(x+y+z)/2]化简得：y=√[xyz(x+y+z)]这就是一个二次函数的标准形式。

通过求解这个二次函数的最大值，我们就可以得到三角形的最大面积。

4. 二次函数求解三角形面积最大值的具体方法为了求解上述的二次函数的最大值，我们需要使用二次函数y=f(x)的顶点公式：x=-b/2a，y=f(-b/2a)其中x=-b/2a即为二次函数的对称轴坐标，f(-b/2a)即为二次函数的顶点坐标。

数学篇数苑纵横与二次函数有关的最值问题是中考数学中的一个重难点，常与几何图形、三角函数、实际问题等相结合，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.不少同学面对这类最值问题时觉得难以下手，但只要我们认真阅读题目，理解问题的实质，构建出二次函数，再运用二次函数的有关性质即可使问题顺利得解.一、求解实际生活中的最值问题在实际生活中，我们总是追求利益最大或者是成本最低，从数学角度看，就是在特定条件下求目标函数的最大值或者最小值.运用二次函数求解实际生活中的最值问题，关键在于如何构建正确的二次函数模型.解题时应把握以下两点：其一，认真审题，提炼出有用信息；其二，根据题干描述以及自身生活经验，通过合理的抽象确定常量与变量间的函数关系，建立函数模型，然后结合模型和实际情况求得最大值或最小值.需要注意的是，实际问题中二次函数的最大值或最小值不一定在图象的顶点处取得，若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，则要借助函数的增减性来求最大值或最小值.例1某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？解：（1）设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），则每件商品的利润为：（60-50+x ）元，总销量为：（200-10x ）件，商品利润为：y =(60-50+x )(200-10x )，=(10+x )(200-10x )，=-10x 2+100x +2000．∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x ≤12且x 为正整数；（2）y =-10x 2+100x +2000，=-10(x 2-10x )+2000，=-10(x -5)2+2250．故当x =5时，最大月利润y =2250元．这时售价为60+5＝65（元）．点评：此题主要考查了二次函数的应用及二次函数的最值问题.根据每天的利润＝一件的利润×销售量，建立函数关系式.借助二次函数解答实际问题是解题关键．例2李大爷利用坡前空地种植了一片优质草莓.根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m （元/公斤）与第x 天之间满足m ＝ìíî3x +15(1≤x ≤15),-x +75(15<x ≤30).（x 为正整数），销售量n （公斤）与第x 天之间的函数关系如图1所示：图1如果李大爷的草莓在上市销售期间每天如何利用二次函数求解最值问题山西临沂周立恒23数学篇数苑纵横的维护费用为80元．（1）求日销售量n 与第x 天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额-日维护费）（3）求日销售利润y 的最大值及相应的x .解：（1）当1≤x ≤10时，设n ＝kx +b ，由图可知ìíî12=k +b ,30=10k +b ,解得ìíîk =2,b =10,∴n ＝2x +10同理得，当10＜x ≤30时，n =-1.4x +44，∴销售量n 与第x 天之间的函数关系式：n =ìíî2x +10(x ≤x ≤10),-1.4x +44(10<x ≤30),（2）∵y =mn -80，∴y =ìíîïï(2x +10)(3x +15)-80(x ≤x ≤10),(-1.4x +44)(3x +15)-80(10<x <15),(-1.4x +44)(-x +75)-80(15≤x ≤30),整理得，y =ìíîïï6x 2+60x +70,(1≤x ≤10),-4.2x 2+111x +580,(10<x <15),1.4x 2-149x +3220,(15≤x ≤30),（3）当1≤x ≤10时，∵y =6x 2+60x +70的对称轴x =-b 2a=602×6=-5,∴此时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，∴当x =10时，y 取最大值，则y 10=1270当10＜x ＜15时，∵y =-4.2x 2+111x +580的对称轴是直线x =111-4.2×2=1118.4≈13.2<13.5，∴当x =13时，y 取得最大值，此时y 13=1313.2；当15≤x ≤30时,∵y =1.4x 2-149x +3220的对称轴为直线x =1492.8>30,∴此时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小∴x =15时，y 取最大值，y 的最大值是y 15=1300，综上，草莓销售第13天时，日销售利润y 最大，最大值是1313.2元.点评：本题在确定函数最大值时，由于此函数是分段函数，所以要分三种情况讨论.第二种情况中顶点的横坐标在自变量取值范围内，可以利用顶点坐标公式来确定函数的最大值；而第一种情况和第三种情况中顶点的横坐标都不在自变量取值范围内，因此必须利用函数的增减性来确定函数的最大值.分别求出三种情况中的最大值后，还要通过比较确定日销售利润的最大值.二、求解几何图形中的最值问题解答几何图形中的最值问题一般根据已知条件设置相关参数，构建对应的函数模型，再借助函数的性质进行解答.构建二次函数求解几何图形中的最值问题时，要全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在性质，综合运用所学的知识，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等，寻求等量关系构造出二次函数，结合二次函数性质计算出最终结果.同时，为保证求解最值问题的正确性，应明确自变量的取值范围.例3如图2，梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =BC =CD =6，∠D =60°，E 、F 分别为BC 、CD 上两个动点（不与端点重合），且∠AEF =120°，设BE =x ，CF =y .（1）求y 与x 的函数关系式；（2）x 取何值时，y 有最大值，最大值是多少？24数学篇数苑纵横图2解：（1）∵AB =BC =CD =6，BE =x ，CF =y ，∴EC =6-x ，∵BC ∥AD ，∴∠C +∠D =180°，又∠D =60°，∴∠C =120°，∴∠CEF +∠CFE =60°，又∠AEF =120°，∴∠CEF +∠AEB =60°，∴∠CFE =∠AEB ，又梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =CD ，∴∠B =∠C ，∴△ABE ∽△ECF ，∴AB EC =BE CF，即66-x =x y，∴y =-16x 2+x ；（2）函数y =-16x 2+x =-16(x -3)2+32为开口向下的抛物线，由0＜x ＜6可知，当x =3时，y 有最大值，y 的最大值为32.点评：本题的思路为通过已知条件得出相似三角形，由相似三角形的比例式，进而列出y 与x 的函数关系式，最后根据二次函数求最值的方法求出y 的最大值及此时x 的值.同学们在求二次函数最值时一定要注意自变量x 的范围．例4如图3，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝25，∠ACB ＝45°，D 为AB 边上一动点（不与点B 重合），以CD 为边长作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 面积的最大值等于．图3图4解：如图4，过点E 作EM ⊥BA 于M ，过点C 作CN ⊥BA 交BA 的延长线于N ，过点A 作AH ⊥BC 于H ．在Rt△ACH 中，∵∠AHC =90°，∠ACH =45°，AC =25，∴AH =CH =AC ⋅cos 45°=10，在Rt△ABH 中，∵∠AHB =90°，AB =10，AH =10，∴BH =AB 2-AH 2=102-(10)2=310，∴BC =BH +CH =410，∵S △ACB =12⋅BC ⋅AH =12⋅AB ⋅CN ，∴CN =4，在Rt△ACN 中，AN =AC 2-CN 2=(25)2-42=2，∴BN =BA +AN =12，设BD =x ，则DN =12-x ，∵四边形EFCD 是正方形，∴DE ＝DC ，∠EDC =∠EMD =∠DNC =90°，∴∠EDM +∠ADC =90°，∠ADC +∠DCN =90°，∴∠EDM =∠DCN ，∴△EMD ≌△DNC (AAS)，∴EM =DN =12-x ，∴S △DBE =12⋅BD ⋅EM =12⋅x ⋅(12-x )=12x 2+6x =-12(x -6)2+18，∵-12<0，∴当x =6时，△BDE 的面积最大，最大值为18．故答案为18．点评：本题是一道几何函数题，考查了正方形的性质，解直角三角形等知识.求解时应从几何图形入手，充分利用几何图形的性质构造出函数关系，如本题以三角形的面积公式构建二次函数，再利用二次函数的性质解题．25。

二次函数的应用（面积最值问题）[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值X 围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S tt t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道与在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的X 围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积． 解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PHBHBF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的， 故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008XXXX)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米．2．(2008庆阳市)XX 市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为元/平方米．5 m 12m ABCD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -= )5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值．4．(2008XXXX)将一X 边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10m解：令0=y ，则：02082=--x x 0)10)(2(=-+x xxyOAM （图5） （图7） 6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=37．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ B ） A ．4.6m B ．4.5m C ．4m D ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值X 围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x ∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的X 围内， 而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？ (2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2)中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米． 即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．ACD P Q解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° .∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=．11．(2006年XX 市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？ 解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵1020<<x ，∴50<<x当x=2.5时，S 有最大值12.512．(2008XX 内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为0.5 米． 答案：如图所示建立直角坐标系则：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2008XXXX)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？ 解：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-=自变量的取值X 围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2008年XX 市)随着绿城XX 近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉与树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 解：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x -8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得 ==+21y y +==∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧， z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．15．(08XX 聊城)如图，把一X 长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．解：（1）设正方形的边长为cm ，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm ． （2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时， 长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．（3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．16．(08XX)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．（2）可设，于是从而支柱的长度是米．（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．过点作垂直交抛物线于，则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．。