概率论基础定积分概念笔记

第五次P141.习题3、2、29、301、⎰⎰++=++dx 3sinxx 3cosx3x 31dx 3sinx x cosx x 3232 ()⎰++=++=C 3s i n x x ln 313sinx x x sin 3x d 31333 解：()()⎰⎰=+xlnx d edx lnx 1x xlnxxC x C ex x l n x+=+=2、习题4，(11) 解：⎰⎰=x lnsinxdtan dx xcos lnsinx2⎰-=dx sinxcosxtanxtanxlnsinx C x tanxlnsinx +-=3、P109，例3.5，习题3，选择题4、⎰⎰--=dtanx tanxe dx e xcos sinx tanxtanx 3⎰--=tanx tanxde⎰--+-=d t a n xe t a n x et a n xt a n xC e tanxe tanx tanx +--=--5、设()C x arcsin dx x xf +=⎰，则()()⎰+--=C x 131x f dx 3230有理函数积分()⎰dx x R →真分式→部分分式 部分分式：()()n 22n q px x NMx ,q px x N Mx ,b ax 1,b ax 1++++++++ 其中：04q p 2<-5、⎰--+dx 12x x 1x 2解：()()3x 4x 1x 12x x 1x 2+-+=--+3x B4x A ++-=()()()()3x 4x 4x B 3x A +--++=()()1x 4x B 3x A +=-++令 ,75A 4x ==令 72B 3x =-=∴ ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++-=+++dx 3x 24x 571dx 53x x 1x 2C 3x ln 724x ln 75+++-=6、P112 例3.6 (4),(5) 7 P142 习题6 (3),(4)c 22x arctan 21dx 8x 4x 12++=++⎰⎰⎰++-+=++8x 4x 24x 221dx 8x 4x 122()()()2x d 22x 18x 4x 84x d 212222+++-++++=⎰⎰c 22x arctan 218x 4x ln 212++-++=40三角有理式积分()⎰dx cosx sinx,R令 222t 12t sinx t 1t 1cosx t2x tan +=+-== 2t12dtdx += 8、⎰+dx sinx 21⎰+⋅++=dt t 12t 12t 2122⎰++=dt 1t t 12⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21t d 2321t 122C 2321t arctan 32++=C 312x 2tanarctan 32++=9、⎰⎰+=+dx 1x 3sec xsec x cos 3dx 222 ⎰+=tanx 3d 4x 3tan 1312C 2tanx 3arctan 2131+⋅=C 2tanx3arctan 321+=6、设()x f 的原函数()x F 恒正，且()10F =，当0x ≥，有()()2x sin x F x f 2=，求()x f解：()()x f x F =' ()()x sin x F x F 2='()()⎰⎰='2xdx sin dx x F x F 2()()()⎰⎰-=dx cos4x 121x dF x F()C sin4x 41x x F 2+-= 由()10F = 得C=1∴ ()1sin4x 41x x F +-=∴ ()1sin4x 41x x sin x f 2+-=定积分的概念一、定义及性质 <定义>：()()∑⎰=→∆=n1i i i 0x b ax ζf lim dx x f ，{}i ni 1x max λ∆=≤≤注意(1)积分区间有限，被积函数有界； (2)与“分法”、“取法”无关；(3)定积分的值与积分变量的选取无关()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰b a b a dt t f dx x f ； (4)()x f 在[]b ,a 有界是()x f 在[]b ,a 可积的必要条件，()x f 在[]b ,a 连续是()x f 在[]b ,a 可积的充分条件。

<几何意义>：()⎰b adx x f 在几何上表示介于0y =，()x f y =，a x =，b x =之间各部分面积的代数和。

补充规定 ()0dx x f aa=⎰()()⎰⎰-=abba dx x f dx x f <性质>P115，性质（1）—（9）其中(8)为估计定理：在[]b ,a ，()M x f m ≤≤，则()()()a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰(9)中值定理：如()x f 在[]b ,a 连续，[]b a,ζ∈∃，使()()()a b ζf dx x f ba -=⎰例1、 利用定积分几何意义，求定积分值 4dx x 1102π=-⎰上式表示介于0x =, 1x =, 0y =, 2x 1y -=之间面积例2、（估计积分值） 证明21x x 2dx 32102<-+<⎰ 证：2221x 49x x 2⎪⎭⎫⎝⎛--=-+在[]1,0 上最大值为49，最小值为2∴21xx 21322≤-+<∴ 21x x 2132102<-+<⎰二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式 10变上限积分基本定理：设()x f 在[]b ,a 连续，x 为()b ,a 上任意一点，则()()⎰=x adt t f x Φ是可导函数，且()()x f x Φ='即()()⎰=xax f dt t f dxd 说明()⎰x a dt t f 为()x f 的一个原函数。

例3、已知()dt e x F x 0t 12⎰-=,()dt e x F 22x 0t 2⎰-=, ⎰-=1cosx t 32eF()⎰-=sinx cosx t 4dt e x F 2, ()()⎰=x05dt t tf x F ,()()⎰=x06dt t xf x F ， ()()()⎰-=x 07dt t f t x x F求：()⎪⎭⎫⎝⎛='9,2,1,i x F i 解：()()()x cos 3x 2x1242sinxe x F 2xe x F e x F ---='='=' ()()()x xf x F sinxe cosxe x F 5x cos x sin 422='+='-- ()()()x xf dt t f x F x06+='⎰ ()()()()⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x 0x 0x 0/7dt t f 'dt t tf dt t f x x F例4、30x 41cosxx 4xsinxcosxlncosx limx tlntdtlim ⋅=→→⎰ 20x 0x 0x xlncosxlim x sinx lim cosx lim 41→→→⋅⋅=cosx 2x sinx lim 410x ⋅-=→81-=例5、()⎰-=22x 0t dt e1t y 有极大值的点为 DA.1x =B.1x -=C. 1x ±=D. 0x =例6、如()dt t11dt t 11x F x 102x 02⎰⎰+++= 0x ≠,则()=x F B A .0 B .2π C . 31D .e 2例7、P117 例3.11例8、设()x f 在()+∞∞-,上连续，且()()()dt t f t 2x x F x 0⎰-=,证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数 证：()()()()()()t d t f u 2x ut dtt f t 2x x F x 0x 0--+--=--=-⎰⎰-()()dt t f t 2x x 0⎰--=()x F =20定积分计算① 牛顿莱伯尼兹公式 <定理>设()x F 在[]b ,a 连续。

()x F 为()x F 在[]b ,a 上的任意一个原函数，则有F(a)F(b)F(x)f(x)dx ba b a-==⎰② 定积分换元法与分部积分法30奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质 (1) ()x f 在[]a ,a -连续，0a > 当()x f 为偶数，则⎰⎰=a0a -af(x)dx 2f(x)dx当()x f 为奇函数，则0f(x)dx a -a=⎰(2) ⎰⎰=+T0T a af(x)dx f(x)dx ，()x f 以T 为周期说明在任何长度为T 的区间上的积分值是相等的。

例9、e4)dx e -)(e x x(11-1x -x 2001=+⎰原式 ⎰=10x -x )dx e -x(e 2⎰=10x -x)e -x d (e 2[]10xx )e x (e 2-+=e4=例10、⎰⎰-+=+2π2π2π022dx xsin 1 xcos dx x2sin x cos x cos2πx 2arctansin dsin x xsin 112π02π02==+=⎰例11、⎰⎰=-π0π042dx sinx cosx x dx x cos x cos x⎰⎰ππ-=22π0x xcosxsinxd x xcosxsinxd⎰⎰-=π2π2π02x dsin x 21xdsin2x 212π=例12、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0x e 0x x 1f(x)x2则=⎰312)dx -f(xA 、31e -B 、31e +C 、31D 、e 2)dx e dx )x (1f(t)dt t2 x 2)dx -f(x (10x121-131⎰⎰⎰⎰++==--例13、 加P124 例3.18 例14、⎰⎰-=-2222022dx )1(x -1x dx x2x x设 sin t 1-x =π23t)dt sin (12dt t cos cost sin t)(12π022π2π2=+=+⎰⎰-法二 设 t 2sin x 2= 原式π232π!4!!3!8dt t sin 82π4=⋅⋅==⎰例15、设()x f 为连续函数，且⎰+=π0dx f(x)sinx f(x) 求()x f解： 设⎰=π0A dx f(x) 则()A x sin x f +=两边积分π0π0π0π0Ax cosx A A)dx(sinx dx f(x)+-=+=⎰⎰π12A -=∴ π12sinx f(x)-+=(()x f 、()x g 在[]2,0连续，且⎰⎰+-=+=2023202f(x)dx 3x x g(x)g(x)dx 3x f(x)求()x f 、()x g 的表达式 答案：()4x 3x f 2-=()3x x g -= )例16、设 ()0x dt t1ln tx f x 1>+=⎰，求()⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 1f x f解：()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰x 11x 1dt t 1lnt dt t1ln tx 1f x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+++=2x 1x11x 1lnx1lnx()xlnx1x x lnx x 1lnx =+++= ()c x ln 21dx x lnx x 1f x f 2+==⎪⎭⎫⎝⎛+⎰ 令1x = 0c =(∵()01f =)∴ ()x ln 21x 1f x f 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+例17、设 ⎰-=x 0dt tπsintf(x) 求⎰π0f(x)dx解：⎰⎰⎰---=-=π0π0π0π)df(x)π(x )f(x)π(x )πf(x)d(x f(x)dx 2sinxdx dx x-πsinx)π-(x π0π0==⋅=⎰⎰例18、已知()x f 在[]2,0上二阶可导，且()12f =，()02f ='及4f(x)dx 2=⎰求⎰''12(2x)dx f x解：原式 ⎰⎰'-'='=112102(2x)dx f 2x 21(2x)f x 21(2x)f d x 21⎰⎰+-=-=10110f(2x)dx 21xf(2x)21xdf(2x)2121121 t f(t)d 412120=+-=+-=⎰例19、设()x f 在()+∞∞-,连续 证明：⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xu 0x 0du f(x)dx u u)d -f(u)(x 证：右边=⎰⎰⎰=-x0u0x 0u 0f(x)dx ud f(x)dx u⎰⎰⎰⎰⎰=-=-=x0x0x0x0x0u)f(u)du-(x uf(u)du f(u)du x uf(u)du f(x)dx x例20、设 1a ≤ ⎰--=11x dx e a x I(a)求(a)I '解：⎰⎰+=-1a x a 1x dx a)e -(x dx x)e -(a I(a)⎰⎰⎰⎰-+-=-1a x 1a xa-1xa 1xdx e a dx xe dx xe dx e ae1e 2e eedx e dx e ae dx e ae ae ae dx e (a)I a 1ax a 1x 1a x a1x a 1a x a a a a1x --=-=-=+---+='---⎰⎰⎰⎰例21、设()x f 连续，⎰=ϕ10t f(xt)d )(x ，且A xf(x)lim 0x =→ 求(x)ϕ'，并讨论(x)ϕ'在0x =处连续性 解：0f(x)lin f(0)Axf(x)limx 0x ==∴=→→ 得 ()00=ϕ令 u xt = ⎰=ϕxu f(u)d x1(x) 0x ≠ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=ϕ∴⎰0x 00x uf(u)d x1(x)x2A2x f(x)limx f(u)du lim 0-x (0)-(x)lim(x)0x 2xx 0x ===ϕϕ='ϕ→→→⎰∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-='ϕ⎰0x 2A 0x x f(u)duxf(x)(x)2x 0(0)2A2A -A )xf(u)du xf(x)(lim xf(u)duxf(x)lim(x)lim /2x 0x 2x 0x /x ϕϕ===-=-=⎰⎰→→→∴ (x)ϕ'在0x =连续 即(x)ϕ'在()+∞∞-,连续例22、试证方程0dt t sin 1tdt sin x2π2x 10π2=+⎰⎰ 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π,10π内有且仅有一实根 证：设 ⎰⎰-=x 2π2x 10π2dt tsin 1tdt sin F(x) 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π,10π连续 且⎰⎰>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛2π10π210π2π20tdt sin 2πF 0dt t sin 110πF 由介值定理 ⎪⎭⎫⎝⎛∈∃2π,10πζ，使 F(ζ)=0 即F(x)=0有根 又∵0xsin 1x sin (x)F 22>+=' ，()x F 单增∴根唯一例23、设()x f 在[]1,0，连续()⎰-=121x dx x f e 2f(0)试证：[]1,0内至少∃一点ζ，使)ζf()ζ(f =' 证：设()()x f ex F xf-=则()x F 在[]1,0可导⎰==121x -f(x)dxe 2f(0)F(0)1c 21F(c)f(c)e c ≤≤=- ()x F 在[]1,0上满足罗尔定理条件∴至少存在一点ζ，使()0F =ζ'即 0)ζf(e )ζf(e -ζ-ζ=+-亦即()()ζ=ζ'f f例24、P128例3.23 (1) (3)中值例25、04y dt e x 2y 032t 3=++-⎰-0y y 3ey y 2x 34y2='+'-- 24y 2y3ye2x 3y -='-例26习题3.11设)x (f 在]b ,a [连)b ,a (可导，且0)x (f ≤'，⎰-=x adt )t (f ax 1)x (F 证明在)b ,a (内，有0)x (F ≤'证：2xa )a x (dt)t (f )x (f )a x ()x (F ---='⎰b x a )a x ()(f )a x ()x (f )a x (2≤≤ζ≤-ζ---=ax )(f )x (f -ζ-=)x (f 0)x (f ∴≤' 在)b ,a (单调减，x ≤ζ)x (f )(f ≥ζ→ 故 0)x (F ≤'三、定积分应用 P 132 1︒平面图形面积 (ⅰ)直角坐标：[]⎰<<-=ba 2112)x (f )x (f ba dx)x (f )x (f s[])y ()y (dc dy)y ()y (21d c12ϕ<ϕ<ϕ-ϕ=⎰P134 例3.26，例3.27例1习题3 21求抛物线3x 4x y 2-+-=及其点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积解：4x 2y K +-='=在)3,0(-点处，4K 1=，切线方程 3x 4y -= 在)0,3(点处，2K 2-=，切线方程6x 2y +-=⎩⎨⎧+-=-=6x 2y 3x 4y 得交点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,23 [][]498989dx )9x 6x (dx x dx)3x 4x(6x 2dx )3x 4x(3x 4S 3232230232322302=+=+-+=-+--+-+-+---=⎰⎰⎰⎰（ii ）极坐标[]⎪⎭⎫ ⎝⎛θθγ-θγ=ϕϕρ-ϕρ=⎰⎰βαβαd )]()([21d )()(21S 21222122例2、求由曲线θ=γθ=γ2cos ,sin 22所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点⎪⎪⎭⎫⎝⎛π⎪⎪⎭⎫⎝⎛π65,22,6,22 ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡θθ+θθ=⎰⎰πππ60462d 2cos 21d sin 2212S =θθ-⎰πd )2cos 1(60+⎰ππθθ46d 2cos21362sin 212sin 214660--π=θ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ-θ=πππ2︒旋转体体积由b x ,a x ),x (f y ,0y ====所围平面图形绕x 轴旋转一周所生成的立体体积，⎰π=ba 2x dx )x (f V由d y ,c y ,0x ),y (l x ====所围平面图形绕y 旋转一周所得旋转体体积⎰ϕπ=dc 2y dy )y (V例3、过点)0,1(P 作抛物线2x y -=的切线，求该切线与抛物线2x y -=及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为)2x ,x (00-切线方程)1x (2x 21y 0--=切点在切线上，∴1x (2x 212x 000--=-3x 0=，∴切线方程：)1x (21y -=⎰⎰π=-π--π=31322x 6dx )2x (dx )1x (41V6π=θ2。