第四节-隐函数

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内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式
2
2
3 3 故切线方程为 y 3 = (x 2) 2 4 即
练习： 求由方程 x y2 e y ln x = 0所确定的隐函 练习： dy 数y = y( x)的导数 . dx
例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
∴
1 ′ = cos x ln x + sin x y y x sin x sin x y′ = x (cos x ln x + ) x
′(t) ≠ 0时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且 可求二阶导数 .
x = (t) 利用新的参数方程 dy ψ ′(t) ,可得 = dx ′(t) d2 y d (dy) d dy dx = ( ) = 2 dx dx dt dx dt dx ψ′′(t)′(t) ψ′(t)′′(t) = ′(t) 2 ′ (t)
故
dx = 2(t +1) dt dy 2t = dt 1ε cos y
t dy dy dx = = dt (t +1)(1 ε cos y) dx dt
三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率

d y (b sin t ) b cos t b k cot t d x (a cos t ) a sin t a
2 b 2 b 故 k t , x0 a cos a, y0 b sin 4 2 4 4 2 a
所求切线方程为：y ( x

y(t ) x(t ) y(t ) x(t ) 记 y x x y 3 3 ( x(t )) x
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Байду номын сангаас
注意 : 已知
?
对谁求导?
x a(t sin t ) 所确定的函数y ( x)的二阶导数. 例5 计算由摆线的参数方程 y a(1 cos t )
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例1. 求由方程 x3 y 3 6 xy确定的隐函数的导数. 解 方程两边对 x 求导
3x 2 3 y 2 y 6( y xy)
2 y x2 y 2 y 2x
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例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
有时像(3)这样的显函数用对数求导法求导很方便 .
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例6 求
的导数 .
解 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导

1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
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结束
d y d dy dt 1 1 dt 1 2 dx dt dx dx f (t ) dx dx dt

称此关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.
如何求参数方程所确定的函数的导数?
自然的想法：消参数，求出 y 关于 x 函数的表达式.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x )2 x2 y 1 x
24
2
11
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉 、心、肺、肾等多脏器严重损害 的，全身性疾病，而且不少患者 同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表 现如下：
再设 x (t)，y (t) 都可导，且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt dt dx
dy dt
1 dx
(t ) (t )
dt
dy 即， dy dt
dx dx dt
13
若 x (t)，y (t) 还二阶可导，
d2y dx 2
d (dy )
dx dx
d ( (t)) dx (t)
sec2 t 3a cos2 t sin
t
sec4 t 3a sin t
dt 16
例
7
设
x 3t
e
y
sin
2
t
2t 3 y 1
0
确定函数
y
f (x)，
求曲线上对应 t 0点的切线方程.
解
第二个方程两端对 t 求导
dy dt
e y cos t 1 e y sin
t
,
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
e y cos t 1 1 e y sin t 6t 2

求导， 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 x +y ∂y
18
x + y + z = 0 du 例6 u = sin xy , 且 2 2 2 , 求 . dz x + y + z = 1
解 : 方程组对 求导 方程组对z
1(1)(3),2,3,4
B组 组
1,3

思考题
x y 为可微函数， 已知 = ϕ ( ) ，其中ϕ 为可微函数， z z ∂z ∂z 求x + y =? ∂x ∂y
22
思考题解答
1 则 Fx = ， z −x y (− y ) y 1 Fy = −ϕ ′( ) ⋅ , Fz = 2 − ϕ ′( ) ⋅ 2 , z z z z z y − zϕ ′ ( ) Fy ∂z ∂z Fx z z , =− = , =− = Fz x − yϕ ′( y ) Fz x − yϕ ′( y ) ∂y ∂x z z
F ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 ∴ G ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 方程组对x 方程组对 求偏导
∂u ∂v Fx + Fu ∂x + Fv ∂x = 0 G + G ∂u + G ∂v = 0 u v x ∂x ∂x
19
三、小结
（分以下几种情况） 隐函数的求导法则 分以下几种情况）
(1) F ( x , y ) = 0
( 2) F ( x , y , z ) = 0