第02讲 充要条件与量词-2021届新课改地区高三数学一轮复习(解析版)
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第 2 讲：充要条件与量词一、课程标准1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．并能正确判断两个命题之间的关系2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.二、基础知识回顾1、充分条件与必要条件（1）充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p（2）从集合的角度：若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．2、全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”❷在逻辑中通常叫作全称量词．(2)全称命题：含有全称量词的命题．(3)全称命题的符号表示：形如“对M 中的任意一个x ，有p (x )成立”的命题，用符号简记为∀x ∈M ，p (x )． 3、存在量词与特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”❷“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词． (2)特称命题：含有存在量词的命题． (3)特称命题的符号表示：形如“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”的命题，用符号简记为∃x 0∈M ，p (x 0)．三、自主热身、归纳总结1、命题“∀x ∈R ，x 2＋x ≥0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0≤0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＜0 C ．∀x ∈R ，x 2＋x ≤0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＜0【答案】B【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题B 正确．故选B. 2、“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】选B 若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2. 3、使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x > B ．0x C ．1x <-或1x > D ．10x -<<【答案】AC 【分析】不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x +>，解得x 范围，即可判断出结论． 【解答】解：不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x ∴+>，解得0x >，或1x <-．使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是：2x >．及1x <-，或1x >． 4、 命题“∃x ∈[0，1]，x 2－1≥0”是________命题(选填“真”或“假”)． 【答案】 真【解析】 取x ＝1，则x 2－1＝0，所以为真命题． 5、“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）． 【答案】充分不必要【解析】根据正弦函数sin y x =的图象，由1sin 2x =可得，26x k ππ=+，或52,6x k k Z ππ=+∈，故“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的充分不必要条件.6、(一题两空)已知p ：|x |≤m (m >0)，q ：－1≤x ≤4，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为________；若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为________． 【答案】1 4【解析】由|x |≤m (m >0)，得－m ≤x ≤m .若p 是q 的充分条件⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1m ≤4⇒0<m ≤1.则m 的最大值为1.若p 是q 的必要条件⇒⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1m ≥4⇒m ≥4.则m 的最小值为4.四、例题选讲考点一、充要条件、必要条件的判断例1、 已知直线l ，m ，平面α，m ⊂α，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)． 【答案】 必要不充分【解析】根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直．现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l ⊥m ”推不出“l ⊥α”，但是由定义知“l ⊥α”可推出“l ⊥m ”，故填必要不充分． 变式1、“a ＝1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线(a ＋2)x －3y －2＝0垂直”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】直线ax ＋y ＋1＝0与直线(a ＋2)x －3y －2＝0垂直的充要条件为a (a ＋2)＋1×(－3)＝0，解得a ＝1或－3，故“a ＝1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线(a ＋2)x －3y －2＝0垂直”的充分不必要条件.变式2、.设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】由|x －2|<1，得1<x <3，所以1<x <2⇒1<x <3；但1<x <31<x <2.所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件.变式3、设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】|a －3b |＝|3a ＋b |⇔(a －3b )2＝(3a ＋b )2⇔a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此|a －3b |＝|3a ＋b |是“a ⊥b ”的充要条件. 变式4、下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．:37p m <<；q ：方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆B ．:8p a ；q ：对[1x ∀∈，3]不等式20x a -恒成立C ．设{}n a 是首项为正数的等比数列，p ：公比小于0；q ：对任意的正整数n ，2120n n a a -+<D ．已知空间向量(0a =，1，1)-，(b x =，0，1)-，:1p x =；q ：向量a 与b 的夹角是3π【答案】ABC ：．【解析】A ，若方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆， 则703073m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即37m <<且5m ≠， 即“37m <<”是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件； B ，[1x ∀∈，3]不等式20x a -恒成立等价于2a x 恒成立，等价于9a ；∴ “8a ”是“对[1x ∀∈，3]不等式20x a -恒成立”必要不充分条件；:{}n C a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，∴当11a =，12q =-时，满足0q <，但此时12111022a a +=-=>，则2120n n a a -+<不成立，即充分性不成立，反之若2120n n a a -+<，则2221110n n a q a q --+< 10a >，22(1)0n q q -∴+<，即10q +<，则1q <-，即0q <成立，即必要性成立，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要不充分条件．D ：空间向量(0a =，1，1)-，(b x =，0，1)-，则001a b =++， cos a ∴<，2222221cos 32||||0(1)10(1)a b b a b x π>====⨯+-+⨯++-，解得1x =±，故“1x =”是“向量a 与b 的夹角是3π”的充分不必要条件． 方法总结：充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断.(2)集合法：根据使p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题， 考点二、充要条件等条件的应用例2、已知p ：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x －10≤0，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． (1)若m ＝1，则p 是q 的什么条件？(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．分析：问题(1)考查的仍是充要条件的判定，需要从“充分”和“必要”两个方面考察，并且用集合方法处理；问题(2)考查充要条件的应用，根据“若p 是q 的充分不必要条件”，得出所对应集合的关系，从而求出实数m 的取值范围．【解析】 (1)因为p ：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x －10≤0＝{x |－2≤x ≤10}， q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}＝{x |0≤x ≤2}， 显然{x |0≤x ≤2}{x |－2≤x ≤10}， 所以p 是q 的必要不充分条件．(2)由(1)，知p ：{x |－2≤x ≤10}，因为p 是q 的充分不必要条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，1－m ＝－2与1＋m ＝10不同时相等.解得m ≥9，即m ∈[9，＋∞)．变式1、 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.若a <0且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【解析】由p 得(x －3a )(x －a )<0，当a <0时，3a <x <a .由q 得x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，则－2≤x ≤3或x <－4或x >2，则x <－4或x ≥－2. 设p ：A ＝(3a ，a )，q ：B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)， 又p 是q 的充分不必要条件. 可知AB ，∴a ≤－4或3a ≥－2，即a ≤－4或a ≥－23.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0，即实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0.变式2、已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.【解析】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，可知m ≥0≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.方法总结：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． 考点三、含有量词的命题例3、已知函数f (x )＝3x 2＋2x －a 2－2a ，g (x )＝196x －13，若对任意x 1∈[－1,1]，总存在x 2∈[0,2]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．【解析】 f (x )＝3x 2＋2x －a (a ＋2)，则f ′(x )＝6x ＋2，由f ′(x )＝0得x ＝－13.当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，－13时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎦⎤－13，1时，f ′(x )>0，所以[f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝－a 2－2a －13.又由题意可知，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－13，6的子集，所以⎩⎨⎧f－1≤6，－a 2－2a －13≥－13，f 1≤6，解得实数a 的取值范围是[－2,0]．变式1、若命题“∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________． 【答案】[－4,0]【解析】“∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则“∀x ∈R ，x 2－mx －m ≥0”是真命题．即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴－4≤m ≤0变式2、若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】：[－3，3]【解析】命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R,3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.变式3、 若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (2，＋∞)【解析】“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a ＝0,4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．方法总结：理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，五、优化提升与真题演练1、设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】x >yx >|y |(如x ＝1，y ＝－2).但x >|y |时，能有x >y .∴“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件.2、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件； 由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B ．3、 (2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b|＝|3a ＋b|”是“a ⊥b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】|a －3b|＝|3a ＋b|⇔(a －3b)2＝(3a ＋b)2⇔a 2－6a·b ＋9b 2＝9a 2＋6a·b ＋b 2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b ＝0⇔a ⊥b ，因此|a －3b|＝|3a ＋b|是“a ⊥b”的充要条件.αβαβ∥αβ∥αβαβαβ∥4、.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n”是“m ∥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m ∥α，m ⊄α，n ⊂α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n”是“m ∥α”的充分不必要条件. 5、下列命题中的真命题是( ) A ．x R ∀∈，120x -> B ．*x N ∀∈，2(1)0x -> C ．x R ∃∈，1lgx < D ．x R ∃∈，tan 2x =【答案】ACD【解答】指数函数2t y =的值域为(0,)+∞∴任意x R ∈，均可得到120x ->成立，故A 项正确；当*x N ∈时，1x N -∈，可得2(1)0x -，当且仅当1x =时等号∴存在*x N ∈，使2(1)0x ->不成立，故B 项不正确；当1x =时，01lgx =<∴存在x R ∈，使得1lgx <成立，故C 项正确；正切函数tan y x =的值域为R∴存在锐角x ，使得tan 2x =成立，故D 项正确6、给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】AD【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是．③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是； ④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是． 7、 设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【解析】若a ∥b ，则cos 2θ－sin2θ＝0，即cos 2θ－2sin θcos θ＝0.得cos θ＝0或tan θ＝12.所以“cos θ＝0或tan θ＝12”是“tan θ＝12”的必要不充分条件，即“a ∥b ”是“tan θ＝12”的必要不充分条件． 8、记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】(],3-∞-【解析】：由260x x +-<得32x -<<，即()3,2A =-，又由0x a ->得x a >，即(),B a =+∞，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以()()3,2,a -⊆+∞，故3a ≤-。
