东北三省三校哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2019届高三数学第二次模拟试题文含解析
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东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）
2019届高三数学第二次模拟试题 文（含解析）
一、选择题（本大题共12小题.在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
已知集合
，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先解不等式
得到集合
，再根据题中条件，即可判断出
与之间关系.
【详解】由
得
或
，故
或，
又
，所以.
故选D
【点睛】本题主要考查集合之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.
2.
已知
（为虚数单位）
，则复数（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先将式子化为，再由复数的除法运算即可得出结果.
【详解】因为
，所以
，故.
故选C
【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
3.
圆
与圆的公切线共有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】D
【解析】
【分析】
把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半
径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线。
【详解】
圆心坐标为（2，0）半径为2；
圆心坐标为，半径为1，
圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有
4条。
故本题选D.
【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数。解决的方法就是利用圆
的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系。
4.将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
此问题相当于进行3次独立重复试验恰好发生2次正面朝上的概率。
【详解】将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率
是.故本题选B。
【点睛】本题考查了n次独立重复试验恰好发生k次的概率。
5.
已知
是第三象限角，且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由诱导公式可以求出角的正弦值，再由同角的正弦值与余弦值的平方和为1这一关系，可
求出
的余弦值，最后运用二倍角正弦公式求出。
【详解】
，
是第三象限角
故本题选A。
【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、同角正弦函数与余弦函数的关系、二倍角公式。
6.
已知菱形的边长为2
，
，点
，
分别为
，
的中点，则（ ）
A. 3B. 1
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先确定一组基底，利用向量加法运算法则，用这对基底把表示出来，然后进行数量积
计算。
【详解】点
为的中点
所以;
点F为CD
的中点，所以,
=
=
因为菱形的边长为2,
所以,
又因为，运用数量积公式，可求
＝
＝
＝
=故本题选D。
【点睛】本题考查了向量的数量积运算、向量的加法运算、菱形的几何性质。
7.
四棱锥
中，
平面
，底面
是正方形，且
，则直线与平
面所成角为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接
交
于点
，连接
，证明
平面
，进而可得到
即是直线与平面
所成角，根据题中数据即可求出结果.
【详解】连接
交
于点，
因为
平面
，底面是正方形，
所以
，
，因此
平面
；故
平面；
连接
，则
即是直线
与平面所成角，
又因
，所以
，.
所以
，所以.
故选A
【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型.
8.
将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数的图象，且
，则的一个可能值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意写出
解析式，根据
可知
为奇函数，进而可求出.
【详解】由题意可得，，
又
，所以为奇函数，
因此，
故
，所以，
所以
可以取.
故选A
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质
即可，属于常考题型.9.
双曲线
：
，
，
分别为其左，右焦点，其渐近线上一点满足
，线段
与另一条渐近线的交点为
，
恰好为线段
的中点，则双曲线的离心
率为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到双曲线的渐近线方程为
，焦点坐标为
，；不妨令
在渐近线
上，则
在
上，设
，根据题意求出
点坐标，再得到的坐标，
将
坐标代入直线，即可得出结果.
【详解】由题意得双曲线
：
的渐近线方程为
，，
；
不妨令
在渐近线
上，则
在
上，设，
由
得
，即
，解得
，所以，
又
恰好为线段
的中点，所以
，因
在上，
所以
，因此，故离心率为2.
故选B
【点睛】本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.
10.
已知函数
，若
，则（ ）
A. -4B. -3C. -2D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】
先由
得到，进而可求出结果.
【详解】因为
，所以，
因此；
又
，所以.
故选C
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型.
11.已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先在长方体中还原该三棱锥为，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设
球的半径为，列出方程即可求出结果.
【详解】根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为，且长方体的底面边长为2，高为
；
取
中点为
，上底面中心为
，连接
，
，则
，，
因为三角形
为直角三角形，所以
点为三角形的外接圆圆心，
因此三棱锥的外接球球心，必在线段
上，记球心为
，设球的半径为
，则，
所以有
，，
因此
，解得，
所以该三棱锥的外接球表面积为.
故选C
【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于
常考题型.
12.
定义区间
，
，
，
的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长
度之和为
（其中
，为自然对数的底数），那么称这个函数为
“函数”.下列四个
命题：
①函数不是
“函数”；
②函数是
“函数”
，且；
③函数是
“函数”；
④函数是
“函数”
，且.
其中正确的命题的个数为（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数、函数的图象，对四个命题逐一判断出真假。
【详解】分析命题①：
定义域为
，，
，
函数
在上是单调递增，显然这个区间没有长度，
因此函数不是
“函数”，故命题①是真命题。
