【2019-2020】高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评10简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北师

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题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
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【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
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思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
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题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
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3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
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≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.

2.3 平均值不等式(选学)学习目标：1.了解算术平均，几何平均，调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用，了解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题．教材整理 平均值不等式1．(平均值不等式)设a 1，a 2，…，a n 为n n立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .(推论1)设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，且a 1a 2…a n ＝1，则a 1＋a 2＋…＋a n ≥n ，且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n ＝1.当n ＝3时，这个结论的几何解释是：如果一个长方体的体积为1，则当它是正方体时，其棱长之和最小．(推论2)设C 为常数，且a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则当a 1＋a 2＋…＋a n ＝nC 时，a 1a 2…a n ≤C n，且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .当n ＝3时，这个定理的一个几何解释是：所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积．2．任意给定n 个正数，先求它们倒数的平均 1a 1＋1a 2＋…＋1a nn ，然后再作这个平均值的倒数 n1a 1＋1a 2＋…＋1a na 1，a 2，…，a n 的调和平均．(定理2)设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则na 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .3．(定理3)设a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .(推论3)设a 1，a 2，…，a n为n 个正数，则(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2.1．设x ，y ，z 为正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( )A ．(－∞，lg 6]B ．(－∞，3lg 2]C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)[解析] ∵x ，y ，z 为正数，∴xyz ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23.∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg xyz ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立． [答案] B2．若a ，b ，c ，d 为正数，则b a ＋c b ＋d c ＋a d的最小值为_____________.[解析] 由平均值不等式可得，b a ＋c b ＋d c ＋ad ≥4 4b a ·c b ·d c ·a d ＝4，当且仅当a ＝b ＝c＝d 时，等号成立．[答案] 4[精彩点拨] 根据函数的结构，采用平均值不等式求其最值． [自主解答] 根据平均值不等式x 2－172＋x 2－172＋(79－x 2)≥3 3(x 2－17)2(79－x 2)4＝33y 24，即y 2≤623×427.当且仅当x 2－172＝79－x 2，即x 2＝1753时等号成立． 这时y max ＝1241869.利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数结构的配凑，二要注意等号成立的条件．1．已知x ，y ，z ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞且x ＋y ＋z ＝3，求y ＝3x －2＋3y －2＋3z －2的最大值．[解] 3x －2＋3y －2＋3z －2＝(3x －2)·1＋(3y －2)·1＋(3z －2)·1 ≤3x －2＋12＋3y －2＋12＋3z －2＋12＝3(x ＋y ＋z )－32. ∵x ＋y ＋z ＝3，∴3(x ＋y ＋z )－32＝3，∴3x －2＋3y －2＋3z －2≤3.故y max ＝3.【例2】 若x >0，求证：10＋x 9>92＋x .[精彩点拨] 由于不等式右边为92＋x ，故将左边拆项，利用不等式证明． [自主解答]10＋x 9＝1＋1＋x9即原不等式成立．在利用平均值不等式证明不等式时，应根据不等式的特点选择相应公式，有时需要对一边进行分拆、配凑；若两次使用平均值不等式，还要注意等号能否同时成立．2．设a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.[证明] ∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )，1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥3 31a ＋b ×1b ＋c ×1a ＋c，∴[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )×331a ＋b ×1b ＋c ×1a ＋c ， 即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥9，∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.试比较n 个正数的算术平均，几何平均，调和平均，平方平均四者的大小关系． [提示] 在课本中已讲过n 个正数a 1，a 2，…，a n 的算术平均和几何平均分别是A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n和G n ＝na 1a 2…a n .此外，还有调和平均(在光学及电路分析中用到)H n ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.平方平均(在统计学及误差分析中用到)Q n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn.这四个平均值有以下关系：H n ≤G n ≤A n ≤Q n . 其中等号成立的充要条件都是a 1＝a 2＝…＝a n .【例3】 设x 1，x 2，x 3为正数，证明：x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13.[精彩点拨] 不等式左右两边均为和式形式，要想应用均值不等式证明，必须对一边式子进行变形．[自主解答]x 2x 1＝x 2x 3·x 3x 1·1 ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋1，①x 3x 2＝x 3x 1·x 1x 2·1≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋1， ②x 1x 3＝x 1x 2·x 2x 3·1≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋1， ③1＝x 3x 1·x 1x 2·x 2x 3≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33. ④上述不等式中，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取“＝”号．①＋②＋③＋④得x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3＋1≤13[3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋3]， ∴x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13.在应用平均值不等式解题时，有时需要将平均值不等式变形，如x 2x 1可变为x 2x 3·x 3x 1·1.3．已知a ，b ，c 为正整数，且b ＋c >a ，c ＋a >b ，a ＋b >c .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －b c c≤1. [证明] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －b c c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c c＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a …⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b …⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b · ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c …⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c ≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ·a ＋b －c a ＋b ·b ＋c －a b ＋c ·c ＋a －b c a ＋b ＋c a ＋b ＋c＝1.即原不等式成立．1．设a 1，a 2，…，a n 为正数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q[解析] ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即P ≥Q . [答案] B2．已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则8a ＋1＋8b ＋1＋8c ＋1的最大值为( ) A ．9 B ．3 3 C ．16 D ．4 3[解析] 8a ＋1＋8b ＋1＋8c ＋1＝13(8a ＋1)·9＋13(8b ＋1)·9＋13(8c ＋1)·9≤8a ＋1＋96＋8b ＋1＋96＋8c ＋1＋96＝8(a ＋b ＋c )＋306＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号． [答案] A3．当x >0时，y ＝3x ＋12x 2的最小值为( )A ．3239 B ．3C ．5235 D ．432[解析] y ＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥3 332x ·32x ·12x 2＝3398＝3239.当且仅当32x ＝12x 2，即x ＝313时，等号成立．[答案] A4．已知x ，y ，z 为正数，且2x ＋3y ＋5z ＝6，则xyz 的最大值为________．[解析] ∵x ，y ，z 为正数，∴xyz ＝130×2x ×3y ×5z ≤130×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋5z 33＝415.当且仅当2x ＝3y ＝5z ，即x ＝1，y ＝23，z ＝25时等号成立．[答案]4155．证明：设n 为正整数，则n [(n ＋1)1n －1]<1＋12＋13＋…＋1n .[证明] 原不等式等价于：(n ＋1)1n <1＋12＋13＋…＋1n n＋1＝1＋12＋13＋ (1)＋n n.∵1＋12＋13＋ (1)＋n n＝(1＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＝2＋32＋43＋…＋n ＋1n n >n 2·32·43·…·n ＋1n＝nn ＋1 ＝(n ＋1)1n，∴原不等式成立．。

3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为 ai ＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？
提示：不可以．若 bi＝0 而 ai≠0，则 k 不存在．
利用平面上的柯西不等式证明有关不等式
[例 1] 已知 a，b，c 为正数，且满足 acos2θ＋bsin2 θ<c，
求证： acos2θ＋ bsin2 θ< c.
其中等号成立⇔ab11＝ba22＝…＝abnn( 当某 bj＝0 时，认为 aj＝0， __j＝__1_,_2_，__…__，__n_)
[小问题·大思维] 1．在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以 写成aa12＝bb21吗？ 提示：不可以．当 a2·b2＝0 时，柯西不等式成立， 但aa21＝bb12不成立． 2．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成 ai·bi(i＝ 1,2,3，…，n)，可以吗？ 提示：不可以，ai·bi 的顺序要与左侧 ai，bi 的顺序一致．

即ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
2－b·
b 2 2－b
＝(a＋b)2＝4. ∴2－a2a＋2－b2b≥2－a＋4 2－b＝2. ∴原不等式成立.
利用一般形式的柯西不等式证明不等式
[例 2] 设 a，b，c 为正数，且不全相等． 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a>a＋9b＋c. [思路点拨] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答 本题需要构造两组数据 a＋b， b＋c， c＋a； a1＋b， b1＋c， c1＋a，然后利用柯西不等式解决．
2．设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明：∵ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)

＝

例3.已知a,b,cÎR+求证：
证明：不妨设a³b³c>0,则 >0且a12³b12³c12>0
则
例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：
证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b1<b2<…<bn-1；
c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1<c2<…<cn-1
将以上式子相加得：
n(a1b1+a2b2+…+anbn)³a1(b1+b2+…+bn)+a2(b1+b2+…+bn)+…+an(b1+b2+…+bn)
∴
a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则
证明：由排序不等式有：
a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn³a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn³a1b3+a2b4+…+anb2
…………………………………………
a1b1+a2b2#43;anbn-1
证明：左边=
例2.对实数a1,a2,…,an,求证：
证明：左边=
例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：
证明：左边³
例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：
证明：左边=