立体几何练习题(精)

立体几何练习题及答案在学习立体几何的过程中，练习题对于巩固知识、提高应用能力起着至关重要的作用。

本文将为大家提供一些立体几何的练习题，并给出详细的答案解析，以帮助读者更好地理解和掌握立体几何的知识。

一、球的表面积和体积1. 某个球的半径为3cm，求其表面积和体积。

解析：球的表面积公式为S = 4πr²，体积公式为V = (4/3)πr³。

将半径r代入公式进行计算即可。

表面积：S = 4π(3)² = 4π(9) ≈ 113.04cm²体积：V = (4/3)π(3)³ = (4/3)π(27)≈ 113.04cm³因此，该球的表面积约为113.04cm²，体积约为113.04cm³。

二、立方体的表面积和体积2. 一个立方体的边长为5cm，求其表面积和体积。

解析：立方体的表面积公式为S = 6a²，体积公式为V = a³。

将边长a代入公式进行计算即可。

表面积：S = 6(5)² = 6(25) = 150cm²体积：V = (5)³ = 5(5)(5) = 125cm³因此，该立方体的表面积为150cm²，体积为125cm³。

三、圆柱的表面积和体积3. 一个圆柱的底面半径为4cm，高度为10cm，求其表面积和体积。

解析：圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，体积公式为V = πr²h。

将底面半径r和高度h代入公式进行计算即可。

表面积：S = 2π(4)² + 2π(4)(10) = 2π(16) + 2π(40) ≈ 321.2cm²体积：V = π(4)²(10) = π(16)(10) ≈ 502.4cm³因此，该圆柱的表面积约为321.2cm²，体积约为502.4cm³。

立几测001试一、选择题：1．a 、b 是两条异面直线，以下结论正确的选项是〔 〕A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 都平行B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都相交C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行D ．过a 可以且只可以作一个平面与b 平行2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 、1BB 的中点，则异面直线CM 和1D N 所成角的正弦值为 ( ) Ａ．19 Ｂ．23Ｃ．459 Ｄ．2594．平面α⊥平面β，m 是α的一直线，n 是β的一直线，且m n ⊥，则：①m β⊥；②n α⊥；③m β⊥或n α⊥；④m β⊥且n α⊥。

这四个结论中，不正确．．．的三个是 ( )Ａ．①②③Ｂ．①②④Ｃ．①③④Ｄ．②③④5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4 B.5 C. 6 D. 86. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为〔设地球半径为R 〕( )A.R π42B.R 3πC.R 2πD.3R7. 直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有以下四个命题(1)m l ⊥⇒βα//(2)m l //⇒⊥βα(3)βα⊥⇒m l //(4)βα//⇒⊥m l 其中正确的命题是( )A. (1)与(2)B. (2)与(4)C. (1)与(3)D. (3)与(4)8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则以下不等式成立的是( ) A.60πα<< B.46παπ<< C.34παπ<< D.23παπ<<9．ABC ∆中，9AB =，15AC =，120BAC ∠=︒，ABC ∆所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是14，则P 到平面α的距离为( )Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．1310．在一个45︒的二面角的一个平面有一条直线与二面角的棱成角45︒，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )Ａ．30︒ Ｂ．45︒ Ｃ．60︒ Ｄ．90︒11. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作 D.给出以下位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF; ③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED,其中成立的有: ( )Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④12. *地球仪的北纬60度圈的周长为6πcm,则地球仪的外表积为( )A. 24πcm 2B. 48πcm 2C.144πcm 2D. 288πcm 2二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕13. 直二面角α—MN —β中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC ⊂α，一直角边AC ⊂β，BC 与β所成角的正弦值是46，则AB 与β所成角大小为__________。

立体几何100题1.如图，三角形中，，是边长为l 的正方形，平面底面，若分别是的中点.（1）求证：底面；（2）求几何体的体积.2．在三棱锥P ABC -中， PAC ∆和PBC ∆ 2AB =， ,O D分别是,AB PB 的中点.（1）求证： //OD 平面PAC ； （2）求证: OP ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥D ABC -的体积.3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 090BAC ∠=， 2AB AC ==，点,M N 分别为111,A C AB 的中点.（1）证明： //MN 平面11BB C C ；（2）若CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积.. 4．如图，在三棱柱中，平面，点是与的交点，点在线段上，平面.（1）求证：；（2）若,求点到平面的距离.5．如图，四棱锥P A B C -中，底面ABCD 是直角梯形，1,//,2AB BC AD BC AB BC AD ⊥==， PAD ∆是正三角形， E 是PD 的中点． （1）求证： AD PC ⊥；（2）判定CE 是否平行于平面PAB ，请说明理由．6．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SAD ⊥底面ABCD ， SA SD =， //AD BC ， 22AD BC CD ==， M ， N 分别为AD ， SD 的中点．（1）求证： //SB 平面CMN ；（2）求证： BD ⊥平面SCM ．7．如图，在矩形中，，平面，分别为的中点，点是上一个动点．(1) 当是中点时，求证:平面平面；(2) 当时，求的值．8．如图，在正三棱柱111A B C ABC -中，点,D E 分别是1,A C AB 的中点． 求证： ED ∥平面11BB C C若1AB 求证：A 1B ⊥平面B 1CE.9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 12,1,1AB AD A A ===.（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.10．如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 所在平面互相垂直， FD ⊥平面ABCD ，且2AB =， FD =（1）求证： //EF 平面ABCD ； （2）若3CBA π∠=，求几何体EFABCD 的体积.11．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．12．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积.13．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.14．已知三棱锥，，，为的中点，平面，，，是中点，与所成的角为，且.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.15．在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，.（1）设是上一点，求证：平面平面.（2）求四棱锥的体积.-中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，16．如图，在四棱锥P ABCD60∠=，1,ABC==为PC的中点PA PB E.（1）求证： //PA 平面BDE ；（2）求三棱锥P BDE -的体积.17．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -中，点G 是AC 的中点．（1）求证： 1//B C 平面1A BG ；（2）若A B B C =， 1AC ，求证： 11AC A B ⊥． 18．如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ， SA AD ⊥， //AD BC ，43SA BC AB ==24AD ==．（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ；（2）若AB AC =，在（1）的条件下，求三棱锥S AED -的体积． 19．（本小题共12分）如图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与等腰直角三角形ABE 所在平面互相垂直，AE AB ⊥，且2EM MD =， 3AB AN =.（Ⅰ）求证： //MN 平面BEC ；（Ⅱ）求三棱锥E BMC -的体积.20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点，平面底面.（1）求证:平面；（2）若，求三棱锥的体积.21．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证：（Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．22．如图1，四边形ABCD 为等腰梯形， 2,1AB AD DC CB ====，将ADC ∆沿AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ， E 为AB 的中点，连接,DE DB .（1）求证： BC AD ⊥； （2）求E 到平面BCD 的距离. 23．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）设，求三棱锥的体积．24．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.25．如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.（1）证明：平面；（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.26．如图，在四棱锥P ABCD -中， 90ABC ACD ∠=∠=， BAC ∠ 60CAD =∠=，PA ⊥平面ABCD ， 2,1PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点.（1）求证：平面CMN ∥平面PAB ；（2）求三棱锥P ABM -的体积.27．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形， 12AA =，P 为棱1BB 上的一个动点.（1）求三棱锥1C PAA -的体积；（2）当1A P PC +取得最小值时，求证： 1PD ⊥平面PAC .28．在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱1CC ⊥底面,ABC M 为BC 的中点，13,2,AC AB BC CC ===.（1）证明: 1B C ⊥平面1AMC ；（2）求点1A 到平面1AMC 的距离.29．五边形11ANB C C 是由一个梯形1ANB B 与一个矩形11BB C C 组成的，如图甲所示，B 为AC 的中点， 128AC CC AN ===． 先沿着虚线1BB 将五边形11ANB C C 折成直二面角1A BB C --，如图乙所示．（Ⅰ）求证：平面BNC ⊥平面11C B N ；（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．30．如图1， 1AFA ∆中， 11,82FA FA AA CF ===，，点,,B C D 为线段1AA 的四等分点，线段,,BE CF DG 互相平行，现沿,,BE CF DG 折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD 为正方形.（1）证明： ,,,A E F G 四点共面；（2）求四棱锥B AEFG -的体积.31．如图，三棱锥P ABC -中， PC ⊥平面ABC ， ,,F G H 分别是,,PC AC BC 的中点，I 是线段FG 上的任意一点， 22PC AB BC ===，过点F 作平行于底面ABC 的平面DEF 交AP 于点D ，交BP 于点E . （1）求证： //HI 平面ABD ；（2）若AC BC ⊥，求点E 到平面FGH 的距离.32．如图，已知正方体的棱长为3，分别是棱、上的点，且.（1）证明：四点共面；（2）求几何体的体积.33．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且A B B C C A == 1AD CD ==．（1）求证： 1BD AA ⊥；（2）若E 为棱BC 的中点，求证： //AE 平面11DCC D ． 34．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC ,D 为AB 的中点，(Ⅰ) 求证：直线1//BC 平面1A CD ；(Ⅱ) 若12,AB BB E ==是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积；35．如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，，垂足分别为，，四边形为菱形，且.（1）求证：平面； （2）若，求该几何体的体积.36．如图，在四棱锥P ABCD -中， 122PC AD CD AB ====， //AB DC ， AD CD ⊥， PC ⊥平面ABCD .（1）求证： BC ⊥平面PAC ； （2）若M 为线段PA 的中点，且过,,C D M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A CMN -的高.37．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱OB ⊥底面ABCD ，且侧棱OB 的长是2，点,,E F G 分别是,,AB OD BC 的中点.（Ⅰ）证明： OD ⊥平面EFG ；（Ⅱ）求三棱锥O EFG -的体积.38．如图，多面体ABCDEF 中， //,AD BC AB AD ⊥, FA ⊥平面,//ABCD FA DE ，且222AB AD AF BC DE =====.（Ⅰ）M 为线段EF 中点，求证： //CM 平面ABF ；（Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.39．在如图所示的几何体中，四边形11BB C C 是矩形， 1BB ⊥平面ABC ， 1111//,2,A B AB AB A B E =是AC 的中点.（1）求证： 1//A E 平面11BB C C ；（2）若AC BC =， 12AB BB =，求证平面1BEA ⊥平面11AA C .40．如图，四边形ABCD 为梯形， AB CD ， PD ⊥平面A B C D ，90BAD ADC ∠∠==︒， 22DC AB a ==， DA =， E 为BC 中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使PA 平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.41．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60BAD ∠=︒，SA SD SB ===E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SF SCλ=， SA //平面BEF ．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F EBC -的体积．42．在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=BC=CA=AA 1=2，侧棱AA 1⊥平面ABC ，且D ，E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF=14AB 。

高三数学立体几何专项练习题及答案一、选择题1. 下列哪个几何体的所有面都是三角形？A. 正方体B. 圆柱体C. 正六面体D. 球体答案：C2. 一个有8个面的多面体，其中6个面是正方形，另外2个面是等边三角形，它的名字是？A. 正八面体B. 正十二面体C. 正二十面体D. 正二十四面体答案：C3. 空间中任意一点到四个角落连线的垂直距离相等的四棱锥称为？A. 正四棱锥B. 圆锥台C. 四棱锥D. 无法确定答案：C4. 任意多面体的面数与顶点数、棱数的关系是？A. 面数 + 顶点数 = 棱数 + 2B. 面数 + 棱数 = 顶点数 + 2C. 顶点数 + 棱数 = 面数 + 2D. 顶点数 + 面数 = 棱数 + 2答案：A5. 求下列多面体的棱数：（1）正六面体（2）正八面体（3）正十二面体答案：（1）正六面体的棱数为 12（2）正八面体的棱数为 24（3）正十二面体的棱数为 30二、填空题1. 下列说法正确的是：一棱锥没有底面时，它的底面是一个______。

答案：点2. 铅垂线是指从一个多面体的一个顶点到与它相对的棱上所作的垂线，它与该棱垂足的连线相交于该多面体的______上。

答案：中点3. 对正八面体，下列说法不正确的是：_____条对角线与_____两两垂直。

答案：六，相邻面三、计算题1. 一个棱锥的底面是一个边长为6cm的正三角形，其高为8cm。

求棱锥体积。

解答：底面积 S = (1/2) ×底边长 ×高 = (1/2) × 6 × 8 = 24 cm²棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 24 × 8 = 64 cm³所以，棱锥的体积为64 cm³。

2. 一个正四棱锥的底面是一个边长为10cm的正方形，其高为12cm。

求四棱锥的体积。

解答：底面积 S = 边长² = 10² = 100 cm²四棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 100 × 12 = 400 cm³所以，四棱锥的体积为400 cm³。