专题训练(一) 三角形内角和与外角应用的常见类型
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专题训练(一) 三角形内角和与外角应用的常见类型
► 类型一 直接计算角度
1．如图1－ZT－1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，如果∠A＝50°，那么∠1＋∠2的度数为( )
图1－ZT－1
A．130° B．180° C．230° D．260°
2．如图1－ZT－2，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为( )
图1－ZT－2
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．如图1－ZT－3，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为( )
图1－ZT－3
A．18° B．20° C．38° D．40°
4．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝3∠C，则∠B＝________°.
5．2017·迁安市一模如图1－ZT－4，在△ABC中，∠A＝64°，D是BC延长线上一点，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝________°；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……∠An－1BC与∠An－1CD的平分线相交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为________．
图1－ZT－4
6．已知：图1－ZT－5是五角星形，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
图1－ZT－5
► 类型二 在三角尺或直尺中计算
7．如图1－ZT－6，把一个含30°角的三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数为( )
图1－ZT－6
A．20° B．50° C．60° D．70°
8．2018·鄂州一副三角尺如图1－ZT－7所示放置，则∠AOD的度数为( )
图1－ZT－7
A．75° B．100° C．105° D．120°
9．2018·青海小桐把一副三角尺按如图1－ZT－8所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1＋∠2等于( )
图1－ZT－8
A．150° B．180° C．210° D．270°
10．已知直线l1∥l2，一个含45°角的三角尺按如图1－ZT－9所示方式放置．若∠1＝85°，则∠2＝________°.
图1－ZT－9
11．如图1－ZT－10，一个含30°角的三角尺DEF放置在△ABC上，三角尺DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝70°，求∠DBA＋∠DCA的度数．
图1－ZT－10
► 类型三 与平行线的性质或判定综合
12．2018·宿迁如图1－ZT－11，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是( )
图1－ZT－11
A．24° B．59°
C．60° D．69°
13．如图1－ZT－12，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线．若∠B＝35°，AB∥CE，则∠A的度数为( )
图1－ZT－12
A．35° B．75° C．85° D．95°
14．如图1－ZT－13，a∥b，∠1＋∠2＝75°，则∠3＋∠4＝________°.
图1－ZT－13
15．如图1－ZT－14，AD∥BE，AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，试判断AC和BC的位置关系，并说明理由．
图1－ZT－14
16．如图1－ZT－15，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
图1－ZT－15
17．如图1－ZT－16，在△ABC中，∠ABC＝30°，点D在BC上，点E在AC上，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于点F.
(1)求∠BFD的度数；
(2)若EG∥AD交BC于点G，EH⊥BE交BC于点H，求∠HEG的度数．
图1－ZT－16
► 类型四 与截取或折叠有关
18．如图1－ZT－17，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE的度数为( )
图1－ZT－17
A．71° B．64° C．80° D．45°
19．如图1－ZT－18，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在BC边上的点A1处，折痕为CD，则∠A1DB＝________°.
图1－ZT－18
20．如图1－ZT－19，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为________．
图1－ZT－19
教师详解详析
1．C [解析] ∵∠1＝∠A＋∠ADE，∠2＝∠A＋∠AED，
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠ADE＋∠A＋∠AED＝∠A＋(∠ADE＋∠A＋∠AED)＝50°＋180°＝230°.
2．A [解析] ∵AB⊥BD，∠A＝40°，∴∠AEB＝90°－40°＝50°.∴∠DEC＝50°.
∵AC⊥CD，∴∠D＝90°－50°＝40°.
3．B [解析] 在△ABC中，∵∠B＝36°，∠C＝76，∴∠BAC＝68°.∴∠BAD＝∠DAC＝34°.
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝70°.
∴∠DAE＝20°.
4．75 [解析] ∵∠A＝80°，∴∠B＋∠C＝180°－80°＝100°.∵∠B＝3∠C，∴3∠C＋∠C＝100°.∴∠C＝25°.∴∠B＝75°.故答案为75.
5．32 6 [解析] 由三角形的外角性质，得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC.
∵∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，
∴∠A1BC＝12∠ABC，∠A1CD＝12∠ACD.
∴∠A1＝∠A1CD－∠A1BC＝12∠ACD－12∠ABC＝12(∠ACD－∠ABC)＝12∠A＝12×64°＝32°.
同理可得∠A2＝12∠A1，
∴∠A2＝14∠A.
∴∠An＝12n∠A＝64°2n.
要使∠An的度数为整数，则n的最大值为6.
6．解：如图．
∵∠1是△CEG的外角，
∴∠1＝∠C＋∠E.
同理可得∠AFB＝∠B＋∠D.
在△AFG中，
∵∠A＋∠1＋∠AFB＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
7．B
8．C [解析] 由题意可知，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，
∴∠ABO＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°.
又∵∠BOC是△AOB的一个外角，
∴∠BOC＝∠ABO＋∠A＝15°＋90°＝105°.
∴∠AOD＝∠BOC＝105°.
9．C [解析] 设DE与AC，BC分别交于点O，P，如图．由三角形外角的性质得∠1
＝∠D＋∠DOA，∠2＝∠E＋∠EPB.又∵∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，∴∠1＋∠2＝∠D＋∠COP＋∠CPO＋∠E＝∠D＋∠E＋(180°－∠E)＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.故选C.
10．40
11．解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°.
∵∠D＝90°，∴∠DBC＋∠DCB＝90°.
∴∠DBA＋∠DCA＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠DBC＋∠DCB)＝110°－90°＝20°.
12．B [解析] ∵∠A＝35°，∠C＝24°，∴∠CBD＝∠A＋∠C＝35°＋24°＝59°.∵DE∥BC，∴∠D＝∠CBD＝59°.故选B.
13．A
14．105
15．解：AC⊥BC.理由如下：∵AD∥BE，
∴∠DAB＋∠EBA＝180°.
又∵AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，
∴∠CAB＝12∠DAB，∠CBA＝12∠EBA.
∴∠CAB＋∠CBA＝12(∠DAB＋∠EBA)＝90°.
∴∠ACB＝90°.∴AC⊥BC.
16．解：延长EB交DC于点F.
∵AB∥CD，∠ABE＝60°，
∴∠EFC＝60°.
∵∠E＋∠D＝∠EFC，即∠E＋50°＝60°，
∴∠E＝10°.
17．解：(1)∵∠BFD是△ABF的外角，
∴∠BFD＝∠BAD＋∠ABF.
∵∠ABC＝30°，∠BAD＝∠EBC，
∴∠BFD＝∠EBC＋∠ABF＝∠ABC＝30°.
(2)∵EG∥AD，∠BFD＝30°，
∴∠BEG＝∠BFD＝30°.
∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°.
∴∠HEG＝∠BEH－∠BEG＝90°－30°＝60°.
18．A [解析] 由折叠可得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°.
∵∠A＝26°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝26°＋45°＝71°.
∴∠CDE＝71°.
19．10 [解析] ∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝180°－90°－50°＝40°.
由翻折的性质，得∠CA1D＝∠A＝50°，
∴∠A1DB＝∠CA1D－∠B＝50°－40°＝10°.
20．65°
