云南省昆明市2019届高三高考模拟(第四次统测)文科数学试卷(带解析)

云南省昆明市2019届高三高考5月模拟文科数学试题(word无答案)一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．3(★★) 2 . 在复平面内，与复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 3 . 已知等差数列的前项和为，，则（）A．0B．2C．3D．6(★)4 . “ ”是“ ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★) 5 . 已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则的方程是（）A．B．C．D．(★) 6 . 已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是A．或B．C．D．(★) 7 . 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递增B．在区间上单调递增C．在区间上单调递增D．在区间上单调递增(★) 8 . 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．(★) 9 . 黄金矩形是宽（）与长（）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是（）A．B．C．D．(★) 10 . 己知椭圆：，直线过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．(★) 11 . 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．(★★) 12 . 己知奇函数的导函数为，．当时，．若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 若，满足约束条件，则的最小值为_____．(★) 14 . 在边长为6的等边三角形中，．则_____⋅(★) 15 . 能说明“已知，若对任意的恒成立，则在上，为假命题的一个函数_____⋅（填出一个函数即可）(★) 16 . 己知数列满足，，则_____三、解答题(★) 17 . 在中，为边上一点，，，，.（1）求；（2）求的面积．(★) 18 . 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的点.(1)证明：；(2)若，求到平面的距离.(★) 19 . 设抛物线：的焦点为，是上的点．（1）求的方程：（2）若直线：与交于，两点，且，求的值．(★) 20 . 改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的下降到2018年底的，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：年份（）2012201320142015201620172018贫困发生率10.28.57.2 5.7 4.5 3.1 1.4（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于的概率；（2）设年份代码，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年的贫困发生率．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，.(★★★★★) 21 . 已知函数，，.（1）当时，讨论函数的零点个数．（2）的最小值为，求的最小值．(★) 22 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），将曲线按伸缩变换公式，变换得到曲线.（1）求的普通方程；（2）直线过点，倾斜角为，若直线与曲线交于，两点，为的中点，求的面积．(★) 23 . 已知函数.（1）设在平面直角坐标系中作出的图象，并写出不等式的解集．（2）设函数，，若，求的取值范围．。

云南省昆明市2019届高三数学5月模拟试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{(,)|}A x y y x ==-，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】判断集合,A B 元素的属性特征，可以知道集合,A B 都是点集，所以AB 就是求直线,y x y x ==-的交点，这样就可以确定A B 中元素的个数.【详解】因为集合(){,|}A x y y x ==-，(){,|}B x y y x ==，所以{}(,)(0,0)y x A B x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪⋂==⎨⎨⎬=-⎩⎪⎪⎩⎭，所以A B 中元素的个数为1，故本题选B.【点睛】本题考查了集合的交集运算.解决此类问题的关键是对集合元素属性特征的认识.2.在复平面内，与复数11i+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】11111(1)(1)22i i i i i -==-++-,复数11i +对应的点为11(,)22-，它在第四象限，故本题选D.【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a =（ ） A. 0B. 2C. 3D. 6【答案】C 【解析】 【分析】因为{}n a 是等差数列，根据721S =，可以求出176a a +=，利用等差数列的性质可以求出4a =3.【详解】因为{}n a 是等差数列，所以1717744217)2(6263S a a a a a a ++=⇒=⇒=⇒==,故本题选C. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差数列的性质.考查了运算能力.4.“1x >”是“21x >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然1x >能推出21x >，但是21x >不一定能推出1x >，有可能1x <-，所以可以判断“1x >”是“21x >”的充分不必要条件.【详解】因为由1x >⇒21x >，由21x >推不出1x >，有可能1x <-， 所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.5.已知双曲线C 的一个焦点坐标为0)，渐近线方程为2y x =±，则C 的方程是（ ） A. 2212y x -=B. 2212x y -=C. 2212y x -=D. 2212x y -=【答案】B 【解析】 【分析】通过双曲线C 的一个焦点坐标为),可以求出 c ，渐近线方程为2y x =±，可以得到2b a =，结合c ,a b 的值，最后求出双曲线的方程.【详解】因为双曲线C 的一个焦点坐标为),所以c =C 的渐近线方程为2y x =±，所以有2b a =a ⇒=，c =c =1a b ==，因此双曲线方程为2212x y -=，故本题选B.【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力.6.已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是 A. l β∥或l β⊄ B. //l m C. m α⊥ D. l m ⊥【答案】A 【解析】 【分析】选项A 中l 与β位置是平行或在平面内，选项B 中l 与m 可能共面或异面，选项C 中m 与α的位置不确定，选项D 中l 与m 的位置关系不确定．【详解】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则//l β或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误；对于C ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．7.将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间5[,]1212ππ-上单调递增B. 在区间511[,]1212ππ上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递增D. 在区间5[,]36ππ上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为： sin 2()sin(2)63y x y x ππ=-⇒=-，单调递增区间：5222()()2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈， 单调递减区间：3511222()()2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒-≤≤+∈，由此可见，当0k =时，函数在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故本题选A. 【详解】本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间.8.函数()y f x =的导函数()y f'x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数大于零、小于零的区间，这样原函数的单调性的情况也就知道，对照选项，选出正确的答案.【详解】如下图所示：当,x a b x c <<<时，'()0,()f x f x >单调递增；当,a x b x c <<>时，'()0,()f x f x <单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A 中的图象符合，故本题选A.【点睛】本题考查了利用导函数的正负性研究原函数的单调性.本题容易受导函数的增减性干扰.9.黄金矩形是宽（b）与长（a）的比值为黄金分割比(ba=的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH．在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是（）2D.22【答案】C【解析】【分析】设矩形的长，宽分别为,a b,所以b=，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF,所以32CE a b a-=-=，设矩形ABCD的面积为S,正方形CEGH的面积为'S,设在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是P,则2')22SPS===，故本题选C.【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.10.己知椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>，直线l过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（）【答案】D 【解析】【详解】直线l 的方程为y x c =±，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦为AB ,2AB c =，设OC AB ⊥，垂足为C ，则2OC ==，在Rt OAC ∆中，22222222113()22233OA AC OC a AB c a c c a e =+⇒=+⇒=⇒=⇒=，故本题选D.【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法.考查了圆弦长公式，考查了运算能力.11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. 8πB. 9πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】 【分析】通过三视图，还原为立体几何图形，然后补成长方体中，利用长方体的对角线的长求出外接球的半径，进而求出球的表面积.【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱111D AC DAC -，其中底面是直角三角形，把它补成长方体如下图所示：连接1D B ,设外接球的半径为R ，所以有23R ====,球的表面积为249R ππ=,故本题选B.【点睛】本题考查了通过三视图，识别空间几何体，并求这个空间几何体外接球的表面积，考查了空间想象能力、运算能力.12.己知奇函数()f x 的导函数为'()f x ，x ∈R ．当(0,)x ∈+∞时，'()()0xf x f x +>．若()2(2)(2)a f a f a a f a ≥-+-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞-B. [1,1]-C. (,1][1,)-∞-+∞D. [1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】通过给出的不等式，可以联想导数的运算法则，再结合问题所给的形式，构造新函数()()g x xf x =，这样可以知道当(0,)x ∈+∞时，函数()g x 的单调性，再判断函数()g x 的奇偶性， 另一方面，利用奇函数()f x 的性质可以化简()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-，这样可以得到与新函数的有关的不等式，利用()g x 的单调性、奇偶性可以求出实数a 的取值范围.【详解】设()()g x xf x =''()()()0g x f x xf x ⇒=+>所以当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，因为()f x 是奇函数，所以有()()f x f x -=-，因此有()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，所以()g x 是偶函数， 而2(2)(2)2(2)(2)(2)(2)f a af a f a af a a f a -+-=---=--，()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-可以化为()(2)(2)()(2)af a a f a g a g a ≥--⇒≥-，()g x 是偶函数，所以有()(2)()(2)g a g a g a g a ≥-⇒≥-，当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，所以有21a a a ≥-⇒≥，故本题选D.【点睛】本题考查通过构造函数解不等式问题.考查了奇偶函数的性质.二、填空题．13.若x ，y 满足约束条件02020x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x -的最小值为_____．【答案】-2 【解析】 【分析】在平面直角坐标中，画出可行解域，设y x z -=，平移直线y =x+z ，找到截距最小的位置，求出z 的最小值.【详解】在平面直角坐标中，画出可行解域，如下图所示：设y x z -=，平移直线y =x+z ，当直线经过(2,0)时，z 有最小值为022-=-. 【点睛】本题考查了求线性目标函数的最小值，考查了数形结合思想、运算能力.14.在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =．则AB AD ⋅=_____⋅ 【答案】24 【解析】 【分析】以,AB BC 为一组基底，AD 用,AB BC 这组基底表示,最后用数量积公式求得AB AD ⋅=24.【详解】2002()3236cos(18060)3213666()24.32AB AD AB AB BD AB AB BC AB BC ⋅=⋅+=+⋅=+⋅⋅-=+⨯⨯⨯-= 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、平面向量基本定理、向量的加法几何意义，本题易错的地方是误把B Ð看成,AB BC 的夹角.15.能说明“已知2()1f x x =+，若()()f x g x ≥对任意的[0,2]x ∈恒成立，则在[0,2]上，min max ()()f x g x ≥为假命题的一个函数()g x _____⋅（填出一个函数即可）【答案】x . 【解析】 【分析】可以根据212x x +≥这个不等式入手，令()2g x x =，当[]0,2x ∈时，m i n ()1f x =而max ()4g x =，显然min max () ()f x g x ≥是假命题，当然这样的()g x 函数有好多，比如 ()g x x =，2()3g x x =等等. 【详解】因为212x x +≥，所以令()2g x x =，当[],2x ∈时，min ()1f x =而max ()4g x =，所以min max () ()f x g x ≥是假命题，当然()g x x =，2()3g x x =也可以. 【点睛】本题考查了两个函数大小恒成立问题的判断，本题如果改成逆命题，就成立，也就是若对任意的[]0,2x ∈有min max () ()f x g x ≥成立，那么当[]0,2x ∈时，()()f x g x ≥恒成立.16.己知数列{}n a 满足11a =，122311n n na a a a a a n ++++=+，则n a =_____ 【答案】1n【解析】 【分析】由递推公式得2a ，又能得到11(1)n n a a n n +=+，再求出几项，这样可以猜想数列的通项公式，再由数学归纳法证明.【详解】由1122311,1n n na a a a a a a n +=++⋯+=+，可得212a =， 且122311(2)n n n a a a a a a n n--++⋯+=…，两式作差得， 221111(2)1(1)(1)n n n n n n a a n n n n n n n +--+=-==+++…，234111,,,234a a a =∴==⋯猜想1n a n=，现用数学归纳法证明： 当1n =时，显然成立； 假设当n k =()*k ∈N时成立，即1k a k=当1n k =+时，*111(1)1k k a a k k k +==⋅++，即1n k =+时，也成立，综上1n a n=. 【点睛】本题考查了数列的递推公式、数学归纳法.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AC ⊥，AB =，BD =，2AD =.（1）求ADB ∠； （2）求ABC ∆的面积． 【答案】（1）34ADB π∠=（2）3 【解析】 【分析】（1）直接运用余弦定理，求出cos ADB ∠，进而求出ADB ∠的大小；（2）通过（1）可以判断出ADC 的形状，根据ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+，可以求出ABC 的面积.【详解】（1）已知AB ，BD =，2AD =，在ABD △中，由余弦定理得222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⨯⨯， 又因为()0,ADB π∠∈，所以34ADB π∠=. （2）因为ADB ADC π∠+∠=，所以4ADC π∠=，因AD AC ⊥，所以ADC 为等腰直角三角形，可得2AC =，所以112223222ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+=⨯+⨯⨯=.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC 为等边三角形，AB AC ⊥，M 是BC 的点.(1)证明：AC PM ⊥；(2)若AB AC 2==，求B 到平面PAM 的距离.【答案】(1)见解析（2）7【解析】 【分析】（1）取AC 的中点为O ，证明AC ⊥平面POM ，即可证明⊥AC PM ；（2）计算三棱锥P ABM -的体积，利用B PAM P ABM V V --=，可以求出B 到平面PAM 的距离.【详解】（1）证明：取AC 的中点为O ，连结OP ，OM ， 在等边三角形PAC 中，有OP AC ⊥， 由M 是BC 的中点，OM 是ABC △的中位线， 所以//OM AB ，因为AB AC ⊥，所以AC OM ⊥， 又OP OM O ⋂=，所以AC ⊥平面POM ， 因为PM ⊂平面POM ， 所以⊥AC PM .（2）因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，OP AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，在等腰直角ABC △中，2AB AC ==，2ABC S ∆=，所以，123P ABC V -=⨯=，因为M 是BC 的中点，所以123P ABM P ABC V V --==，又因为12AM BC ==在Rt POM 中，2PM ==，在PAM △中，AM =2PA PM ==，故PAM S ∆=设B 到平面PAM 的距离为d ，因为B PAM P ABM V V --=，所以13d =7d =所以B 到平面PAM 【点睛】本题考查了通过线面垂直证明线线垂直、利用三棱锥的体积公式求点到面的距离.19.设抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，(,1)M p p -是C 上的点． （1）求C 的方程：（2）若直线l ：2y kx =+与C 交于A ，B 两点，且13AF BF ⋅=，求k 的值． 【答案】（1）24x y =（2）1k =±. 【解析】 【分析】（1）直接把(,1)M p p -代入抛物线方程中，求出p ；（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，化简||||AF BF ⋅，最后利用||||13AF BF ⋅=，求出k 的值.【详解】（1）因为(),1M p p -是C 上的点， 所以()221p p p =-，因0p >，解得2p =，抛物线C 的方程为24x y =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由224y kx x y=+⎧⎨=⎩得2480x kx --=， 216320k ∆=+>则124x x k +=，128x x =-，由抛物线的定义知，11AF y =+，21BF y =+，则()()()()12121133AF BF y y kx kx ⋅=++=++，()2121239k x x k x x =+++，24913k =+=，解得1k =±.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了运算能力.20.改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的97.5%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率； （2）设年份代码2015x t =-，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年的贫困发生率．附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）17（2）0.1%. 【解析】 【分析】（1）设2012年至2015年贫困发生率分别1A ，2A ，3A ，4A ，均大于5%设2016年至2018年贫困发生率分别为1B ，2B ，3B ，均小于5%，列出从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况，最后利用古典概型公式，求出概率; （2）根据题意列出年份代码与贫困发生率之间的关系，分别计算求出,,x y 71i ti x y =∑()721i i x x =-∑的值，代入公式，求出ˆb，ˆa 的值，求出回归直线方程，并通过回归直线方程预测2019年底我国贫困发生率.【详解】（1）设2012年至2015年贫困发生率分别为1A ，2A ，3A ，4A ，均大于5% 设2016年至2018年贫困发生率分别为1B ，2B ，3B ，均小于5%从2012年至2018年贫困发生率的7个数据中任选两个，可能的情况如下：{}2,A A 、{},A A 、{},A A 、{},A B 、{}2,A B 、{}3,A B 、{}23,A A 、{}24,A A 、{}21,A B 、{}22,A B 、{}23,A B 、 {}34,A A 、{}31,A B 、{}32,A B 、{}33,A B 、 {}41,A B 、{}42,A B 、{}43,A B 、{}12,B B 、{}13,B B 、 {}23,B B 共有21种情况，两个都低于5%的情况：{}12,B B 、{}13,B B 、{}23,B B ，共3种情况 所以，两个都低于5%的概率为31217=. （2）由题意可得：由上表可算得：0x =，10.28.57.2 5.7 4.5 3.1 1.45.87y ++++++==，()()()71310.2 1.428.5 3.17.2 4.539.9i ti x y==-⨯--⨯---=-∑，()72222123222128i i x x =-=⨯+⨯+⨯=∑，所以，71739.9ˆ70 5.81.4252828i ii x y xy b=---⨯⨯===-∑，()5.8ˆˆ 1.4250 5.8ay bx =-=--⨯=， 所以，线性回归方程ˆ 1.425 5.8yx =-+， 由以上方程：ˆ0b<，所以在2012年至2018年贫困发生率在逐年下降，平均每年下降1.425%； 当4x =时，ˆ 1.4254 5.80.1y=-⨯+=， 所以，可预测2019年底我国贫困发生率为0.1%.21.已知函数()xf x e ax =-，()lng x x ax =-，a R ∈.（1）当a e <时，讨论函数()xf x e ax =-的零点个数．（2）()()()F x f x g x =-的最小值为m ，求()ln x mG x e e x =-的最小值．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；（2）()()()ln xF x f x g x e x =-=-，求导得1()xF x e x'=-，可以判断存在零点0x ，可以求出函数()F x 的最小值为()000ln xm F x e x ==-，可以证明出：0012m x x =+>，()ln ,()x m x x m G x e e x G x e e'=-=-，可证明()G x '在(1,)m 上有零点， ()G x 的最小值为()111ln x m G x e e x =-，结合110011ln ,ln m x x m x x =+=+，可求()G x 的最小值为()10G x =.【详解】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x e a '=-.①当0a <时，()e 0xf x a ='->，()f x 单调递增，又()01f =，1110a f e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 有唯一零点；②当0a =时，()0xf x e =>恒成立，所以函数()f x 无零点；③当0e a <<时，令()0xf x e a ='-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以()()()ln min ln ln 1ln af x f a ea a a a ==-=-.当0e a <<时，()ln 0f a >，所以函数()f x 无零点. 综上所述，当时函数()f x 无零点.当0a <，函数()f x 有一个零点.（2）由题意得，()ln xF x e x =-，则()x1F x e x '=-，令()1xh x e x=-，则()210x h x e x=+>'， 所以()h x 在()0,+∞上为增函数，即()F x '在()0,+∞上为增函数.又()110F e -'=>，1202F '⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()F x '在()0,+∞上存在唯一零点0x ， 且01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()00010x F x e x '=-=，即01e x x =.当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 在()00,x 上为减函数，当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在()0,x +∞上为增函数，()F x 的最小值()000ln x m F x e x ==-.因为001x ex =，所以00ln x x =-，所以0012m x x =+>. 由()ln xmG x e e x =-得()mxe G x e x='-，易知()G x '在()0,+∞上为增函数.因为2m >，所以()1e 0mG e =-<'，()110m mm e G m e e m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭'，所以()G x '在 ()0,+∞上存在唯一零点1x ，且()11,x m ∈，()111e e 0mx G x x '=-=，当时，()0G x '<，()G x 在()10,x 上为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 在上为增函数，所以()G x 的最小值为()111e e ln xmG x x =-，因为11mx e e x =，所以11ln x m x =-，所以11ln m x x =+，又000011e ln ln x m x x x =-=+，所以110011ln ln x x x x +=+， 又函数ln y x x =+在()0,+∞上为增函数，所以101x x =， ()000000111111ln 100001111ln ln ln x x x x x x mG x e e e e e e x x x x +=-⋅=-⋅=-⋅⋅()0011000000111ln ln x x e x e x x x x x ⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅+ ⎪⎝⎭因为00ln 0x x +=，所以()10G x =，即()G x 在()0,+∞上的最小值为0.【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数单调性和零点问题，也考查了不等式恒成立问题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C按伸缩变换公式'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E .（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN ∆的面积．【答案】（1）2214x y +=（2）85.【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=，进行消参，然后根据伸缩变换公式，可以得到曲线E ；（2）求出直线l 的参数方程，与E 的普通方程联立，利用参数的几何意义求出MN ，利用面积公式求出OMN 的面积.【详解】（1）依题意，E 的参数方程为2,,x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=.（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π， 所以l的参数方程为,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +， 联立22,22,21,4x y x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=， (245240∆=-⨯⨯>所以122t t +=，即MN =， 所以118sin 2242525OMN S MN MO π∆=⋅⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题.23.已知函数()243f x x x =---.（1）设在平面直角坐标系中作出()f x 的图象，并写出不等式()2f x ≤的解集M ．（2）设函数()()g x f x ax =-，x M ∈，若()0g x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）函数图象如下图：不等式()2f x …的解集{}13M x x =-≤≤；（2）122a -≤≤-. 【解析】【分析】（1）利用零点法化简函数的解析式，在直角坐标系内，画出函数图象，分类讨论解不等式；（2）根据（1）对x M ∈时，进行分类讨论：当[1,2]x ∈-时，()1(1)1g x x ax a x =-+-=-++,根据a 取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a 的取值范围；当(2,3]x ∈时，()37(3)7g x x ax a x =--=--,根据a 取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a 的取值范围，最后确定a 的取值范围.【详解】（1）1,3()24337,231,2x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=---⇒-<<⎨⎪-+≤⎩，画出图象，如下图所示：当3x ≥时，()21233f x x x x ⇒-≤⇒≤∴=…；当23x <<时，()2372323;f x x x x ⇒-≤⇒≤∴<≤…当2x ≤时，()212112f x x x x ⇒-+≤⇒≥-∴-≤≤…，所以不等式()2f x …的解集{}13M x x =-≤≤.（2）当[1,2]x ∈-时，()1(1)1g x x ax a x =-+-=-++当1a =-时，()10g x =≥，显然成立；当1a >-时，要想()0g x …，只需max ()0g x ≥即可，也就是 max 11()020122g x g a a ≥⇒≥⇒≤-∴-<≤-（）； 当1a <-时，要想()0g x …，只需min ()010221g x g a a ≥⇒-≥⇒≥-∴-≤<-（）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x …，a 的取值范围122a -≤≤-； 当(2,3]x ∈时，()37(3)7g x x ax a x =--=--， 当3a =时，显然()0g x …不成立； 当3a >时，要想()0g x …，只需max 2()0303g x g a ≥⇒≥⇒≤∴（）不存在这样的a ； 当3a <时，要想()0g x …，只需112022g a a ≥⇒≤-∴≤-（）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x …，a 的取值范围是12a ≤-， 综上所述a 的取值范围122a -≤≤-. 【点睛】本题考查了画含绝对值的函数图象，考查含绝对值的不等式的解法，考查了恒成立问题.考查了分类讨论思想.当然本题，可以采用数形结合思想，进行思考，解题如下：（1）通过图象可以看到，当[1,3]x ∈-时，()2f x …；（2）()()0()g x f x ax f x ax =-≥⇒≥，[1,3]x ∈-，可以求出(1,2),(2,1)A B --12,2OA OB k k =-=-,通过图象可知：当122a -≤≤-时，()0g x ≥在[1,3]x ∈-恒成立.。

2019年云南省高考文科数学模拟试题与答案（二）（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3,1{=A ，},30|{N x x x B ∈<<=，则=B AA ．}1{B ．}2,1{C ．}3,2,1{D ． }3,1{2. 在复平面内,复数i1iz =+所对应的点位于A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |4．已知命题:p 若(,0)2x π∀∈-，tan 0x <，命题()0:0,q x ∃∈+∞，0122x =，则下列命题为真命题的是A.p q ∧B. ()()p q ⌝∧⌝C. ()p q ∧⌝D. ()p q ⌝∧5．如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为 A ．π238+ B ．π+38C ．π24+D ．π+4 6. 已知sin 2cos 0αα-=，则sin 3cos sin ααα=-A ．15-B.12-C ．15D ．27. 图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m ＝209，n ＝121，则输出m 的值等于A. 10B.11C.12D.138．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线:2l y x =+，一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为A.22122x y -= B. 22144x y -= C. 22133x y -= D. 221x y -= 9. 已知数列{}n a 的前n 项和2621nn S a a =-⋅=，则A.164B.116C.16D.6410.将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 图象，若12()()6g x g x +=，且[]12,2,2x x ππ∈-，则12x x -的最大值为 A ．π B ．2π C.3π D ．4π11．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 12．函数的图象不可能是A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z y x =-的最小值为 .14. 边长为2的等边ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 都在以O 为球心的球面上，若球O 的表面积为1483π，则三棱锥O ABC -的体积为 ． 15. 若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程式为x y 2±=，则该双曲线的离心率为 。

云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考数学文科注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求解一元二次不等式及分式不等式化简A，B，再由交集，补集的混合运算求解．【详解】解：由，得．，由，得或 2.，．则，．故选：D．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，考查交集，补集的混合运算，是基础题．2.设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则答案可求．【详解】解：由，得，，则，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.根据如图给出的2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是A. 自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势B. 自2005年以来，我国人口增长率维持在上下波动C. 从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大D. 可以肯定，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变大【答案】D【解析】【分析】利用人口总量及增长率的统计图直接求解．【详解】解：由2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，知：在A中，自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势，故A正确；在B中，自2005年以来，我国人口增长率维持在上下波动，故B正确；在C中，从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大，故C正确；在D中，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变小，故D错误．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查人口总量及增长率的统计图的性质等基础知识，是基础题．4.圆周率是数学中极为有名的常数，引起了古今中外无数学者们的兴趣有趣的是，用概率的方法也能求得的近似值其做法是：往一个画有内切圆的正方形区域内随机撒豆子，利用落人圆内豆子的频率来计算的近似值某人某次试验共往正方形区域内随机撒下了N颗豆子，统计落入圆内的豆子共有M粒，则此次试验可计算出的近似值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何概型中的面积型得：，分别代入圆和正方形面积公式整理得解．【详解】解：由几何概型中的面积型，结合随机模拟试验可得：，所以，即，故选：D．【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，结合随机模拟试验利用面积的比例解决问题，属基础题．5.以椭圆的焦点为焦点，以直线为浙近线的双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标与浙近线方程求出和，即可写出双曲线的方程．【详解】解：椭圆中，焦点为，；以、为焦点，以直线为浙近线的双曲线的方程中，，，，，解得，，所以所求双曲线的方程为．故选：B．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其简单几何性质的应用问题，是基础题．6.函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中错误的是A. 的一个周期为B. 的图象关于对称C. 是的一个零点D. 在上单调递减【答案】D【解析】【分析】先由图像的平移变换推导出的解析式，再根据图像性质求出结果．【详解】解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，，的一个周期为，故A正确；的对称轴满足：，，当时，的图象关于对称，故B正确；由，得，是的一个零点，故C正确；当时，，在上单调递增，故D错误．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．7.给出下列两个命题：命题：函数是定义在上的奇函数，当时，则的值为；命题：函数是偶函数，则下列命题是真命题的是，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数性质分别判断命题，的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】解：，命题是真命题，由得，则，即，则是奇函数，故题是假命题，则是真命题，其余为假命题，故选：B．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，掌握函数性质是解决本题的关键，属于中档题．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是底面为扇形、高为的柱体，其中扇形所在圆的半径为，易得扇形的圆心角为，则该几何体的体积为．故选B．9.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知将化简为，再结合，利用正弦定理边化角及倍角公式化简即可得出．【详解】解：，又，且，即，由正弦定理边化角得．故，，．．故选：C．【点睛】本题考查了三角形面积公式、正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知在菱形ABCD中，，曲线是以A，C为焦点，通过B，D两点且与直线相切的椭圆，则曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，结合已知可得，设椭圆方程为，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0求得b，则椭圆方程可求．【详解】解：如图，由题意可得，，则设椭圆方程为．联立，得．由，解得．曲线的方程为．故选：B．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆标准方程的求法，是中档题．11.已知f(x)是定义在上的单调函数，且对任意的x∈都有，则方程的一个根所在的区间是（）A. （0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4）【答案】D【解析】【分析】由题意，可知f（x）-x3是定值令t=f（x）-x3，得出f（x）=x3+t，再由f（t）=t3+t=2求出t的值即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）-f′（x）=2的解所在的区间选出正确选项【详解】由题意，可知f（x）-x3是定值，不妨令t=f（x）-x3，则f（x）=x3+t又f（t）=t3+t=2，整理得（t-1）（t2+t+2）=0，解得t=1所以有f（x）=x3+1所以f（x）-f′（x）=x3+1-3x2=2，令F（x）=x3-3x2-1可得F（3）=-1＜0，F（4）=8＞0，即F（x）=x3-3x2-1零点在区间（3，4）内所以f（x）-f′（x）=2的解所在的区间是（3，4）故选：D．【点睛】本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）-x3是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度12.已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建系后，写出四个顶点的坐标，设出动点P的坐标，将已知向量坐标化，得圆的方程再根据向量知识得，，最后利用的几何意义做题即可．【详解】解：以A为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的基本运算，距离的几何意义，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件则的最小值为______．【答案】3【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象找出最优解，计算目标函数的最小值．【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数过点A时，z取得最小值，由，解得，所以z的最小值为．故答案为：3．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基础题．14.在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为______．【答案】【解析】【分析】根据等比数列的性质可得，即可求出这个数列中所有项的乘积．【详解】解：根据等比数列的性质可得，这个数列中所有项的乘积为，故答案为：．【点睛】本题考查了等比数列的性质，属于基础题．15.设函数在内有定义，对于给定的正数K，若定义函数，取函数，当时，函数的单调递增区间为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析，即的解集，据此可得的解析式，进而分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，，若，即，也即进而解可得，则此时，其单调递增区间为；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的应用，注意分析的含义，属于中档题．16.如图，在正方体中，点P为AD的中点，点Q为上的动点，给出下列说法：可能与平面平行；与BC所成的最大角为；与PQ一定垂直；与所成的最大角的正切值为；．其中正确的有______写出所有正确命题的序号【答案】【解析】【分析】由当Q为的中点，由线面平行的判定定理可判断；由Q为的中点，结合线线垂直的判断可判断；由线面垂直的判定和性质可判断；运用异面直线所成角的定义，结合解直角三角形可判断；由Q为的中点时，结合图形可判断．【详解】解：由在棱长为1的正方体中点P为AD的中点，点Q为上的动点，知：在中，当Q为的中点时，，由线面平行的判定定理可得PQ与平面平行，故正确；在中，当Q为的中点时，，，，可得，故错误；在中，由，可得平面，即有，故正确；在中，如图，点M为中点，PQ与所成的角即为PQ与所成的角，当Q与，或重合时，PQ与所成的角最大，其正切值为，故正确；在中，当Q为的中点时，PQ的长取得最小值，且长为，故正确．故答案为：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知为数列的前n项和，且满足．求数列的通项；令，证明：．【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】由数列的递推式：，时，，计算结合等比数列的通项公式可得所求；求得，，由数列的裂项相消求和，即可得证．【详解】解：，可得，解得，时，，即有，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，则；证明：，，，，则．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、注：图中2，单位：小时代表分组为i的情况求饼图中a的值；假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？只需写出结论从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由【答案】（1）29%；（2）第4组；（3）若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于小时的概率大约为，若抽到高一、高三的同学则不能估计．【解析】【分析】由饼图性质能求出a．估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况．【详解】解：由饼图得：．假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于小时的概率大约为，若抽到高一、高三的同学则不能估计．【点睛】本题考查概率的求法、饼图性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，在四棱锥中，，，，，，垂足为E．求证平面PCD；求点E到平面PCD的距离．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】【分析】推导出E为PA的中点，取PD中点F，连结EF，CF，推导出四边形BCEF是平行四边形，从而，由此能证明平面PCD．由，，得，推导出，由此能求出平面PCD，从而能求出点E到平面PCD的距离．【详解】于点E，为PA的中点，如图，取PD中点F，连结EF，CF，，，，，，四边形BCEF是平行四边形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．，，，，，，又平面PCD，平面PCD，，平面PCD，点E为PA的中点，点E到平面PC的距离为．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.过抛物线外一点M作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为，点P，Q在直线l：上，过P，Q两点对应的切点弦分别为AB，CD当点P在l上移动时，直线AB是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由当时，点P，Q在什么位置时，取得最小值？【答案】（1）直线AB经过定点；（2）当，时，取得最小值4.【解析】【分析】设，，，根据导数的几何意义，分别求出直线PA，PB的方程可得，可得直线AB的方程进而求出定点．设，，根据可得，妨设，则，且，，根据基本不等式即可求出．【详解】解：设，，，则，，抛物线的方程可变形为，则，直线PA的斜率为，直线PA的方程，化简，同理可得直线PB的方程为，由可得，直线AB的方程为，则是方程的解，直线AB经过定点．设，，由可知，，，，即，，异号，不妨设，则，且，，当且仅当，时取等号，即当，时，取得最小值4【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，导数的几何意义，基本不等式的应用，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.已知函数．讨论的极值点；当时，证明：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】求函数的导数，结合函数的极值和导数之间的关系进行讨论即可．当时，求出的最小值，结合导数和不等式的关系减转化证明即可．【详解】解：的定义域为，，当时，，在上单调递减，无极值点．当时，，而，则在上单调递减，则上单调递增，则当时，取得极小值，此时无极大值．当时，，在上单调递减，无极值点．当时，，则在上单调递增，则上单调递减，则当时，取得极大值，此时无极小值．综上，当时，有极大值点，无极小值，当时，无极值，当时，有极小值点，无极大值，证明：由得当时，，故只需要证，，只需要证．令，则．令，则，故在上单调递增，，则．．【点睛】本题主要考查函数极值的求解，以及利用导数证明不等式，求出函数的导数，结合函数极值的定义是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，考查学生的运算和分析能力，属于难题．22.已知曲线E的参数方程为为参数，以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系求曲线E的直角坐标方程；设点A是曲线E上任意一点，点A和另外三点构成矩形ABCD，其中AB，AD分别与x轴，y轴平行，点C的坐标为，求矩形ABCD周长的取值范围【答案】（1）E的参数方程为(为参数)，直角坐标方程为：；（2）【解析】【分析】直接利用转换关系，把参数方程转换为直角坐标方程．利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：曲线E的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为：．设点A的坐标为，，，所以；，，，所以矩形的周长的取值范围为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程之间的转换正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.解不等式；设a，b，且不全相等，若，证明：．【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；根据不等式的性质证明即可．【详解】解：原不等式等价于或或，解得：或或，故原不等式的解集是；证明：，，，，同理，，又a，b，且不全相等，故上述三式至少有1个不取“”，故．【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道基础题．。

云南省昆明市达标名校2019年高考三月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或1732．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．224．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ） A ．54B ．34C ．58D ．385．中，如果，则的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．5B ．23C ．8D ．838．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 9．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 10．己知46a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>11． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2π D ．ln 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.已知A={|}，B={|}，则A∪B =A. {|或}B. {|}C. {|}D. {|}【答案】D【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到B={|}=，再根据集合的并集运算得到结果.【详解】B={|}=,A={|},则A∪B ={|}.故答案为:D.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．2.设，则（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】直接把代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得.故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点为，则双曲线的一个焦点为，即，设双曲线的方程为，则，由，，则双曲线的方程为，选B.4.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线与直线平行，∴直线化为：.∴它们的距离为.本题选择A选项.5.已知双曲线的实轴长为，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为双曲线的实轴长为，所以，解得舍去），，该双曲线的渐近线的斜率为，故选C.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数f（x）为偶函数，，排除B,D ，再由函数的特殊值确定答案．【详解】令f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C，A项满足.【点睛】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．7.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为：.本题选择D选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8.在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是（）A. 15B. 16C. 17D. 14【答案】C【解析】【分析】由题意可得，，且，由等差数列的性质和求和公式可得结论．【详解】∵等差数列的前项和有最大值，∴等差数列为递减数列，又，∴，，∴，又，，∴成立的正整数的最大值是17，故选：C．【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．9.半径为1的圆内切于正方形，正六边形内接于圆，当绕圆心旋转时，的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】以为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得，设与的反向延长线成角，即有，，，运用向量的坐标和向量的数量积的坐标表示，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求范围．【详解】以为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得，设与的反向延长线成角，即有，，，则，当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值．即有的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查向量的数量积的范围，考查坐标法的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

2019年云南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合S＝{0，1，2}，T＝{0，3}，P＝S∩T，则P的真子集共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．（5分）已知i为虚数单位，则＝（）A．B．C．D．3．（5分）某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．分层抽样法D．系统抽样法4．（5分）已知点A（﹣1，1），B（0，2），若向量＝（﹣2，3），则向量＝（）A．（3，﹣2）B．（2，﹣2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，2）5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于（）A．B．C．D．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：mm3）为（）A．108+24πB．72+16πC．96+48πD．96+24π7．（5分）为得到函数y＝2sin（3x﹣）的图象，只需要将函数y＝2sin（3x）的图象（）A．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位D．向右平行移动个单位8．（5分）已知α，β都为锐角，若tanβ＝，cos（α+β）＝0，则cos2α的值是（）A．B．C．D．9．（5分）已知M是抛物线C：y2＝2px上的任意一点，以M为圆心的圆与直线x＝﹣1相切且经过点N（1，0），设斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则线段PQ的中点的纵坐标为（）A．2B．4C．6D．810．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝﹣3，则f（a﹣7）＝（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使△PF1F2是有一个内角为的等腰三角形，则M的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知e是自然对数的底数，不等于1的两正数x，y满足log x y+log y x＝，若log x y ＞l，则xlny的最小值为（）A．﹣1B．C．D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交2024-2025学年云南省昆明市高三上学期第四次（11月）联考数学检测试题.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知角α的终边过点()1,2-，则cos2α=（）A. 45-B. 35-C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的定义求出cos α，再由二倍角公式计算可得.【详解】因为角α的终边过点()1,2-，所以cos α==，所以223cos22cos 1215αα=-=⨯-=-.故选：B2. 已知e1e11e ,,ln e e a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. b c a>> D. c a b>>【答案】B 【解析】【分析】三个数值可以借助中间值11-，来比较大小.【详解】因为e1e11e 1,01,ln 1e e a b c ⎛⎫=><=<==- ⎪⎝⎭，所以a b c >>.故选：B.（人教A 版必修一教材35页教材习题9）3. 已知集合{}{}21,2,1,3,A a B a =+=，若A B A = ，则实数a =（）A. 1-B. 1C. 2D. 1,1-或2【答案】C 【解析】【分析】根据A B A = 列式，由此求得a 的值.【详解】由A B A = 得A B ⊆，所以2123a a ⎧≠⎨+=⎩或2212a a a ⎧≠⎨+=⎩，解得2a =.故选：C4. 正四棱锥P ABCD -的棱长均为4,,M N 分别是,AB BC 的中点，则点M 到直线PN 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据四棱锥的性质，在PMN 中，求得三边长，再利用直角三角形边角关系求解.【详解】如图，过点M 作PN 的垂线，垂足为E ，在PMN 中，MN PN PM ===，所以cos MNP ∠=，即sin MNP ∠=，所以sin ME MN MNP ∠=⋅==，即点M 到直线PN 选：C.5. 欧拉公式i e cos isin θθθ=+是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的θ取π就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数z 满足12z =，则i πe z -的最大值为（ ）A.12B. 1C.54D.32【答案】D 【解析】【分析】设()i ,z x y a b =+∈R ，由复数的几何意义和模长公式可得i πe z -=x 的范围，即可得出答案.【详解】解析：设()i ,z x y a b =+∈R ，则2214x y +=，i πe i cos πisin π1i z x y x y -=+--=++，所以i πe 1i z x y -=++==，因为2214x y +=，所以1122x -≤≤，所以i πe z -的最大值为32=.故选：D.6. 在6221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A. 721 B. -61 C. 181 D. -59【答案】D 【解析】【分析】先求出展开式的通项公式1r T +=()6622C 1rrrx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭=()()626C 21r r rr x x ---+,其中()66r x -+的展开式的通项公式为1k T +=66C k r kr x ---，令x 的幂指数等于0，求得r ，k 的值，即可求得展开式中的常数项的值.【详解】6221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ =()6221x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦的展开式的通项公式为1r T +=()6622C 1rrrx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭=()()626C 21r r rr x x ---+，其中()66rx -+的展开式的通项公式为1k T +=66C k r kr x ---，当0r =时，60r k --=，6k ∴=，常数项为()00666C C 2-；当1r =时，62r k --=，3k ∴=，常数项为()1365C C 2-；当2r =时，64r k --=，0k ∴=，常数项()22064C C 2-；故常数项为()00666C C 2-+()1365C C 2-+()22064C C 259-=-.故选：D7. 已知0x 是函数()2e ln xf x x x =+的零点，则00ln x x +=（ ）A. 0B.12C. 1D. e【答案】A 【解析】【分析】令()0f x =，利用构造函数法，结合导数列方程来求得正确答案.【详解】由()()2e ln 001xf x x x x =+=<<得，11e ln xx x x =，即1ln 1e ln e xx x x=，令()()e01xh x x x =<<，()()10x h x x e '=+>，所以()h x 在()0,1上单调递增，因为0x 是()f x 的零点，所以01ln 001e ln e x x x x =⋅，即()001ln h x h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()h x 在()0,1上单调递增，所以00001ln ,ln 0x x x x =+=.故选：A8. 满足不等式6x y z ++≤的有序整数组(),,x y z 的个数为（ ）为A. 231B. 267C. 334D. 377【答案】D 【解析】【分析】根据,,x y z 中0的个数进行分类，分四种情况讨论，相加即可.【详解】若,,x y z 全为0，则有序整数组的个数为1个；若,,x y z 有两个为0，则有序整数组的个数为63236⨯⨯=个：若,,x y z 有1个为0，则有序整数组的个数为()1111112345C C C C C 34180++++⨯⨯=个；若,,x y z 中没有0，易知3x y z ++=或4或5或6，则有序整数组的个数为()136108160+++⨯=，所以有序整数组(),,x y z 的个数共有136180160377+++=个.故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在某次数学测试中，甲､乙两个班的成绩情况如下表：班级人数平均分方差甲601301乙401202记这两个班的数学成绩的总平均分为x ，总方差为2s ，则（ ）A. 126x = B. 128x =C. 225.4s = D. 226.2s =【答案】AC 【解析】【分析】根据平均数、方差的求法求得正确答案.【详解】由题，有6013040120126100x ⨯+⨯==，()()22260401130126212012625.4100100s ⎡⎤⎤⎡=⨯+-+⨯+-=⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦.故选：AC10. 在平面直角坐标系xOy 中，,A B 为圆22:4O x y +=与x 轴的交点，点P 为该平面内异于,A B 的动点，且直线AP 与直线BP 的斜率之积为m ，设动点P 的轨迹为曲线C ，则下列说法正确的是（ ）A. 若1m =-，则曲线C 方程224x y +=B. 若1m =，则曲线CC. 若1m =，则曲线C 有渐近线，其渐近线方程为y x =±D.若)1,4m F =-，过原点的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，则FMN【答案】BCD 【解析】【分析】根据斜率的乘积、双曲线、椭圆、三角形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题()()2,0,2,0A B -，设P (x,y )，有,22AP BP y y k k x x ==+-，且2x ≠±.对于A ，2214AP BPy k k x ==--，即()2242x y x +=≠±，A 错误；对于B 和C ，2214AP BPy k k x ==-，即()221244x y x -=≠±，，渐近线方程为y x =±，B 和C 正确：对于D ，22144AP BPy k k x ==--，即()22124x y x +=≠±，设直线l 的方程为x ty =，有()222244014x tyt y x y =⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩，则240,·4M N M N y y y y t -+==+，所以MN ==而点)F到直线l的距离为d =12S d MN =⋅⋅=，所以当0t =时，FMN，D 正确.为故选：BCD11. 已知正项数列{}n a 满足()()()*121211,n n n n n n a a a a a a a n ++++=-=-∈N，记122311010,11n n n T a a a a a a T +=+++=，则（ ）A. 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B. 202520242025a =C. 1n T <D.5013ii a=>∑【答案】ACD 【解析】【分析】先将递推式整理成21112n n n a a a +++=，即可判断A ；设等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，写出通项，利用裂项相消法求出n T ，结合101011T =即可求出d ，进而得到1,1n n n a T n n ==+，从而判断BC ；构造函数()()ln 1f x x x =-+，0x >，利用导数分析得到()ln 1x x >+，对不等式放缩，再结合裂项相消法即可判断D.【详解】因为()()2121n n n n n n a a a a a a ++++-=-，所以11211n n n n a a a a +++-=-，即1122n n n n a a a a ++++=，即21112n n n a a a +++=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故A 正确：设等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，又因为11a =，所以()111nn d a =+-，则()111n a n d =+-，所以()()()11111111111n n a a d n d nd n d nd +⎡⎤==-⎢⎥+-+⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()1223111111111111112n n n T a d d a d a a a a d n d nd +⎪=+-+++-+-+⎛⎫=+-+ ⎪ +++⎝⎭1111d nd ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则101110111011T d d ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，所以1d =，所以1,1n n n a T n n ==+，所以202512025a =，故B 错误；由11111n n T n n ==-<++，故C 正确：设()()ln 1f x x x =-+，0x >，则()11011xf x x x '=-=>++，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()ln 100f x x x f =-+>=，即()ln 1x x >+，0x >，所以505050501111111ln 1ln i i i i i i a i i i ====+⎛⎫=>+= ⎪⎝⎭∑∑∑∑，又因为501123451lnln ln ln ln 12350i i i =+=++++∑ ln 2ln1ln 3ln 2ln 4ln 3ln 51ln 50=-+-+-++- ，3ln 51ln1ln 51ln e 3=-=>=，即5013ii a=>∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项关键在于构造函数()()ln 1f x x x =-+，0x >，利用导数得到()ln 1x x >+，进而进行放缩，结合裂项相消法求和即可求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若()12P B A =，()23P B A =，()14P A =，则()P B =__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据全概率公式以及对立事件的概率公式求解即可.【详解】因为()14P A =，所以()()131144P A P A =-=-=，所以()()()()()()()1123524348P B P BA P BA P B A P A P B A P A =+=⋅+⋅=⨯+⨯=.故答案为：58.（人教A 版选择性必修二教材56页教材习题9）13. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），如取正整数6m =，根据上述运算法则得出63105168421→→→→→→→→，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“刨程”）.设第一个正整数为1a ，按“冰雹猜想”的运算方法，第n 步得到的数记为1n a +，若71a =，则1a 可以是__________.（只需满足条件的一个值即可）【答案】1（1,8,10,64中任一个）【解析】【分析】采用逆运算的方法，利用树形图求得正确答案.【详解】由题意得：确定一个经过6步运算，使得71a =的正整数1a ，因此，采取逆运算的方法，即由1出发对该数作乘以2，或者减去1后除以3（这时要求结果为正奇数）的运算，将此逆运算6次的情形列成如图所示的树形图，即得a 可以是1,8,10,64.故答案为：1（1,8,10,64中任一个）14. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，过定点的直线l 与抛物线交于,A B 两点，若抛物线上存在动点P ，使得四边形APBF 为平行四边形，则定点坐标为__________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，直线:l x my a =+，联立直线和抛物线的方程求出1212,y y x x ++，由四边形APBF 为平行四边形可知,FP FA FB =+代入坐标化简可得0120121,x x x y y y =+-=+，再结合P 在抛物线上即可得出答案.【详解】解析：设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，直线:l x my a =+，因为224404x my ay my a y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以()21212124,242y y m x x m y y a m a +=+=++=+，因为四边形APBF 为平行四边形，所以,FP FA FB =+所以()()()0011221,1,1,x y x y x y -=-+-，所以20120121421,4x x x m a y y y m =+-=+-=+=.代入2004y x =，有()22(4)4421m m a =+-，所以12a =，,0.,0.四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为2110s =，化学成绩的方差为5022218,500500i i sx ===∑，其中,(i i x y i ∈N 且150)i ≤≤分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，y 关于x 的线性回归方程为0.4y x t =+.（1）求y 与x 的样本相关系数r ；（2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩η服从正态分布()2,N μσ，用样本平均数x 作为μ的估计值，用样本方差21s 作为2σ的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间()96.84,106.32的人数.附：①回归方程ˆˆˆy a bx=+中：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑②样本相关系数r =③若()2,N ημσ ，则()()0.68,220.95P P μσημσμσημσ-≤≤+≈-≤≤+≈3.16≈【答案】（1（2）652【解析】【分析】（1）根据方差和b求出()()50502211,iii i x x y y ==--∑∑，()()501iii x x y y =--∑，然后代入公式可得；（2）由()5050221150iii i x x xx ==-=-∑∑求出x ，然后根据特殊区间求出()2P μσημσ-<<+，然后可得.【小问1详解】因为()()5050222212111110,85050i ii i s x x s y y ===-==-=∑∑，所以()()50502211500,400i i i i x x y y ==-=-=∑∑，又()()()()()50501150210.45ˆ00iiiii i i i x x y y x x y y bx x ===----===-∑∑∑，所以()()501200i i i x x y y =--=∑，所以50x x y y r --===【小问2详解】因为()5050221150500i ii i x x x x ==-=-=∑∑，5021500500i i x ==∑，所以250050050500x -=，解得100x =，即100μ=，因为210σ=，所以 3.16σ=，所以数学成绩η服从正态分布()100,10N ，因为()()96.84106.322P P ημσημσ<<=-<<+()()002P P μσηημσ=-<≤+<<+()()112222P P μσημσμσημσ=-<<++-<<+110.680.950.81522≈⨯+≈，所以该校高三学生数学成绩位于区间()96.84,106.32大约有8000.815652⨯=人.16. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c S 是ABC V 的面积，且满足()()222sin S a b B C =-+.（1）证明：2A B =；（2）若)2sin1cos22A BC-=，求角B .【答案】（1）证明见解析 （2）π6B =【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式和两角和的正弦公式化简已知式可得22bc a b =-，再代入余弦定理可得2cos b A c b =-，最后由正弦定理和两角和与差的正弦公式化简即可得出答案.（2）由2A B =得,π3A B B C B -==-，代入)2sin 1cos22A BC-=，结合二倍角的正弦公式和余弦公式化简即可得出答案.【小问1详解】.因为()()222sin S a bB C =-+，所以()2212sin sin 2bc A a b A ⨯=-，()0,πA ∈，sin 0A ≠，可得22bc a b =-.由余弦定理可得2222cos 222b c a c bc c bA bc bc b+---===，即2cos b A c b =-.由正弦定理得2sin cos sin sin B A C B =-，即()2sin cos sin sin sin cos cos sin ,B A B A B A B A B +=+=+所以()sin sin cos cos sin sin B A B A B A B =-=-，因为(),,0,πA B C ∈，所以2A B =.【小问2详解】由2A B =得(),ππ3A B B C A B B -==-+=-.因为)2sin1cos 22A B C-=-，所以)32sin 1sin 22B B=-，所以)2sin1sin 22B B B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，展开得)2sin1sin cos cos sin 222BB B B B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，)22sin12sin cos cos sin 2222BB B B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 02B ≠，)2212cos cos 2B B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，)()211cos cos ,12cos 2cos 1B B B B =+++=+=+，可得πcos 6B B ==.17. 如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABE ⊥平面BCE ，平面BCE ⊥平面ABCD ，//AB CD ，4AB BC ==，2CD =，BE =.（1）证明：AB CE ^；（2）若P 是线段CD 上的动点，且CE =，求直线PA 与平面ABE 所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）12⎡⎢⎣【解析】【分析】（1）在平面BCE 内取一点O ，分别在平面BCE 内作OM BE ⊥，ON BC ⊥，利用面面垂直和线面垂直的性质推导出OM AB ⊥，ON AB ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出AB ⊥平面BCE ，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）过点B 在平面BCE 内作BF BC ⊥，以点B 为坐标原点，BF 、BC 、BA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()()0,4,02P t t ≤≤，利用空间向量法结合二次函数的基本性质可求得直线PA 与平面ABE 所成角的正弦值的取值范围.【小问1详解】如图，在平面BCE 内取一点O ，分别在平面BCE 内作OM BE ⊥，ON BC ⊥，垂足分别为点M 、N ，因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE ⋂平面BCE BE =，OM ⊂平面BCE ，所以OM ⊥平面ABE ，因为AB ⊂平面ABE ，所以OM AB ⊥，同理可得ON AB ⊥，又因为OM ON O =I ，OM 、ON ⊂平面BCE ，所以AB ⊥平面BCE ，因为CE ⊂平面BCE ，所以.AB CE ⊥【小问2详解】过点B 在平面BCE 内作BF BC ⊥，由因为AB ⊥平面BCE ，以点B 为坐标原点，BF 、BC 、BA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系B xyz -，因为4BC =，BE CE ==222BE CE BC +=，则BE CE ⊥，因为AB CE ^，AB BE B = ，AB 、BE ⊂平面ABE ，所以，CE ⊥平面ABE ，所以平面ABE 的一个法向量为EC，由题易得()0,4,0C 、()2,2,0E 、()0,0,4A 、()0,4,2D ，则()2,2,0EC =-，设()()0,4,02P t t ≤≤，则()0,4,4AP t =-，设直线AP 与平面ABE 所成的角为θ，1sin 2AP EC AP EC θ⋅⎡===⎢⋅⎣，所以线AP 与平面ABE 所成的角的正弦值的取值范围是12⎡⎢⎣.18. 已知()e 1xf x ax =--，a ∈R ，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；（2）若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根，求a 的取值范围；（3）当0a >时，若满足()()()1212f x f x x x =<，求证：122ln x x a +<.【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2）()e,∞+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）把1a =代入函数()f x 中，并求出f ′(x )，根据f ′(x )的正负得到()f x 的单调性，进而求出()f x 的极值.（2）()10f x +=等价于y a =与()exg x x=的图象有两个交点，求导得到函数y =g (x )的单调性和极值，画出y =g (x )的大致图象，数形结合求解即可.（3）求出f ′(x )，并得函数y =f (x )在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，可得则()1,ln x a ∞∈-，()2ln ,x a ∞∈+，要证122ln x x a +<，只需证122ln x a x <-，只需证()()122ln f x f a x >-，即证()()222ln f x f a x >-，令()()()2ln h x f x f a x =--，对ℎ(x )求导证明即可.【小问1详解】当1a =时，()e 1x f x x =--，定义域为R ，求导可得()e 1xf x '=-，令()0f x '=，得0x =，当0x <时，f ′(x )<0，函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，当0x >时，f ′(x )>0，函数()f x 在区间(0,+∞)上单调递增，所以y =f (x )在0x =处取到极小值为0，无极大值.【小问2详解】方程()1e 0xf x ax +=-=，当0x =时，显然方程不成立，所以0x ≠，则e xa x=，方程有两个不等实根，即y a =与()e xg x x =的图象有2个交点，()()21e x x g x x -'=，当0x <或01x <<时，()0g x '<，()g x 在区间(),0∞-和(0,1)上单调递减，并且(),0x ∞∈-时，g (x )<0，当x ∈(0,1)时，g (x )>0，当1x >时，()0g x '>，()g x 在区间(1,+∞)上单调递增，0x >时，当1x =时，()g x 取得最小值，()1e g =，作出函数y =g (x )的图象，如图所示：因此y a =与()ex g x x=有2个交点时，e a >，故a 的取值范围为()e,∞+.【小问3详解】证明：0a >，由()e 0xf x a ='-=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以函数y =f (x )在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增.由题意12x x <，且()()12f x f x =，则()1,ln x a ∞∈-，()2ln ,x a ∞∈+.要证122ln x x a +<，只需证122ln x a x <-，而122ln ln x a x a <-<，且函数()f x 在(),ln a ∞-上单调递减，故只需证()()122ln f x f a x >-，又()()12f x f x =，所以只需证()()222ln f x f a x >-，即证()()222ln 0f x f a x -->，令()()()2ln h x f x f a x =--，即()()2ln 2e 1e2ln 1e e 22ln xa xx xh x ax a a x a ax a a --⎡⎤=------=--+⎣⎦，()2e e 2x x h x a a -'=+-，由均值不等式可得()2e e 220x x h x a a a -=+-≥='，当且仅当2e e x x a -=，即ln x a =时，等号成立所以函数ℎ(x )在R 上单调递增.由2ln x a >，可得()()2ln 0h x h a >=，即()()222ln 0f x f a x -->，所以()()122ln f x f a x >-，又函数()f x 在(),ln a ∞-上单调递减，所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<得证.（人教A 版选择性必修一教材113页例6）19. 平面内，动点C 与定点()10F ,的距离与C 到定直线l ：4x =的距离之比为常数12.（1）求动点C 的轨迹方程；（2）过点F 作不垂直于y 轴的直线m ，m 与动点C 的轨迹交于,M N 两点，点P 在直线l 上，记直线,,PM PF PN 的斜率分别为123,,k k k ，证明：123,,k k k 成等差数列.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，设动点(),C x y ，结合题意列出等式并化简即可求出轨迹方程；（2）借助等差数列定义，可将证明等差数列问题转化为证明1322k k k +=，讨论直线斜率是否存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，联立曲线得到方程组，设而不求，利用韦达定理即可证明.【小问1详解】设动点(),C x y12=，.化简整理得：22143x y +=，所以动点C 的轨迹方程为22143x y +=；【小问2详解】当直线m 斜率不存在时，,M N 的坐标分别为331,,1,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1322k k k +=，即1322k k k +=，所以123,,k k k 成等差数列；当直线m 斜率存在时，设直线m ：()1y k x =-，()()()11224,,,,,P t M x y N x y ，联立直线m 和椭圆方程()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得()22224384120k x k x k +-+-=，则()()()221212121212228412,,1124343k k x x x x y y k x k x k x x k k k -+==+=-+-=+-++，()()()122112*********y x y x k x x k x x kx x k x x +=-+-=-+，()()()()()()1212211312212444434441y t y ty t x y t x k k x x t k t x x --+--+--+--==⋅---()()()122112121212483416y x y x y y t x x t t x x x x +-+-++=⋅-++()()()()12121212121224283416kx x k x x k x x k t x x t t x x x x -+-+--++⎡⎤⎣⎦=⋅-++()()()1212121225883416kx x k t x x k t t x x x x -++++=⋅-++()22222222825884338416341243412434k k k k t k t k t k k k k k ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭=⋅⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭-+-+()222424332236363t k t t k t +=⋅=⋅=+，即1322k k k +=，所以123,,k k k 成等差数列；综上，123,,k k k 成等差数列..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.为。

2019届云南省昆明市高考模拟考试（第四次统测）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{(,)|1}A x y y x ==-，{(,)|1}B x y y x ==+，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】根据方程11y x y x =-⎧⎨=+⎩无解得到答案.【详解】根据题意：11y x y x =-⎧⎨=+⎩，方程无解，故A B =∅I .故选：A . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2．在复平面内，复数21ii-++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】化简得到13+22z i =-，得到答案. 【详解】()()()()2121313+111222i i i i z i i i i -+--+-+====-++-，对应点在第二象限. 故选：B . 【点睛】本题考查了复数对应的象限，意在考查学生的计算能力.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4612a a +=，721S =，则1a =（ ） A ．-3 B ．-6C ．3D ．6【答案】B【解析】直接利用等差数列公式计算得到答案. 【详解】4612812a a a d +=+=，7172121S a d =+=，解得16a =-.故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，意在考查学生的计算能力.4．已知双曲线C 的一个焦点坐标为，渐近线方程为2y x =±，则C 的方程是（ ）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】B【解析】通过双曲线C 的一个焦点坐标为),可以求出 c ，渐近线方程为2y x =±，可以得到2b a =，结合c ，可以求出,a b 的值，最后求出双曲线的方程. 【详解】因为双曲线C 的一个焦点坐标为),所以c =C 的渐近线方程为2y x =±，所以有2b a =a ⇒=，c =而c ，所以解得1a b ==，因此双曲线方程为2212x y -=，故本题选B.【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力. 5．21xdx =⎰（ ）A ．3B ．2C ．12D ．32【答案】D【解析】直接利用定积分公式计算得到答案.【详解】221211321222xdx x ==-=⎰. 故选：D . 【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力. 6．已知直线l ⊥平面，直线m ⊂平面，则“∥”是“l ⊥m”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：∵直线l ⊥平面，直线m ⊂平面，∥，∴直线l ⊥平面β，∴l m ⊥，∴“∥”是“l ⊥m”的充分不必要条件.【考点】 1.充分必要条件；2.线面垂直的判定； 3.线线垂直的判定. 7．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据导函数的函数值与原函数的单调性之间的关系，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，根据的图象可知：当时，单调递增； 当时，单调递减，所以整个函数从左到右，先增后减，再增最后减，选项A 中的图象符合， 故选A. 【点睛】本题主要考查了利用导函数的图象研究原函数的单调性，其中熟记函数的单调性与导函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．黄金矩形是宽（b）与长（a）的比值为黄金分割比51()ba-=的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH．在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH 内的概率是（）A．512B．352-C52D．522【答案】C【解析】设矩形的长，宽分别为,a b,所以51b-=，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF,所以35CE a b-=-=，设矩形ABCD的面积为S,正方形CEGH的面积为'S,设在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是P,则2'35()25251SPSa a-===-⋅，故本题选C.【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.9．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>，直线2by=与E的一个交点为P，以P为圆心的圆与y轴相切，且被x轴截得的弦长等于E的焦距，则E的离心率为（）A．23B3C．53D．63【答案】D【解析】不妨设,2b P ⎫⎪⎪⎝⎭，故圆半径为2a ，得到2223144abc =+，解得答案. 【详解】当2b y =，解得x =，不妨设,2b P ⎫⎪⎪⎝⎭，根据题意：2223144a b c =+，即2223a c =，故e =. 故选：D . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10．四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，顶点1A 在底面ABCD 上的射影为点D ，112AB AA =，则异面直线1BA 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．7 B ．7C D 【答案】D【解析】如图所示：连接1BC ，11A C ，易知11//AD BC ，故异面直线1BA 与1AD 所成角为11A BC ∠，利用余弦定理计算得到答案. 【详解】如图所示：连接1BC ，11A C ，易知11//AD BC ，故异面直线1BA 与1AD 所成角为11A BC ∠. 设1AB =，则12AA =，则1A D ，1A B =1AD ==11AC根据余弦定理：11cos 7A BC ∠==. 故选：D .【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.11．设()2222(,)44ab b F a b a e b ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，(),a b ∈R ，则(,)F a b 的最小值是（ ） A 21 B ．22C ．22D ．1【答案】A【解析】函数表示点(),aA a e 和2,4bB b ⎛⎫⎪⎝⎭的距离加上B 的横坐标，根据抛物线定义转化求1AF -最小值，设函数()()221x g x x e =-+，计算得到()()min 02g x g ==，得到答案. 【详解】()2222(,)44ab b F a b a e b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，函数表示点(),aA a e 和2,4bB b ⎛⎫⎪⎝⎭的距离加上B 的横坐标，画出()xf x e =和24y x =的图像，如图所示：故111AB BC AB BD AB BF AF +=+-=+-≥-，当ABF 共线时等号成立. 设()()221x g x x e =-+，则()2'222xg x ex =+-，()'00g =，且()2''420xg x e=+>恒成立，故()'g x 单调递增，故当0x >时，()'0g x >，()g x 单调递增；当0x ≤时，()'0g x ≤，()g x 单调递减；()()min 02g x g ==，故121AF -≥-.综上所述：(,)F a b 的最小值是21-. 故选：A .【点睛】本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键.二、填空题12．若tan 3α=，则sin 2α=（ ） A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】B【解析】化简得到22tan sin 2tan 1ααα=+，计算得到答案. 【详解】 2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++.故选：B . 【点睛】本题考查了利用齐次式求值，意在考查学生的计算能力.13．6x x 的展开式中的常数项为______．（用数字作答） 【答案】-20【解析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】6的展开式的通项为：()631661rr rr r rrT C C x--+⎛==-⎝.取3r=得到常数项为：3620C-=-.故答案为：20-.【点睛】本题考查了二项式定理求常数项，意在考查学生的计算能力和应用能力.14．在边长为6的等边三角形ABC中，23BD BC=u u u v u u u v．则AB AD⋅=u u u v u u u v_____⋅【答案】24【解析】以,AB BCu u u r u u u r为一组基底，ADu u u r用,AB BCu u u r u u u r这组基底表示,最后用数量积公式求得AB AD⋅=u u u r u u u r24.【详解】2002()3236cos(18060)3213666()24.32AB AD AB AB BD AB AB BCAB BC⋅=⋅+=+⋅=+⋅⋅-=+⨯⨯⨯-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、平面向量基本定理、向量的加法几何意义，本题易错的地方是误把BÐ看成,AB BCu u u r u u u r的夹角.15．能说明“已知2()1f x x=+，若()()f xg x≥对任意的[0,2]x∈恒成立，则在[0,2]上，min max()()f xg x≥为假命题的一个函数()g x_____⋅（填出一个函数即可）【答案】x.【解析】可以根据212x x+≥这个不等式入手，令()2g x x=，当[]0,2x∈时，min()1f x=而max()4g x=，显然min max()()f xg x≥是假命题，当然这样的()g x函数有好多，比如()g x x=，2()3g x x=等等.【详解】因为212x x +≥，所以令()2g x x =，当[]0,2x ∈时，min ()1f x =而max ()4g x =，所以min max () ()f x g x ≥是假命题，当然()g x x =，2()3g x x =也可以. 【点睛】本题考查了两个函数大小恒成立问题的判断，本题如果改成逆命题，就成立，也就是若对任意的[]0,2x ∈有min max () ()f x g x ≥成立，那么当[]0,2x ∈时，()()f x g x ≥恒成立.16．已知数列{}n a ，11a =，11223122n n n a a a a a a +++++=-…，则221n n a a ++=____．【答案】12n +【解析】计算得到1122n n n a a +++=，故21212n n n n n na a a a a a ++++==，即当n 为奇数时，122n n a -=，当n 为偶数时，22n n a =，得到答案.【详解】11223122n n n a a a a a a +++++=-…，故212312222n n n a a a a a a ++++++=-…；两式相减得到：1122n n n a a +++=，故12nn n a a +=，故21212n n n n n na a a a a a ++++==.计算11a =，22a =，故当n 为奇数时，122n na -=；当n 为偶数时，22nna =.故1221222n n n n n a a +++=+=.故答案为：12n +. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用能力.三、解答题17．在ABC V 中，D 为BC 边上一点，AD AC ⊥，AB =BD =，cos 5ABD ∠=． （1）求ADB ∠； （2）求ABC V 的面积．【答案】（1）135ADB ∠=︒（2）3【解析】（1）根据余弦定理得到2AD =，再根据正弦定理计算得到答案.（2）根据ABC ABD ADC S S S =+V V V 计算得到答案. 【详解】（1）在ABD △中，因为25cos 5ABD ∠=，10AB =，2BD =， 由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⨯⨯⨯∠，故2AD =． 由正弦定理得sin sin AB ADADB ABD=∠∠，所以510sin 25sin 22AB ABDADB AD⨯⋅∠∠===， 又因为ADB ∠为钝角，所以135ADB ∠=︒.（2）因为180ADB ADC ∠+∠=︒，所以45ADC ∠=︒，又因为AD AC ⊥，所以ADC V 为等腰直角三角形，可得2AC =， 所以1212222322ABC ABD ADC S S S =+=⨯⨯⨯+⨯⨯=△△△． 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力. 18．如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC V 为等边三角形，AB AC ⊥，M 是BC 的中点．（1）求证：AC PM ⊥；（2）若AB AC =，E 为线段BC 上一点，且2BE EC =，求二面角B PA E --的大小．【答案】（1）见解析（2）3π 【解析】（1）取AC 的中点为O ，连结OP ，OM ，证明AC ⊥平面POM 得到答案. （2）如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，平面PAB 的法向量为1(3,0,1)n =-r ，平面PAE 的一个法向量为2(3,23,1)n =--r，计算得到答案.【详解】（1）取AC 的中点为O ，连结OP ，OM ， 在等边三角形PAC V 中，有OP AC ⊥，由M 是BC 的中点，OM 是ABC V 的中位线，所以OM AB P ，因为AB AC ⊥，所以AC OM ⊥，又OP OM O ⋂=，所以AC ⊥平面POM ， 因为PM ⊂平面POM ，所以AC PM ⊥．（2）因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =，OP AC ⊥， 所以PO ⊥平面ABC ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AC =，所以2AB =，3PO =，则(1,0,0)A -，(1,2,0)B -，3)P ，(1,0,0)C ，12,,033E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,2,0)AB =u u u r，3)AP =u u u r ，(2,2,0)BC =-u u u r ，42,,033AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设平面PAB 的法向量为()1111,,n x y z =r ，由1100n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，得1112030y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，取平面PAB 的一个法向量为13,0,1)n =-r，设平面PAE 的法向量为()2222,,n x y z =r ，由2200n AE n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，得22224203330x y x z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，取平面PAE 的一个法向量为2(3,23,1)n =--r，12121241cos ,242n n n n n n ⋅===⨯r rr r r r ，由12,[0,]n n π∈r r 得，12,3n n π=r r ，所以二面角B PA E --的大小为3π． 【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19．改革开放以来，我国农村7亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由1978年的97.5%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例．2012年至2018年我国贫困发生率的数据如下表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求至少有一个低于5%的概率； （2）设年份代码2015x t =-，利用回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率的变化情况，并预测2019年贫困发生率．附：回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()()112211ˆnniii ii i nn iii i x x yy x ynxybx x x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（1）57（2）发生率为0.1%． 【解析】（1）根据古典概型概率公式计算概率11234327C C C P C +=得到答案. （2）计算样本中心，根据公式得到ˆ 1.425 5.8yx =-+，再代入数据计算得到答案. 【详解】（1）所求概率1123432757C C C P C +==． （2）由题意可得：由上表可算得：0x =，10.28.57.2 5.7 4.5 3.1 1.45.87y ++++++==，713(10.2 1.4)2(8.5 3.1)(7.2 4.5)39.9i ii x y==-⨯--⨯---=-∑，()72222123222128i i x x =-=⨯+⨯+⨯=∑，所以，71739.970 5.8ˆ1.4252828i ii x y xyb =---⨯⨯===-∑， ˆˆ 5.8( 1.425)0 5.8ay bx =-=--⨯=， 所以线性回归方程为ˆ 1.425 5.8yx =-+， 由以上方程：ˆ0b<，所以在2012年至208年贫困发生率在逐年下降，平均每年下降1.425%；当4x =时，ˆ 1.4254 5.80.1y=-⨯+=， 所以可预测2019年底我国贫困发生率为0.1%． 【点睛】本题考查了概率的计算，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 20．设抛物线2:4C x y =的焦点为F ，M 是C 上任意一点． （1）证明：以线段FM 为直径的圆与x 轴相切；（2）若直线:2l y kx =+与C 交于A ，B 两点，且||||13AF BF ⋅=，求k 的值． 【答案】（1）见解析（2）1k =±【解析】（1）设()00,M x y ，以线段FM 为直径的圆的圆心为N ，则011||22y d FM +==，得到答案. （2）联立方程得到124x x k +=，128x x =-，利用抛物线定义化简所求式子，并代入计算得到答案. 【详解】（1）设()00,M x y ，以线段FM 为直径的圆的圆心为N ，焦点F 的坐标为(0,1)，则N 的坐标为001,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线的定义得0||1FM y =+，圆心N 到x 轴的距离011||22y d FM +==， 所以以线段FM 为直径的圆与x 轴相切； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由224y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2480x kx --=， 216320k ∆=+>，则124x x k +=，128x x =-，由抛物线的定义知，1||1AF y =+，2||1BF y =+，则()()()()1212||||1133AF BF y y kx kx ⋅=++=++()2121239k x x k x x =+++24913k =+=，解得1k =±．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直线和抛物线的关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.21．已知函数()ln(1)(0)f x a x a =+>． （1）当2a =时，若函数1()(1)F x f x x=-+在1x ，2x （12x x ≠）处导数相等，证明：()()122F x F x +>；（2）是否存在a ，使直线l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()(1)1xg x x x =>-+的切线，而且这样的直线l 是唯一的，如果存在，求出直线l 方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）存在，:l y x = 【解析】（1）求导221()x F x x -'=，则1222122121x x x x --=，化简得到12122x x x x +=，再利用均值不等式到答案.（2）先设切点求切线方程，再根据切线重合得关于一个切点横坐标的函数，利用导数研究函数只有一个零点的情况，即得答案. 【详解】（1）当2a =时，1()2ln (0)F x x x x =+>，所以222121()x F x x x x -'=-=，由题意，得1222122121x x x x --=，因为12x x ≠，所以12122x x x x +=，所以12122x x x x =+>，所以121x x >， 所以()()()()12121212122ln 2ln 22x x F x F x x x x x x x ++=+=+>． （2）曲线()ln(1)f x a x =+在点()()33,ln 1x a x +处的切线方程为：()31333:ln 111a ax l y x a x x x =++-++， 函数()1x g x x =+在点441,1x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭处的切线方程()()24222441:11x l y x x x =+++， 要存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线g()y x =的切线， 只需在34,(1,)x x ∈-+∞处使1l 与2l 重合，所以()()()2342343234111ln 111ax x ax x a x x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪+-=⎪++⎩①② 由①得()23411x a x +=+代入②整理得()4422ln 1ln 101a x a a a x +++--=+， 设2()2ln(1)ln 11x a x a a a x ϕ=+++--+， 则22222[(1)1]()1(1)(1)a a x x x x x ϕ+-'=-=+++， 当111x a-<<-时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 当11x a>-时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 则min 1()1ln 1x a a a a ϕϕ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，设()ln 1h a a a a =--，()ln h a a '=-， 当01a <<时，()0'>h a ，()h a 单调递增； 当1a >时，()0h a '<，()h a 单调递减． 所以max ()(1)0h a h ==．（ⅰ）当1a =时，ln 10a a a --=，所以min 1()1ln 10x a a a a ϕϕ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭， 此时110x a =-=，所以方程22ln(1)ln 101a x a a a x +++--=+有唯一解0x =， 即340x x ==，此时切线方程为y x =； （ⅱ）当0a >且1a ≠时，ln 10a a a --<， 当0x >时，()1ln 1h x x x=+-，则()22111'x h x x x x -=-=，故1x >函数单调递增，当01x <≤时，函数单调递减，故()()min 10h x h ==， 故1ln 1x x >-，同理可证1xe x-<，21x e x >+成立． 因为1111ae a--<-<-，则()2122ln 1a a e e a a a a ϕ--=-+-- 212211a e a a a a ⎛⎫≥-+--- ⎪⎝⎭()221a e a =--()222110a a >+--=.又由当0x >时，e xx >，可得1111ae a->-， 则111112ln 12(ln 1)20a a a a e e a a a e a a a e ϕ---⎛⎫-=+-+=--->> ⎪⎝⎭，所以函数2()2ln(1)ln 11x a x a a a x ϕ=+++--+有两个零点， 即方程22ln(1)ln 101a x a a a x +++--=+有两个根4x ，4x '， 即()()440x x ϕϕ'==，此时44x x ≠'，44,(1,)x x '∈-+∞，则442 x x +'>-， 所以()()224411a x a x '+≠+， 因为()23411x a x =+-，()23411x a x '=+-'，所以33x x '≠，所以直线l 不唯一．综上所述，存在1a =，使:l y x =是曲线()y f x =的切线，也是曲线g()y x =的切线，而且这样的直线l 是唯一的． 【点睛】本题考查了导数相等问题，切线问题，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E .（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN ∆的面积．【答案】（1）2214x y +=（2）85.【解析】（1）利用22sin cos 1αα+=，进行消参，然后根据伸缩变换公式，可以得到曲线E ；（2）求出直线l 的参数方程，与E 的普通方程联立，利用参数的几何意义求出MN ，利用面积公式求出OMN V 的面积. 【详解】（1）依题意，E 的参数方程为2,,x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=.（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π， 所以l的参数方程为,2,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +，联立22,22,21,4x y x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=，(245240∆=-⨯⨯>所以128225t t +=，即825MN =， 所以118228sin 2242525OMN S MN MO π∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题.23．已知函数()243f x x x =---.（1）设在平面直角坐标系中作出()f x 的图象，并写出不等式()2f x ≤的解集M ． （2）设函数()()g x f x ax =-，x M ∈，若()0g x ≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）函数图象如下图：不等式()2f x …的解集{}13M x x =-≤≤；（2）1 22a-≤≤-.【解析】（1）利用零点法化简函数的解析式，在直角坐标系内，画出函数图象，分类讨论解不等式；（2）根据（1）对x M∈时，进行分类讨论：当[1,2]x∈-时，()1(1)1g x x ax a x=-+-=-++,根据a取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a的取值范围；当(2,3]x∈时，()37(3)7g x x ax a x=--=--,根据a取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a的取值范围，最后确定a的取值范围.【详解】（1）1,3()24337,231,2x xf x x x x xx x-≥⎧⎪=---⇒-<<⎨⎪-+≤⎩，画出图象，如下图所示：当3x≥时，()21233f x x x x⇒-≤⇒≤∴=…；当23x<<时，()2372323;f x x x x⇒-≤⇒≤∴<≤…当2x≤时，()212112f x x x x⇒-+≤⇒≥-∴-≤≤…，所以不等式()2f x …的解集{}13M x x =-≤≤.（2）当[1,2]x ∈-时，()1(1)1g x x ax a x =-+-=-++ 当1a =-时，()10g x =≥，显然成立；当1a >-时，要想()0g x …，只需max ()0g x ≥即可，也就是 max 11()020122g x g a a ≥⇒≥⇒≤-∴-<≤-（）；当1a <-时，要想()0g x …，只需min ()010221g x g a a ≥⇒-≥⇒≥-∴-≤<-（）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x …，a 的取值范围122a -≤≤-； 当(2,3]x ∈时，()37(3)7g x x ax a x =--=--，当3a =时，显然()0g x …不成立； 当3a >时，要想()0g x …，只需max 2()0303g x g a ≥⇒≥⇒≤∴（）不存在这样的a ；当3a <时，要想()0g x …，只需112022g a a ≥⇒≤-∴≤-（）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x …，a 的取值范围是12a ≤-， 综上所述a 的取值范围122a -≤≤-. 【点睛】本题考查了画含绝对值的函数图象，考查含绝对值的不等式的解法，考查了恒成立问题.考查了分类讨论思想.当然本题，可以采用数形结合思想，进行思考，解题如下： （1）第 21 页 共 21 页通过图象可以看到，当[1,3]x ∈-时，()2f x …； （2）()()0()g x f x ax f x ax =-≥⇒≥，[1,3]x ∈-，可以求出(1,2),(2,1)A B --12,2OA OB k k =-=-,通过图象可知：当122a -≤≤-时，()0g x ≥在[1,3]x ∈-恒成立.。