高中数学第二章几个重要的不等式2.1柯西不等式练习北师大版选修9

1．柯西不等式中，当实数a，b，c，d满足什么条件时取 等号？
提示：当向量(a，b)与向量(c，d)共线，即ad－bc＝0，也 就是ad＝bc时取等号．
若实数 m，n，x，y 满足 m2＋n2＝a，x2＋y2＝b(a≠b)，则
mx＋ny 的最大值是( )
A．a＋2 b
B． ab
C．
a2＋b2 2
解：由柯西不等式，得 4a＋1＋ 4b＋1＝1· 4a＋1＋1· 4b＋1
≤ 12＋12[ 4a＋12＋ 4b＋12] ＝ 24a＋1＋4b＋1＝ 2×6＝2 3， 当且仅当 4a＋1＝ 4b＋1，即 a＝b＝12时等号成立． 故 4a＋1＋ 4b＋1的最大值为 2 3.
1．柯西不等式强调的是两个正项与另外两个正项之间的 关系，对不符合形式的式子要从整体上进行拆分，“拼” “合”“变式”，转化为某两项间的关系，进而利用不等式求 最值或取值范围．
利用柯西不等式求最值
若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及取得最小值时 x，y的值．
解：由柯西不等式，得 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 当且仅当3x＝4y时等号成立． 因为 3x＋4y＝2，所以 25(x2＋y2)≥4，
即 x2＋y2≥245. 由33x＝x＋4y4，y＝2，得xy＝ ＝228655.， 故当 x＝265，y＝285时，x2＋y2 取得最小值，最小值为245.
∴a－1 b＋b－1 c≥a－4 c.
b1－c2＝4.
【点评】 利用柯西不等式证明某些不等式比较方便，但 技巧性很强，关键是在结构上灵活凑出柯西不等式的形式．
1．已知a，b为非负数，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)． 求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.

ab22.
利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数，当这两
组数不太容易找时，需分析、增补(特别对数字 1 的增补：如 a
＝1·a)变形等．
[解题过程] (a1b1＋a2b2)ab11＋ab22
＝ a1b12＋ a2b22
ba112＋
a22 b2
≥ a1b1· ab11＋ a2b2· ab222＝(a1＋a2)2.
由条件可得，5－a2≥(3－a)2 解得 1≤a≤2， 当且仅当 2b ＝ 3c ＝ 6d 时等号成立，
1/2 1/3 1/6 代入 b＝12，c＝13，d＝16时，amax＝2， b＝1，c＝1.如右图，已知在正方形ABCD中，有四 个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直 角边的长为a、b，则正方形ABCD的面积为S1 ＝__a_2＋__b_2__，4个直角三角形面积的和为
S2＝_2_a_b_，则S1_≥__S2(填“≥”“≤”或“＝”)．据此， 我们就可得到一个不等式__a_2＋__b_2_≥_2_a_b__ (用a、b的式子表示)， 并且当a_＝__b时，直角三角形变为_等__腰__直__角__三__角__形__时，S1＝S2.
当 向 量 (a1 ， a2 ， a3) 与 向 量 (b1 ， b2 ， b3) 共 线 时 “ ＝ ” 成 立．
1．二维形式的柯西不等式可用________表示( ) A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R) B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) 答案： C
1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1.求证：ax＋by≤1. [思路点拨] 构造柯西不等式的形式，证明不等式． 证明： ∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1. 又由柯西不等式知 ∴1＝(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2 ∴1≥(ax＋by)2， ∴1≥|ax＋by|≥ax＋by， ∴所以不等式得证．

活页作业(九) 一般形式的柯西不等式一、选择题1．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为( )A ．24B ．30C ．36D ．48解析：∵(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3＝16时等号成立． 答案：C2．设实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，且a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的最大值是( )A ．165B ．516C ．5D ．16解析：由已知，得a ＋b ＋c ＋d ＝8－e ，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝16－e 2.所以(8－e )2＝(a ＋b ＋c ＋d )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(12＋12＋12＋12)＝4(16－e 2)，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2或65时等号成立．化简，得5e 2－16e ≤0，即0≤e ≤165.所以e max ＝165.答案：A3．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z的值为( )A ．14 B ．13 C ．12D ．34解析：由题意，可得x 2＋y 2＋z 2＝2ax ＋2by ＋2cz .上式与a 2＋b 2＋c 2＝10相加，可得(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝10.不妨令⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝a ，y －b ＝b ，z －c ＝c ，则x ＋y ＋z ＝2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.答案：C4．设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 之间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析：∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥(1＋1＋…＋1n 个)2＝n 2， ∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即P ≥Q . 答案：B 二、填空题5．设a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋4c 2＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为________. 解析：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴(a ＋b ＋4c 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝[(a )2＋(b )2＋(2c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫122≥(a ＋b ＋2c )2，当且仅当a 1＝b 1＝ 2c 12时取等号．∴(a ＋b ＋2c )2≤1×52＝52，即a ＋b ＋2c ≤102. 答案：1026．已知x 2＋y 2＋z 2＝14，则|x ＋2y ＋3z |的最大值是________.解析：∵(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)＝14(x 2＋y 2＋z 2)＝142，当且仅当x 1＝y 2＝z3时取等号，∴|x ＋2y ＋3z |≤14.答案：14 三、解答题7．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求x 2＋4y 2＋z 2的最小值． 解：由柯西不等式，得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13，当且仅当 x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.8．已知a 1，a 2，…，a n 是平面凸n 边形的内角的弧度数，求证：1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2n －π.证明：由凸多边形的内角和定理，得a 1＋a 2＋…＋a n ＝(n －2)π，∴(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥(1＋1＋…＋1n 个1)2＝n 2. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2n －π，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝n －πn时取等号．一、选择题1．已知a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 有( ) A ．最大值9 B ．最小值9 C ．最大值3D ．最小值3解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫ a b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫ b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ c a 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫ b a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫ c b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫ a c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫ a b· b a＋ b c· c b＋ c a· a c 2＝9. 答案：B2．设非负实数a 1，a 2，…，a n 满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则y ＝22－a 1＋22－a 2＋…＋22－a n－n 的最小值为( ) A ．n 2n －1B ．n2n ＋1C ．n ＋12n －1D ．2n 22n －1解析：因为(2－a 1)＋(2－a 2)＋…＋(2－a n ) ＝2n －(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2n －1， 所以(2n －1)⎝⎛⎭⎪⎫12－a 1＋12－a 2＋…＋12－a n＝[(2－a 1)＋(2－a 2)＋…＋(2－a n )]⎝⎛⎭⎪⎫12－a 1＋12－a 2＋…＋12－a n ≥⎝⎛2－a 1·12－a 1＋2－a 2·12－a 2＋…＋2－a n ·⎭⎪⎫12－a n 2＝n 2. 所以y ＋n ≥2n 22n －1，即y ≥2n 22n －1－n ＝n2n －1，等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1n时成立．从而y 有最小值n2n －1.答案：A 三、填空题3．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2的最小值是________.解析：原式＝13(12＋12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2＝ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 22＝ 13×(1＋32)2＝1003， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．答案：10034．边长为a ，b ，c 的三角形，其面积为14，外接圆半径为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________.解析：S ＝abc 4R ＝abc 4＝14，即abc ＝1， 所以t ＝ab ＋bc ＋ca ，则t 2＝(ab ＋bc ＋ca )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥(a ＋b ＋c )2＝s 2，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 因为a >0，b >0，c >0，所以s ≤t . 答案：s ≤t 三、解答题5．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R . 求证： (a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明：由正弦定理，得sin A ＝a2R .所以1sin 2A ＝4R 2a2.同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2.由柯西不等式，可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2.原不等式得证． 6．设x ，y ，z ∈R ，且x －216＋y ＋25＋z －24＝1.求x ＋y ＋z 的最大值和最小值．解：根据柯西不等式，知[42＋(5)2＋22]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＋⎝⎛⎭⎪⎫z －322≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫4·x －14＋5·y ＋25＋2·z －322， 当且仅当x －116＝y ＋25＝z －34，即x ＝215，y ＝－1，z ＝195或x ＝－115，y ＝－3，z ＝115时等号成立．∴25×1≥(x ＋y ＋z －2)2， 即|x ＋y ＋z －2|≤5. ∴－3≤x ＋y ＋z ≤7.故x ＋y ＋z 的最大值为7，最小值为－3.。

§1 柯西不等式课后篇巩固探究A组1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()A.1B.C.2D.4解析:由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,当且仅当a=b=1时等号成立,所以-2≤a+b≤2,即a+b的最大值为2.答案:C2.若x2+y2+z2=1,则x+y+z的最大值等于()A.2B.4C.D.8解析:由柯西不等式可得[12+12+()2](x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,即(x+y+z)2≤4,当且仅当x=,y=,z=时等号成立,因此x+y+z≤2,即x+y+z的最大值等于2.答案:A3.设a,b,c均为正数,且a+b+c=9,则的最小值为()A.81B.49C.9D.7解析:由柯西不等式可得(a+b+c)·81=9,当且仅当,即a=2,b=3,c=4时等号成立,故所求最小值为9.答案:C4.函数y=+2的最大值是()A. B. C.3 D.5解析:根据柯西不等式,知y=1×+2×≤,当且仅当=2,即x=时,等号成立.答案:B5.设a,b∈R,且a2+b2=5,则3a+b的最小值为()A.5B.-5C.-50D.-5解析:令α=(a,b),β=(3,1),则α·β=3a+b,|α|=,|β|=.由柯西不等式的向量形式可得|α·β|≤|α||β|,所以|3a+b|≤=5,当且仅当a=,b=时等号成立,因此-5≤3a+b≤5,即3a+b的最小值为-5.答案:D6.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则的最小值为.解析:因为(a+b+c)=[()2+()2+()2]=18,当且仅当a=b=c=3时等号成立,所以≥2,故的最小值为2.答案:27.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,则P与Q的大小关系是.解析:P=≤==Q当且仅当时,等号成立.答案:P≤Q8.已知a,b,m,n均为正实数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为.解析:由柯西不等式,得(am+bn)(bm+an)≥()2=mn(a+b)2=2,当且仅当m=n=时,等号成立.故(am+bn)(bm+an)的最小值为2.答案:29.已知a,b,c为正实数,且满足a cos2θ+b sin2θ<c,求证:cos2θ+sin2θ<.证明由柯西不等式,得cos2θ+sin2θ≤=.故原不等式成立.10.导学号35664033设a,b∈R+,且a+b=2.求证:≥2.。