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三角函数

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三角函数的化简、计算、证明 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构（幂）。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点：通常进行升降幂。 基本的技巧有:

1、公式变形使用（tantantan1tantan。

合一变形公式（公式逆用）：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由tanba确定)在求最值、化简时起着重要作用。 （1）已知A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB＝_____ (2)设ABC中，33tanAtanBtanAtanB，34sinAcosA，则此三角形是____三角形 （3）、xxcossin3＝__________。xxcossin＝__________。 2、变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，

2()()，22，222等），

（1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_____； （2）已知02，且129cos()，223sin()，cos()值_____； 3、三角函数名互化(切化弦) （1）求值sin50(13tan10)＝__________。

（2）已知sincos21,tan()1cos23，tan(2)＝__________。

4、三角函数次数的降升(降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2与升幂公式：21cos22cos，21cos22sin)。

(1)sin1 _____；cos1__________；cos1__________；

（2）若32(,)，化简111122222cos为_____ 5、常值变换主要指“1”的变换（221sincosxxtansin42等） （1）、已知tan2，22sinsincos3cos= __. （2）、tan1tan1 __ 6、正余弦“三姊妹—sincos sincosxxxx、”的内在联系 “知一求二”， （1）若 sincosxxt，则sincosxx __

（2）若1(0,),sincos2，求tan的值。

（3）已知2sin22sin1tank()42，试用k表示sincos的值 三角函数的图像与性质 【教学目标】1、能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x图象，并能根据图象理解正弦、余弦

函数在[0，2π]，正切函数在（－π2，π2）上性质（如单调性、最值、图象与x轴的交点等）。2、了解三角函数周期性，知道三角函数y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）的周期。3、了解三角函数 y＝Asin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会用五点法画出y＝Asin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线 y＝sinx通过平移、伸缩变换得到y＝Asin（ωx+φ）的图象。 【例题精析】题型一：三角函数的定义域

1、求函数1sin2tansinxxxy的定义域__________； 2、求函数y=lgsin（cosx）的定义域__________； 3、已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cos2x）的定义域__________； 题型二：三角函数的图象的变换

1、已知函数y=2sin（2x+3π）。（1）、用五点法画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简

图并指出此函数的振幅、初相；（2）、说明y=2sin（2x+3π）的图象可由y=sinx的图象经怎样变换而得到。

变式：如何由y=2sin（2x+3π）的图象得到y=sinx的图象。 题型三：三角函数的性质 （一）、周期性： 1、函数xysin的最小正周期为

变1：函数xy2sin最小正周期 ；变2：)2sin(axy最小正周期 ；

变3：)2sin(axy+b最小正周期 ； 变4：函数y＝21cos2x＋23sinxcosx＋1的最小正周期 ； 变5：函数y=sin4x+cos4x的最小正周期 ； 2、函数sin2xy的最小正周期 ；函数)(|,sin|sin)(xfxxxf则最小正周期 ； （二）、奇偶性：1、函数)sin1()sin1(cos)(xxxxf是 函数 2、（01上海）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题： ①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；③存在，使f（x）是奇函数；④对任意的，f（x）都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。 3、函数f（x）=lg（sinx+x2sin1）是 函数 （三）、单调性：求下列函数的单调增区间： （1）y=21sin（4π－32x）；（2）y=x2sin2；（3）)cos(sinlnxxy（4）、 y=｜sin（x+4π）｜

（4）、2cos2cos22xxy

（四）、对称性：1、函数)32sin(2xy的对称轴方程为 ；对称中心 ； 2、如果函数xaxy2cos2sin的图象关于直线8x对称，则a 。 3、如果函数)2sin(2xy为偶函数，则= ；若为奇函数，则= 题型四：求三角函数的解析式 1、（03上海）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象

如图所示，求直线y=3与函数f（x）图象的所有交点的坐标。

2、(06年山东卷）已知函数f(x)=A2sin()x(A>0,>0,0<<2)，且函数y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求;

（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).

3、（08广东）已知函数()sin()(0,0)fxAxA，xR的最大值是1， 其图像经过点M（π/3，1/2）。（1）求()fx的解析式；（2）已知、(0,/2)， 且()3/5f，()12/13f，求()f的值。

图 三角函数的值域与最值 【教学目标】 1、 会把函数式恒等变形为一个角的一种三角函数的形式 2、会利用换元法转化为二次函数或其他基本函数最值问题 【例题精析】 题型一：把函数式恒等变形为一个角的一种三角函数的形式

1． 设M，N分别表示函数1cos31xy的最大值与最小值，则M+N=__________；

2、当－2≤x≤2时，函数f（x）=sinx＋3cosx的值域__________； 3、函数y＝xxcossin21的最大值__________； 4、函数44sin23sincoscosyxxxx的最小值__________； 5、（06陕西）已知函数2()3sin(2)2sin()().612fxxxxR使函数()fx取得最大值的x集合__________； 6、（06年上海）求函数y＝2)4cos()4cos(xx＋x2sin3的值域__________；

7、（05重庆）若函数)4sin(sin)2sin(22cos1)(2xaxxxxf的最大值为32，试确定常数a的值. __________； 8、已知函数baxxaxaxfcossin32sin2)(2的定义域为,2，值域为5,2，求ba,的值

题型二：利用换元法转化为二次函数最值问题 1、函数xxxfsincos)(2的最小值为__________；

2、函数212cos21sinxxy，),0(x的值域__________；

3、函数xxxycos1sin2sin的值域__________； 4、已知,31sinsinyx则xy2cossin的值域__________； 5、函数)2)(cos2(sinxxy的值域__________； 6、设函数f（x）＝sinx＋cosx和g（x）＝2sinxcosx．若a为实数，试求函数F（x）＝f

（x）＋ ag（x），x∈[0，π2]的最小值h（a）； 题型二：转化为其他基本函数最值问题 1、函数1cos21cosxxy的值域__________；

2、函数xxycos2sin2的值域

3、(04年广东)当04x时,函数22cos()cossinsinxfxxxx的最小值__________ 4、（05全国）当20x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为__________ 5、函数y=6+sin2x2－sinx的最小值为__________；6、已知),0(x，函数xxy2sin31sin3的最大值__________；7、已知),0(x，函数xxysin2sin最小值__________； 8、函数xxy22sin49sin的最值

三角函数的图像与性质综合应用 【教学目标】综合应用三角函数的图像与性质处理问题 【课前热身】1、（07四川）下面有5个命题：①函数44sincosyxx的最小正周期是．②

终边在y轴上的角的集合是{|,}2kkZ．③在同一坐标系中，函数sinyx的图象和

函数yx的图象有3个公共点．④把函数3sin(2)3yx的图象向右平移6得到

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三角函数公式大全及记忆口诀

三角函数公式大全及记忆口诀

三角函数公式大全及记忆口诀一、正弦函数（sine function）公式：1. 正弦函数的定义：在直角三角形中，正弦函数是对边与斜边之比，表示为sinθ。

2. 正弦函数的基本关系式：sinθ = 对边 / 斜边3. 弦函数的平方和恒等式：sin²θ + cos²θ = 1二、余弦函数（cosine function）公式：1. 余弦函数的定义：在直角三角形中，余弦函数是邻边与斜边之比，表示为cosθ。

2. 余弦函数的基本关系式：cosθ = 邻边 / 斜边3. 弦函数与余弦函数的关系：cosθ = sin(90° - θ)三、正切函数（tangent function）公式：1. 正切函数的定义：在直角三角形中，正切函数是对边与邻边之比，表示为tanθ。

2. 正切函数的基本关系式：tanθ = 对边 / 邻边3. 弦函数与正切函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ四、余切函数（cotangent function）公式：1. 余切函数的定义：在直角三角形中，余切函数是邻边与对边之比，表示为cotθ。

2. 余切函数的基本关系式：cotθ = 邻边 / 对边3. 弦函数与余切函数的关系：cotθ = 1 / tanθ = cosθ / sinθ五、正割函数（secant function）公式：1. 正割函数的定义：在直角三角形中，正割函数是斜边与邻边之比，表示为secθ。

2. 正割函数的基本关系式：secθ = 斜边 / 邻边= 1 / cosθ六、余割函数（cosecant function）公式：1. 余割函数的定义：在直角三角形中，余割函数是斜边与对边之比，表示为cscθ。

2. 余割函数的基本关系式：cscθ = 斜边 / 对边= 1 / sinθ七、和差公式：1. 正弦函数和差公式：sin(θ±φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ2. 余弦函数和差公式：cos(θ±φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ3. 正切函数和差公式：tan(θ±φ) = (tanθ ± tanφ) / (1 ∓tanθtanφ)八、倍角公式：1. 正弦函数倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ2. 余弦函数倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1= 1 - 2sin²θ3. 正切函数倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan²θ)九、半角公式：1. 正弦函数半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]2. 余弦函数半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]3. 正切函数半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 +cosθ)]十、和差化积公式：1. 正弦函数和差化积公式：sinθ ± sinφ = 2sin[(θ ±φ)/2]cos[(θ ∓ φ)/2]2. 余弦函数和差化积公式：cosθ + cosφ = 2cos[(θ +φ)/2]cos[(θ - φ)/2]3. 正切函数和差化积公式：tanθ ± tanφ = sin(θ ± φ) /cosθcosφ以上是三角函数的常用公式。

中考数学三角函数公式汇总与解析

中考数学三角函数公式汇总与解析

中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c)，余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(si n)：对边比斜边，即si n A=a/c余弦(c o s)：邻边比斜边，即c o sA=b/c正切(t a n)：对边比邻边，即t a n A=a/b余切(c o t)：邻边比对边，即c o t A=b/a正割(se c)：斜边比邻边，即se c A=c/b余割(c sc)：斜边比对边，即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！1.半角公式注：正负由α/2所在的象限决定。

三角函数的基本定义

三角函数的基本定义

正弦：sine（简写sin）[sain]余弦：cosine（简写cos）[kəusain]正切：tangent（简写tan）['tændʒənt]余切：cotangent（简写cot）['kəu'tændʒənt]正割：secant（简写sec）['si:kənt]余割：cosecant（简写csc）['kau'si:kənt]三角函数最一开始是用来表示角度和直角三角形三边边长关系的式子，直角三角形中的sin x和cos x可由毕氏定理给出它的定义：若一个直角三角形，它的一个锐角角度为x，此角的对边为a，另一股为b，斜边为c(如图所示)，则：csc 就是 1/sin 也就是斜边比对边 c/asec 就是 1/cos 也就是斜边比邻边 c/b因此得到正弦函数sin x和余弦函数cos x的定义三角函数的广义定义是定义在单位圆(如图二所示)上的，不管角度为何，广义的定义皆为其斜边与X轴的夹角来取其值，且若其斜边和单位圆的交点为(x,y)(如图三所示)，则：因此可推出：，，，，，，，，一个角度制数值所对应的弧度制数值等于单位圆中圆心角角度与该角度制数值相同时该圆心角所对应的弧长。

用rad表示弧度制数值，用deg表示角度制数值，二者转换关系为：常用的弧度转换公式：主要的公式和角公式倍角公式& 半角公式2倍角公式:sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos2θ−sin2θ = 2cos2θ− 1 = 1 − 2sin2θ3倍角公式:cos3θ = 4cos3θ− 3cosθsin3θ = − 4sin3θ + 3sinθ半角公式:和差化积和积化和差积化和差:和差化积:其他公式万能公式：平方差公式：降次升角公式辅助角公式正弦定理：若为任意三角形的三边，A,B,C分别为a,b,c的对角，R为此三角形的外接圆半径，则存有以下关系式：由勾股定理得sin2θ + cos2θ = 1当θ的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。

三角函数

三角函数

三角函数相关概念三角函数的标准英文读音音标正弦：sine（简写sin）[sain]余弦：cosine（简写cos）[kəusain]正切：tangent（简写tan）['tændʒənt]余切：cotangent（简写cot）['kəu'tændʒənt]正割：secant（简写sec）['si:kənt]余割：cosecant（简写csc）['kau'si:kənt]正矢：versine（简写versin）['və:sain]余矢：versed cosine（简写vercos）['və:sə:d][kəusain]直角三角函数直角三角函数（∠α是锐角）三角关系倒数关系：商的关系：平方关系：2三角规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

三角函数本质：根据三角函数定义推导公式根据右图，有sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：推导：首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。

角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。

A(cosα，sinα），B(cosβ，sinβ），A'(cos（α-β），sin（α-β））OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0)∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=(cosα-cosβ）^2+(sinα-sinβ）^2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b)/2与（a-b)/2）单位圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。