华师版九年级数学成比例线段

23.1 成比例线段1.成比例线段1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）2.理解成比例线段的概念；（重点）3.掌握成比例线段的判定方法.（难点）一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.二、合作探究探究点一：线段的比【类型一】 求线段的比已知线段AB ＝2.5m ，线段CD ＝400cm ，求线段AB 与CD 的比.解析：要求AB 和CD 的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB 和CD 的单位统一.解：∵AB ＝2.5m ＝250cm ，∴AB CD ＝250400＝58. 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【类型二】 比例尺在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是 m.解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离”可求解. 设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1：50 000＝3：x ，解得x ＝150 000. 150 000cm＝1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.探究点二：成比例线段【类型一】 判断线段成比例下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）A.3cm ，4cm ，5cm ，6cmB.4cm ，8cm ，3cm ，5cmC.5cm ，15cm ，2cm ，6cmD.8cm ，4cm ，1cm ，3cm解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C 项排列后有25＝615.故选C. 方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.【类型二】 由线段成比例求线段的长已知：四条线段a 、b 、c 、d ，其中a ＝3cm ，b ＝8cm ，c ＝6cm.（1）若a 、b 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度；（2）若b 、a 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度.解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解.解：（1）由a 、b 、c 、d 是成比例线段，得a b ＝c d ，即38＝6d，解得d ＝16. 故线段d 的长度为16cm ；（2）由b 、a 、c 、d 是成比例线段，得b a ＝cd ，即83＝6d ，解得d ＝94. 故线段d 的长度为94cm. 方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.解析：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.解：若x ：1＝2：2，则x ＝22；若1：x ＝2：2，则x ＝2；若1：2＝x ：2，则x ＝2；若1：2＝2：x ，则x ＝2 2.所以所添加的线段的长有三种可能，可以是22cm ，2cm ，或22cm. 方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.三、板书设计成比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ：CD ＝m ：n ，或写成AB CD ＝mn 成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比 等于c 与d 的比，即a b ＝c d ，那么这 四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.。

华师版数学九年级上册解码专训22.1.2 成比例线段教学目标【知识与技能】从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段,理解成比例线段的概念.【过程与方法】在成比例线段的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题.【情感、态度与价值观】在探究成比例线段的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识.重点难点【重点】认识成比例的线段.【难点】理解成比例线段的概念.教学过程一、复习回顾,引入新课师:同学们还记得我们上节课学习了什么知识吗?生:学习了相似多边形.师:是的,你能说说什么是相似多边形吗?生:一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.师:很好!由于多边形的边是线段,所以在研究图形相似之前,这节课我们先要学习成比例线段的有关知识.二、讲授新课如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成=.其中,线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么=k,或AB=k·CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.活动:如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的长度比是多少?师生活动.教师出示图片,提出问题.学生考虑如何求得这两条线段的比.学生求出的值不唯一,只要方法恰当,教师都要给予肯定.1.两条线段的比,就是两条线段长度的比.2.成比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.这时,线段a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项.注意:(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系,但在计算时要注意统一单位;(2)线段的比是一个没有单位的正数;(3)四条线段a、b、c、d成比例,记作=或a∶b=c∶d;(4)若四条线段满足=,则有ad=bc;(5)如果ad=bc(a、b、c、d都不等于0),那么=.三、例题讲解【例1】如图,下面右边的四个图形中,与左边的图形形状相同的是( )解:C【例2】一张桌面长a=1.25 m,宽b=0.75 m,那么长与宽的比是多少?解:=小结:上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位,求得的的值是相等的,所以说,两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求此时两条线段的长度单位必须一致.【例3】已知:一张地图的比例尺是1∶32 000 000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5 cm,北京到上海的实际距离大约是多少km?分析:根据比例尺=,可求出北京到上海的实际距离.解:设北京到上海的实际距离大约是x cm.则=,得x=112 000 000(cm).又112 000 000 cm=1 120 km.答:北京到上海的实际距离大约是1 120 km.。

23.1.1成比例线段教学目标：1.掌握成比例线段的概念及其性质；2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例.教学重点：线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质；教学难点：探索比例的性质.教学过程：一．知识梳理1.两条线段的比：如果用量得两条线段A.b 的长度分别为m ，n ，则就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a mb n =. 【答案】同一长度单位；m ∶n2. 对于四条线段A.B.C.d ，如果d c b a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做，简称比例线段，也称这四条线段成比例．（注意，A.B.C.d 必须按顺序写出）.特别的，若c b b a =，则称b 为A.c 的.【答案】成比例线段；比例中项3.比例的基本性质：（1）如果d c b a =，那么．（2）如果ad ＝bc （A.B.C.d 都不等于0），那么．【答案】（1）ad=bc （2）d c b a = 二．典型例题例练1. 判断下列线段A.B.C.d 是否是成比例线段：（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝4cm ，b ＝2cm ，c ＝1cm ，d ＝3cm ．（精讲点拨：方法1：统一单位后，从小到大排列，若第一与第二，第三与第四条线段数量的比相等，则这四条线段成比例.方法2：统一单位后，从小到大排列，若第一与第四、第二与第三条线段数量的积相等，则这四条线段成比例.）例练2. 已知23=b a ，那么b b a +、b a a -各等于多少？【答案】52、1 例练3. x:y:z=1:2:3，且2x+y-3z=-15，则x 的值为.【答案】3.例练4. 已知352=-bb a ，求b b a +的值. 【答案】103 三、课堂练习：1.下列各组中的四条线段成比例的是（）A. 4cm,2cm,1cm,3cmB. 1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cmC. 2.5cm,3.5cm,4.5cm,5.5cmD. 1cm,2cm,4cm,2mm2.已知118x y x+=，求x y . 3. 已知a:b:c=2:3:4,求b cb a -+2.【答案】1.D2.38.3. 43. 四、当堂巩固检测：1. 已知线段a=15cm,b=3mm,则a:b=;2. 下列四条线段成比例的是（）A. 1cm,2cm,4cm,6cmB. 3cm,4cm,7cm,8cmC. 2cm,4cm,8cm,16cmD. 1cm,3cm,5cm,7cm3. 已知x:y=2:3，则下列各式不成立的是（）A.35=+yyxB.31=-yxyC.312=yxD.4311=++yx【答案】1. 50：1;2. C3. D五、课后小结：。

第23章图形的相似23．1成比例线段23．1.1成比例线段●教学目标知识与技能1．理解比例线段的概念和比例的基本性质．2．掌握比例线段的判定方法，会运用比例的基本性质进行变形．过程与方法通过图形来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理能力．通过例题的学习，培养学生的灵活运用知识能力．情感态度与价值观学生通过经历、观察、操作、欣赏，感受图形的相似，让学生自己去体会生活中的相似，从而理解相似的概念，探索它的基本特征，学会在实践中发现规律．●教学重点重点比例线段及比例的基本性质的应用．难点比例性质的推导与应用．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标你瞧，日常生活中，我们经常会看到这种相似的图形，那么它们有什么主要特征与关系呢？从今天开始，我们来学习图形的相似，研究它们的特征和性质．二、自主学习，指向目标1．预习课本48页和49页．2．做《名师学案》的“知识储备”部分．三、合作探究，达成目标探究点一图形的相似活动一日常生活中，我们会碰到很多形状相同、大小不一定相同的图形，例如下面两张照片，右边的照片是由左边的照片放大得来的，尽管它们大小不同，但形状相同．你还能举出类似的例子吗？【展示点评】我们把这种具有相同形状的图形称为相似图形(similar figures)．同一底片扩印出来的不同尺寸的照片是相似图形，放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像，也是彼此相似的．活动二由图23.1.1的格点图可知，ABA′B′＝________，BCB′C′＝________．这样ABA′B′与BCB′C′之间有什么关系？图23.1.1【展示点评】通过计算我们知道ABA′B′＝BC B′C′.对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如ab＝cd(或a∶b＝c∶d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段(proportional segments)，此时也称这四条线段成比例．【反思小结】1．相似图形的特征：形状相同，大小可以相同，也可以不同．如果是两个相似多边形，那么它们的对应角也相同，对应边成比例．2．四条线段成比例，它们是有顺序的，比如a，b，c，d成比例，我们必须写成式子：a∶b＝c∶d.【例题讲解】例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a＝4，b＝8，c＝5，d＝10；(2)a＝2，b＝215，c＝5，d＝5 3.解：(1)∵a b ＝48＝12，c d ＝510＝12，∴a b ＝cd ，∴线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．(2)∵a c ＝25＝255，b d ＝21553＝255，∴a c ＝bd ，∴这四条线段是成比例线段．【针对训练】1．判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： (1)a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；(不是成比例线段) (2)a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝53；(是成比例线段) (3)a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ；(是成比例线段) (4)a ＝0.8，b ＝3，c ＝0.64，d ＝2.4.(是成比例线段) 探究点二 比例的性质【活动】求证：已知a ，b ，c ，d 是四条线段． (1)如果a b ＝cd (或a ：b ＝c ：d)，那么ad ＝bc ；(2)如果ad ＝bc ，那么a b ＝cd.【展示点评】我们首先证明(1)，根据等式的基本性质二，我们在等式的两边同时乘以bd ，就得到ad ＝bc.我们再来证明(2)，在等式ad ＝bc 两边同时除以bd ，就得到a b ＝cd.【反思小结】 比例的基本性质：如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc. 如果ad ＝bc ，那么a b ＝c d .【例题讲解】例2 证明(1)如果a b ＝c d ，那么a ＋b b ＝c ＋d d ；(2)如果a b ＝c d ，那么a a －b ＝c c －d (a ≠b)．证明：(1)∵a b ＝c d ，在等式两边同加上1，得a b ＋1＝cd ＋1，∴a ＋b b ＝c ＋d d.(2)∵a b ＝cd ，∴ad ＝bc ，在等式两边同减去ac ，得ad －ac ＝bc －ac.∴ac －ad ＝ac －bc ，∴a(c －d)＝(a －b)c.由a ≠b ，且a b ＝cd ，知c ≠d ，从而a －b ≠0，且c －d ≠0，在上式两边同除以(a －b)(c －d)，得a a －b ＝cc －d.【针对训练】已知a b ＝c d ，求证：(1)a ＋b b ＝c ＋d d ；(2)a a －b ＝cc －d.四、总结梳理，内化目标1．相似图形：形状相同的图形叫相似图形．2．成比例线段的概念：如果四条线段a ，b ，c ，d ，满足a ∶b ＝c ∶d ，则a 、b 、c 、d 四条线段成比例．3．比例的基本性质：对于四条线段a ，b ，c ，d.如果a b ＝cd (或a ：b ＝c ：d)，那么ad ＝bc ；如果ad ＝bc ，那么a b ＝cd.4．比例性质的应用方法和过程 五、达标检测，反思目标1．判断下列各组线段是否成比例 (1)4cm 、6cm 、8cm 、2cm(2)1.5cm 、4.5cm 、2.5cm 、7.5cm (3)1.1cm 、2.2cm 、3.3cm 、6.6cm (4)2cm 、4cm 、4cm 、8cm.2．已知线段x 、y 、z ，x ＋y ＋z ＝54，且x 2＝y 3＝z4，求x 、y 、z 的值．3．已知a b ＝cd (b±d ≠0)，求证：a ＋c a －c ＝b ＋d b －d.六、布置作业，巩固目标教科书55页习题2、4、5、6 ●教学反思从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括．通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力．23．1.2 平行线分线段成比例●教学目标 知识与技能1．使学生掌握平行线分线段成比例定理及推论．2．会用平行线分线段成比例定理及推论进行计算或者证明．3．通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力． ●教学重点 重点 平行线等分线段定理． 难点 平行线等分线段定理．教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )教学过程设计一、创设情景，明确目标1．同学们，我们的作业本每一页都是由一些距离相等的平行线组成，下面请同学们在作业本上画一条直线m 和相邻的三条平行线交于A ，B ，C 三点，AB 与BC 相等吗？2．再画一条直线n 与这三条平行线交于点D ，E ，F ，DE 与EF 相等吗？图23.1.2 图23.1.3我们发现AB ＝BC ，DE ＝EF ，所以有：AB BC ＝DEEF，是不是任意几条平行线被两条直线截得的对应线段都成比例呢？二、自主学习，指向目标1．预习课本第51页至第52页；2．做《名师学案》的“知识储备”部分． 三、合作探究，达成目标探究点一 平行线分线段成比例活动选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画两条直线m 、n 与它们相交．如果m 、n 这两条直线平行(如图23.1.4)，观察并思考这时所得的AD 、DB 、FE 、EC 这四条线段的长度有什么关系；如果m 、n 这两条直线不平行(如图23.1.5)，你再观察一下，也可以量一量，算一算，看看它们是否存在类似的关系．图23.1.4 图23.1.5【展示点评】经过测量和计算，我们知道AD DB ＝EFEC.所以我们可以得到如下事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． (简称“平行线分线段成比例”) 【反思小结】1．在使用平行线分线段成比例定理时，一定要注意对应线段的对应关系． 2．在写比例式时，也可以将两条直线上的对应线段作比，如：AD EF ＝DBCE .【针对训练】1．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB ＝2，BC ＝3，DE ＝1，则EF 的值为( B ) A.23 B.32 C ．6 D.16第1题图第2题图2．如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与ADAF 相等的是( D )A.AB EFB.CD EFC.BO OED.BC BE探究点二 平行线分线段成比例定理的推论 活动一如图23.1.6，当点A 与点F 重合时，就形成一个三角形的特殊情形，此时AD 、DB 、AE 、EC 这四条线段之间会有怎样的关系呢？【展示点评】如图23.1.6，在△ABC 中，DE ∥BC ，过点A 作DE 的平行线，那么根据平行线分线段成比例的基本事实，可以得到AD DB ＝AE EC ，再根据比例的有关性质，就有AD AB ＝AE AC 和DB AB ＝ECAC 等结论．活动二如图23.1.7，当直线m 、n 相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？【展示点评】类似于上面的思考方法，过点A 做直线BC 的平行线，根据平行线分线段成比例定理可得：AB AD ＝ACAE ，等等．由此，我们得到如下结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．【例题讲解】例1 如图23.1.9，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝4，DE ＝3，EF ＝6.求BC 的长．解：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴AB BC ＝DEEF(平行线分线段成比例)． ∵AB ＝4，DE ＝3，EF ＝6， ∴4BC ＝36，∴BC ＝8.例2 如图23.1.10，E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连结BE ，交AC 于点O ，交AD 于点F.求证：BO FO ＝EOBO.证明：∵AF ∥BC ，∴BO FO ＝COAO (平行线分线段成比例)．∵AB ∥CE.∴EO BO ＝COAO(平行线分线段成比例)． ∴BO FO ＝EO BO【针对训练】1．(中考·包头)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB.若AD ＝2BD ，则CFBF的值为( A )A.12B.13C.14D.232．在图中，DE ∥AF ∥BC ，根据上面的结论，试找出图中成比例的线段，与你的同伴比一比，看谁找得快，找得多．四、总结梳理，内化目标1．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2．平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．在使用这两个定理时，一定要注意对应线段不要写错． 五、达标检测，反思目标1．如图，已知EF ∥CD ，DE ∥BC ，下列结论中不一定正确的是( B ) A.AF AD ＝AD AB B.AE AD ＝AF AC C.AF AD ＝AE AC D.AB AD ＝AC AE2．如图所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3.则CE 的值为( B ) A ．9 B ．6 C ．3 D ．4六、布置作业，巩固目标见课本第55页练习第1，2题． ●教学反思通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系．再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力．。