广东省,佛山揭阳,两市2016届,高三联,合考试

绝密★启用前揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数23()=ln(2)1xf x x x x +--的定义域为 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2] （2）已知复数21i z i=-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）2i （B ）2i - （C ）-2 （D ）2（3）已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=，若2a b -与c 共线，则k 的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 （4）已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是 （A ）命题p q ∨是假命题（B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题 （5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为（A ）1415（B ）815 （C ）25 （D ）415（6）已知函数2log ,(0)()2,(0)x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则不等式()1f x >的解集为（A ）(2,)+∞（B ）(,0)-∞ （C ）(,0)(2,)-∞+∞ （D ）(0,2)（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A ）4cm （B ）3cm （C ）2cm （D ）1 cm（8）已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 （A ）20152016 （B ）20162017 （C ）20142015 （D ）20172018（9）函数()(1cos )sin f x x x =+在[,]ππ-的图象的大致形状是（10）实数,x y 满足条件20,40,3.x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22y x 的取值范围为（A ）[4,)+∞ （B ）1[,2]3 （C ）[0,4] （D ）1[,4]9（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为(A)20+2π (B) 206π+ (C) 142π+ (D)16（12）在平面直角坐标系中，过原点O 的直线l 与曲线2x y e-=交于不同的两点A 、B ，分别过A 、B 作x 轴的垂线，与曲线ln y x =交于点C 、D ，则直线CD 的斜率为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12ABCDb年产量/kg0.0015450550350250650a频率/组距0.0040第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数X 服从正态分布2(200,10)N ，则(190)P X >=__________． (附：若Z ～2(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544.)(14)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60，则该双曲线的离心率为 .(15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (16)已知等差数列{}n a 满足18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 图3(17)（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且152AB AC ⋅=-.(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4(18)（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年， 根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图5所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平 均年产量为455kg . 当年产量低于450 kg 时，单位售价为 12元/ kg ，当年产量不低于450 kg 时，单位售价为10元/ kg . （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年 产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X （单位：元）的分布列； 图5 （Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， AB=PC=2，PA=PB=2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成 最大角的正切值.图6（20）(本小题满分12分)已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率为63，若动点A 在椭圆C 上，动点B 在直线62ab y c ==上.（c 为椭圆的半焦距） （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若OA OB ⊥(O 为坐标原点)，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.(21)（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()2x f x e ax =+，()g x 是()f x 的导函数， （Ⅰ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =； （Ⅱ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC =2，BD =4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC =3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）OPAB DC E图7(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ) 求关于x 的不等式|()|2f x ≤的解集．揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCCDACBBADAC解析：（6）如右图，易得所求不等式的解集为(,0)(2,)-∞+∞，（7）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. (8)依题意知2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++， 201611111122320162017S =-+-++-12016120172017=-=． （9）由()12f π=可排除（C ）、(D)，由33()134f π=>可排除（B ）,故选(A).(10)设y k x =，则k 为可行域内的点与原点连线的斜率，易得123k ≤≤，故2149k ≤≤.（11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：211(41)2(41+21)320222πππ-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+.(12)设直线l 的方程为(0)y kx k =>，且1122(,),(,)A x y B x y ，故121x kx e -=，222x kx e-=12221211,x x x e x e k k--⇒==，则122212121211ln()ln()ln ln x x CD e e x x k k k x x x x ----==-- 121211ln (2)ln ln (2)ln 1x e x e k k x x +----==-.ABCDE二、填空题：题号 131415 16 答案0.8413233或2621解析：(13) (190)P X >=1()()0.52P X P X μσμσμσ>-=⋅-<<++0.8413=(16)由81358a a =得11135(7)8(12)61a d a d d a +=+⇒=-， 由1113(1)(1)()061n a a n d a n a =+-=+--≥1213n ⇒≤， 所以，数列{}n a 前21项都是正数，以后各项为负数，故n S 取最大值时，n 的值为21.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,---2分 即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 152224ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯⨯=.-------5分 (Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分 【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得35sin 532sin 714AB BAC ACD BC ⨯∠∠===，----------------------------------------9分 ∵090ACD <∠< ∴211cos 1sin 14ACD ACD ∠=-∠=，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 解得192AD =.------------------------------------------------------12分】【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 解得192AD =.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，----------------------------------------------1分 由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------3分 解得0.0010a =；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）依题意知X 的可能取值为3600、4800、5000、6000，-------------------6分∵(3600)0.1P X ==，(4800)0.4P X ==，(5000)0.35P X ==，(3600)0.15P X ==， ∴X 的分布列为X 3600 4800 5000 6000 P0.10.40.350.15-------------------------8分（Ⅲ）∵一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5, -------------------9分 5年中年销售额不低于5000元的年数1~(5,)2B ξ，∴5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为51551113(2)1(0)(1)1()()2216P P P C ξξξ≥=-=-==--⨯=.-----------------12分（19）解：(Ⅰ)证明：取AB 中点O ，连结PO 、CO ，----------1分 由PA=PB=2，AB=2，知△PAB 为等腰直角三角形， ∴PO=1，PO ⊥AB ，-----------------------------------2分 由AB=BC=2，60ABC ∠=，知△ABC 为等边三角形， ∴3CO =，-------------------------------------3分由2PC =得222PO CO PC +=,∴PO ⊥CO ，-------------------------------------------------------4分 又ABCO O =，∴PO ⊥平面ABC ，----------------------------------------------5分又PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ----------6分（Ⅱ）解法1：如图，连结OH ，由（Ⅰ）知CO PO ⊥，CO AB ⊥ ∴CO ⊥平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，-----------7分 在Rt △COH 中，∵tan OC CHO OH ∠=3OH=，-----------8分要CHO ∠最大，只需OH 取最小值，而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时OH PB ⊥，22OH =，-------------10分 故当CHO ∠最大时，tan 6CHO ∠=.即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.------------------------------12分 【解法2：由（Ⅰ）知PO ⊥平面ABC ，CO AB ⊥，如图所示，以O 为原点，OC 、OB 、OP 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(3,0,0)C ，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，-----------------------------7分 设点H 的坐标为(0,,)m n ，BH BP λ=，则(0,1,)(0,1,1)m n λ-=-，∴1,m n λλ=-=，即(0,1,)H λλ-，------8分 则(3,1,)HC λλ=--，(3,0,0)OC =为平面PAB 的法向量， 设CH 与平面PAB 所成的角为θ， 则||sin |cos ,|||||OC HC OC HC OC HC θ⋅=<>=⋅22333(1)()λλ=⨯+-+-23172()22λ=-+,------10分当12λ=时，sin θ取最大值，max 6(sin )7θ=，-------------------------11分 又(0,]2πθ∈，此时θ最大，tan 6θ=，即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.-----------------12分】 (20)解：(Ⅰ)依题意得：63c a =-----① 62ab c =--------②-------------1分 ①×②得1b =，---------------------------------------------------2分又2222223c a b a a -==，解得23a =---------------------------------3分 ∴所求椭圆C 的方程为2213x y +=.--------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =， （1）若0k ≠，则直线OB 的方程为1y x k=-，设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则由222233113A AA A A y kx x x k y =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，------------------------6分 由2213262B B B B y x k k x y ⎧=-⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，-------------------------------------------------------------------7分 ∵222223(1)||1||31AAA k OA x y k x k +=+=+=+，--------------------------------8分∴222213(1)||1()||2BBB k OB x y x k +=+=+-=,-----------------------------9分设点O 到直线AB 的距离为d ，则22222222223(1)3(1)2||||31)312==1||3(1)||+||3(1)3(1)312AOB k k S OA OB k k d AB k OA OB k k k ∆++⋅⋅++===+++++（.---------10分 (2)若0k =，则A 点的坐标为(3,0)-或(3,0)，B 点的坐标为6(0,)2， 这时，6321634d ⋅==+，---------------------------------------------------------------------------11分 综上得点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.-------------------------------------------------12分 【解法二：设A 、B 的坐标00(,)A x y 、6(,)2B t ，------------------------------------------5分 由点A 在椭圆C 上和OA OB ⊥分别可得：220013x y +=和00602tx y +=，--------6分 设点O 到直线AB 的距离为d ，则有||||||,OA OB AB d ⋅=⋅-------------------------------7分2222||||||OA OB AB d ∴⋅=⋅222222221||||||||||||||AB OA OB d OA OB OA OB +⇒==⋅⋅,-------------------8分 2022********2222266200000000602222111111112||||3()()()x d OA OB x y x y x y x y t y x ∴=+=+=+=+⋅++++++220022220000323213()3(1)3x x x x y x ++===++--------------------------------------------------------------------11分所以点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.--------------------------------------------------12分】(21)（Ⅰ）证明：∵()()2x g x f x e ax '==+，()2x g x e a '=+，------------------------1分当0a >时，()0g x '>，∴函数()g x 在∞∞(-,+)上的单调递增，------------------------2分 又12g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1210a e --<，()010g =>，------------------------------------------------------3分 ∴存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =；-----------------------------------------------4分 （Ⅱ）解：（1）当0a <时，则当(,0)x ∈-∞时，()0g x >，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，且当x →-∞时，()f x →-∞，这与()f x b ≥矛盾；---------------------------5分（2）当0a =，由x e b ≥，得0b ≤，∴0a b -≥；------------------------------------------6分（3）当0a >，由（Ⅰ）知当()0,x x ∈-∞时，()0g x <；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >； 即()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，----------------------------------7分∴()()0min f x f x =，-----------------------------------------------------------------------------------8分其中0x 满足0020x e ax +=，故002x e a x =-且00x <， ∵()f x b ≥恒成立，∴0()b f x ≤即020x b e ax -≥--，于是0020001122x x x a b a e ax e x ⎛⎫-≥--=-+- ⎪⎝⎭，------------------9分 记1()(1)22x x h x e x =-+-，0x <，则()()221'()112x h x e x x x=-+，-----------------10分 由'()0h x <得1x <-，即函数()h x 在(,1)-∞-上单调时递减，'()0h x >得10x -<<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递增， ∴min 1()(1)h x h e=-=-，综上得a b -的最小值为1e-，此时01x =-．--------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分 得AB BC BD AB=，----------------------------------------------------------------------------4分 28AB BC BD =⋅=，22AB =；---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分 于是得231x t =±-，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C 的参数方程为231,2.x t y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）和231,2.x t y t ⎧⎪=--⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分 则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分 3sin 3cos 32sin()4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<-------------------------------------------9分 当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP 面积取得最大值，其值为32.--------10分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a =1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-， ∴a =1；-----------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集---6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分 当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分 综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。

2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝2i（1﹣i）（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．4i B．﹣4i C．4D．﹣42．（5分）已知集合A＝，B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（2，+∞）B．[1，2）C．（0，2）D．[1，2]3．（5分）已知向量，，，若（）与互相垂直，则k的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．（5分）已知命题p：∃x∈R，cos x＞sin x，命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或2D．46．（5分）已知函数f（x）＝，则f（log29）的值为（）A．9B．C．D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．9．（5分）若直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．310．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm11．（5分）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A．B．8（π+1）C．4（2π+1）D．12．（5分）已知P是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，P A、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A、B，若四边形P ACB的最小面积为2，则k的值为（）A．3B．2C．1D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为．14．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．15．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，记数列的前n项和为S n，则S2016的值为．16．（5分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰AB上的动点，则|+|的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且＝﹣．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若AB＝5，求AD的长．18．（12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．已知当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a、b的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC ＝2，P A＝PB＝．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到平面APC的距离．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝y+1有公共弦AB（A 在B左边），AB＝2，C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l 与C1、C2分别交于点M、N（均异于点A、B）．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞2）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在实数a，使得f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范围．四.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（Ⅰ）若BC＝2，BD＝4，求AB的长；（Ⅱ）若AC＝3，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知椭圆C的普通方程为：．（Ⅰ）设y＝2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（Ⅱ）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣a|（a∈R，a＞0），（Ⅰ）若f（x）的最小值是﹣3，求a的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|f（x）|≤2的解集．2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝2i（1﹣i）（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．4i B．﹣4i C．4D．﹣4【解答】解：复数z＝2i（1﹣i）＝2i+2，∴z的共轭复数为＝2﹣2i，则＝2+2i+（2﹣2i）＝4．故选：C．2．（5分）已知集合A＝，B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（2，+∞）B．[1，2）C．（0，2）D．[1，2]【解答】解：集合A＝＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}＝[1，+∞），B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}＝{x|2x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜2}＝（0，2），∴A∩B＝[1，2）．故选：B．3．（5分）已知向量，，，若（）与互相垂直，则k的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：＝，∵（）与互相垂直，∴（）•＝k+3＝0，解得k＝﹣3．故选：A．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，cos x＞sin x，命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【解答】解：命题p：∃x＝0∈R，cos x＞sin x，因此是真命题．命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，是假命题，取x＝时，+＝2，此时不成立，因此是假命题．则下列判断正确的是：命题p∧（￢q）是真命题．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或2D．4【解答】解：双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，渐近线斜率是±，而夹角是60°，因为两直线关于x轴对称，所以和x轴夹角是30°或60°，即＝tan30°＝或tan60°＝，若＝，即a2＝b2，c2＝a2+b2＝a2，e2＝＝，e＝（负的舍去）；若＝，b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，e2＝4，即e＝2．所以e＝，或e＝2．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（log29）的值为（）A．9B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（log29）＝f（log29﹣3）＝÷23＝．故选：D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，∴＝，由，得公差d＝1，∴a n＝n．∴．故选：C．8．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选：C．9．（5分）若直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．3【解答】解：如图，在坐标平面内画出二元一次不等式x+y﹣3≤0，x﹣2y﹣3≥0所表示的平面区域，求出直线y＝2x与直线x﹣2y﹣3＝0的交点A（﹣1，﹣2），由图可知，要使直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则m≤﹣1．即实数m的最大值为﹣1．故选：B．10．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水＝V柱可得3×πr3+πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3．故选：C．11．（5分）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A．B．8（π+1）C．4（2π+1）D．【解答】解：三视图对应的几何体是组合体，该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：＝．故选：A．12．（5分）已知P是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，P A、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A、B，若四边形P ACB的最小面积为2，则k的值为（）A．3B．2C．1D．【解答】解：S四边形P ACB＝P A•AC＝P A＝∴当|CP|最小时，即CP⊥l时，四边形P ACB的面积最小，由四边形P ACB的最小面积，得，由点到直线的距离公式得：，∵k＞0，∴解得k＝2．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为60．【解答】解：∵样本容量为160，学生人数所占的比例为＝，∴应抽取学生人数为（3200﹣1000﹣1000）×＝60，故答案为6014．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1015．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，记数列的前n项和为S n，则S2016的值为．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣ax的导数为f′（x）＝2x﹣a，可得函数f（x）图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k＝f′（1）＝2﹣a，由切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，可得2﹣a＝3，解得a＝﹣1，即有f（x）＝x2+x＝x（x+1），故，则＝．故答案为：．16．（5分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰AB上的动点，则|+|的最小值为3．【解答】解：如图，以PC、PD为邻边作平行四边形PCQD，则＝，要使取最小值，只需取最小值，∵E为CD的中点，故当PE⊥AB时，取最小值，这时PE为梯形的中位线，即，故．故答案为：3．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且＝﹣．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若AB＝5，求AD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即AB•AC＝15，∴；（Ⅱ）解法1：由AB＝5，得AC＝3，延长AD到E，使AD＝DE，连结BE，∵BD＝DC，∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°，且BE＝AC＝3，设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：（2x）2＝AB2+BE2﹣2AB•BE cos∠ABE＝25+9﹣15＝19，解得，即AD的长为；解法2：由AB＝5，得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC＝25+9+15＝49，得BC＝7，由正弦定理得：，得，∵0°＜∠ACD＜90°，∴，在△ADC中，，解得；解法3：由AB＝5，得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC＝25+9+15＝49，得BC＝7，在△ABC中，，在△ADC中，由，解得．18．（12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．已知当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a、b的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得到：100（a+0.0015+b+0.004）＝1，得100（a+b）＝0.45，（2分）由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15＝455，得300a+500b＝2.05，（4分）解得a＝0.0010，b＝0.0035．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）结合频率分布直方图知，当年产量为300kg时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，（8分）因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，（9分）而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，（10分）故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4＝0.75，（12分）19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC ＝2，P A＝PB＝．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到平面APC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取AB得中点O，连接PO、CO，由P A＝PB＝，AB＝2知△P AB为等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO＝1，又AB＝BC＝2，∠ABC＝60°知△ABC为等边三角形，∴．又由PC＝2得PO2+CO2＝PC2，∴PO⊥CO，∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：设点D到平面APC的距离为h，由（Ⅰ）知△ADC是边长为2的等边三角形，△P AC为等腰三角形，由V D﹣P AC＝V P﹣ADC得，∵，，∴＝，即点D到平面APC的距离为．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝y+1有公共弦AB（A 在B左边），AB＝2，C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l 与C1、C2分别交于点M、N（均异于点A、B）．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣1的顶点为（0，﹣1），即椭圆的下焦点为（0，﹣1），∴c＝1，由AB＝2，知x B＝1，代入抛物线得B（1，0），得b＝1，∴a2＝b2+c2＝2，∴C1的方程为．（Ⅱ）依题意知直线l的方程为y＝k（x﹣1），与联立消去y得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣2＝0，则，得，，由，得x2﹣kx+k﹣1＝0，由△＝k2﹣4（k﹣1）＝（k﹣2）2＞0，得k≠2，则x N•x B＝k﹣1，得x N＝k﹣1，y N＝k（k﹣2），∵点A在以MN为直径的圆外，即，∴，又A（﹣1，0），∴＝＝，解得k＜4，综上知k∈（﹣∞，0）∪（0，2）∪（2，4）．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞2）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在实数a，使得f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解法1：＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）记g（x）＝（x﹣2）﹣（x﹣1）ln（x﹣1）（x＞2），g'（x）＝﹣ln（x﹣1）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）即g（x）在（2，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（2）＝0从而f'（x）＜0，∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解法2：依题意得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）记（x≥2）则＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵x＞2∴g'（x）＜0，即函数g（x）在（2，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（2）＝0，从而得f'（x）＜0，∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）解法1：f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，等价于ln（x﹣1）＜a（x﹣2）对∀x∈（2，+∞）均成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由y＝ln（x﹣1）得，由此可得函数y＝ln（x﹣1）的图象在点（2，0）处的切线为y＝x﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（1）当a＜1时，在（2，+∞）上，直线y＝a（x﹣2）与函数y＝ln（x﹣1）的图象相交，不合题意；﹣﹣﹣（9分）（2）当a≥1时，在（2，+∞）上，直线y＝a（x﹣2）在函数y＝ln（x﹣1）的图象的上方，符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上得：要使f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解法2：f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，等价于ln（x﹣1）＜a（x﹣2）对∀x∈（2，+∞）均成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）记h（x）＝ln（x﹣1）﹣a（x﹣2），则＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）h（2）＝0，令h'（x）＝0得，，（1）当a≤0时，对∀x∈（2，+∞），h'（x）＞0，即函数h（x）在（2，+∞）单调递增，故h（x）＞h（2）＝0，即ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＞0，不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（2）当0＜a＜1时，对，h'（x）＞0，此时函数h（x）在上为增函数，即ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＞0，不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）当a≥1时，对∀x∈（2，+∞），有h'（x）＜0，函数h（x）在（2，+∞）单调递减，因此ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＜h（2）＝0，符合题意；综上得：要使f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）四.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（Ⅰ）若BC＝2，BD＝4，求AB的长；（Ⅱ）若AC＝3，求AE的长．【解答】解：（Ⅰ）由弦切角定理得∠BAC＝∠BDA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∠BAD＝∠BCA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以△BAC∽△BDA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以AB2＝BC•BD＝8，所以；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）连接EC，∵∠AEC＝∠AEB+∠BEC，∠ACE＝∠ABE＝∠BAD+∠ADB，∵∠AEB＝∠BAD，∠BAC＝∠BDA＝∠BEC，∴∠AEC＝∠ACE，∴AE＝AC＝3（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知椭圆C的普通方程为：．（Ⅰ）设y＝2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（Ⅱ）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）【解答】解：（Ⅰ）将y＝2t代入椭圆的普通方程得，于是得，∴椭圆C的参数方程为（t为参数）和（t为参数）．（Ⅱ）依题意知点A（3，0），B（0，2），设点P的坐标为（3cosθ，2sinθ），，则S四边形AOBP＝S△BPO+S△OP A＝＝，，当，即时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣a|（a∈R，a＞0），（Ⅰ）若f（x）的最小值是﹣3，求a的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|f（x）|≤2的解集．【解答】解：（Ⅰ）解法1：∵a＞0，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当﹣2≤x＜a时，﹣2﹣a≤f（x）＜a+2，∴当x∈R时，﹣2﹣a≤f（x）≤a+2﹣﹣﹣（4分）∴f（x）min＝﹣（a+2）＝﹣3，∴a＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解法2：∵||x+2|﹣|x﹣a||≤|（x+2）﹣（x﹣a）|＝a+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|f（x）|≤a+2，f（x）min＝﹣（a+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又已知f（x）min＝﹣3，∴a＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）】（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（a＞0）当x＜﹣2时，f（x）＝﹣（a+2）＜﹣2，|f（x）|＞2，不等式|f（x）|≤2解集为空集﹣﹣﹣（6分）当x≥a时，f（x）＝a+2＞2，不等式|f（x）|≤2解集也为空集；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当﹣2≤x＜a时，|f（x）|≤2，即﹣2≤2x+2﹣a≤2⇒∵，，∴当﹣2≤x＜a时，|f（x）|≤2的解为﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上得所求不等式的解集为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。

揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{x y A ==，{}220x x x B =-<，则（ ）A ．AB =∅ B ．R A B =C ．B ⊆A D ．A ⊆B 2.设复数z 满足()12i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i -+ B ．1i --C ．1i +D ．1i -4.()842xx --展开式中含2x项的系数是（ ）A ．56-B ．28-C ．28D ．56 5.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，收集数据如右所示：根据右表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此可估计加工零件数为6时加工时间大约为（ ）A ．63.6minB ．65.5minC ．67.7minD ．72.0min 6.已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ）A ．35-B ．5C ．35D ．1 7.执行如图1的程序框图，则输出S 的值为（ ） A ．2 B ．3- C ．12-D ．138.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线6x y +=下方的概率是（ ）A ．718 B ．13 C ．16 D ．5189.若x ，y 满足1x y +≤，则2z x y =-的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[]2,2-C ．[]1,1-D ．[)1,+∞10.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M 点，若2F M 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．1 D ．111.已知函数()sin f x x π=和函数()cos g x x π=在区间[]1,2-上的图象交于A 、B 、C 三点，则C ∆AB 的面积是（ ）A ．2 B ．4 C D ．412.已知直线0x y k +-=（0k >）与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，且有OA +OB ≥ ，则k 的取值范围是（ ）A ．)+∞ B ． C ．)+∞D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()1,2a =- ，()0,2a b +=，则b = ．14.已知函数()f x 是周期为2的奇函数，当[)0,1x ∈时，()()lg 1f x x =+，则2016lg185f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 15.某组合体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为 ．16.已知C ∆AB 中，角A 、32B 、C 成等差数列，且C ∆AB 的面积为1C A 边的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n S n n =-（n *∈N ）．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()()()()22212211n a n n n n k b n k a a +⎧=-⎪==⎨⎪--⎩（k *∈N ），求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．18.（本小题满分12分）某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图3所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意．（I ）根据以上资料完成下面的22⨯列联表，若据此数据算得23.7781K ≈，则在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？（II ）以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；（III ）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．19.（本小题满分12分）如图4，已知四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥平面CD AB ，底面CD AB 中，90∠A =，//CD AB ，1AB =，D CD 2A ==．（I ）若二面角CD P --B 为45，求证：平面C BP ⊥平面D C P ； （II ）在（I ）的条件下，求点A 到平面C PB 的距离．20.（本小题满分12分）已知p ，0m >，抛物线:E 22x py =上一点(),2m M 到抛物线焦点F 的距离为52． （I ）求p 和m 的值；（II ）如图5所示，过F 作抛物线E 的两条弦C A 和D B （点A 、B 在第一象限），若CD 40k k AB +=，求证：直线AB 经过一个定点．21.（本小题满分12分）设函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈．（I ）若x e =是()y f x =的极值点，求实数a 的值；（II ）若函数()24y f x e =-只有一个零点，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图6，圆O 的直径10AB =，P 是AB 延长线上一点，2BP =，割线CD P 交圆O 于点C ，D ，过点P 作AP 的垂线，交直线C A 于点E ，交直线D A 于点F ．（I ）当C 60∠PE =时，求DF ∠P 的度数； （II ）求F PE ⋅P 的值．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知参数方程为0cos sin x x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）的直线l 经过椭圆2213x y +=的左焦点1F ，且交y 轴正半轴于点C ，与椭圆交于两点A 、B （点A 位于点C 上方）． （I ）求点C 对应的参数C t （用θ表示）；（II ）若1F C B =A ，求直线l 的倾斜角θ的值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设R a ∈，()()1f x x a a x =-+-． （I ）解关于a 的不等式()20f <；（II ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：C D C A B C A D B C C B解析：11.由sin cos tan 1x x x πππ=⇒=，又[1,2]x ∈-得34x =-或14x =或54x =，即点315(,),(,(,424242A B C --,故153[()](244ABC S ∆=⨯--⨯-=12. 2<， 【或由22220,22404.x y k x kx k x y +-=⎧⇒-+-=⎨+=⎩，因直线与圆有两个不同的交点， 所以2248(4)0k k ∆=-->，】由0k >得0k <<①如图，又由||||3OA OB AB +≥得||||3OM BM ≥6MBO π⇒∠≥因||2OB =,所以||1OM ≥,1k ≥⇒≥② k ≤<二、填空题：；14.1；15. 32+8π；16.2.解析：14. 由函数()f x 是周期为2的奇函数得2016644()()()5555ff f f ==-=-（）9lg 5=-5lg 9=，故20165()lg18lg lg18lg10159f +=+== 15. 依题意知，该几何体是上面长方体下接半圆柱的组合体，故其体积 为：21442+24=32+82ππ⨯⨯⨯⨯⨯. 16. ∵A 、32B 、C 成等差数列，∴3A C B +=，又A B C π++=，∴4B π=，由1sin 12ABC S ac B ∆==2(2ac =，∵2222cos b a c ac B =+-22a c =+，及222a c ac +≥，∴2(24b ac ≥=，2b ≥，∴b 的最小值为2.三、解答题：17.解：（Ⅰ）当2n ≥时，221222[(1)(1)]22n n n a S S n n n n n -=-=-----=---------2分1n a n=-（2n ≥），-------------------------------------------------------------3分当1n =时，由21211S =-得10a =，-----------------------------------------------4分 显然当1n =时上式也适合， ∴1n a n =-.--------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）∵22211,(1)(1)(2)2n n a a n n n n +==---++------------------------------------6分21321242()()n n n T b b b b b b -=+++++++ -------------------------------------7分022*******(222)[()()()2446222n n n --=++++-+-++-+ ]---------------------9分11()11422214nn -=+-+----------------------------------------------------------11分11411().63422n n =-⋅-+-------------------------------------------------------12分18．解：（Ⅰ）-------------------------------2分 ∵23.7781K ≈<3.84 1，∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关。

2015-2016学年广东省揭阳三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．等差数列{a n}的前n项和为S n若a2=1，a3=3，则S4=（）A．12 B．10 C．8 D．62．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x+1| C．y=﹣x2D．y=|x|+13．已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．设函数f（x）=，则f[f（4）]=（）A．2 B．4 C．8 D．165．函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数6．已知tanα=，则cos2α的值为（）A．B．C．D．7．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C． D．8．函数y=cos2x﹣sin2x 的一条对称轴为（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣9．若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B． C．D．10．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，若∥，则k=．14．函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．15．已知tan（α+β）=，tanβ=，则tan（α+）的值为．16．下列四种说法：①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；②设p、q是简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∧¬q”为真命题；③若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．其中所有正确说法的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{a n}的通项公式成等比数列，求正整数k的值．（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k+218．已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长．19．有编号为D1，D2，…，D10的10个零件，测量其直径（单位：mm），得到下面数据：其中直径在区间从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．用ξ表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．20．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（1）求证：DC⊥平面ABC；（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；（3）求二面角B﹣EF﹣A的余弦．21．如图在直角坐标系xOy中，过动点P的直线与直线l：x=﹣1垂直，垂足为Q，点F（1，0）满足．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）证明：以线段PF为直径的圆与y轴相切．22．设a＞0，函数f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有唯一零点，试求a的值．2015-2016学年广东省揭阳三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．等差数列{a n}的前n项和为S n若a2=1，a3=3，则S4=（）A．12 B．10 C．8 D．6【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的前n项和得到，求前四项的和要用第一项和第四项的和，根据等差数列的性质第一项和第四项的和等于第二项与第三项的和，得到结果．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a4=a2+a3，∵a2=1，a3=3，∴s4=2（1+3）=8故选C．2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x+1| C．y=﹣x2D．y=|x|+1【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据偶函数的定义，奇函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=x3是奇函数，不是偶函数，∴该选项错误；B．x=﹣1时，y=0，x=1时，y=2，∴y=|x+1|不是偶函数，∴该选项错误；C．y=﹣x2在（0，+∞）单调递减，∴该选项错误；D．y=|x|+1为偶函数，且x＞0时，y=|x|+1=x+1为增函数；即y=|x|+1在（0，+∞）上单调递增，∴该选项正确．故选D．3．已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量的坐标加法运算求得+的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值．【解答】解：∵=（1，k），=（2，2），∴+=（3，k+2），又+与共线，∴1×（k+2）﹣3k=0，解得：k=1．故选：A．4．设函数f（x）=，则f[f（4）]=（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】对数的运算性质．【分析】本题可以根据不同的条件选择不同的解析式进行求值，得到本题结论．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（4）=1﹣log24=1﹣2=﹣1，f[f（4）]=f（﹣1）=21﹣（﹣1）=22=4．故选B．5．函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．【分析】利用诱导公式化简函数，然后直接求出周期，和奇偶性，确定选项．【解答】解：因为：=2cos2x ，所以函数是偶函数，周期为：π 故选B ．6．已知tanα=，则cos2α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用余弦的二倍角公式可求得cos2α=cos 2α﹣sin 2α，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin 2α+cos 2α，分子分母同时除以cos 2a ，转化成正切，然后把tanα的值代入即可．【解答】解：cos2α=cos 2α﹣sin 2α====．故选：D ．7．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数量积表示两个向量的夹角；单位向量．【分析】设与的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得•=﹣，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵|+|=1，∴（+）2=2+2•+2=1…（*）∵向量、均为单位向量，可得||=||=1∴代入（*）式，得1+2•+1=1=1，所以•=﹣根据向量数量积的定义，得||•||cosθ=﹣∴cosθ=﹣，结合θ∈[0，π]，得θ=故选C8．函数y=cos2x﹣sin2x 的一条对称轴为（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】化简可得y=cos（2x+）令2x+=kπ可得x=﹣，k∈Z，结合选项给k取值可得答案．【解答】解：化简可得y=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x ）=（cos cos2x﹣sin sin2x ）=cos（2x+）令2x+=kπ可得x=﹣，k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一条对称轴为x=﹣故选：C9．若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B． C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】先根据二次函数的判断出a，b的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，∴a＞0，﹣＞0，∴b＜0，∵f′（x）=2ax+b，∴函数f′（x）的图象经过一，三，四象限，∴A符合，故选A．10．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点或只有一个交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，则△=，所以实数a的取值范围是：[﹣，]．故选B11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：A．12．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【考点】函数的图象与图象变化．【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2x﹣a（x＞0），即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，∴﹣log22+a﹣log24+a=1，解得，a=2，方法二：故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，若∥，则k=6．【考点】平行向量与共线向量；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【分析】先根据向量的线性运算可求得与，再由∥可得到（2+2k ）×（﹣1）=7（4﹣k ），进而可求得k 的值．【解答】解：∵∴=（2，1）+2（k ，3）=（2+2k ，7）=2（2，1）﹣（k ，3）=（4﹣k ，﹣1）∵∥∴（2+2k ）×（﹣1）=7（4﹣k ）， ∴k=6 故答案为6．14．函数y=x +2cosx 在区间上的最大值是．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=x +2cosx 进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．【解答】解：∵y=x +2cosx ，∴y′=1﹣2sinx令y′=0而x ∈则x=，当x ∈[0，]时，y′＞0．当x ∈[，]时，y′＜0．所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为15．已知tan （α+β）=，tanβ=，则tan （α+）的值为．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用两角和与差的正切函数，结合已知条件求出tanα，然后求解tanβ．【解答】解：tan （α+β）=，tanβ=，∴tan（α+β）===，解得tanα=，tan（α+）===．故答案为：．16．下列四种说法：①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；②设p、q是简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∧¬q”为真命题；③若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．其中所有正确说法的序号是①②③④．【考点】命题的真假判断与应用；特称命题．【分析】利用命题的否定判断①的正误；复合命题的真假判断②的正误；充要条件判断③的正误；三角函数图象的平移判断④的正误；【解答】解：对于①，命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；满足命题的否定形式，所以①正确．对于②，设p、q是简单命题，若“p∨q”为假命题，说明两个命题都是假命题，命题的否定是真命题，则“¬p∧¬q”为真命题；所以②正确．对于③，若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；满足充要条件的关系，所以③正确；对于④，把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．符号平移原则，所以④正确；故答案为：①②③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{a n}的通项公式成等比数列，求正整数k的值．（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k+2【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式．（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，【分析】d=2，从而得到{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{a n}的前n项和为S n ==n（n+1），再由=a1 S k+2 ，求得正整数k的值．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2．∴{a n}的通项公式a n =2+（n﹣1）2=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{a n}的前n项和为S n ==n（n+1）．成等比数列，∴=a1 S k+2 ，∵若a1，a k，S k+2∴4k2 =2（k+2）（k+3），k=6 或k=﹣1（舍去），故k=6．18．已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长．【考点】解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】（1）利用两角和公式和诱导公式整理题设等式求得sin（A+B）=sin2C，进而整理求得cosC的值，进而求得C．（2）利用sinA，sinC，sinB成等差数列求得三者的关系式，利用正弦定理转化成边的关系式，利用求得ab的值，进而分别代入余弦定理求得c．【解答】解：（1）由cos（﹣A）•cosB+sinB•sin（+A）=sin（π﹣2C）得sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C∴sin（A+B）=sin2C，∵A+B=π﹣C，∴sin（A+B）sinC∴sinC=sin2C=2sinCcosC，∵0＜C＜π∴sinC＞0∴cosC=∴C=（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得2c=a+b∵，即abcosC=18，ab=36由余弦弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab，∴c2=4c2﹣3×36，c2=36，∴c=619．有编号为D1，D2，…，D10的10个零件，测量其直径（单位：mm），得到下面数据：其中直径在区间从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．用ξ表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由所给数据可知，10个零件中一等品零件共有5个．从上述10个零件中，随机抽取2个，基本事件总数n=，2个零件均为一等品包含的基本事件个数m=，由此能求出这2个零件均为一等品的概率．（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】（本题满分12分）解：（1）由所给数据可知，10个零件中一等品零件共有5个．设“从上述10个零件中，随机抽取2个，2个零件均为一等品”为事件A，则．（2）∵ξ的可能取值为：0，1，2，3，且，，，﹣﹣∴ξ的分布列为：∴ξ数学期望Eξ==．20．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（1）求证：DC⊥平面ABC；（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；（3）求二面角B﹣EF﹣A的余弦．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）根据题设中的条件，用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面ABC；（2）点E、F分别为棱AC、AD的中点可得出EF∥CD，由（1）知，EF⊥平面ABC，由此证得∠FBE即为所求线面角，正弦值易求；解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴，BA所在直线为Z轴建立如图的空间直角坐标系，给出有关各点的坐标，由题设条件求出线段BF的方向向量，面ABC的法向量，由公式求出线面角的正弦；（3）由题意可证得∠AEB为二面角B﹣EF﹣A的平面角，在直角三角形中求出∠AEB，【解答】解：（1）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°即AB⊥BD在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B∴DC⊥平面ABC．（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点∴EF∥CD，又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，垂足为点E∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°设CD=a则，，∴在Rt△FEB中，即BF与平面ABC所成角的正弦值为．解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD=a，则BD=AB=2a，，可得B（0，0，0），D（2a，0，0），A（0，0，2a），，F（a，0，a），∴，设BF与平面ABC所成的角为θ由（1）知DC⊥平面ABC∴∴（3）由（2）知FE⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，AE⊂平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B﹣EF﹣A的平面角在△AEB中，∴即所求二面角B﹣EF﹣A的余弦为．（其他解法请参照给分）21．如图在直角坐标系xOy中，过动点P的直线与直线l：x=﹣1垂直，垂足为Q，点F（1，0）满足．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）证明：以线段PF为直径的圆与y轴相切．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设P（x，y），则Q（﹣1，y），通过向量的数量积求出动点P的轨迹C的方程；（2）根据题意，利用抛物线的定义与线段中点的坐标公式，算出PF中点到y轴的距离等于PF长的一半，即可得出以PF为直径的圆与y轴相切．【解答】（1）解：设P（x，y），则Q（﹣1，y），∵，F（1，0），∴（x+1，0）•（2，﹣y）=（x﹣1，y）•（﹣2，y），…∴2（x+1）=﹣2（x﹣1）+y2，∴y2=4x，即动点P的轨迹C的方程为y2=4x；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：根据题意，可得抛物线y2=2px的焦点为F（1，0），设P（m，n），PF的中点为A（x1，y1），可得x1=（1+m），由抛物线的定义，得|PF|=|PQ|=m+1，∴x1=|PF|，即点A到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径．因此，以PF为直径的圆与y轴相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．设a＞0，函数f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有唯一零点，试求a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出a=1时f（x），利用导数f′（x）判断f（x）的单调性，并求出单调区间；（2）求f（x）的导数f′（x），利用导数判断f（x）的单调性，求出最值，利用最值等于0，求出a的值．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx，当a=1时，f（x）=x2﹣2x﹣2lnx，（其中x＞0）；∴f′（x）=2x﹣2﹣=，令f′（x）=0，即x2﹣x﹣1=0，解得x=或x=（小于0，应舍去）；∴x∈（0，）时，f′（x）＜0，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；∴f（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）；（2）f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx，则f′（x）=2x﹣2a﹣=，令f′（x）=0，得x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，∴△=a2+4a＞0，∴方程是解为x1=＜0，x2=＞0；∴函数f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，∴f（x）的大致图象如图所示，求f（x）min=f（x2），若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有唯一零点，则f（x2）=0，而x2满足x22=ax2+a∴f（x2）=ax2+a﹣2ax2﹣2alnx2=a（x2+1﹣2x2﹣2lnx2）=0得1﹣x2﹣2lnx2=0∵g（x）=2lnx+x﹣1是单调增的，∴g（x）至多只有一个零点，而g（1）=0，∴用x2=1代入x22﹣ax2﹣a=0，得1﹣a﹣a=0，即得a=．2017年4月24日。