同角三角函数基本关系式及诱导公式

同角三角函数基本关系式及诱导公式1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2.三角函数的诱导公式概念方法微思考1.使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号.2.诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编2.若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3.已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 .答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4.化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 . 答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 . 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6.已知α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝ . 答案 －35解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α＝45，且α为锐角，∴cos α＝35，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 7.已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α的值为 .答案612解析 ∵－π2<α<0，∴sin α＝－1－⎝⎛⎭⎫152＝－256， ∴tan α＝－2 6.则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α＝－sin αtan α·cos α·tan α＝－1tan α＝126＝612.题型一 同角三角函数基本关系式的应用1.已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A.－513B.513C.－125D.125答案 C解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125.2.若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825C.1D.1625 答案 A解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.3.若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1 答案 B解析 由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A.－1 B.－22C.22D.1答案 A解析 由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 题型二 诱导公式的应用例1 (1)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A.{1，－1,2，－2}B.{－1,1}C.{2，－2}D.{1，－1,0,2，－2}答案 C解析 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.(2)(2018·合肥质检)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝ .答案 －1解析 原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.跟踪训练1 (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝ .答案 32解析 由已知得tan θ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.(2)已知f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(sin α≠0,1＋2sin α≠0)，则 f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝ . 答案3解析 ∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2 (1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0， tan α－6sin β－1＝0， 解得tan α＝3，又α为锐角，sin 2α＋cos 2α＝1， 故sin α＝31010.(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0，∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.引申探究本例(2)中若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值. 解 若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425，∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，故sin x －cos x ＝75.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响.跟踪训练2 (1)(2018·重庆模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－22，则sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ等于( ) A.－26B.26C.－23D.23答案 D解析 由tan 2θ＝－22可得tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝2或tan θ＝－22. 又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝2， 故sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝(2)2＋2－2(2)2＋1＝23.(2)已知sin α＝255，则tan(π＋α)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝ .答案 52或－52解析 ∵sin α>0，∴α为第一或第二象限角， tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52；②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.1.已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( )A.15B.－15C.513D.－513 答案 D解析 因为tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512，所以cos α＝－125sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝±513，又α是第四象限角，所以sin α＝－513.2.已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2等于( ) A.45 B.－45 C.35 D.－35答案 B解析 tan(α－π)＝tan α＝34，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝±45.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以cos α＝－45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. 又∵|θ|<π2，∴θ＝π3.4.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos α＝－513，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (α＋π)等于( ) A.1213 B.－1213 C.1312 D.－1312 答案 C解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos α＝－513， ∴sin α＝1－cos 2α＝1213，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (α＋π)＝－cos αsin α－cos α＝1sin α＝1312. 5.设tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( )A.3B.2C.1D.－1 答案 B解析 ∵tan α＝3，∴原式＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2.6.(2018·合肥检测)已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( ) A.35 B.－35 C.45 D.－45 答案 D解析 由已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，得cos α＝35， ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝45， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.7.若θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则 1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ等于( )A.sin θ－cos θB.cos θ－sin θC.±(sin θ－cos θ)D.sin θ＋cos θ答案 A 解析 因为1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2 ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.故选A. 8.已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x 等于( ) A.－33 B.33C. 3D.－ 3 答案 D解析 由题意可知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则(sin x ＋cos x )2＝4－234，因为sin 2x ＋cos 2x ＝1， 所以2sin x cos x ＝－32，即2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1＝－32，得tan x ＝－33或tan x ＝－ 3. 当tan x ＝－33时，sin x ＋cos x <0，不合题意，舍去，所以tan x ＝－ 3.故选D. 9.(2018·洛阳模拟)若tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝12，则sin θcos θ＝ . 答案310解析 因为tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝12，所以tan θ＝13. 所以sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝1319＋1＝310. 10.sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是 . 答案 －334解析 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334. 11.已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，则2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值为 . 答案 5－95解析 因为cos α－sin α＝－55，① 所以1－2sin αcos α＝15， 即2sin αcos α＝45. 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95. 又0<α<π2， 所以sin α＋cos α>0.所以sin α＋cos α＝355.② 由①②得sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2， 所以2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝5－95. 12.(2018·合肥模拟)已知k ∈Z ，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝ . 答案 －1解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α ＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α) ＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1.13.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )A.1＋ 5B.1－ 5C.1±5D.－1－ 5答案 B解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2， 解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.14.已知A ，B 为△ABC 的两个内角，若sin(2π＋A )＝－2·sin(2π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则B ＝ .答案 π6 解析 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，化简得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形内角，∴B＝π6；当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又A ，B 是三角形内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意，舍去，综上可知B ＝π6.15.已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin(π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β. 3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，求α，β.解 由已知可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，② ∴sin 2α＋3cos 2α＝2，∴sin 2α＝12，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝22，α＝π4.将α＝π4代入①中得sin β＝12，又β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π6，综上α＝π4，β＝π6.16.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝1.求cos 2⎝⎛⎭⎫32π＋α＋cos β－1的取值范围.解 由已知得cos β＝1－sin α.∵－1≤cos β≤1，∴－1≤1－sin α≤1，又－1≤sin α≤1，可得0≤sin α≤1，∴cos 2⎝⎛⎭⎫32π＋α＋cos β－1＝sin 2α＋1－sin α－1＝sin 2α－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α－122－14.(*)又0≤sin α≤1，∴当sin α＝12时，(*)式取得最小值－14，当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是⎣⎡⎦⎤－14，0.。